参数方程下的曲率公式
曲率及其曲率半径的计算
M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设 x ， x+ D x 为 ( a ， b ) 内两个邻近的点 ，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
Ds MM D x Dx
| y | 2 1 2 0．8． 2 3 2 K ． 2 32 2 (1 y ) (1 (1) ) 2
抛物线顶点处的曲率半径为
1 r 1．25． K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过 2．50单位长．
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | Dx ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) ： s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0． 显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． y y (
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M
第七节弧微分与曲率
处曲率
计算驻点处的函数值:
最大.
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 ,
在点
在曲线
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆
( 密切圆 ) ,
R 叫做曲率半径,
D 叫做
曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线;
(2) 凹向一致;
相应的曲率中心
曲率中心公式可看成渐
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
屈线的参数方程(参数为x).
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
显然, 砂轮半径不超过
又
曲率K 的计算公式
二阶可导,
设曲线弧
则由
说明:
(1) 若曲线由参数方程
给出, 则
(2) 若曲线方程为
则
例2. 我国铁路常用立方抛物线
作缓和曲线,
处的曲率.
点击图片任意处播放\暂停
说明:
铁路转弯时为保证行车
平稳安全,
求此缓和曲线在其两个端点
且 l << R.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,
(3) 曲率相同 .
M 处作曲线的切线和法线,
的凹向一侧法线上取点 D 使
设曲线方程为
且
求曲线上点M 处的
曲率半径及曲率中心
设点M 处的曲率圆方程为
故曲率半径公式为
曲率及其计算公式
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K 所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
y
4
2O
y=0．4 x2
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
(
Ds Dx
2
MM Dx
2
|
MM MM
|
2
|
MM |2 (Dx)2
|
MM MM
|
2
(Dx)2 (Dy (Dx)2
)2
(
|
MM MM
2a
抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为
K|2a| ．
讨论：
1．直线上任一点的曲率等于什么？
提示：设直线方程为y=ax+b，则y =a， y = 0．于是
K
| (1
y | y2 )3
2
0.
2．若曲线由参数方程
x j (t)
y
(t
)
给出，那么曲率如何计算？
提示：
K
| j(t) (t) j(t) (t) [j2 (t) 2 (t)]3 2
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
空间曲线的弧长和曲率
空间曲线的弧长和曲率在数学中，空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
而了解空间曲线的弧长和曲率是研究曲线性质的重要一环。
一、空间曲线的弧长空间曲线的弧长是指曲线的长度。
在三维空间中，空间曲线可以用参数方程表示。
假设曲线的参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中t为参数。
我们可以利用微积分的知识来计算空间曲线的弧长。
将曲线分割成无穷小的线段，每个线段的长度可以表示为√(dx^2 + dy^2 + dz^2)。
然后将每个线段的长度加起来，再通过极限运算求得曲线的弧长。
具体来说，在参数范围[a, b]内，曲线的弧长可以表示为如下积分形式：L = ∫(a到b) √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2 dt二、空间曲线的曲率曲率描述了曲线的弯曲程度。
在三维空间中，曲线的曲率可以通过计算曲线上某点附近的切线来求得。
曲线在某一点的曲率是该点处曲线切线的弯曲程度。
对于空间曲线，曲率的计算公式为：k = |dT/ds|其中，T是曲线的切向量，s是曲线的弧长。
切向量T可以通过参数方程求导得到：T = (dx/ds)i + (dy/ds)j + (dz/ds)k因此，曲线的曲率可以表示为：k = |d/ds (dx/ds)i + (dy/ds)j + (dz/ds)k|根据向量的微积分公式，我们可以进一步化简曲率的计算公式：k = |(dy/ds)(d^2z/ds^2) - (dz/ds)(d^2y/ds^2)| / ((dx/ds)^2 + (dy/ds)^2 + (dz/ds)^2)^(3/2)三、应用举例以螺旋线为例，介绍空间曲线的弧长和曲率的计算方法。
螺旋线的参数方程为：x = a cos(t)y = a sin(t)z = bt其中a和b为常数。
首先计算曲线的弧长。
根据上述的弧长计算公式，我们有：L = ∫(0到2π) √(a^2 sin^2(t) + a^2 cos^2(t) + b^2) dt= ∫(0到2π) √(a^2 + b^2) dt= 2π√(a^2 + b^2)接下来计算曲线的曲率。
曲率中心计算公式推导
曲率中心计算公式推导曲率中心是指曲线上所有切线的交点，也可以理解为曲线上所有点的曲率半径的交点。
在数学中，我们可以通过计算曲线的曲率来推导曲率中心的计算公式。
假设有一条曲线C，其参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数。
我们需要计算曲线上某一点P的曲率半径r。
首先，我们需要计算曲线在点P处的切线方程。
切线方程可以通过求曲线在点P处的切线斜率来得到。
切线斜率可以通过曲线的导数来计算，即dy/dx。
由于曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们可以通过链式法则求得dy/dx。
根据链式法则，dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，我们需要计算曲线在点P处的曲率k。
曲率可以通过求曲线的二阶导数来计算，即d^2y/dx^2。
同样地，我们可以通过链式法则求得d^2y/dx^2。
根据链式法则，d^2y/dx^2=(d/dt)(dy/dx)/(dx/dt)。
然后，我们可以通过曲率的定义来计算曲率半径r。
曲率半径r等于1/k，其中k为曲率。
最后，我们可以通过求解切线方程和曲线方程的交点来得到曲率中心的坐标。
综上所述，曲率中心的计算公式推导如下：1. 计算曲线在点P处的切线斜率dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
2. 计算曲线在点P处的曲率k=d^2y/dx^2=(d/dt)(dy/dx)/(dx/dt)。
3. 计算曲率半径r=1/k。
4. 求解切线方程和曲线方程的交点，得到曲率中心的坐标。
通过以上推导，我们可以得到曲率中心的计算公式。
这个公式可以帮助我们计算曲线上任意点的曲率半径和曲率中心的坐标，从而更好地理解和分析曲线的性质和特点。
参数方程的曲率公式推导
参数方程的曲率公式推导曲线的参数方程表示为：$$\begin{cases}x = f(t) \\y = g(t)\end{cases}$$其中，$f(t)$和$g(t)$是关于参数$t$的函数。
我们先求曲线的切矢量$\vec{T}$：$$\vec{T} = \frac {d\vec{r}}{ds}$$其中，$\vec{r}$表示曲线上的任意一点$(x, y)$，$s$表示曲线上的弧长。
我们有：$$d\vec{r} = \frac {dx}{dt} dt \vec{i} + \frac {dy}{dt} dt \vec{j} = \left(\frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}\right) dt =\vec{v} dt$$其中，$\vec{v}$表示曲线上的速度向量。
因此，切矢量$\vec{T}$可以表示为：$$\vec{T} = \frac {\vec{v}}{v} = \frac {\left(\frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}\right)}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}} = \frac {\frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$$接下来，我们求曲线的曲率$K$，曲率的定义为：$$K = \left|\frac {d\vec{T}}{ds}\right|$$其中，$|\cdot|$表示向量的模。
我们有：$$\frac {d\vec{T}}{ds} = \frac {d}{ds}\left(\frac {\vec{v}}{v}\right) = \frac {\frac {d}{dt}\left(\frac {\vec{v}}{v}\right)}{\frac{ds}{dt}} = \frac {\frac {d}{dt}\left(\frac {\frac{d\vec{r}}{dt}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}\right)}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}} = \frac {\frac {d}{dt}\left(\frac{\vec{v}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}\right)}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$$将曲线的速度向量$\vec{v} = \frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}$代入，得到：$$\frac {d\vec{T}}{ds} = \frac {\frac {d}{dt}\left(\frac {\frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}\right)}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$$对$\frac {\frac {dx}{dt}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$和$\frac {\frac{dy}{dt}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}$进行求导，利用链式法则，得到：$$\frac {d}{dt}\left(\frac {\frac {dx}{dt}}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}\right) = \frac {\frac {d^2x}{dt^2}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}} - \frac {\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 \frac {d}{dt}\left(\frac {\frac {dx}{dt}}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}\right)}{\left(\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}\right)^2}$$将上式中的$\frac {\frac {dx}{dt}}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$替换为切矢量$\vec{T}$，可得：$$\frac {d}{dt}\left(\frac {\vec{T_x}}{\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}}\right) = \frac {\frac{d^2x}{dt^2}}{\sqrt{\vec{T_x^2} + \vec{T_y^2}}} - \frac{\vec{T_x^2} \frac {d}{dt}\left(\frac{\vec{T_x}}{\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}}\right)}{\left(\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}\right)^2}$$同理，$\frac {\frac {dy}{dt}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$对$t$求导得：$$\frac {d}{dt}\left(\frac {\vec{T_y}}{\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}}\right) = \frac {\frac{d^2y}{dt^2}}{\sqrt{\vec{T_x^2} + \vec{T_y^2}}} - \frac{\vec{T_y^2} \frac {d}{dt}\left(\frac{\vec{T_y}}{\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}}\right)}{\left(\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}\right)^2}$$由于$\vec{T_x} = \frac {dx}{dt}$，$\vec{T_y} = \frac{dy}{dt}$，代入上面的两个式子，并利用$\frac {d^2x}{dt^2} = \frac {d}{dt}\left(\frac {dx}{dt}\right)$和$\frac {d^2y}{dt^2} = \frac {d}{dt}\left(\frac {dy}{dt}\right)$，可得：$$\frac {d\vec{T}}{ds} = \frac {\frac{d^2x}{dt^2}}{\sqrt{\vec{T_x^2} + \vec{T_y^2}}} - \frac{\vec{T_x^2} \frac{d^2\vec{T_x}}{ds^2}}{\left(\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}\right)^2} + \frac {\frac{d^2y}{dt^2}}{\sqrt{\vec{T_x^2} + \vec{T_y^2}}} - \frac{\vec{T_y^2} \frac{d^2\vec{T_y}}{ds^2}}{\left(\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}\right)^2}$$将$\vec{T_x}^2 + \vec{T_y}^2 = 1$代入，并整理，可得：$$\frac {d\vec{T}}{ds} = \frac {d^2x}{dt^2} \vec{T_x} + \frac {d^2y}{dt^2} \vec{T_y} - \left(\frac {d^2x}{dt^2} \vec{T_x}^2 +\frac {d^2y}{dt^2} \vec{T_y}^2\right) \vec{T}$$进一步整理，可得曲率$K$的表达式为：$$K = \left|\frac {d\vec{T}}{ds}\right| = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac {d^2y}{dt^2}\right)^2} $$上述表达式即为参数方程的曲率公式。
曲率和曲率半径
曲率和曲率半径曲率和曲率半径是微积分、微分几何中的重要概念。
它们是描述曲线、曲面曲率大小和曲率方向的量。
本文将从曲率和曲率半径的概念入手，探讨它们的计算方法和应用。
曲率的概念曲率描述曲线或曲面局部形状的变化程度。
对于曲线，曲率是指曲线上某点处切线方向的变化率。
在数学上，曲率被定义为曲线上某点处切线的极限位置与该点距离的比值。
如果曲线在该点的曲率为正，则曲线在该点的形状向外凸；若曲率为负，则曲线在该点的形状向内凹。
曲率半径的概念曲率半径是曲率的倒数。
即曲率半径R等于曲率k的倒数。
曲率半径描述了曲线近似为圆的程度。
如果曲率半径很小，曲线就很弯，近似为一段圆弧；如果曲率半径很大，曲线就很直，近似为一条直线。
曲率半径在机械、电子、航空、航天等领域有广泛的应用。
曲率和曲率半径的计算方法曲线在数学上可以用参数方程或者一般方程表示。
对于参数方程，曲率公式为：k = |\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)| / |\mathbf{r}'(t)|^3其中，\mathbf{r}(t)表示曲线上的某点，\mathbf{r}'(t)表示该点处曲线的切向量，\mathbf{r}''(t)表示该点处曲线的二阶切向量。
符号|·|表示向量的模长。
对于一般方程表示的曲线，曲率公式为：k = |\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)| / |\mathbf{r}'(t)|^3其中，x(t)和y(t)表示曲线在参数t处的横纵坐标，y'(t)和y''(t)表示曲线在参数t处的一阶和二阶导数。
曲率半径的公式为：R = 1 / k其中，k表示曲线在某点处的曲率。
当曲线在该点的曲率为0时，曲率半径为无穷大，即曲线在该点的局部形状为直线。
曲率和曲率半径在实际应用中的意义曲率和曲率半径在机械、电子、航空、航天等领域有广泛的应用。
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参数方程下的曲率公式
参数方程，又称参数形式、参数曲线，是用参数表示曲线上点的一种表示方法。
其一般形式为 x = f(t)，y = g(t)，其中x,y坐标系上的曲线上的参量t表示的参数，f(t)，g(t)分别是x，y的参数表达式。
曲率是参数形式的重要特征，参数曲线的曲率与参量t的变化密切相关，更形象的说，曲率测量的是曲线的弯曲程度，用来判断曲线的性质和结构。
曲率参数公式指的是可以用参数表示的曲率公式，它是参数曲线的重要特征。
根据参数方程，可以求出曲线的曲率，它可以表示曲线弯曲的程度。
求取曲率参数公式的基础是对参数曲线的参数t求导，以及更高阶的导数求解。
以二次曲线的参数方程x=at2+bt+c，y=dt2+et+f为例，求取它的曲率参数公式如下：
其中，x，y分别为曲线上点的横纵坐标，t为曲线上一点的参数（t∈[0，L]，L为曲线长度），a，b，c，d，e，f为曲线方程的系数。
根据公式，可以求取曲线的曲率参数。
曲率参数方程可以用于判断曲线弯曲程度，解决许多工程问题。
例如，如果要设计一条曲线路线，最好令曲率参数公式的值越小越好，因为这样可以最大程度地把曲线的弯曲程度减小，而且曲线的弯曲程度也不会过大，而且把握它们的关系更容易。
此外，曲率参数方程也可以用于测量曲线两点之间的距离，以及测量曲线绕椭圆的圆心转动的角度等。
曲率参数方程也可以用于检测曲线的质量，以确定曲线的可靠性。
例如，在航空航天技术中，一般会采用曲率参数方程来测量航行路线的可靠性，以确定航线的安全性。
另外，曲率参数方程还可以用于医学建模，例如用曲率参数方程来模拟人体器官的表面结构，以及用于判断人体器官的健康状况。
以上就是参数方程下的曲率公式的内容。
参数方程提供了一种有效、简便的参数表示曲线，曲率参数方程就是其中的重要特征，它可以用于测量曲率、计算曲线两点间的距离、检测曲线的质量以及医学建模等。