新高考新教材一轮复习人教B版 第九章 第三节 随机事件的概率与古典概型 学案
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《随机事件与概率》ppt课件
从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名，有 C35种情况，其中甲、乙都入选 有 C13种情况，所以甲、乙都入选的概率 P＝CC3513＝130.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 随机事件
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设
射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”， 与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.
教材改编题
2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为
0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的
身高超过175 cm的概率为
A.0.2
知识梳理
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A， 因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_P_(_A_)_＋__P_(B__) _－__P_(A__∩__B_)_.
知识梳理
6.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率fn(A)会逐渐 稳定于 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这 个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A).
知识梳理
(2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形： 必然事件 、 不可能事件 .
知识梳理
2.两个事件的关系和运算
包含关系 相等关系 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容) 互为对立
(人教B版)高三数学理科一轮复习《随机事件的概率与古典概型 》ppt课件(54页)
第60讲 随机事件的概率与古典概型
❖
双 向
固
基
础
❖
一、随机事件的含义
12． ．必 不然 可❖事 能件 事—： 件—在 ：一 在知定 一条 定件 条识下 件， 下梳一， __定一____理定____不发 __—会生 __的 发—事 生件 的． 事件．
3．随机事件：在一定条件下，
___可__能__发__生__也__可__能__不__发___生_________________________________
(2)在相同的条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的
频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，所以可用频率作为概率
的近似值，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，概率是频率
的稳定值．
返回目录
第60讲 随机事件的概率与古典概型
❖
双 向
固
基
础
2．事件之间的关系 (1)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( ) (2)两个事件对立时一定互斥，但两个事件是互斥事件时这两
3．事件 A 与它的对立事件 A 的概率满足 P(A)＋P(A)＝1.
返回目录
第60讲 随机事件的概率与古典概型
❖
双 向
固
基
础
❖
五、古典概型
1．古典概型的特征：(1)有限性：在一次试验中，可能出现 的结果是_有__限___的，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能 性：每个基本事件出现的可能性相___等___．
2．概率的统计定义：一般地，如果随机事件 A 在 n 次试
验中发生了 m 次，当试验的次数 n 很大时，我们可以将发生
的
频
率
m n
作 m
为
(人教A版)高考数学一轮复习精品学案：随机事件的概率与古典概型
2019年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版） 随机事件的概率与古典概型一．【课标要求】1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
二．【命题走向】本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性.预测2019年高考：（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主.三．【要点精讲】1．随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。
由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。
注：当A 和B 互斥时，事件A+B 的概率满足加法公式：P （A+B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A+A ）=P （A ）+P （A ）=1。
高考文科数学第一轮复习教案3(第九章_第一节随机事件的概率)
第九章 概 率第一节随机事件的概率对应学生用书P141基础盘查一 随机事件及概率 (一)循纲忆知1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性． 2．了解概率的意义及频率与概率的区别． (二)小题查验 1．判断正误(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件( ) (2)“方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根”是不可能事件( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (4)不可能事件就是一定不能发生的事件( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．(人教B 版教材习题改编)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：这个射手射击一次，击中靶心的概率约是________． 答案：0.903．(2015·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：29基础盘查二 事件关系与运算 (一)循纲忆知了解两个互斥事件的概率加法公式：当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(二)小题查验1．判断正误(1)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件(2)一个人打靶时连续射击出两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“至多有一次中靶”()(3)事件A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)<1()(4)事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．(人教A版教材例题改编)如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是14，取到方块的概率是14，则取到黑色牌的概率是________．答案：12.3．(2015·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________．答案：78对应学生用书P141考点一随机事件的关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．互斥事件若A∩B为不可能事件(记作：A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．2．对立事件若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，则事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．[提醒]“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．[题组练透]1．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：(1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；(2)至少有一个是奇数和两个都是奇数；(3)至少有一个是奇数和两个都是偶数；(4)至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( ) A ．(1) B ．(2)(4) C ．(3)D ．(1)(3)解析：选C (3)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件．易知其余都不是对立事件．2．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件． 3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( ) A ．至多有一张移动卡 B ．恰有一张移动卡 C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.[类题通法]利用集合方法判断互斥事件与对立事件1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．考点二 随机事件的概率(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．[典题例析](2014·陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解析：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元， 所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.[类题通法]求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有： (1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图法．[演练冲关]假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于 200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.考点三 互斥事件与对立事件的概率(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．互斥事件的概率加法公式如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； 2．对立事件概率公式若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．A 的对立事件记为A ，当计算事件A 的概率P (A )比较困难时，可通过P (A )＝1－P (A )计算．[典题例析]根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3， 又C ＝A ∪B ，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8. (2)因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2.[类题通法]求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．[演练冲关]现有7名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．解：(1)用M 表示“C 1恰被选中”这一事件．从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为： (A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．C 1恰被选中有6个基本事件：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)， 因而P (M )＝612＝12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，由于N ＝{}(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，所以事件N 由两个基本事件组成，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.对应A 本课时跟踪检测(五十五)一、选择题1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235 C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47D ．0.37解析：选A 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.4．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )A.25B.12C.23D.13解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为25.5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A.16，16 B.12，23 C.16，23D.23，12解析：选C “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23.或设“甲不输”为事件A ，则A 可看作是“乙胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23. 6．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，2 B.⎝⎛⎭⎫54，32 C.⎣⎡⎦⎤54，32D.⎝⎛⎦⎤54，43解析：选D由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1⇒⎩⎨⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 二、填空题7．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．解析：法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D ，由题意知事件A ，B ，C 彼此互斥，而事件D 包含事件A 与B ，所以P (D )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为事件D ，由题意知C 与D 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.1＝0.9.答案：0.98．(2015·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________.解析：m 可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大．答案：79．某城市2014年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T 150时，空气质量为轻微污染，则该城市2014年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2014年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：3510．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．解析：由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥9，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．答案：9 三、解答题11．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率． 解：从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个．(1)记事件A 为“取出的两个球都是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故P (A )＝315＝15；记“取出的两个球都是黑球”为事件B ，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.12．黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.第二节古典概型对应学生用书P143基础盘查一古典概型(一)循纲忆知1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(二)小题查验1．判断正误(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为card(A)()card(I)答案：(1)×(2)×(3)√2．(北师大版教材例题改编)小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是________．答案：23243．(2015·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________． 解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为23.答案：234．(2015·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19.答案：19对应学生用书P144考点一 古典概型(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[提醒](1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性； (2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关．[题组练透]1．(2015·浙江模拟)从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：选C 基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是12.2．(2015·广州二模)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A.16B.13C.12D.38解析：选C 能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共6个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是36＝12，故选C.3．(2014·天津高考)某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率． 解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.[类题通法]计算古典概型事件的概率三步骤步骤一：算出基本事件的总个数n ；步骤二：求出事件A 所包含的基本事件个数m ； 步骤三：代入公式求出概率P .考点二 古典概型的交汇命题(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高.归纳起来常见的交汇命题角度有： (1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与函数相结合； (4)古典概型与统计相结合.角度一：古典概型与平面向量相结合1．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{}－1，1，3，y 随机选自集合{}1，3，9. (1)求a ∥b 的概率； (2)求a ⊥b 的概率．解：由题意，得(x ，y )所有的基本事件为(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．(1)设“a ∥b ”为事件A ，则xy ＝－3. 事件A 包含的基本事件有(－1,3)，共1个． 故a ∥b 的概率为P (A )＝19.(2)设“a ⊥b ”为事件B ，则y ＝3x .事件B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个． 故a ⊥b 的概率为P (B )＝29.角度二：古典概型与直线、圆相结合2．(2015·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b 2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.答案：712角度三：古典概型与函数相结合3．设a ∈{}2，4，b ∈{}1，3，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间 ] －∞，－1上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率． 解：(1)f ′(x )＝ax ＋b ，由题意f ′(－1)≤0，即b ≤a ，而(a ，b )共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． ∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足， ∴概率为16.角度四：古典概型与统计相结合4．(2015·洛阳统考)从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350个之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组[)50，100，第二组[)100，150，第三组[)150，200，第四组[)200，250，第五组[)250，300，第六组[]300，350，相应的样本频率分布直方图如图所示：(1)求频率分布直方图中的x 的值；(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的办法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个拔尖工的概率．解：(1)根据题意，(0.002 4＋0.003 6＋x ＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1， 解得x ＝0.006 0.(2)由题知拔尖工共有3人，熟练工共有6人．抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工为4人． 可设拔尖工为A 1，A 2，熟练工为B 1，B 2，B 3，B 4.则从样本中任抽2个的可能有：A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2，B 1B 2，B 1B 3，B 1B 4，B 2B 3，B 2B 4，B 3B 4，共15种，至少有一个是拔尖工的可能有A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2，共9种． 故至少有一个拔尖工的概率是915＝35.[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．对应B 本课时跟踪检测(五十六)[A 卷——夯基保分]一、选择题1．(2015·浙江金丽衢十二校二联)4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12 B.13 C.23D.34解析：选B 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为13.2．(2015·武汉调研)同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( ) A.118 B.112 C.19D.16解析：选C 同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故P (A )＝436＝19.3．(2015·合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.712解析：选A 设2名男生记为A 1，A 2,2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种情况，则发生的概率为P ＝412＝13，故选A. 4.(2015·威海一模)从集合{}2，3，4，5中随机抽取一个数a ，从集合{}1，3，5中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33 A.16 B.13 C.14D.12解析：选A 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个， 故所求的概率为16.5．(2015·亳州质检)已知集合M ＝{}1，2，3，4，N ＝{}(a ，b )|a ∈M ，b ∈M ，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由所求的概率为416＝14.6．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M (x ，y )．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为( )A.16 B.13 C ．1－π12D ．1－π6解析：选A 画出平面区域，列出平面区域内的整数点有：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P ＝16.二、填空题7．(2015·浙江模拟)从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：设2名男生为A ，B,3名女生为a ，b ，c ，则从5名同学中任取2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，故所求的概率P ＝1－610＝25.答案：258.(2015·绵阳诊断)如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．解析：依题意，记题中的被污损数字为x ，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x ＋5)≤0，x ≥7，即此时x 的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P ＝310＝0.3.答案：0.39．(2015·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.答案：51210．设集合P ＝{}－2，－1，0，1，2，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________． 解析：以(x ，y )为基本事件，可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个．若点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{}－1，1，0，用列表法或坐标法可知满足x ∈{}－1，1，0且y ∈{}－1，1，0的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925.答案：925三、解答题11．(2014·福建高考)根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1 035 美元为低收入国家；人均GDP 为1 035～4 085 美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616 美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616 美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为1a(8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 000×0.15a＋3 000×0.10a＋10 000×0.20a)＝6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝310.12．(2015·绵阳诊断)据《中国新闻网》报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人调查(若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”)，就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的。
2020届高三数学一轮复习《随机事件的概率与古典概型》学案
《随机事件的概率与古典概型》学案课前准备 【考纲要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式． 3．理解古典概型及其概率计算公式． 【知识梳理】 12（1）在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数An 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n=为事件A 出现的频率． （2）对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率()P A ，因此可以用频率()n f A 来估计概率()P A ． 34（1）古典概型的两个特点①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ②每个基本事件出现的可能性相同． （2）古典概型的概率公式()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．1．一定会发生，一定不会发生，可能发生也可能不发生．【基础自测】1．（2018新课标Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】10.450.150.4P =--=． 2．（2019滨州质检）从甲、乙、丙3人任选2人，则甲被选中的概率为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】D3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ） A ．65 B ．52 C ．61 D ．31【答案】A【解析】甲不输的概率为115236+=． 4．（2019山西联考）从集合{}1,3,5,7,9A =和集合{}2,4,6,8B =中各取一个数，那么这两个数之和除3余1的概率是（ ） A ．13 B ．15 C ．25 D ．310【答案】D【解析】所有情况有5420⨯=种．满足条件的情况有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4)，共6种， ∴所求的概率632010P ==．课堂互动 【典例剖析】考点一 随机事件的频率与概率 【例1】在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为（ ） A ．49 B ．0.5 C ．0.51 D ．0.49 【答案】C【解析】由题意,根据事件发生的频率的定义可知, “正面朝上”的频率为510.51100=. 【方法技巧】概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．【变式】在运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（ ） A ．310 B ．58 C ．710 D ．25【答案】A【解析】从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)， ∴选出的火炬手的编号相连的概率为310P =. 考点二 互斥事件、对立事件的概率【例2】(2019衡阳模拟) 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ={抽到一等品}，事件B ={抽到二等品}，事件C ={抽到三等品}，且已知()0.65P A =，()0.2P B =，()0.1P C =，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．3 【答案】C【方法技巧】求复杂事件的概率的两种方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率． 【变式】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（ ） A ．至多有一张移动卡 B ．恰有一张移动卡 C ．都不是移动卡 D ．至少有一张移动卡【答案】A【解析】至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.考点三 古典概型命题点1 简单的古典概型 【例3】（2018新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】不超过30的素数为：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个． 随机选取两个不同的数共有45种情况，其中和等于30的有：(7,23),(13,17),(11,19)，3种情况． ∴其和等于30的概率314515P ==． 【方法技巧】求简单古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n ；(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m ；(3)代入公式()mP A n=，求出()P A ． 【变式】(2018深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12 B ．14 C ．13 D ．16【答案】B【解析】两人分书的基本情况有：(0,3)，(1,2)a ，(1,2)b ，(1,2)c ，(2,1)a ，(2,1)b ，(2,1)c ，(3,0)，共8种情况，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的情况有2种，故概率2184P ==． 命题点2 古典概型的交汇命题【例4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A ．310 B ．15 C ．110 D ．120【答案】C【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种，这3个数构成一组勾股数为(3,4,5)，共1个， ∴所求的概率是110P =． 【方法技巧】解决古典概型交汇命题的关注点解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．【变式】(2019洛阳质检)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________．【答案】712【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(,)a b 有，(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种．其中满足直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点，≤，22a b ≤的数组(,)a b 有，(1,1)，(1,2)，(1,3) ，(1,4)，…，(6,6)，共65432121+++++=种， 因此所求的概率等于2173612=. 命题点3 复杂的古典概型【例5】一个盒子中装有标号为1,2,3,4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：(1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．【解析】 (1) 无放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，总数为26⨯个．两张标签上的数字为相邻整数基本事件为(1,2)，(2,3)，(3,4)，总数为23⨯个．∴61122P ==． (2) 有放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)和(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，总数为26416⨯+=个．两张标签上的数字为相邻整数基本事件为(1,2)，(2,3)，(3,4)，总数为23⨯个．63168P ==． 【方法技巧】在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法，以摸球为例，设袋内装有n 个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法．(1)有放回每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法属于有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去．(2)无放回每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法属于无放回的抽样．显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次．【变式】（2019黄山质检）编号分别为1216,,,A A A L 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人． (ⅰ)用运动员编号列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求这2人得分之和大于50的概率． 【解析】(1) 4,6,6．(2)(ⅰ)得分在区间[)20,30内的运动员编号为3A ，4A ，5A ，10A ，11A ，13A ．从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有34{}A A ,，35{}A A ,，35{}A A ,，311{}A A ,，313{}A A ,，45{}A A ,，410{}A A ,，411{}A A ,，413{}A A ,，510{}A A ,，511{}A A ,，513{}A A ,，1011{}A A ,，1013{}A A ,，1113{}A A ,，共15种．(ⅱ)“从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人， 这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有45{}A A ,，410{}A A ,，411{}A A ,，510{}A A ,，1011{}A A ,，共5种．∴51()153P B ==．【课时作业】1．（2019郴州二测）甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是（ ） A ．1 B ．16 C ．12 D ．13【答案】D 【解析】2163P ==． 2．（2019肇庆质检）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．16【答案】B【解析】两位数为12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12种情况，满足条件的数13，31，24，42，故所求的概率41123P ==． 3．（2018新课标Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） A ．0.6 B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D【解析】2名男同学，记为12,A A ，3名女同学，记为123,,B B B ．从这5人中任中任选2人的基本事件有：12111213(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B ，共10种．2人都是女同学的事件有：12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B ，共3种．∴选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==． 4．（2019深圳质检）一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x 、y 、z ，当且仅当y x >，y z >时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合{1,2,3,4}中取出三个不同的三个数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A ．23 B ．13 C ．16 D ．112【答案】B【解析】从{1,2,3,4}中任取3组成的三位数有24个， 其中三位数是“凸数的有8个，∴所求的概率是81243P ==．5．（2018江苏高考）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．【答案】3 10【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3 10．6．（2019海南八校）从某班5位老师中随机选两位老师值班,有女老师被选中的概率为710,则在这5位老师中,女老师有_______人．【答案】2【解析】假设女老师有1人，则女老师被选中的概率为410，不合题意．假设女老师有2人，通过列举便知有女老师被选中的概率为7 10．7．（2018天津高考）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A B C D E F G,,,,,,表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【解析】由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（2）（ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ⅱ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．∴事件M发生的概率为5 ()21 P M ．8．（2019雅礼中学）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分． 两人4局的得分情况如下：（1）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求y x +的值；（2）如果6,10x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为,a b ，求a b ≥的概率．【解析】（1）由题意得79669944x y ++++++>，即14x y +>． ∵在乙的4局比赛中随机选取1局时， 此局得分小于6分的概率不为零， ∴,x y 至少有一个小于6， ∵10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ， ∴15x y +≤，∴15x y +=．（2）设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足a b ≥”为事件M ， 记甲的4局比赛为1234,,,A A A A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1234,,,B B B B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：11()A B ，12()A B ，13()A B ，14()A B ，21()A B ，22()A B ，23()A B ，24()A B ，31()A B ，32()A B ，33()A B ，34()A B ，41()A B ，42()A B ，43()A B ，44()A B .而事件M 的结果有8种，它们是：13()A B ，23()A B ，31()A B ，32()A B ，33()A B ，41()A B ，42()A B ，43()A B ， 因此事件M 的概81()162P M ==．。
2025年新高考数学一轮复习-9.3-随机事件的概率与古典概型【课件】
0.98，从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是
.
解析：由结论可知：P＝0.2×（1－0.95）＋0.25×（1－0.96）＋0.3×（1－
0.97）＋0.25×（1－0.98）＝0.034.
答案：0.034
.
解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P
（A）＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为1－0.65＝0.35.
答案：0.35
若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P
（A2）＋…＋P（An）.
某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的
9.3-随机事件的概率与古典概型
1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机
事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.
2.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.
4.结合实例，会用频率估计概率.
CONTENTS
01
知识·逐点夯实
02
考点·分类突破
03
课时·过关检测
/目录
01
1.随机事件
（1）事件的相关概念
（2）概率和频率
①在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A
出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝ 为事件A出
现的频率；
02
高考数学一轮复习第九章概率与统计第3讲随机事件的概率课件理
考点 3 互斥事件、对立事件的概率 例 3：(1)在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C， D的概率分别为 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( ) A.A∪B 与 C 是互斥事件，也是对立事件 B.B∪C 与 D 是互斥事件，也是对立事件 C.A∪C 与 B∪D 是互斥事件，但不是对立事件 D.A 与 B∪C∪D 是互斥事件，也是对立事件
3.事件的关系与运算
关系与运算
定义
若事件 A 发生，则事件 B 一定发生， 包含关系 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A
包含于事件 B)
相等关系
若 B⊇A，且 A⊇B
并事件 (和事件)
若某事件发生当且仅当事件 A 发生或 事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与 事件 B 的并事件(或和事件)
第3讲 随机事件的概率
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解 概率的意义，了解频率与概率的区别.
2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
1.随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必 然事件. (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的 不可能事件. (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件. (4)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件. (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A，B， C……表示.
考点 2 随机事件的频率与概率 例 2：(2015 年陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
高三数学教案： 随机事件的概率与古典概型
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座2019随机事件的概率与古典概型一．课标要求：1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
二．命题走向本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性。
预测07年高考：（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主。
三．要点精讲1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。
由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。
注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三节随机事件的概率与古典概型课程标准解读1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.4.结合实例，会用频率估计概率.[知识排查·微点淘金]知识点一样本空间与随机事件1．样本空间我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．2．随机事件：如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集．而且：若试验的结果是A中的元素，则称A发生(或出现等)；否则，称A不发生(或不出现等)．随机事件也可用自然语言描述：在一次试验中，可能发生，也可能不发生的事件．随机事件可以用集合表示，也可以用语言描述．3．必然事件、不可能事件、基本事件任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件．只含有一个样本点的事件称为基本事件．知识点二事件的关系与运算定义符号表示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)事件的和给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)A∪B(或A＋B) 定义符号表示事件的积给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积A∩B(或AB)(或交)互斥事件给定事件A ，B ，若事件A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互斥 A ∩B ＝∅对立事件给定样本空间Ω与事件A ，则由Ω中所有不属于A 的样本点组成的事件称为A 的对立事件，记作AA ∩B ＝∅，且A ∪B ＝Ω(Ω为全集)知识点三 随机事件的频率与概率1．频数与频率：在相同的条件S 下进行n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比值f n (A )＝n An 为事件A出现的频率．2．概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，则把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．[微提醒]频数是一个整数，其取值范围为0≤n A ≤n ，n A ∈N ，因此随机事件A 发生的频率f n (A )＝n An的可能取值介于0与1之间，即0≤f n (A )≤1. 知识点四 概率的基本性质 1．P (A )≥0.2．P (Ω)＝1，P (∅)＝0. 3．互斥事件的概率加法公式(1)在一次试验中，如果事件A 和事件B 是互斥事件，那么有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).特别地，P (A )＝1－P (A ).(2)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 是两两互斥事件，那么有P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).4．对任意事件A ，B 则有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB ). 5．如果A ⊆B ，那么P (A )≤P (B )． 知识点五 古典概型 1．古典概型的特点2．古典概型的概率公式假设样本空间含有n 个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为1n .此时，如果事件C 包含有m 个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P (C )＝mn.[微思考]1．随机事件A ，B 互斥与对立有何区别与联系？提示：当随机事件A ，B 互斥时，不一定对立；当随机事件A ，B 对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．若事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，怎样计算这n 个事件的和发生的概率？ 提示：此时P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)随机事件和随机试验是一回事．( )(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( )(5)从市场上出售的标准为500±5g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( )(6)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√2．(链接人B 必修第二册P 101例2)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是14，取到梅花的概率是14，则取到红色牌的概率是( )A.18B.14C.12D.34 答案：C3．(链接人B 必修第二册P 106例5)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________.答案：354．(混淆频率与概率)给出下列三个命题，其中正确命题有__________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案：05．(混淆“等可能性”与“非等可能性”)任意掷两枚骰子，则： (1)出现点数之和为奇数的概率为__________. (2)出现点数之和为偶数的概率为__________. 答案：(1)12 (2)12一、基础探究点——随机事件(题组练透)1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.2．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是__________________，互为对立事件的是________.解析：设I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅，故A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 为互斥事件．而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝I ，故B 与D 互为对立事件．答案：A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D B 与D判断互斥、对立事件的两种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件集合法①由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集二、综合探究点——用随机事件的频率估计概率(师生共研)[典例剖析][例1]有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示，所用时间(天数)10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为()A．公路1和公路2B．公路2和公路1C．公路2和公路2 D．公路1和公路1[解析]选A通过公路1到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.2,0.4,0.2,0.2；通过公路2到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.1,0.4,0.4,0.1，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1,2将货物运往城市乙．B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1,2，将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A最好选择公路1，汽车B最好选择公路2.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．[学会用活]1．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.三、综合探究点——互斥事件、对立事件的概率(思维创新)[典例剖析][例2] A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层随机抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表(单位：小时)：B 班 6 7 8 9 10 11 12C 班34.567.5910.51213.5(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．[解] (1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C 班抽8个，故抽样比k ＝20100＝15，故C 班有学生8÷15＝40(人)．(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40(种)情况，而且这些情况是等可能的．当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况．故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P ＝2＋3＋3＋3＋440＝38.求互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)[学会用活]2．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解：(1)易知P (A )＝11000，P (B )＝1100，P (C )＝120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ＋B ＋C .因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (M )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501000＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎫11000＋1100＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.四、应用探究点——古典概型(师生共研)[典例剖析][例3] (1)(2021·攀枝花统考)部分省份在即将实施的新高考中将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，如果他们都对后面四科的选择没有偏好，则他们所考六科中恰有五科相同的概率为( )A.23B.12C.13D.16[解析] 选A 新高考中将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，他们都对后面四科的选择没有偏好，样本空间共包含n ＝C 24C 24＝36个样本点，他们所考六科中恰有五科相同包含的样本点个数为m ＝C 24C 12C 12＝24，∴他们所考六科中恰有五科相同的概率为 p ＝m n ＝2436＝23.故选A.(2)(2021·合肥一模)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( )A.45B.1925C.2350D.41100[解析] 选C 分两种情况，第一种第一次摸到连号， 则概率为P (A )＝4C 25＝25，第二种情况对应概率为P (B )＝C 25－4C 25·1C 25＝350，所以概率为P (A )＋P (B )＝25＋350＝2350，故选C.1．古典概型的概率求解步骤 (1)求出所有样本点的个数n ；(2)求出事件A 包含的所有样本点的个数m ； (3)代入公式P (A )＝mn 求解．2．样本点个数的确定方法(1)列举法：此法适合于样本点个数较少的古典概型；(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法； (3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中样本点个数的探求；(4)运用排列组合知识计算．[学会用活]3．(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( ) A.13 B.25 C.23`D.45解析：选C 先考虑基本事件的总数，4个1和2个0排成一行，即6个数字排成一行，所以问题可转化为从6个位置中选择2个位置放0，共有C 26＝15个样本点，再考虑2个0不相邻的排法，4个1排成一行，共有5个缝隙(考虑两端)，所以只需从这5个缝隙中选取2个缝隙放0即可，故有C 25＝10个样本点．因此2个0不相邻的概率p ＝1015＝23.故选C. 概率与数学文化[情境素材]《易经》是我国浩如烟海的先秦古籍中一部最具魅力的经典，古代经学家曾把它列为群经之首．湖南教育出版社出版的普通高中教科书《数学》(主编：张景中)在讲授排列组合时，介绍了《易经》中的易卦(第一册第194页)，这对开阔学生眼界，加强学生应用数学于实际(科学、文化、生活)的能力，都有不可低估的作用．卦是《易经》中特有的符号，它是由两种不同的符号“——”和“－－”构成的．“——”叫做阳爻，“－－”叫做阴爻，阳爻和阴爻统称为爻．每一个卦都有专门的名称．如传统的易学研究认为，由六个爻组成的易卦是由两个三爻的卦上下重叠而成的．所以自古以来便有“伏羲画卦，文王重卦”的说法．三爻的卦共有8个，称为“八经卦”，它们是：经卦也称为单卦，易卦则称为重卦．由排列组合知，由8个经卦两两重叠而成的重卦有82＝64个．一个六爻的重卦还可以看成是由三个二爻卦叠合而成的，二爻的卦共有四个，称为四象，它们也有专门的名称：由排列组合知，这样的卦有43＝64个．[情境命题][典例] 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.1116[思维导引] 求出重卦的基本事件总数及恰有3个阳爻的基本事件的数量，利用古典概型求解．[解法探究] “重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是“住店”问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻共有26个样本点，其中6爻中恰有3个阳爻的情况有C 36个样本点，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为C 3626＝516，故选A. [答案] A本题以《周易》“易卦”为背景，考查古典概率的计算问题．理解题意，建立概率模型，利用排列组合知识求概率．。