初中尺规作图详细讲解(含图)

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。

限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。

最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线;一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交,可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。

用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。

一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。

历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。

直至1837年,万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形。

·只使用直尺和圆规，作正七边形-—这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。

·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决:高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战。

尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==。

3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点.4。

尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单"这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。

1672年，有人证明：如果把“作直线"解释为“作出直线上的2点"，那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出!从已知点作出新点的几种情况:两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出!。

五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1。

做一线段等于已知线段2。

做一角等于已知角3。

做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5。

做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法:⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法。

解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹;若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点。

这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法。

【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图，按照设计要求,发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等,发射塔P 应修建在什么位置？m【分析】 这是一道实际应用题,关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点。

【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ;⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置。

【例2】 在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(4，0),O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ,使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上;二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次,寻找P点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆,与直线有两个点1P 、2P ;当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线,与直线有一交点3P ,所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离,半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切。

rr【分析】 设M ⊙是符合条件的圆,即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上,又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定。

若O ⊙与'O ⊙相距为b ,当2r b <时，该题无解,当2r b =有唯一解;当2r b >时,有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+。

⑵ 分别以O ,'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点. ⑶ 连接1OM ，2OM ,分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点。

⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆。

∴12,M M ⊙⊙即为所求。

【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切,与'O ⊙外切。

”又该怎么作图?⑵ 代数作图法：解作图题时,往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出,然后根据线段长的表达式设计作图步骤。

用这种方法作图称为代数作图法。

【例4】 只用圆规，不许用直尺,四等分圆周（已知圆心)。

【分析】 设半径为1.也就是说用这个长度去等分圆周。

我们的任务就是做出这1的长度自然就出来了。

【解析】 具体做法:⑴ 随便画一个圆。

设半径为1。

⑵ 先六等分圆周。

⑶ 以这个距离为半径,分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点"其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点"形成的是一个底为2,角形.。

） ⑷!【例5】 求作一正方形,使其面积等于已知ABC ∆的面积。

【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ,使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知:在ABC ∆中,底边长为a ，这个底边上的高为h ,求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法：⑴ 作线段12MD a =；⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =； ⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙； ⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ，⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG 。

正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .al【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆,此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆,使得:90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交,此时有两个交点1M ，2M . 1M ，2M 即为所求。

若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M 。

M 即为所求。

若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a 。

⑶ 旋转法作图:有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作:正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上。

c ba D'DCB Acba【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上。

作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出。

【解析】 作法:⑴ 在直线a 上取一点A ,过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B （使B 与'D 在AC 异侧）. ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求。

【例8】 已知:如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上,D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥；⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =（或'PM PE =）;⑷ 过M （或'M ）作MC l ⊥（或'M C l ⊥）,交OA 于C (或'C ）点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥（或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点。