全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
全概率公式是概率统计学中的重要概念，它系统地表达了事件发生的
几率，它建立在一定的概率论假设和条件概率的基础上。
全概率公式由它
的发明者布朗定理提出，它以下简称为B-公式，它定义了一个事件发生
条件的概率可以由该事件发生的总概率和该事件发生条件概率之间的关系
表示出来，具体地说，就是：
P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+···+P(A，Bn)P(Bn)
其中：P(A)是A发生的概率，P(B1)~P(Bn)是相互独立的事件B1~Bn
发生的概率；P(A，B1)~P(A，Bn)是A在B1~Bn发生后发生的条件概率，
以上关系可以看作是在n个事件B1~Bn中，A发生的概率就是在所有这些
事件发生时A发生的条件概率乘以其各自发生的概率，再相加，而本质上
它是一个分母的二项式展开。
贝叶斯公式是概率统计学中的重要概念，它描述了在已知其中一种情
况的概率后，观察到其中一种事件后，该情况发生的可能性，它利用事件
的先验概率和事件发生后的后验概率进行推断，它有一下公式发挥着作用：P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)
其中：P(A)是事件A发生的先验概率；P(B)是事件B发生的先验概率；P(A，B)是事件B发生后A发生的条件概率；P(B，A)是事件A发生后B发
生的条件概率。
概率论全概率公式和贝叶斯公式
概率论全概率公式和贝叶斯公式概率论是数学的一个分支，研究事件发生的可能性和规律。
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要定理，用于计算给定条件下的概率。
全概率公式是概率论中的一个基本定理，用于计算一个事件的概率，它通过将事件分解为几个互斥事件的并集，来求解一个复杂事件的概率。
假设有一组事件{B1,B2,...,Bn}，这些事件互斥且构成了一个完备事件组，即它们的并集为整个样本空间。
如果已知每个事件Bi的概率和它们与另一事件A的交集的概率，那么全概率公式可以计算出事件A的概率。
全概率公式的数学表达式如下：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)其中，A是所求事件，Bi是一组互斥事件，P(A∩Bi)是事件A与事件Bi的交集的概率。
全概率公式的原理是，事件A可以通过事件Bi的分解来计算。
我们首先计算A和B1的交集的概率，再计算A和B2的交集的概率，以此类推。
然后将这些概率相加，得到事件A的概率。
全概率公式的应用非常广泛，比如在统计学中用于估计一个总体的概率分布，或者在机器学习中用于计算样本的条件概率。
贝叶斯公式是概率论中的另一个重要定理，它可以在已知后验概率的条件下，计算先验概率。
先验概率是在考虑任何证据之前，根据以往的知识或经验得到的概率。
后验概率是在考虑了一些新证据之后，根据贝叶斯公式计算得到的概率。
贝叶斯公式的数学表达式如下：P(A，B)=(P(B，A)*P(A))/P(B)其中，P(A，B)表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(A)表示事件A的先验概率。
P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
P(B)表示事件B的概率。
贝叶斯公式的原理是，通过已知事件B发生的条件下，根据已知的先验概率P(A)和条件概率P(B，A)，计算事件A发生的概率。
这个公式可以用于判断新的证据对先验概率的影响，从而进行更精确的概率估计。
贝叶斯公式的应用非常广泛，比如在医学诊断中用于计算疾病的概率，或者在文本分类中用于计算一些词语在一个文档中的概率。
贝叶斯公式和全概率公式
贝叶斯公式和全概率公式贝叶斯公式是概率论中的重要公式，也就是所谓的贝叶斯定理。
贝叶斯定理是由十九世纪末英国数学家和统计家 Thomas Bayes 在 1763 年提出的，是概率论中最重要的原理之一，广泛应用于商业分析、医学诊断、决策分析、信息检索等多个领域中。
贝叶斯公式的公式表达形式为：<br/>P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)其中，P（A|B）表示“在B条件下A的概率”，P（B|A）表示“在A条件下B的概率”，P（A）表示“A的概率”，P（B）表示“B的概率”。
从此公式中可以看到，贝叶斯公式通过将一个条件概率分解成两个条件概率的乘积，加以组合，使得概率计算变得更加简便容易。
贝叶斯公式也可以表述为一种胆怯结论，即根据已知的条件来推断未知的结果，而不是僵化地按照既定的规则来推断结果。
即可以通过已知的条件来推断未知的结果，而不是僵化地按照既定的规则来推断结果。
全概率公式是贝叶斯公式的推广，它的公式表达式如下：<br/> P(A)=ΣP(A|B_i)P(B_i)其中，P(A)表示A的概率，P(A|B_i)表示B_i条件下A的概率，P(B_i)表示B_i的概率。
从此公式中可以看到，全概率公式把一个概率分解成多个子概率的和，每个子概率都是一个条件概率，加以组合，使得概率计算更加简便容易。
全概率公式也可以表述为一种更加灵活的结论，即根据已知的概率来推断未知的结果，而不是僵化地按照既定的规则来推断结果。
即可以通过已知的概率来推断未知的结果，而不是僵化地按照既定的规则来推断结果。
因此可以看出，贝叶斯公式和全概率公式是概率论中重要的公式，它们可以帮助我们更加有效地推断出未知的结果，提高我们的决策质量，从而获得更好的结果。
【概率论与数理统计】全概率公式和贝叶斯公式
【概率论与数理统计】全概率公式和贝叶斯公式注：很久以前就知道这两个公式，但⼀直仅限于了解。
直到最近学习edx上的课程，才对这两个公式有了新的理解，记录于此。
1. 条件概率公式设A, B是两个事件，且P(B)>0，则在事件B发⽣的条件下，事件A发⽣的条件概率(conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)条件概率是理解全概率公式和贝叶斯公式的基础，可以这样来考虑，如果P(A|B)⼤于P(A)则表⽰B的发⽣使A发⽣的可能性增⼤了。
在条件概率中，最本质的变化是样本空间缩⼩了——由原来的整个样本空间缩⼩到了给定条件的样本空间。
2. 乘法公式2.1 乘法公式由条件概率公式得：P(AB) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)上⾯的式⼦就是乘法公式。
2.2 乘法公式的推⼴对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)3. 全概率公式3.1 前提假设设B1，B2，....为有限或⽆限个事件，它们两两互斥且在每次试验中⾄少发⽣⼀个，即：不重，B i∩ B j = ∅（不可能事件）i≠j ,不漏，B1∪B2∪.... = Ω（必然事件）.图1：B1 - B n是对S的⼀个划分这时，称事件组 B1, B2,...是样本空间S的⼀个划分，把具有这些性质的⼀组事件称为⼀个“完备事件组”。
设 B1, B2,...是样本空间S的⼀个划分，A为任⼀事件（图1中红圈内部区域），则：$$P(A) = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } P(B_i)P(A|B_i) \hspace{ 10pt } (1)$$上式即为全概率公式（formula of total probability)也可以分为两步来看全概率公式：图2：分两步看全概率公式，S先被划分为n个⼦集B1 - B n，然后每个⼦集的发⽣会对A的发⽣产⽣不同程度的影响设P(B j) = p j, P(A|B j) = q j, j = 1, 2, ..., n则$$P(A) = \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ n } p_{j}q_{j} \hspace{ 10pt } (2)$$在运⽤全概率公式时的已知未知条件为：划分后的每个⼩事件的概率，即P(B i), i = 1, 2, ..., n；每个⼩事件发⽣的条件下，A发⽣的概率，即P(A|B i), i = 1, 2, ..., n；求解⽬标是计算A发⽣的概率，即P(A)。
叙述全概率公式与贝叶斯公式,举例说明全概率公式与贝叶斯公式求法;
叙述全概率公式与贝叶斯公式,举例说明全概率公式与贝叶斯公式求法;全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要概念，它们都可以用来计算概率。
全概率公式是概率论中最基本的公式，它表示一个事件发生的概率等于它发生的条件概率乘以它发生的先决条件概率之和。
全概率公式可以用来计算一个事件发生的概率，它的公式为：P(A)=∑P(A|B)P(B)，其中A表示事件，B表示先决条件，P(A|B)表示A发生的条件概率，P(B)表示B发生的概率。
例如，假设有一个抛硬币的实验，我们想知道抛出正面的概率。
根据全概率公式，我们可以得出：P(正面)=P(正面|硬币1)P(硬币1)+P(正面|硬币2)P(硬币2)，其中P(正面|硬币1)和P(正面|硬币2)分别表示硬币1和硬币2抛出正面的概率，P(硬币1)和P(硬币2)分别表示硬币1和硬币2被抛出的概率。
贝叶斯公式是概率论中另一个重要的公式，它表示一个事件发生的概率等于它发生的条件概率乘以它发生的先决概率，再除以它发生的先决概率之和。
贝叶斯公式可以用来计算一个事件发生的概率，它的公式为：P(A|B)=P(A|B)P(B)/P(B)，其中A表示事件，B表示先决条件，P(A|B)表示A发生的条件概率，P(B)表示B发生的概率。
例如，假设有一个抛硬币的实验，我们想知道抛出正面的概率。
根据贝叶斯公式，我们可以得出：P(正面|硬币1)P(硬币1)/P(硬币1)=P(正面|硬币1)，其中P(正面|硬币1)表示硬币1抛出正面的概率，P(硬币1)表示硬币1被抛出的概率。
总之，全概率公式和贝叶斯公式都可以用来计算概率，它们的公式分别为：P(A)=∑P(A|B)P(B)和P(A|B)=P(A|B)P(B)/P(B)。
以上就是全概率公式和贝叶斯公式的概述，以及两个公式的求法。
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
全概率公式与贝叶斯公式
, i = 1,2,, n.
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元
件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 1 2 3 无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件 , 求它是次品的 概率; 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
= P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
图示
B2
B1
A
B3
Bn1
化整为零 各个击破
Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 , , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2, , n ), 则
例2 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有50%的产品是第一家工厂生产的, 其他 二厂各生产25%. 又知第一、第二家工厂生产的有 2%是次品, 第三家工厂生产的有4%是次品. 现从此 箱中任取一个产品, 求拿到的是次品的概率.
例3
例4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射 击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击 中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机 必定被击落, 求飞机被击落的概率。
§1.6 全概率公式和贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式
三、小结
一. 全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验 E的样本空间, B1 , B2 ,, Bn 为 E 的一组事件 , 若 (i ) Bi B j = , i j , i , j = 1, 2,, n ; (ii ) B1 U B2 U U Bn = S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分 .
15全概率与贝叶斯公式(共18张PPT)
|
A2 )
0.75 0.9
0.9
0.75 0.9 0.25 0.3
P(A1), P(A2)通常(tōngcháng)称为验前概率，P(A1|B), P(A2|B)称为验后概率。
第十一页，共十八页。
例5.某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂占35%, 丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%。如果消费者已经买到一个
0.3623
i1
类似(lèi sì)可得 P(A2|B)=0.4058， P(A3|B)=0.2319．
第十二页，共十八页。
例6. 对目标进行(jìnxíng)三次独立射击，设三次命中率分别是0.4，0.5，
0.7．已知目标中一弹、二弹、三弹被击毁的概率分别是0.2，0.6 和0.8．
求（１）炮击三次击毁目标的概率； （２）已知目标被击毁，求目标中二弹的概率．
§１.5 全概率(gàilǜ)公式与贝叶斯公式
一、全概率(gàilǜ)公式引入 二、全概率公式推导
三、全概率公式应用
四、贝叶斯公式及其应用
第一页，共十八页。
全概率(gàilǜ)公式与贝叶斯公式
一、全概率公式(gōngshì)问题引入
引例(yǐn lì)1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
袋任取２个球放入乙袋，再从乙袋任取２球，求从乙袋取出２个白球的 概率．
②设Ａ、Ｂ、Ｃ三车间生产同一种(yī zhǒnɡ)产品，产量各占25％、35％、40％， 次品率分别为5％、4％、6％，现从中任取１件产品，已知取得的是次品，问
它是Ａ、Ｂ、Ｃ车间生产的概率分别是多少？
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全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' theorem）是概率论中的两个重要公式，用于计算复杂概率问题的解法。
在本文中，我们将详细介绍这两个公式的含义、推导过程和应用。
一、全概率公式（Law of Total Probability）
设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一
个划分，即B1,B2,...,Bn两两互不相交，且它们的并集是整个样本空间S。
则对任何事件A，有如下公式成立：
P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)
其中，P(A，Bi)是条件概率，表示在事件Bi发生的条件下事件A发
生的概率；P(Bi)是事件Bi的概率。
由概率的加法公式可知，P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+…+P(A∩Bn)
利用条件概率的定义，P(A，Bi)=P(A∩Bi)/P(Bi)，将其带入上式中，有
P(A)=P(A∩B1)/P(B1)P(B1)+P(A∩B2)/P(B2)P(B2)+…+P(A∩Bn)/P(B n)P(Bn)
全概率公式的应用非常广泛。
例如，在医学诊断中，假设其中一种疾
病的发病率与其中一种基因的突变有关，而该基因的突变状态是未知的。
根据现有的数据，可以计算出在其中一种突变状态下患病的概率。
全概率
公式可以用来计算该疾病的总发病率，从而为医学诊断提供帮助。
二、贝叶斯公式（Bayes’ theorem）
贝叶斯公式是概率论中的另一个重要公式，是在已知条件下计算事件
的条件概率的一种方法。
该公式基于贝叶斯理论，可以通过已知的事实来
更新假设的概率。
设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一
个划分。
则根据贝叶斯公式，对任何事件A和事件Bi有如下公式成立：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)]
其中，P(Bi，A)是在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，称为
后验概率；P(A，Bi)是在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，称为
似然函数；P(Bi)是事件Bi的概率，称为先验概率。
贝叶斯公式的推导过程如下：
根据条件概率的定义，P(A，Bi)=P(A∩Bi)/P(Bi)
将其改写为P(A∩Bi)=P(A，Bi)P(Bi)
代入全概率公式中，有P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)
将以上两式结合，可以得到贝叶斯公式：
P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)]
贝叶斯公式的应用非常广泛。
例如，在垃圾邮件过滤中，假设B是垃
圾邮件的事件，A是封邮件中包含一些特定关键词的事件。
通过计算已知
关键词的条件下封邮件是垃圾邮件的概率，可以使用贝叶斯公式计算封邮
件是垃圾邮件的后验概率，从而进行分类。
总结：
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式，用于计算复杂
概率问题的解法。
全概率公式通过将复合事件的概率分解为多个互不相交
事件之和，简化了计算过程。
贝叶斯公式则通过已知事实来更新假设的概率，具有实际应用中很大的作用。
这两个公式在医学诊断、垃圾邮件过滤、机器学习等领域都有重要的应用。