关于立体角（待续）
关于立体角的解释和计算
立体角计算公式摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。
关键词：立体角，发光角。
引言光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。
若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为：I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。
式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。
1 cd=1 lm/sr 。
但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。
这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。
1立体角的定义将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。
即：Ω=2rA图1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ）2立体角的计算设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。
设0<2α<π，0<2β<π不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。
根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。
由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。
图3 计算示意图曲面面积计算公式为： A=⎰⎰∂∂+∂∂+Dyz x z 22)()(1dxdy （1） 上半球球面方程为：Z=221y x -- （2）由x z ∂∂=221y x x --- （3）221yx yy z ---=∂∂ （4） 得 222211)()(1yx y z x z --=∂∂+∂∂+ （5） 代入（1）式得： A=⎰⎰--Dyx dxdy 221 (6)利用极坐标，得： A=⎰⎰-Drrdrd 21θ (7)易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：α22sin x +y 2=1 (8) x 2+β22sin y =1 (9)交点坐标（βαβα22sin sin 1cos sin -,βααβ22sin sin 1cos sin -)φ1=arctgαβtg tg (10) φ2=arctg βαtg tg (11)将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α222sin cos sin 11Φ+Φ=r (12)β222sin sin cos 12Φ+Φ=r (13)图4 xy 面投影根据对称性，有：A=4(A1+A2) (14) A1=⎰⎰-ΦΦ102101r r rdr d A2=⎰⎰Φ-Φ2221r rrdrd于是， A1=101021(r r d ⎰Φ--Φ=⎰ΦΦ+Φ--1222sin cos sin 111(α）d Φ=Φ1-⎰ΦΦ+Φ-102222cos sin sin sin 1ααd Φ=Φ1-⎰ΦΦ+Φ-ΦΦ1222sin sin sin 1cos cos ααd设t=sin Φ，则cos Φd Φ=dt A1=Φ1-⎰Φ-1sin 022cos 1cos tdt αα =Φ1-⎰Φ-1sin 022cos /1tdtα =Φ1-arcsin(cos α·t)1sin 0Φ=Φ1-arcsin(cos αsin Φ1) (15) 同理，A2=Φ2-arcsin(cos βsin Φ2) (16)带入（14）式,得出最终结果：A=4(arctgαβtg tg -arcsin(cos αsin(arctg αβtg tg )) +arctg βαtg tg -arcsin(cos βsin(arctg βαtg tg ))) (17)特别地，当α=β时，Φ1=Φ2=π/4， A1=A2=π/4-arcsin(cos α/2)3数值结果参考文献⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海。
多维空间的立体角
多维空间的立体角立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。
本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。
1. 平面角我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：dφ=CD ̂r其中，CD̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：CD̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：φ=∫dlrBAsin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：ψ=π2−θφ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙rr B A2. 立体角对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。
设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：dS⊥=dS∙r r立体角微元dΩ为：dΩ=dS∙r r3曲面对空间的立体角为：Ω=∫dS∙r r3S不难得到，全空间的立体角Ω=4π下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)半球：2π球面三角形：A+B+C−π四面体：对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=12(α+β+γ)，则：tan Ω4=√tanθ2tanθ−α2tanθ−β2tanθ−γ2正方体的一个顶角的立体角为π2，正四面体的一个顶角为arctan 10√223（或者arccos 2327）3. n 维空间的立体角设n 维立体角Ω的顶点位于n 维球的球心，设n 维球的表面积为S ，半径为R ，则：Ω(n )=S(n)R n−1则问题的关键在于求出n 维球体的表面积： 由Gauss 公式：∫∇∙r dV V=∮r ∙dS ðV由于r 代表n 维球径向矢量，设：r =x 1i 1+x 2i 2+x 3i 3+⋯+x n i n则：∇∙r =nr ∙dS =x 12+x 22+⋯x n2R=R故：nV (n )=RS(n) S (n )=nRV(n) 通过换元易得：V (n )=R n β(n)其中，β(n)为单位球体的体积：β(n )=∫dx 1dx 2⋯dx n V n 0V n 0:x 12+x 22+⋯+x n 2≤1β(n )=∫dx n 1−1∫dx 1dx 2⋯dx n−1V n−1V n−1: x 12+x 22+⋯+x n−12≤1−x n 2故：V n−1=βn−1∙(1−x n 2)n−12βn =βn−1∫(1−x 2)n−12dx1−1=2βn−1∫(1−x 2)n−12dx 1换元，令x =cos tβn =2βn−1∫sin n t dt π2=√πβn−1Γ(n +12)Γ(n 2+1)由于β1=2，可得：βn =πn2Γ(n 2+1)最终可得：V (n )=R nπn 2Γ(n2+1) S (n )=nR n−1πn 2Γ(n2+1) Ω(n )=n nπn 2Γ(n2+1)列表如下：图像如下：附源代码：n=1:10;V=n.*pi.^(n/2)./gamma(1+n/2); plot(n,V,'black+');xlabel('n')ylabel('\Omega(n)')title('空间维数与立体角')。
空间中的立体角的计算
空间中的立体角的计算主题：空间中的立体角的计算导语：在空间几何中，立体角是一种重要的概念，它用于描述物体的形状和方向。
立体角的计算涉及到几何图形的投影、体积和角度等知识。
本教案将以立体角的计算为主题，通过实际例子和具体计算方法，帮助学生理解和掌握立体角的概念和计算方法。
一、立体角的概念和性质1. 什么是立体角立体角是指由三个相交于一点的光线所张开的空间区域，用来度量物体在空间中占据的体积。
立体角的大小与光线的方向及夹角有关。
2. 立体角的特点立体角的大小与物体的形状、投影、角度等因素有关。
在立体角的计算中，我们需要考虑几何图形的高度、底面积、体积和角度等。
二、立体角的计算方法1. 立体角的计算公式a. 计算棱锥的立体角：对于一个棱锥，其立体角等于底面的面积与顶点处的球面的面积之比。
计算公式为：立体角 = 底面积 / （半径^2）。
b. 计算棱台的立体角：对于一个棱台，其立体角等于上底面的面积与下底面的面积之差除以顶点到底面的距离。
计算公式为：立体角= （上底面积- 下底面积）/ 距离。
2. 立体角的具体计算步骤以一个正方形金字塔为例，讲解立体角的具体计算步骤：a. 计算金字塔的底面积和高度。
b. 根据底面和高度计算金字塔的体积。
c. 根据金字塔的底面积和半径计算金字塔顶点处的球面的面积。
d. 根据计算结果可以得到金字塔的立体角。
三、立体角的应用举例1. 计算正方体的立体角以一个正方体为例，讲解立体角的应用：a. 计算正方体的体积和表面积。
b. 分析正方体中的一条对角线和一个表面的夹角，计算其立体角。
c. 利用立体角的计算结果，分析正方体的空间形状和方向。
2. 计算圆锥的立体角以一个圆锥为例，讲解立体角的应用：a. 分析圆锥的底面、侧面和顶点，计算其立体角。
b. 利用立体角的计算结果，描绘圆锥的空间位置和方向。
四、立体角的深入研究1. 立体角与空间几何的关系立体角作为空间几何的重要概念，与其他几何图形的性质有着密切的关系。
关于立体角，续五
关于立体角，续五3、多面角----球面三角部分关键内容简介在球面几何-球面三角中，一个基本概念是三面角，三面角的每个面本身所张的平面角称为边，由其余两面限定，而面与面两两之间所夹的平面角称为角，可以推导出，三面角的三个角之和超出180度或πrad，而超出的这部分，正好等于这个三面角所张的立体角，即：Ωt=ε=A+B+C-π——3.1这是关于立体角的一个重要而基本的关系。
通过将多面角分割为若干三面角，可求得多面角所张的立体角。
如正n面角可分割为n-2个相同的等腰三面角，故其立体角为：Ω=（n-2）ε，——3.2由于在诸ε中多余加入了自分割轴张出的一个轴角（二面角）2π/（n-2），故ε，=ε-2π/（n-2）——3.34、多面体多面体与立体角关系密切，欲深入了解立体角，从而对“空间”这个哲学、数学概念增加理解，不妨多观察多面体。
4.1. 认识(正)多面体的部分早期历程长方体以至正方体（正六面体）是人们早就有所了解的多面体，但先后发现5种正多面体，主要应是约公元前500年古希腊人的功劳；据记载，毕达哥拉斯学派已知有正四、六、八面体，特埃特图斯追加了正十二面体和正二十面体。
这5种正多面体首次同时出现，可能是在柏拉图的《蒂迈欧篇》中，蒂迈欧对苏格拉底所说的一段话里。
这段话对正多面体的描述并不很清晰，但5种正多面体却因此被称为柏拉图立体。
蒂迈欧神秘地将四种正多面体（除了正十二面体外）与古希腊哲学中的四个原始元素(火、气、水、土)分别联系在一起，而正十二面体被视为以太或宇宙的形态。
稍后，成书于公元前300年左右的欧几里得《几何原本》，在第13卷之命题13-17分别探讨了正四、八、六、二十、十二面体的作图问题，命题18对它们有所比较，并断言正多面体只有这5种。
但在一定意义上，球体也可以视为具有无穷多个面的第6种正多面体(也有人定义，正多面体只能有有限多个面)，每个面都是正三角形或正六边形；若球半径无穷大，则每个面的面积可以任意大(但不应是无穷大)；若球半径为有限值(但不应是无穷小)，则每个面的面积为无穷小。
空间几何的立体角计算
空间几何的立体角计算在空间几何中，立体角是指球心所在的立体角。
它是一个以球心为顶点，包含在球面上的一个锐角空间图形。
计算立体角的方法有很多种，下面将介绍几种常见的计算方法。
一、球体的立体角计算对于球体而言，可以通过球的半径和球心与球面上两点之间的弧长计算立体角。
假设球心为O，球面上两点为A和B，对应的单位法向量为a和b。
则球体的立体角可以用以下公式表示：Ω = acos(a·b)其中，·表示向量的点积运算，acos表示反余弦函数。
上述公式表示了向量a和向量b的夹角。
二、多面体的立体角计算对于多面体，可以将其分解为若干个共有顶点的面组成的角。
然后根据面的法向量来计算每个面对应的立体角，并将其相加得到总的立体角。
比如，假设有一个四面体，顶点分别为A、B、C和D，面分别为ABC、ACD、ADB和BDC。
其中，每个面都可以计算对应的立体角。
假设面ABC与面ACD的夹角为α，面ABC与面ADB的夹角为β，面ABC与面BDC的夹角为γ，则四面体的立体角Ω可以用以下公式表示：Ω = α + β + γ而计算每个面对应的立体角，可以使用球体的立体角计算方法进行计算。
三、棱锥的立体角计算对于棱锥而言，可以通过棱锥的顶角和侧面法向量计算立体角。
假设棱锥的顶点为O，底面上一点为A，底面上的两条棱为OB和OC，顶角为∠BOC，底面上的法向量为n，则棱锥的立体角可以用以下公式表示：Ω = 2π - ∠BOC其中，∠BOC可以通过向量OB和向量OC的点积计算得到。
四、扇形的立体角计算对于扇形而言，可以通过确定扇形对应的圆锥的顶角和底面法向量计算立体角。
圆锥的底面是扇形的圆心O、半径r和夹角θ所在的圆。
假设圆锥的顶点为O，扇形上的两点为A和B，顶角为α，则扇形的立体角可以用以下公式表示：Ω = α - sinα其中，α可以通过扇形的半径r和夹角θ计算得到：α = rθ。
以上是几种常见的空间几何中立体角的计算方法，可以根据不同的几何形状选择合适的方法进行计算。
立体角计算公式
立体角计算公式立体角，又称夹角、内角、拱角，是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角，它体现了空间几何学的概念。
它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。
立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。
基本计算公式二维平面立体角的计算公式如下：夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]其中，b和c是向量，|b|和|c|分别是b和c的模长，x表示叉乘。
三维平面立体角的计算公式如下：夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]其中，a、b和c是向量，|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长，x和表示叉乘和点乘。
立体几何计算公式立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性，以此来计算夹角的大小。
1.体积公式：V＝abc其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，V表示立体角的体积。
2.表面积公式：S＝ab+bc+ca其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，S表示立体角的表面积。
3.距离公式：D＝√(a+b+c)其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，D表示立体角的距离。
4.角平分公式：α/β/γ＝a/b/c其中，α、β和γ是各角的大小，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。
5.体积中垂线公式：V＝abc sin其中，V表示立体角的体积，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，α表示立体角的内角大小。
立体角的应用立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域，它可以用来计算空间坐标系的定位，构建复杂的几何体，也可用来测量空间距离、角度、体积等。
比如，在机械结构设计中，立体角的计算公式可以用来计算连接的螺栓的角度、位置和大小，为准备安装和维护机械设备提供依据。
在电子工程中，立体角的计算公式也可以用来计算电子元件之间的位置、距离和角度，这些参数对正确构建电子系统非常重要。
总结立体角是一种有三条曲线汇合而成的特殊角，它体现了空间几何学的概念。
立体角
立体角
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Steradian
立体角，Ω，是一个物体对特定点的三维空间的角度。
它是站在那一点的观察者测量物体大小的尺度。
例如，一个附近的小物体可以与一个远处的大物体对于一个点有相同的立体角。
立体角是物体在一个以观测点为圆心的球的投影面积与球半径的比。
（Ω =S/r）这正像平面角是圆的弧长与半径的比。
立体角的国际制单位是steradian(球面度)。
更严密的，立体角是面S对点P的面积分：
[编辑]圆锥，球冠
Section of cone (1) and spherical cap (2) inside a sphere. In this figure θ = a/2 and r = 1.
顶角为2θ的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。
（上面结果由下式得到，参见surface element in spherical polars）
应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的面积相等。
球冠边沿到球冠最低点的距离为
显然，在单位圆中球冠立体角为
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立体角
当θ = π/2, 球冠变为有着立体角 2π的半球.
当θ = π, 立体角涵盖整个球体，球冠变为有着立体角 4π的球，我们将4π称为全方位立体角。
空间几何的立体角
空间几何的立体角立体角是空间几何中重要的概念，用于描述三维物体之间的角度关系。
参考欧几里得几何学中平面角的定义，立体角也是通过两个平面之间的交叉线来确定的。
本文将介绍立体角的概念、计算方法以及其在实际生活和科学研究中的应用。
一、概念在空间几何中，我们可以定义立体角为两个不共面的射线所夹的角度。
具体地说，我们可以通过从一个射线上选取一点，然后与该射线相交的另一射线还可以由无数种不同位置的点来确定。
这样，我们就可以得到不同的立体角。
根据这个定义，可以得出以下结论：1. 两个相对的直角是等于360度的立体角；2. 两个形成平面角的直线和两个形成立体角的直线具有相同的夹角。
二、计算方法为了计算立体角，我们可以使用多种方法，以下是其中两种常用的方法：1. 体积法：通过计算立体角所包围的体积来确定其大小。
具体地说，我们可以在两个不共面的射线之间构造一个四面体，然后计算该四面体的体积。
该体积就是所求立体角的大小。
这种方法需要对几何体的体积计算有一定的理解和掌握。
2. 广义平面角法：理解和应用平面角的概念和计算方法，可以将其推广到立体角的计算中。
通过选取两个不共面的射线上的点，可以构成一个平面角。
将这个平面角的两条边替换为另外两个射线，就可以得到一个立体角。
通过计算这个立体角对应平面角的大小，即可确定立体角的度数。
这种方法更加直观，易于理解和计算。
三、应用立体角在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 光学：在光学领域中，研究光的传播和反射是非常重要的。
当光线从一种介质进入另一种介质时，会发生折射现象。
折射角的大小与入射角和介质的折射率有关。
通过计算折射角对应的立体角，可以进一步研究光的传播和折射规律。
2. 建筑设计：在建筑设计中，立体角可以用来描述建筑物之间的角度关系。
例如，在城市规划中，我们可以通过计算不同建筑物之间的立体角来优化建筑物的布局，以获得更好的采光和通风效果。
3. 数学研究：立体角作为空间几何的重要概念，被广泛应用于数学研究中。
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关于立体角（待续）
在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。
立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。
通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。
对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。
您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。
平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。
1、立体角定义与量度
1.1立体角的概念
当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。
例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。
而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。
月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。
月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。
这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一
个量，“立体角”的变化。
假设制作一个代表立体直角坐标系的三维“十字架”，使之穿过两个半径相差一倍的同心球面，球心在坐标系原点，自球心发出无数条射线，这些射线在球面上的投影点形成一条连续的闭合的曲线，那么这样的一条曲线在小球面上所限定的面积为在大球面上所限定面积的1/4。
进一步假设，若人眼在球心处，向曲线所包的一部分球面看，无疑大小球面上的这两块面积将完全重合。
这就是说，尽管这两块面积不等，但他们所对应的空间区域的大小却完全相同，都以上述那无数条射线为界。
我们就说，这两块面积所对应的立体角一样大。
即使你使其中一个球面绕球心转动，也不会改变这一点。
现在可以给立体角下一个定义了：锥面(射平面或射曲面)所围成的空间区域称为立体角。
在以锥的顶点为心，半径为1单位的球面上，锥面所截得的面积大小就准确地度量了立体角的大小。
以球心为顶点的锥面在球的表面切割出的、面积等于球半径平方的区域，所张的立体角的大小，被定义为立体角的基本度量单位，是立体角的国际单位，是三维的弧度，称为平方弧度，或平方弪，亦称球面度，符号记作sr，英文steridian，是希腊语立体(stereos)和弧度(radian)的合成词。
再从另一个起点出发来考察“立体角”。
正如平面上一个直角坐标系把平面分为4个象限一样，立体解析几何上，把由一个笛卡尔三维直角坐标系所确定的欧式空间剖分为8个卦限，一个卦限是这样一个立体角：其大小占整个空间的1/8，其边界在球面上的投影是一个三边相互垂直的球面三角形。
完全相同的推广是：一个象限占去1/4个平面，一个卦限占去1/8个(欧氏)空间；象限可分为100或90等分，每等分称为一度，而8个卦限共可分为4π个等分，每等分称为一“平方弪”(球面度)；等等。
球表面积为4πr2，因此整个球面有4π个球面度。
在平面上定义一段弧微分ds与其矢量半径r的比值为其对应的圆心角，记作θ=ds/r；所以整个圆周对应的圆心角就是2π；和平面角的定义类似，定义立体角为曲面上面积微元ds与其矢量半径的二次方的比值为此面微元对应的立体角，记作Ω=ds/r2；由此可得，闭合曲面
的立体角都是4π。