(完整word版)自控 根轨迹法习题及答案

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第四章 根轨迹法习题及答案

1系统的开环传递函数为

)

4)(2)(1()()(*

+++=s s s K s H s G

试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*

K 和开环增益K 。

解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。

对于31j s +-=，由相角条件

=∠)()(11s H s G

=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j j

ππ

π

π

-=-

-

-

6

3

2

满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。将1s 代入幅值条件：

14

31231131)(*

11=++-⋅++-⋅++-=

j j j K s H s G ）（

解出 ： 12*

=K ， 2

3

8*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）

2

解 根轨如图解4-2所示：

3 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：

（1）确定)

20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的z 值和*

K 值；

（2）概略绘出)

23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s K s G -+++++=*

的闭环根轨迹图（要求

（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图

图解4-2 根轨迹图

3

确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

解（1）闭环特征方程

020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D

有 0)30()200()(3

2

4

=-++-=*

*

ωωωωωK j z K j D

令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0

300

200324ωωωωK z K

把1=ω代入得： 30=*

K ， 30199=z 。

（2）系统有五个开环极点：

23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==

① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-

② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15

(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩

③ 分离点：

02

312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D

把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*0

5.455.43 )Im(05.795.10)Re(3

52

4ωωωωωωωj K j

解得：

⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3

.1554652.6K ω（舍去）

⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为

74..923..1461359096..751804=----=p θ

由对称性得，另一起始角为

74.92，根轨迹如图解4-6所示。

图解4-6 根轨迹图

4

4 已知控制系统的开环传递函数为

2

2)

94(2)()(+++=*s s s K s H s G ）

（ 试概略绘制系统根轨迹。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： []2,-∞- ② 渐近线：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧±=+=-=--+---=πππϕσ,33)12(323)2(5252k j j a a ③ 分离点：

2

1

5

225

22+=

-++

++d j d j d

解之得：29.3-=d 71.0=d (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

02)94()(22=++++=*

）（s K s s s D

把ωj s =代入上方程，令

⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++-=**

8)72())(Im(0

28134))(Re(3

24ωωωωωωK j D K j D 解得：

⎩⎨⎧=±=*

96

21

K ω ⑤ 起始角： πθ）（）（129022901+=⨯--k p

解出

135,4521-==p p θθ 根轨迹如图解4-7所示。

4-８ 已知系统的开环传递函数为

图解4-7 根轨迹图

5

)

93()(2

++=*

s s s K s G 试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K 值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： (]0,∞- ②起始角：

30-

③渐近线： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧±=+=-=--+-=πππϕσ,33)12(13

6.25.16.25.1k j j a a

④ 与虚轴交点：闭环特征方程

0)9()(2=+++=*K s s s s D

把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=*0

9))(Im(0

3))(Re(3

2ωωωωωj D K j D 解得： ⎩⎨⎧==*00

K ω

⎩

⎨⎧=±=*

273

K ω 根轨迹如图解4-8所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的*

K 范围为270<<*

K ，又

9*K K =，故相应的的K 范围为30<

5单位反馈系统的开环传递函数为

)

5.0)(2()

52()(2-++-=*s s s s K s G

试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K 值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： []5.0,2- ② 分离点：由

图解4-8 根轨迹图