7、作图,轨迹相交法(中速)

A
b h
C
下面介绍作图的具体方法：
通过分析发现，要完成作图，关键是某个点 的位置的确定，而此点是两图形（轨迹）的交点 （线线、线圆、圆圆），一般满足两个条件，暂 时放弃其中一个，则因图形不定而形成轨迹，再 放弃另一个，又形成另一轨迹，两轨迹的交点便 是这个点的位置。
例1：已知底边长,顶角的大小,底边上的高,求作△（课本习题）
a
H
只算一解。）
作法：（１）作线段
ＢＣ=a
（２） 作到BC之距为ha 的平行线L （３）作弧BC(α)，设L和弧BC(α)的交点为Ａ （４）连ＡＢ，ＡＣ则 △ABC 为所求 证明：由作法知 BC=a ∠A=α BC边上的高AH= ha 满足条件，所以 △ABC为所求 讨论：当L和弧BC(α)有交点时，有一解 当L和弧没有交点时，无解
分析：假设△ABC已作出，（如图） 关键点A，满足条件 (1) ∠A=α (2) AB+AC=m 放弃（2）轨迹为两弧 放弃（1）轨迹为?
α D
关键是确定D 确定D继续用轨迹相交法： D满足条件（１）∠D=α/2 （２）DB =m 放弃（1）轨迹为一圆 放弃（2）轨迹为两弧
Ｂ
2 Ａ α
Ｃ
作法：（１）作线段 ＢＣ＝a （２）作圆⊙B（m) （３）作弧BC(α/2) , 设圆和弧的交点为D （４）连ＢD，ＣD， 作CD的中垂线交BD于A （5）连 AＣ，则△ABC为所求 证明：由作法知 BC=a
Ｂ M
ma
ha
H
Ｃ
练习: （因时间而定） 2、已知底边的长，顶角的大小，另一边上中线的长求 作三角形。
已知 : 定长线段a、mb , 定角α 求作: △ABC 使BC=a ,∠B=α AC边上的中线BM= mb 分析：假设△ABC已作出（如图）
B Ａ ɑ M
C
（课本例题）
分析：假设△ABC已作出（如图） （１） ∠A=α （２） BM=mb 放弃（２）轨迹为两段弧 放弃（１）轨迹为? 其实条件BM=mb 不是关于A点的， 是关于B点的， A点的要继续挖掘： 加倍延长CB到O， 则O为定点， 而 OA=2BM=2mb 为定值， 所以A又在⊙O（2mb ）上
A
L
a B C
分析步骤： 1）先找关键点 2）再写出关键点满足的两个条件 3）放弃条件1得一条轨迹 4）放弃条件2又得一条轨迹 5）两轨迹交点即是。
例2：已知底边长,顶角的大小,其余二边的平方和 ,求作△
已知 : 定长线段a、m 定角α 求作: △ABC 使BC=a ∠A=α
① ∠A=α ② AB+AC =m２
∠A=α，AB+AC=m
D
A B C
满足条件， 所以△ABC为所求 讨论：当圆和 弧有交点时，有一解 当圆和弧没有交 点时，无解
练习：已知底边长, 底边上的高、中线，求作△ 已知 : 定长线段 a、ha、 ma 求作: △ABC 使BC=a, BC边上的高AH=ha, Ａ 中线AM=ma
分析： A既在距Βιβλιοθήκη C为ha的两平行线上 又在⊙M（ma）上
一道看似简单的作图成法：
4）过一点作已知直线的平行线. (方法很多，用不同的定理产生不同的方法）
作法： （1）作⊙A设交a于B、C （2）作⊙C（BC）设交 a于D （3）作⊙C（AB）和⊙D（AB） 设交于E（与A同侧） （4）连AD即得
B C
.
A
E
。
D
a
1）定位：图必须作在指定位置； 2）不定位：只要作出图，位置不限； 3）定位作图一个图一个解，不定位作图作出的 只要全等只算一个解
关键点Ａ，满足条件
Ａ ɑ M C
o
B
下 课！
B 。 M
C
A
例3：已知底边长,顶角的大小,其余二边的 和 ,求作△（课本习题）
已知: 定长线段a、m，定角α 求作:△ABC，使BC=a，∠A=α，AB+AC=m 分析：假设△ABC已作出（如图） 关键点Ａ，满足条件
Ａ α
① ∠A=α
②AB+AC=m
Ｂ Ｃ
放弃②轨迹为两弧 放弃①轨迹为? （椭圆？）
先作底边长为a的△，再作其中两边的中垂线得外接圆 α 心，最后在外接圆上处于BC间的弧即是。 已知 : 定长线段a、 定角α
a 求作：弧BC，使其 BC=a, 内接角∠BAC=α 作法： A （1）作∠B1AC1=α α （2）以BA1上一点B为圆心， O 作圆⊙B（a）设交AC1于C， （3）连BC，作BC、AB的 B C 中垂线设交点为O， B1 C1 （4）作⊙O（OB）即得 （注意：虽然能作无穷个满足以上条件的△，但这些△的外 接圆是同一个）
解作图题的步骤：
（1）分析：假设图已作出，研究已知，得出线索。
（象证明题中的分析）
（2）作法：根据线索，按步设计作图方法
（每一步就是一个作图成法或公法）
（3）证明：验证所作图形确实合乎条件 （4）讨论：存在性，解的情况（多寡，定与不定）
例：已知两边及其中一边的对角，求作
已知 : 定长线段b、c , 定角α 求作: △ABC 使AB=c ,AC=b , ∠B=α 分析：假设△ABC已作出，（如图）先作∠A1BC1=α 再截 AB=c ，再截 AC=b 作法：（１）作∠A1BC1=α （２） 作 ⊙B（C）设其交BA1于A （３）作 ⊙A（b）设其交BC1于C ɑ B （４）连ＡＣ则 △ABC 为所求 证明：由作法知： AB=c ,AC=b , ∠B=α 满足条件， 所以 △ABC为所求
△
A1 A c b
C
C1
为什么要讨论，是因为因为没有刻度，就如同老板让你
买个电视，既不给你说价钱，又不给你说大小，你要问就会
开除你，你只好把各种情况都说给他：如果你给我的钱数少 于500元，那我买不来，如果多于500元，则当 … … 当 ……
讨论：1、若ɑ为锐角，则 （1）b<h 时无解(h=csinɑ) （2）b=h 时一解 (3) h<b<c 时二解（一为锐角△，一为钝角△） （4）c=b时一解 ，等腰△ （5）b>c时一解 (另一钝角△不合条件） 2、若ɑ为直角，则 （1）b≤c 时无解 c (2) b>c 时一解 (所成二直角△全等） 3、若ɑ为钝角，则 （1）b≤c 时无解 (2) b>c 时一解 (是钝角△） B ɑ
２ ２
AB+AC =m２
Ａ α
２
２
分析：假设△ABC已作出，（如图） 关键点Ａ，满足条件
放弃①轨迹为一圆 （半径为中线长=
1 2 2m a
2 2
）
放弃②轨迹为两段弧
Ｂ
。
M
Ｃ
其交点便是A
作法：（１）作线段 ＢＣ=a
2 2
取ＢＣ中点Ｍ
（２）作圆⊙Ｍ（ 1 2 m a ) 2 （３）作弧BC(α) ,设圆和弧的交点为Ａ （４）连ＡＢ，ＡＣ 则 △ABC 为所求 ２ ２ 证明：由作法知 BC=a ∠A=αAB+AC=m２ 满足条件，所以△ABC为所求 讨论： 当圆和弧有交点时，有一解 当圆和弧没有交点时，无解
2
（课本上就这16条，有些教材上是27条，还有33条的） （现行初中教材的要求是成法中的作角平分线、中垂线、三 角形等）
例1：分一线段成若干等分
例2：作三已知线段的第四比例项 （a:b=c:x) 例3：作两已知线段a、b的比例中项（a:x=x:b)
a b
c
。
x
a+b
例4：求作已知圆的圆心。
o
例5：已知弧的弦长和其内接角，求作弧
11）内分或外分一已知线段成已知比 12）作三已知线段的第四比例项 （a:b=c:x )
13）作两已知线段a、b的第三比例项（a:b=b:x )
14)作两已知线段a、b的比例中项（a:x=x:b ) 15)已知线段a、b,求作线段：x=√a+b
2 2 2
16)已知线段a、b,求作线段：x=√a-b
已知 : 求作: 定长线段a、ha, 定角α △ABC 使 BC=a ∠A=α BC边上的高 AH=ha
Ａ
分析：假设△ABC已作出，关键点Ａ，满足条件： ①∠A=α ② AH=ha 放弃条件①轨迹为BC的两条平行线 放弃条件②轨迹为两段弧 其交点便是A
Ｂ
α
ha
Ｃ
（从图上看能作出四个三角形 但因为是不定位作图，所以
数学上实数和虚数都是真 实的数，
奋斗中成功与失败都是生 命的歌！
（1）距两定点距离等远的点的轨迹，是连线段的中垂线 （2）距定角的两边距离相等的点的轨迹，是定角的平分线 （3）距两定平行线等远的点的轨迹，是其公垂线段的中垂线
（4）距定直线之距为定长的轨迹，是距定直线为定长的两平行线
（5）距定点等于定长的点的轨迹是以定点为圆心， 定长为半径的圆
(相当于证明题中的定理)
1)作一个角等于给定角 2）已知：（1）三边；（2）两边及夹角； （3）两角及一边； 求作三角形 3）过一点作已知直线的垂线 4）过一点作已知直线的平行线 5）平分一角 6）平分一弧 7）作定线段的中垂线 8）分一线段成若干等分 9）作线段或角的和与差 10）已知弓形的弦长和其内接角，求作弓形弧
（限制了工具，有些图就作不出）。
2）作图公法： （1）过两点可作一直线； （2）已知圆心和半径可作圆； （3）已知直线和圆可求交点； 另外规定平面上可以任意取点
3）作图工具的功能： （1）画线：用直尺作公法1中的直线； （2）作圆：用圆规作公法2中的圆； （3）求交点：用直尺和圆规作公法3中的交点
（6）对定线段的视角为定角的点的轨迹，（0﹤α≦90°）
是以定线段为弦，内接角为定角的两段弧
6) 对定线段的视角为定角的点的轨迹是 以定线段为弦内接角为定角的两段弧.