2018年人教版九年级下第28章锐角三角函数单元测试含答案
第28章锐角三角函数
一、选择题
1、如图，在△ABC中,∠C=90°，AB=15，sinB=, 则AC等于（)
A、 3
B、 9
C、 4
D、 12
2、三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是()
A、 cos43°＞cos16°＞sin30°
B、 cos16°＞sin30°＞cos43°
C、 cos16°＞cos43°＞sin30°
D、 cos43°＞sin30°＞cos16°
3、把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦值（）
A、不变
B、缩小为原来的
C、扩大为原来的3倍
D、不能确定
4、如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于（ )
A、 B、 C、 D、
5、如图,沿AC方向修山路,为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=145°，BD=500米,∠D=55°，使A、C、E在一条直线上,那么开挖点E与D的距离是(）
A、 500sin55°米
B、 500cos35°米
C、 500cos55°米
D、 500tan55°米
6、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β,若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是()
A、tanα＜tanβ
B、sinα＜sinβ
C、cosα＜cosβ
D、cosα＞cosβ
7、如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m,上弦AB=BC，∠BAC=25°.若用科学计算器求上弦AB的长,则下列按键顺序正确的是()
A、B、
C、D、
8、已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB.则∠α的余弦值为（）
A、B、C、D、 1
9、如图，在等腰Rt△ABC中,∠C=90°，AC=3,D是AC上一点。
若tan∠DBA=，则AD的长为(）
A、 2
B、
C、
D、 1
10、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m,200 m;线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝( ）
A、甲的最高
B、乙的最低
C、丙的最低
D、乙的最高
11、数学活动课上,小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF , 尺寸如图. 如果两个三角形的面积分别记作S △ABC、S△DEF ，那么它们的大小关系是(）
A、S△ABC＞S△DEF
B、S△ABC＜S△DEF
C、S△ABC=S△DEF
D、不能确定
12、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1、5m，那么这棵树高是(）
A、m
B、m
C、m
D、 4 m
二、填空题
13、用计算器求tan35°的值，按键顺序是________ .
14、若cosA=0、6753，则锐角A=________（用度、分、秒表示）。
15、设α是锐角,如果tanα=2,那么cotα=________。
16、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=, EC=2,P是AB边上的一个动点,则线段PE的长度的最小值是________ 。
17、如果在一个斜坡上每向上前进13米,水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=________
18、在等腰三角形ABC中,当顶角A的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边（即腰AB或AC）的比值
也确定了,我们把这个比值记作T(A)，即T(A）= = 。
例：T(60°）=1,那么T(120°）
=________。
19、一般地，当α、β为任意角时，sin(α+β）与sin（α﹣β)的值可以用下面的公式求
得:sin(α+β)=sinα•cosβ+cosα•sinβ;sin（α﹣β)=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ.例如sin90°=sin(60°+30°）
=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°= × + × =1.类似地,可以求得sin15°的值是________.
20、如图,在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上,则∠AOB的正弦值是________.
三、解答题
21、计算:sin218°+cos45°•tan25°•tan65°+sin72°•cos18°.
22、南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察.一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处,观察A岛周边海域.据测算，渔政船距A岛的距离AB长为10海里。
此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号.渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？（参考数据：sin37°≈0、60,cos37°≈0、80,sin50°≈0、77，cos50°≈0、64，sin53°≈0、80,cos53°≈0、60,sin40°≈0、64，cos40°≈0、77）
23、一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向上的点A处,在A正东方向上距离20海里的有一点B处,在灯塔P 南偏西45°方向上,求A距离灯塔P的距离.
（参考数据：≈1、732，结果精确到0、1)
24、如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度,AB=10米,AE=15米。
（1）求点B距水平面AE的高度BH;
（2）求广告牌CD的高度。
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据: ）
参考答案
一、选择题
B C A A C C B A D D C A
二、填空题
13、先按tan，再按35，最后按=
14、47°31′12″
15、
16、4、8
17、1：2、4
18、
19、
20、
三、解答题
21、解:sin218°+cos45°•tan25°•tan65°+sin72°•cos18°
=sin218°+×1+cos218°
=1+.
22、解：过B点作BD⊥AC,垂足为D。
根据题意,得:∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°,
在Rt△ABD中，
∵cos∠ABD= ,
∴cos37°= ≈0、80，
∴BD≈10×0、8=8（海里)，
在Rt△CBD中，
∵cos∠CBD= ，
∴cos50°= ≈0、64,
∴BC≈8÷0、64=12、5(海里）,
∴12、5÷30= (小时）,
∴×60=25(分钟)。
答：渔政船约25分钟到达渔船所在的C处。
23、解：如图:
∵AC⊥PC,∠APC=60°，∠BPC=45°,AB=20,
在△PBC中，∵∠BPC=45°,
∴△PBC为等腰直角三角形,
∴BC=PC,
设BC=PC=x,则AC=20+x,
在Rt△APC中,
∵tan∠APC=，
∴=,
∴x=10（+1）（海里）.
在Rt△APC中,
∵∠A=30°,
∴PA=2PC=20（+1)≈54、6(海里）
答：A距离灯塔P的距离为54、6海里。
24、（1）解:过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABF中,i=tan∠BAH=
∴∠BAH=30°，∴BH= AB=5;
（2)解:由（1)得:BH=5，AH=5 ,∴BG=AH+AE=5 +15，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5 +15。
Rt△ADE中，∠DAE=60°,AE=15,∴DE= AE=15 .
∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2。
7m. 答：宣传牌CD高约2。
7米。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)单元测试1(含解析)
人教版九下第28章锐角三角函数单元测试一、选择题（共10小题）1. 在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=2，那么下列各式中正确的是( )A. tan A=13B. cot A=13C. sin A=13D. cos A=132. 如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是( )A. CD=AB⋅tan BB. CD=AD⋅cot AC. CD=AC⋅sin BD. CD=BC⋅cos A3. 在Rt△ABC中，sin A的值为12，则cos A的值等于( )A. 12B. 22C. 32D. 34. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为( )A. 13B. 3 C. 1010D. 310105. 如图，点E在矩形ABCD的边CD上，AB=2BC，则tan∠CBE+tan∠DAE的值是( )A. 2B. 2+3C. 2−3D. 2+236. 在△ABC中，AB=23，∠BAC=30∘．下列线段BC的长度不能使△ABC的形状和大小都确定的是( )A. 2B. 4C. 3D. 237. 如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC=13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物 EF ，在建筑物顶端 F 处测得信号塔顶端 D 的仰角为 37∘（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔 CD 的高度约是 ( )（参考数据：sin37∘≈0.60，cos 37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）A. 22.5 米B. 27.5 米C. 32.5 米D. 45.0 米8. 如图，某梯子长 10 米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 α 时，梯子顶端靠在墙面上的点 A 处，底端落在水平地面的点 B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 β，已知 sin α=cos β=35，则梯子顶端上升了 ( )A. 1 米B. 1.5 米C. 2 米D. 2.5 米9. 在 Rt △ABC 中，AC =8，BC =6，则 cos A 的值等于 ( )A. 45B. 74C. 45 或 74D. 45 或 27710. 如图，电线杆 CD 的高度为 ℎ，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直，∠CAB =α（A ，D ，B 三点在同一条直线上），则拉线 BC 的长度为 ( )A. ℎsin αB. ℎcos αC. ℎtan αD. ℎ⋅cos α二、填空题（共8小题）11. 如果在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 (3,4)，射线 OP 与 x 轴的正半轴所夹的角为 α，那么 α 的余弦值等于 ．+∣tan B−3∣=0，那么△ABC的形状是．12. 若cos A−1213. 如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG=．14. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD=3EC，那么AD:AB的值是．15. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45∘的传送带AB调整为坡度i=1:3的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是42 m，那么新传送带AC的长是m．16. 如图，某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30∘，∠BCA=90∘,台阶的高BC为2 m，那么m长的地毯恰好能铺好台阶（精确到0.1 m；参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．17. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=40∘，∠E=140∘，AB=EF=5，BC=DE=8，则这两个三角形面积的大小关系为S△ABC S△DEF（填“>”“=”或“<”）．18. 如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在，则矩形ABCD 边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF⋅AD=15，tan∠BNF=52的面积为．三、解答题（共6小题）19. 计算：4sin260∘−2sin30∘−cot45∘．tan60∘−2cos45∘20. 已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A(4,0)，B(−2,0)，与y轴交于点C，求∠ACB的正切值．21. 如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，连接BD交AC边于点F．（1）如果∠ABD=∠CAD，求证：BF2=DF⋅DB；（2）如果AF=2FC，S四边形ABCD=18，求S△DCF的值．22. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6 m，坡度i=1:3，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70∘，点B到旗杆底部C的距离为4 m．（参考数据：sin70∘≈0.94，cos70∘≈0.34，tan70∘≈2.75，结果精确到1 m）（1）求斜坡AB的坡角α的度数；（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．23. 由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30∘和60∘（如图所示），试确定生命所在点C的深度（参考数据：2≈1.414，3=1.732，结果精确到0.1）24. 如图所示，一幢楼房AB的后面有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60∘时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（参考数据：3≈1.73）（1）求楼房的高度约为多少米；（结果精确到0.1米）（2）过了一会儿，当α=45∘时，小猫（填“能”或“不能”）晒到太阳．答案1. A【解析】∵∠C=90∘，BC=6，AC=2，∴AB=62+22=210．A．tan A=BCAC =26=13，正确；B．cot A=ACBC =62=3，故不正确；C．sin A=BCAB =2210=1010，故不正确；D．cos A=ACAB =6210=31010，故不正确．2. D3. C【解析】∵sin A=12，∴∠A=30∘，∴cos A=cos30∘=32．故选C．4. D【解析】由题意知OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=32+42=5，∴AC=AB=5，∴OC=AC−AO=1，在Rt△BOC中，BC=OC2+OB2=12+32=10，∴sin C=OBBC =310=31010．5. A6. A【解析】如图（1），过点B作BD⊥AC于点D，×23=3，则BD=AB sin30∘=12故当BC=3，即点D与点C重合时，△ABC的形状和大小唯一确定，即C选项不符合题意；当BC=2时，如图（2），则BC1=BC2=2，此时△ABC1与△ABC2的形状和大小不相同，即选项A符合题意；当BC=23时，△ABC是等腰三角形，如图（3），此时△ABC的形状与大小确定，故选项D不符合题意；当BC=4时，如图（4），△ABC是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B不符合题意．7. B8. C【解析】如图所示，在Rt△ABC中，AC=sinα×AB=35×10=6（米）；在Rt△DEC中，DC=cosβ×DE=35×10=6（米），EC=DE2−DC2=100−36=8（米）；∴AE=EC−AC=8−6=2（米）．9. C【解析】存在两种情况：①当AB为斜边时，∠C=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2+BC2=82+62=10．∴cos A=ACAB =810=45，②当AC为斜边时，∠B=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2−BC2=82−62=27，∴cos A=ABAC =278=74．综上所述，cos A的值等于45或74．10. B11. 35【解析】过P作PA⊥x轴于A，∵P(3,4)，∴PA=4，OA=3，由勾股定理得：OP=5，∴α的余弦值是OAOP =35．答案为：35．12. 等边三角形【解析】由题意得cos A−12=0，tan B−3=0，∴cos A=12，tan B=3，∴∠A=60∘，∠B=60∘，∴∠C=60∘，∴△ABC的形状是等边三角形．13. 12【解析】设BC=a，则AC=2a．∵正方形ACDE，∴EC=(2a)2+(2a)2=22a，∠ECD=12∠ACD=45∘．同理：CG=2a，∠GCD=12∠BCD=45∘．∴tan∠CEG=CGCE =2a22a=12．14. 2315. 8【解析】作AD⊥直线CB于点D，∵∠ABD=45∘，∴AD=BD，∵AB=42，∴AD=BD=AB sin45∘=42×22=4，∵新传带AC的坡度i=1:3，∴ADDC =4DC=13，则DC=43，∴AC=AD2+DC2=8(m)．16. 5.517. =【解析】如图1，过点D作DH⊥EF，交FE的延长线于点H，∵∠DEF=140∘，∴∠DEH=40∘．∴DH=sin∠DEH⋅DE=8sin40∘，∴S△DEF=12EF⋅DH=20sin40∘．如图2，过点A作AG⊥BC于点G．∵AG=sin B⋅AB=5sin40∘，∴S△ABC=12BC⋅AG=20sin40∘，∴S△DEF=S△ABC．18. 155【解析】由折叠的性质可得AE=EF，AD=DF，AN=NF，∠EAN=∠EFN，∴∠BEF=2∠EAN．在Rt△ABF中，∵AN=NF，∴BN=AN=NF，∴∠EAN=∠EBN，∠BNF=2∠EAN，∴∠BEF=∠BNF，∵tan∠BNF=52，∴tan∠BEF=52，∴BFBE =52，设BF=5k(k>0)，则BE=2k，∴AE =EF =BF 2+BE 2=3k ，∴AB =CD =5k ．由折叠的性质可得 ∠EFD =∠EAD =90∘，∴∠BFE +∠CFD =90∘，又 ∵∠BEF +∠BFE =90∘，∴∠CFD =∠BEF ．∴ 在 Rt △CFD 中，tan ∠CFD =CD CF =52， ∴CF =25k ，∴AD =BC =35k ．∵BF ⋅AD =15，∴5k ⋅35k =15，解得 k =1（会去负值），∴AB =5，BC =35，∴矩形ABCD 的面积=AB ⋅BC =5×35=155．19. 原式==3−2=3+2.20. 解法一：根据题意，得 0=16a +4+c,0=4a−2+c.解得 a =−12,c =4.∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．∴ 点 C (0,4)．作 BH ⊥AC ，垂足为点 H ．可求得 AH =BH =32，AC =42．∴CH =2．∴tan ∠ACB =3．【解析】解法二：设二次函数的解析式为 y =a (x−4)(x +2)．展开，得 y =ax 2−2ax−8a ．比较系数，得 −2a =1．a =−12．∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．（下同解法一）．21. （1） ∵△ABC ，△DCE 均为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60∘，∴∠ACD =180∘−∠ACB−∠DCE =60∘，∴∠BAC =∠ACD ，在 △ABF 和 △CAD 中， ∠BAC =∠ACD,∠ABD =∠CAD,AB =AC,∴△ABF ≌△CAD ，∴AD =BF ，∵∠ABD =∠FAD ，∠ADB =∠ADB ，∴△ADF ∽△BDA ，∴AD BD =DF AD ，即 AD 2=DF ⋅DB ，∵AD =BF ，∴BF 2=DF ⋅DB ．（2） ∵∠AFB =∠DFC ，∠BAF =∠DCF ，∴△DCF ∽△ABF ，∴BF DF =AF FC ，∵AF =2FC ，∴BF DF =AF FC =2，∴BF =2FD ，设 S △DCF =x ，∵S △ADF S △DCF =AF FC =2，∴S △ADF =2x ，同理可得，S △ABF =4x ，S △BCF =2x ，∵S 四边形ABCD =18，∴S △DCF +S △ADF +S △ABF +S △BCF =18，即 x +2x +4x +2x =18，解得 x =2，即 S △DCF =2．22. （1） 如图，作 BF ⊥AD 于点 F ，∵i =tan ∠BAF =BF AF =13=33， ∴∠BAF =30∘，即 α=30∘．（2） ∵∠BAF =30∘，AB =6，∴CD=BF=12AB=3．在Rt△BCE中，∵∠EBC=70∘，BC=4，∴EC=BC⋅tan∠EBC=4tan70∘≈11，∴ED=EC+CD=11+3=14(m)．答：旗杆顶端离地面的高度ED约为14 m．23. 如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可知，∠CAD=30∘，∠CBD=60∘，设CD=x米，则BD=xtan60∘，AD=xtan30∘，∵AB=2米，AD=AB+BD，∴AD=2+BD，∴2+xtan60∘=xtan30∘，解得，x≈1.7．即生命所在点C的深度是1.7米．24. （1）当α=60∘时，在Rt△ABE中，∵tan60∘=ABAE =AB10，∴AB=10⋅tan60∘=103≈10×1.73=17.3（米）．即楼房的高度约为17.3米．（2）能【解析】当α=45∘时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α=45∘时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H，如图所示．∵∠BFA=45∘，∴tan45∘=ABAF=1，此时的影长AF=AB≈17.3米，∴CF=AF−AC≈17.3−17.2=0.1（米），∴CH=CF=0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小猫能晒到太阳．。
Y_人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元检测试卷(有答案)
2017-2018学年度第二学期人教版九年级数学下册第28章 锐角三角函数 单元检测试卷考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙A ∠A 述正确的是（ ）A.的值越大，梯子越陡B.的值越大，梯子越陡sinA cosA C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关tanA ∠A 2.温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市的A 正西方向千米的处（如图），以每小时千米的速度向东偏南的方向移动，并检300B 10730∘BC 测到台风中心在移动过程中，温州市将受到影响，且距台风中心千米的范围是受台风严重A 200影响的区域．则影响温州市的时间会持续多长？（ ）A A.5 B.6 C.8 D.10 3.如图，两建筑物水平距离为米，从点测得对点的俯角为，对点的俯角为，则建32A C 30∘D 45∘筑物的高约为（ ）CD A.米14 B.米17 C.米20 D.米22 4.在如图所示的方格纸中，点、、都在方格线的交点．则 A B C ∠ACB =()A.120∘B.135∘C.150∘D.165∘ 5.已知，且，则锐角等于（ ）α+β=90∘sinα+cosβ‒3=0αA.30∘ B.45∘C.60∘ D.无法求 6.如图，一根铁管固定在墙角，若米，，则铁管的长为（ ）CD BC =5∠BCD =55∘CD A.米5sin 55∘ B.米5⋅sin 55∘.C.米5cos 55∘ D.米5⋅cos 55∘7.为美化环境，在空地上种植售价为元/平方米的一种草皮，已知，△ABC a AB =20m ，，则购买草皮至少需要（ ）AC =30m ∠A =150∘A.元450a B.元225a C.元150a D.元300a 8.如图，在中．，，，则 △ABC ∠ACB =90∘∠ABC =15∘BC =1AC =()A.2+3 B.2‒3C.0.3D.3‒29.堤的横断面如图．堤高是米，迎水斜坡的长时米，那么斜坡的坡度是（ ）BC 5AB 13AB A.1:3 B.1:2.6C.1:2.4D.1:2 10.小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为的山坡上走米，此时小明看30∘5:121300山顶的角度为，求山高（ ）60∘A.米600‒2505 B.米6003‒250C.米350+3503 D.米5003二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ） 11.在中，，，，则等于________．Rt △ABC ∠C =90∘tanA =3AC =10S △ABC 12.小美同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时A 60∘200m B B 100m C 小美同学离地________．A 13.如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，若海里，CA 50o CB 40o AC =40海里，则，两岛的距离等于________ 海里． （结果保留根号）BC =20A B 14.如图，在中，，是高，如果，，那么Rt△ABC∠ACB =90∘CD ∠B =αBC =3________．（用锐角的三角比表示）AD =α15.如图，当小明沿坡度的坡面由到行走了米，那么小明行走的水平距离i =1:3A B 100.________米．（结果可以用根号表示）．AC = 16.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成角时，测得旗杆在地28∘AB 面上的投影长为米，则旗杆的高度是________米．BC 25AB 17.在离建筑物米处，用测角仪测得建筑物顶的仰角为，已知测角仪的高度为米，求12030∘ 1.5这个建筑的高度________米（精确到米）0.1 18.如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则________△ABC 1tan (α+β)．（填“”“”“”）tanα+tanβ>=<19.如图，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了海里到达处，A C 60012B 在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是________．B C C 20.请从以下两题中任选一题作答，若多选，则按所选的第一题计分．如图所示的四边形中，若去掉一个的角得到一个五边形，则________．(A )50∘∠1+∠2=如果某人沿坡度的斜坡前进，那么他所在的位置比原来的位置升高了(B )i =1:3100m ________．（结果精确到）m 0.1m 三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）21.21. (1)2sin 60∘+3tan 30∘(2)sin 260∘+cos 260∘‒tan 45∘ ．(3)cos 60∘‒tan 45∘+sin 60∘tan 30∘+sin 30∘(4)22sin 45∘+sin 60∘‒2cos 45∘ 22.如图，一艘货轮以海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现在它的北偏东30A 方向有一港口，货轮继续向北航行分钟后到达处，发现港口在它的北偏东方向上，48∘B 40C B 76∘若货轮急需到港口补充供给，请求出处与港口的距离的长度．（结果保留整数）B C B CB （参考数据：，，，）sin 76∘≈2021tan 76∘≈4tan 48∘≈109sin 48∘≈45.23.如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟米的速度沿着仰角为的方向上升，A 1075∘分钟后上升到处，这时气球上的人发现在点的正西方向俯角为的处有一着火点，求气20B A 45∘C 球的升空点与着火点之间的距离．（结果保留根号）AC24.超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为米的点处．这时，一辆出租车由西向东100P 匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒，且，．A B 4∠APO =60∘∠BPO =45∘求、之间的路程；(1)A B 请判断此出租车是否超过了城南大道每小时千米的限制速度？(2)60 25.如图，小明想测山高和索道的长度．他在处仰望山顶，测得仰角，再往山的方B A ∠B =31∘向（水平方向）前进至索道口处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角．80m C ∠ACE =39∘求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；(1).求索道的长（结果精确到）．(2)AC 0.1m （参考数据：，，，）tan 31∘≈35sin 31∘≈12tan 39∘≈911sin 39∘≈711 26.某居民楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，，，斜坡BC // AD BE ⊥AD 长为米，坡角．为了减缓坡面防止山体滑坡，居委会决定对该斜坡进行改AB 30∠BAD =75∘造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚不动，50∘A 坡顶沿向左移米到点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据：，B BC 15F sin 75∘≈0.97，，，）cos 75∘≈0.26tan 75∘≈3.73tan 49∘30'≈1.17tan 51∘57'≈1.28答案1.A2.D3.A4.B5.C6.C7.C8.B9.C10.B .11.15012.1003m13.20514.3sinαtanα15.301016.25⋅tan 28∘17.76.518.>19.海里4320.230∘31.621.解：(1)2sin 60∘+3tan 30∘；=2×32+3×33=3+3=23(2)sin 260∘+cos 260∘‒tan 45∘；=1‒1=0(3)cos 60∘‒tan 45∘+sin 60∘tan 30∘+sin 30∘；=12‒1+3233+32=32‒12536=3‒35(4)22sin 45∘+sin 60∘‒2cos 45∘．=22×22+32‒2×22=12+32‒222.解：海里，AC =30×4060=20在中，，Rt △BDC BD CD =tan 76∘则，BD =CD ⋅tan 76∘在中，Rt △ABD ，BDAD =tan 48∘.即，CD ⋅tan 76∘20+CD =tan 48∘于是，4CD20+CD=109解得，CD =10013，BD =10013×4=40013在中，，Rt △BDC BD CB =sin 76∘，40013BC =2021则海里．BC ≈3223.解：过点作于点，A AD ⊥BCD 由题意得，，，，BE // AC ∠EBC =45∘∠BAD =75∘∴，∠ABD =30∘∵，AB =10×20=200(m )在中，Rt △ABD ，AD =ABsin∠ABD =12×200=100(m )∵，BE // AC ∴，∠BCA =∠EBC =45∘∴，AC =ADsin 45∘=10022=1002(m )即气球的升空点与着火点之间的距离为．A C 1002m 24.解：由题意知：米，，，(1)PO =100∠APO =60∘∠BPO =45∘在直角三角形中，BPO ∵，∠BPO =45∘∴米，BO =PO =100在直角三角形中，APO .∵，∠APO =60∘∴米，AO =PB ⋅tan 60∘=1003∴（米）；∵从处行驶到处所用的时间为秒，AB =AO ‒BO =(1003‒100)=100(3‒1)(2)A B 4∴速度为米/秒，100(3‒1)÷4=25(3‒1)∵千米/时米/秒，60=60×10003600=503而，25(3‒1)>503∴此车超过了每小时千米的限制速度6025.索道长约为米．AC 282.926.解；过作，垂足为，连接，F FG ⊥AD G AF ∵斜坡长为米，坡角，AB 30∠BAD =75∘∴，BE =sin∠BAD ×AB =sin 75∘×30=0.97×30=29.1，AE =cos∠BAD ×AB =cos 75∘×30=0.26×30=7.8∴，，AG =AE +GE =7.8+15=22.8FG =29.1∴，tan∠FAG =FG AG =29.122.8≈1.28∴，∠FAG >50∘∴这样改造不能确保安全．...。
人教版九年级数学下册--第28章 单元测试 锐角三角函数--(附解析答案)
第二十八章 锐角三角函数全章测试一、选择题1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( ) A ．6B ．52C ．53D ．1322．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( ) A ．2sin2αR B ．2R sin α C ．2cos2αR D ．R sin α3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312B ．12C ．324D ．3484．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( ) A ．m sin 100αB ．100sin α mC ．m cos 100βD ．100cos β m5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( ) A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m6．P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin R B ．ααsin tan RC ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R 7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( ) A ．a sin 2βB ．a cos 2βC ．a sin β cos βD ．a sin β tan β8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APCC ．tan ∠APCD ．APC∠tan 19．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )A ．m )3828(+B ．m )388(+C ．m )33828(+D ．m )3388(+10．如图所示，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m 、l 2＝6.2m 、l 3＝7.8m 、l 4＝10m ，四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )第10题图A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 4二、填空题11．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度．13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．第13题图14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度m 330=AB ，拱形的半径R ＝30m ，则拱形的弧长为______．第14题图15．如图所示，半径为r 的圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 的移动到与AC 边相切时，OA 的长为______．第15题图三、解答题16．已知：如图，AB ＝52m ，∠DAB ＝43°，∠CAB ＝40°，求大楼上的避雷针CD 的长．(精确到0.01m)17．已知：如图，在距旗杆25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°，已知测角仪AB 的高为1.5m ，求旗杆CD 的高(精确到0.1m)．18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，,31sin ,54sin ==B C 求AB ．19．已知：如图，在⊙O中，∠A＝∠C，求证：AB＝CD(利用三角函数证明)．20．已知：如图，P是矩形ABCD的CD边上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC ＝15，BC＝8，求PE＋PF．21．已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向．问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?)45.26,73.13,41.12(≈≈≈22．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A点恰好落在OB 的中点C 处，折痕为DE ．(1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值； (2)求△CDE 的面积．23．已知：如图，斜坡PQ 的坡度i ＝1∶3，在坡面上点O 处有一根1m 高且垂直于水平面的水管OA ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M 比点A 高出1m ，且在点A 测得点M 的仰角为30°，以O 点为原点，OA 所在直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B ，最高点为C ．(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；(2)求此抛物线AMC的解析式；(3)求｜x C－x B｜；(4)求B点与C点间的距离．第二十八章 锐角三角函数全章测试答案与提示1．B ． 2．A ． 3．A ． 4．B ． 5．A ． 6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．B ．11．⋅23 12．60． 13．⋅54 14．20πm ． 15．.332r 16．约4.86 m ． 17．约15.9m ．18．AB ＝24．提示：作AD ⊥BC 于D 点．19．提示：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ．设⊙O 半径为R ，∠A ＝∠C ＝α ．则AB ＝2R cos α ，CD ＝2R cos α ，∴AB ＝CD ．20．⋅151618提示：设∠BDC ＝∠DCA ＝α ．PE ＋PF ＝PC sin α ＋PD sin α ＝CD sin α ． ,158sin =αΘ ⋅=⨯=+∴151618158161PF PE21．约3小时，提示：作CD ⊥AB 于D 点．设CD ＝x 海里． 22．(1)⋅=∠=53sin .25BEC AE 提示：作CF ⊥BE 于F 点，设AE ＝CE ＝x ，则EF .29x -= 由CE 2＝CF 2＋EF 2得.25=x(2)⋅475提示：.4245sin 21o AE AD AE AD S S AED CDE ⋅=⋅==∆∆ 设AD ＝y ，则CD ＝y ，OD ＝12－y ，由OC 2＋OD 2＝CD 2可得⋅=215y 23．(1)A (0，1)，;33x y =(2).1332312)3(3122++-=+--=x x x y(3)m 15． (4).m 5230cos ||=-=οB C x x BC。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。
人教版九年级下数学第二十八章锐角三角函数单元练习题(含答案).docx
《锐角三角函数》单元练习题一．选择题1．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，如果∠ A＝α， AB＝ 3，那么 AC 等于（）A ． 3sinαB．3cosαC． D ．2．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝90°，如果 AC＝ 4，BC ＝3，那么∠ A 的正切值为（）A ．B．C． D ．3．如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10 米，那么物体离地面的高度为（）A ． 5 米B． 5米C． 2米 D ．4米4．如图，护林员在离树8m 的 A 处测得树顶 B 的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为 1.6m，则树的高度BD 为（）A ． 8m B． 9.6m C．（4）m D ．（8+1.6） m5．如图， P 是∠α的边 OA 上一点，且点P 的横坐标为3， sinα＝，则tanα＝（）A ．B．C． D ．A ．B．C． D ．7．如图，河对岸有铁塔AB，在 C 处测得塔顶 A 的仰角为30°，向塔前进14m 到达 D ，在 D 处测得 A 的仰角为 45°，塔高AB 为（）A ．m B．m C．m D ．m8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB＝ 90°，AC＝ 24，AB＝ 25，CD 是斜边 AB 上的高，则 cos∠ BCD 的值为（）A ．B．C． D ．9．如图，一架飞机在点 A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点 B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）A ．千米B ．千米C．千米 D ．千米10．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 5，若 cos∠ A＝，则BC的长为（）A ． 8B． 12C． 13 D ．1811．已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，如果它把一物体从地面送到离地面9 米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A ． 18 米B． 4.5 米C．米 D ．米．12．图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC ＝BD ＝ 54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠ BDQ ＝ 30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A ．cm B．cm C． 64 cm D ．54cm二．填空题13．在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， a， b，c 分别是∠ A，∠ B，∠ C 对边，若 3a＝ 4b，则 sinB 的值是．14．已知∠ A 是锐角，且cosA＝，则tanA＝．15．如图，在点 A 处测得点 B 处的仰角是．（用“∠ 1，∠ 2，∠ 3或∠ 4”表示）16．如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， CD 为 AB 边上的中线，过点 A 作 AE⊥ CD 交 BC 于点 E，如果AC＝ 2，BC＝ 4，那么 cot∠ CAE＝．17．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从 1 号楼和 2 号楼的地面正中间 B 点垂直起飞到高度为 50 米的 A 处，测得 1 号楼顶部 E 的俯角为60°，测得 2 号楼顶部 F 的俯角为45°．已知 1 号楼的高度为 20 米，则 2 号楼的高度为米（结果保留根号）．18．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD ，坝顶宽 DC 是 10 米，坝底宽AB 是 90 米，背水坡AD 和迎水坡 BC 的坡度都为1： 2.5，那么这个水库大坝的坝高是米．三．解答题19．计算： 2cos60°+4sin60 °?tan30°﹣ 6cos 2 45°．20．如图， P 点是某海域内的一座灯塔的位置，船 A 停泊在灯塔P 的南偏东53°方向的50 海里处，船 B 位于船 A 的正西方向且与灯塔P 相距海里．（本题参考数据sin53°≈ 0.80，cos53°≈ 0.60，tan53°≈1.33．）（1）试问船 B 在灯塔 P 的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）21．如图，已知△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， D 是边 AB 的中点， P 是边 AC 上一动点， BP 与 CD 相交于点 E ．（ 1）如果 BC ＝ 6， AC ＝8，且 P 为 AC 的中点，求线段 BE 的长；（ 2）联结 PD ，如果 PD ⊥ AB ，且 CE ＝ 2， ED ＝ 3，求 cosA 的值；（ 3）联结 PD ，如果 BP 2＝ 2CD 2，且 CE ＝2， ED ＝ 3，求线段 PD 的长．22．如图，已知： R t △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，点 E 为 AB 上一点， AC ＝AE ＝3， BC ＝ 4，过点 A 作 AB 的垂线交射线 EC 于点 D ，延长 BC 交 AD 于点 F ．（ 1）求 CF 的长；（ 2）求∠ D 的正切值．的仰角是30°，在地面上 A 处测得大树顶端 B 的仰角是45°．若坡角∠ FAE＝ 30°， AD ＝ 6m，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：≈ 1.73）24．“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图 2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN 安装在窗框上，悬臂DE 安装在窗扇上，支点B、 C、D 始终在一条直线上，已知托臂AC＝ 20 厘米，托臂BD ＝ 40 厘米，支点C， D 之间的距离是10 厘米，张角∠ CAB ＝60°．（1）求支点 D 到滑轨 MN 的距离（精确到 1 厘米）；（ 2）将滑块 A 向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′ C′， BC＝ BC′）当张角∠C′ A'B＝ 45°时，求滑块 A 向左侧移动的距离（精确到 1 厘米）．（备用数据：≈ 1.41，≈ 1.73，≈ 2.45，≈ 2.65）25．被誉“中原第一高楼”的州会展（俗称“大玉米”）坐落在景如画的如意湖，是来州光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数知后，刘明和王同学决定用自己学到的知量“大王米”的高度，他制了量方案，并利用余完成了地量．量目及果如下表：目内容量州会展的高度量示意如，在 E 点用器DE 得楼B的仰角是α，前一段距离到达 C 点用器CF 得楼β，且点 A、 B、 C、D 、 E、 F 均在同一直平面内量数据∠ α的度数∠ β的度数EC 的度， CF40°45°53 米 1.⋯⋯你帮助小根据上表中的量数据，求出州会展的高度（参考数据：sin40°≈ 0.64，cos40°≈ 0.77，tan40°≈ 0.84，果保留整数）参考答案一．选择题1．【解答】 解：∵∠ A ＝α， AB ＝ 3， ∴ cos α＝，∴ AC ＝ AB?cos α＝ 3cos α，故选： B ．2．【解答】 解：∵ AC ＝ 4， BC ＝ 3， ∴ tanA ＝ ＝ ，故选： A ．3．【解答】 解：作 BC ⊥地面于点 C ，设 BC ＝ x 米，∵传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为 1： 2，∴ AC ＝ 2x 米，由勾股定理得， AC 2+BC 2 ＝ AB 2，即（ 2x ） 2+x 2＝ 102，解得， x ＝ 2，即 BC ＝ 2 米，故选： C ．4．【解答】 解：在 Rt △ CBH 中，∠ HCB ＝ 45°， CH ＝ 8m ，∴，∴ HB ＝ CH?tan ∠HAB ＝ 8× tan45°＝ 8m ，∴ HD ＝HB+AC ＝ 8+1.6＝ 9 .6．答：树的高度为 9.6m ．故选： B ．5．【解答】 解：如图，由 sin α＝ ＝ 可设 PQ ＝4a ， OP ＝ 5a ，∵ OQ ＝3，∴由 OQ 2+PQ 2＝ OP 2 可得 32+（ 4a ）2 ＝（ 5a ） 2，解得： a ＝ 1（负值舍去），∴ PQ ＝ 4，OP ＝ 5，则 tan α＝＝ ，故选： C ．6．【解答】 解：如右图所示，∵网格中小正方形的边长都为1，∴ CE ＝＝ 2 ， AC ＝＝， AE ＝ 3， CD ＝4，作 AH ⊥ CE 于点 H ，∵，∴，解得， AH ＝，∵ AC ＝， AH ＝，∠ AHC ＝ 90°，∴ CH ＝＝ ，∴ cos ∠ ACH ＝，即 cos ∠ ACB ＝，故选： D ．7．【解答】解：在 Rt △ ABD 中，∵∠ ADB＝ 45°，∴BD ＝ AB．在 Rt △ ABC 中，∵∠ ACB＝ 30°，∴BC＝ AB ．设AB＝x（米），∵ CD ＝ 14，∴BC＝ x+14．∴x+14＝ x∴x＝ 7（ +1）．即铁塔 AB 的高为 7（+1）米．故选： B．8．【解答】解：∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ 24， AB＝ 25，∴BC＝ 7，∵ CD 是斜边 AB 上的高，，∴ CD ＝＝，∵CD ⊥ AB，∴∠ CDB ＝ 90°，∴ cos∠ BCD＝＝＝，故选： B．9．【解答】解：作 PC⊥ AB 交 AB 于点 C，如右图所示，AC＝，BC＝，∵m＝ AC﹣ BC，∴ m＝﹣，∴ PC＝＝，故选： A．10．【解答】解：∵△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ 5， cos∠ A＝，∴＝，∴AB＝ 13，∴ BC＝＝12，故选： B．11．【解答】解：如图：由题意得：斜坡AB 的坡度： i ＝ 1： 2， AE＝ 9 米， AE⊥ BD，∵i＝＝，∴BE＝ 18 米，∴在 Rt△ABE 中， AB＝＝9（米）．故选： D ．12．【解答】解：如图所示，过 A 作 AE⊥ CP 于 E，过 B 作 BF⊥ DQ 于 F，则Rt△ ACE 中， AE＝AC＝× 54＝27（cm），同理可得， BF＝ 27cm，又∵点 A 与 B 之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27 ＝ 64（ cm），故选： C．二．填空题（共 6 小题）13．【解答】解：因为在Rt△ ABC 中，∠ C＝90°， a， b， c 分别是∠ A，∠ B，∠ C 对边，令b＝ 3x，则 a＝4x，由勾股定理可得 c＝ 5x，所以 sinB＝＝＝，故答案为：．14．【解答】解：∵∠ A 为锐角，且cosA＝，以∠ A为锐角作直角三角形△ABC，∠ C＝ 90°．∴ cosA＝＝．设AC＝ 5k，则 AB＝ 13k．根据勾股定理可得： BC＝ 12k．∴ tanA＝＝．故答案为：．15．【解答】解：在点A 处测得点 B 处的仰角是∠4，故答案为：∠4．16．【解答】解：∵∠ ACB＝90°， CD 为 AB 边上的中线，∴AD ＝ CD＝ BD，∴∠ ACD ＝∠ CAD，∠ DCB ＝∠ B，∵AE⊥ CD，∴∠ CAE+∠ ACD ＝∠ B+∠CAD ＝ 90°，∴∠ CAE＝∠ B，∴ cot∠ CAE ＝ cotB＝＝＝2，故答案为： 2．17．【解答】解：过点E 作 EG⊥ AB 于 G，过点 F 作 FH ⊥AB 于 H ，则四边形ECBG， HBDF 是矩形，∴EC＝ GB＝ 20， HB＝ FD ，∵ B 为 CD 的中点，∴EG＝ CB＝ BD ＝HF ，由已知得：∠EAG＝ 90°﹣ 60°＝ 30°，∠ AFH ＝ 45°．在Rt △ AEG 中， AG＝AB ﹣GB＝50﹣ 20＝30 米，∴ EG＝ AG?tan30°＝ 30×＝10米，在 Rt △ AHP 中， AH ＝HF ?t an45°＝ 10米，∴ FD ＝ HB＝AB ﹣ AH＝ 50﹣ 10（米）．答： 2 号楼的高度为（50﹣10）米．故答案为：（ 50﹣ 10）．18．【解答】解：如图所示：过点 D 作 DM ⊥ AB 于点 M ，作 CN⊥ AB 于点 N，设DM ＝ CN＝ x，∵背水坡AD 和迎水坡BC 的坡度都为1：2.5，∴AM ＝BN＝ 2.5x，故AB＝ AM +BN+MN ＝ 5x+10＝ 90，解得： x＝ 16，即这个水库大坝的坝高是16 米．故答案为： 16．三．解答题（共7 小题）19．【解答】解：原式＝ 2×+4××﹣6×（）2＝1+2 ﹣3＝0．20．【解答】解：（ 1）过 P 作 PC⊥ AB 交 AB 于 C，在Rt △ APC 中，∠ C＝ 90°，∠ APC＝53°， AP＝ 50 海里，∴ PC＝ AP?cos53°＝ 50× 0.60＝30 海里，在 Rt △ PBC 中，∵ PB＝20，PC＝30，∴cos∠ BPC＝＝，∴∠ BPC＝ 30°，∴船 B 在灯塔 P 的南偏东30°的方向上；（2）∵ AC＝ AP?sin53°＝ 50× 0.8＝ 40 海里，BC＝PB＝ 10，∴ AB＝ AC﹣ BC＝（ 40﹣ 10）海里，答：两船相距（40﹣ 10）海里．21．【解答】解：（ 1）∵ P 为 AC 的中点， AC＝ 8，∴CP＝ 4，∵∠ ACB＝ 90°， BC＝6，∴BP＝ 2，∵ D 是边 AB 的中点， P 为 AC 的中点，∴点 E 是△ ABC 的重心，∴ BE ＝ BP ＝；（ 2）如图 1，过点 B 作 BF ∥CA 交 CD 的延长线于点F ，∴，∵ BD ＝ DA ，∴ FD ＝ DC ， BF ＝AC ，∵ CE ＝ 2 ， ED ＝ 3，则 CD ＝ 5，∴ EF ＝ 8，∴＝ ，∴＝ ，∴＝ ，设 CP ＝ k ，则 PA ＝3k ，∵ PD ⊥ AB ， D 是边 AB 的中点， ∴ PA ＝ PB ＝ 3k∴ BC ＝ 2 k ，∴ AB ＝ 2 k ， ∵ AC ＝ 4k ，∴ cosA ＝；（ 3）∵∠ ACB ＝ 90°， D 是边 AB 的中点，∴ CD ＝ BD ＝ AB ，∵ PB 2＝ 2CD 2，∴ BP 2＝ 2CD?CD ＝ BD?AB ， ∵∠ PBD ＝∠ ABP ，∴△ PBD ∽△ ABP ，∴∠ BPD ＝∠ A ，∴∠ DPE＝∠ DCP，∵∠ PDE＝∠ CDP，∴△ DPE∽△ DCP，∴PD 2＝ DE ?DC，∵ DE ＝ 3，DC ＝ 5，∴PD ＝．22．【解答】解：（ 1）∵∠ ACB＝ 90°，∴∠ ACF ＝∠ ACB＝ 90°，∠ B+∠ BAC＝ 90°，∵AD ⊥ AB，∴∠ BAC+∠ CAF ＝ 90°，∴∠ B＝∠ CAF ，∴△ ABC∽△ FAC，∴＝，即＝，解得 CF＝；（ 2）如图，过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H，∵AC＝ 3， BC＝4，∴ AB＝ 5，则 CH ＝＝，∴ AH ＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tanD＝tan∠ECH ＝＝．23．【解答】解：延长BD 交 AE 于点 G，作 DH ⊥AE 于 H ，设BC＝ xm，由题意得，∠DGA＝∠ DAG＝ 30°，∴DG ＝AD ＝ 6，∴ DH ＝3， GH＝＝3，∴GA＝ 6 ，在 Rt △ BGC 中， tan∠BGC＝，∴ CG＝＝x，在Rt △BAC 中，∠BAC＝45°，∴ AC＝ BC＝ x，由题意得，x﹣ x＝ 6，解得， x＝≈ 14，答：大树的高度约为14m．24．【解答】解：（ 1 ）过 C 作 CG⊥ AB 于 G，过 D 作 DH ⊥ AB 于 H ，∵AC＝ 20，∠ CAB＝ 60°，∴ AG＝AC＝ 10， CG＝AG＝ 10，∵BC＝ BD﹣ CD＝ 30，∵CG⊥AB，DH ⊥AB，∴ CG∥ DH，∴△ BCG∽△ BDH ，∴＝，∴ DH ＝≈ 23（厘米）；∴支点 D 到滑轨 MN 的距离为 23 厘米；（ 2）过 C′作 C′ S⊥ MN 于 S，∵A′C′＝ AC＝ 20，∠ C′ A′ S＝ 45°，∴ A′S＝ C′ S＝ 10 ，∴ BS＝＝10，∴A′B＝ 10 +10 ，∵ BG＝＝10，∴AB＝ 10+10 ，∴AA′＝ A′ B﹣AB ≈ 6（厘米），∴滑块 A 向左侧移动的距离是 6 厘米．25．【解答】解：由题意可得：设BN＝FN ＝x，则 tan40°＝＝≈ 0.84，解得： x＝ 278.25，故AB＝ 278.25+1.5 ≈ 280（ m），答：郑州会展宾馆的高度为280m．。
人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案
第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。
人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试(含答案)
人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试（含答案）一、选择题1、在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sinA的值为（）A． B． C． D．32、cos 30°的值等于( )A. B. C．1 D.3、2cos45°的值等于（）A． B． C． D．4、3tan60°的值为（）A． B． C． D．35、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=6、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．7、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为A． B．C．D．8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（）A．6 B．5 C．2 D．39、如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)( )A．21.7米 B．22.4米C．27.4米 D．28.8米10、．如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A（2，4），顶点为（﹣1，0），则sin α的值是（）A． B． C． D．二、填空题11、计算：=12、在等腰Rt△ABC中，AB=AC，则tanB= .13、在△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tanA+tanB的值为.14、如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为 .15、如图，在△ABC中，AB=AC，sinA=，BC=2，则△ABC的面积为．16、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．17、如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为 .18、如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=∠BAD=30°，DE⊥AB，若CD=2，则DE=__________．19、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，≈1.732）三、简答题20、如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）.21、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．22、如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）是多少？23、如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．24、如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．25、如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．26、如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为30°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．27、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）28、如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km 的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）参考答案一、选择题1、A解：∵∠C=90°，AB=3，BC=1，∴sinA=，2、B3、B【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．【解答】解：∵cos45°=，∴2cos45°=．故选B．【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主4、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．5、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则A、cosA=，故本选项错误；B、tanA=，故本选项错误；C、sinA=，故本选项正确；D、cosA=，故本选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．6、C【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．7、B8、C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵BE：ED=1：3，∴BE：OB=1：2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵AE⊥BD，AE=3，∴AB==2，故选：C．9、A10、D【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．【分析】作AC⊥x轴于点C，根据点的坐标特征求出点A、B的坐标，得到CA、CB的长，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．【解答】解：作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC=3，AC=4，由勾股定理得，AB=5，则sinα==，故选：D．二、填空题11、12、1．解：由等腰Rt△ABC中，AB=AC，得∠B=45°．tanB=tan45°=1，13、3．解：∵△ABC的面积为6，∴ab=12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，∴a2+b2=62=36，∴tanA+tanB====3，14、解：如图：，tanB==．15、30【解答】解：过B作BD⊥AC，交AC于点D，在Rt△ABD中，sinA==，设AB=AC=5x，BD=3x，根据勾股定理得：AD=4x，即CD=x，在Rt△BDC中，根据勾股定理得：BC2=BD2+CD2，即40=9x2+x2，解得：x=2（负值舍去），∴BD=6，AB=AC=10，则S△ABC=AC•BD=30．16、①②③④．【解答】解：∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，∴∠α=∠B，∠β=∠C，∴sinα=sinB，故①正确；sinβ=sinC，故②正确；∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB=cosC，故③正确；∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，∴sinα=cos∠β，故④正确；故答案为①②③④．17、2+．解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt△AOC中，OC===，∴BC=OB﹣OC=2﹣，∴在Rt△ABC中，tan∠ABO===2+．18、2．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】利用已知条件易求∠CAD=30°，则AD的长可求，又因为∠BAD=30°，进而可求出DE 的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵∠B=∠BAD=30°，∴∠CAD=30°，∵CD=2，∴AD=4，∵∠BAD=30°，∴DE=AD=2，故答案为：2．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．19、137．【解析】试题分析：如图，∠A BD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴，∴x=≈137，即山高AD为137米．故答案为：137．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．三、简答题20、解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，设AD=DC=xm，则tan30°==21、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．22、AB=km (提示：过点A作AD⊥OB)23、解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，，∴AD=AC•sinC=3．∴在Rt△ACD中，．∵AB=，∴在Rt△ABD中，．∴BC=BD+CD=7．24、解：过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，AB=5，BF=CE=4．∴AF=3．在Rt△CDE中，tanα==i=．∴∠α=30°且DE==4，∴AD=AF+FE+ED=3+4.5+4=7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD为7.5+4．25、【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由是：连接OD．则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°．∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）．在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=．26、．解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠DCF=i==，∴∠DCF=30°，…… 2分∵CD=4，∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×=2，∴BF=BC+CF=2+2=4，过点E作EG⊥AB于点G，则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=30°，∴AG=GEtan∠AEG=4•tan30°=4，则AB=AG+BG=4+3.5=7.5，故旗杆AB的高度为7.5米．27、【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=20．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=AD=20．∴BC=BD+CD=20+20（m）．答：这栋楼高为（20+20）m．28、解：结论；不会．理由如下：作PH⊥AC于H．由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，∵∠PBH=∠PAB+∠APB，∴∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=120，在Rt△PBH中，sin∠PBH=，∴PH=PB•sin60°=120×≈103.80，∵103.80＞100，∴这条高速公路不会穿越保护区．人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）一、选择题1.直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是()A．tanα＝2B．tanα＝0.5C．sinα＝2D．cosα＝22.2cos 30°的值等于()A．1B．C．D．23.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是()A．∠B＝60°B．a＝5C．b＝5D．tan B＝4.如图，在2×3的正方形网格中，tan ∠ACB的值为()A．B．C．D．25.用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是() A．cotαB．tanαC．cosαD．sinα6.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα7.若把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角∠A的正切值()A．扩大为原来的5倍B．不变C．缩小为原来的5倍D．不能确定8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，则下列三角函数值正确的是()A．sin A＝B．tan B＝C．sin B＝D．cos A＝9.如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于()A．B．C．D．10.在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则飞艇底部P距离湖面的高度为(参考等式：＝)()A．(25＋75)米B．(50＋50)米C．(75＋75)米D．(50＋100)米二、填空题11.在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cos B＝，则BC的长是__________．12.用科学计算器计算：2－sin 60°＝________(结果精确到0.1)13.如图，在坡角∠BAC＝30°的斜坡上，两树间的水平距离AC为米，则两树间的坡面距离AB为________米．14.如图，小明妈妈的高跟鞋很高，但是小明发现妈妈在走上坡路时一点也不累．有一次，妈妈上山上坡正好和走平地一样，脚掌AB正好呈水平，小明偷偷量过妈妈的高跟鞋跟高h 是10 cm，AB长度15 cm，请问妈妈走的那个山坡与水平线夹角的正切值是________．15.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝20，则△ABC的面积为________．16.在△ABC中，已知sin A＝，cos B＝，则∠C＝________度．17.用科学计算器计算：cos 32°≈________.(精确到0.01)18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tan A＝__________.19.若等腰三角形两边为4,10，则底角的正弦值是__________．20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，则tan A＝________.三、解答题21.三角形中有3个角、3条边共6个元素，由其中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形．已知△ABC中，AB＝，∠B＝45°，BC＝1＋，解△ABC.22.在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1 km的飞机跑道MN(如图)，在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．(1)该飞机航行的速度是多少千米/小时？(结果保留根号)(2)如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．23.如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB＝45°)，在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角(∠EDB＝53°)，那么钢线ED的长度约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)24.用计算器求下列各式中的锐角α(精确到1″)：(1)sinα＝0.917 1.(2)cosα＝0.550 3.(3)tanα＝72.43.25.△ABC的三边长分别为AB＝1，BC＝，AC＝，求∠ACB的正弦值．26.如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据：cos 75°≈0.2588，sin 75°≈0.9659，tan 75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)27.如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)28.同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ例：sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝(1)试仿照例题，求出cos 15°的准确值；(2)我们知道，tanα＝，试求出tan 15°的准确值．答案解析1.【答案】A【解析】过点A作AB⊥x轴于B.∵直线y＝2x与x轴正半轴的夹角为α，设OB＝x，则AB＝2x，根据勾股定理得OA＝x，∴tanα＝＝＝2，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝.故选A.2.【答案】C【解析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．2cos 30°＝2×＝.故选C.3.【答案】D【解析】A、∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－30°－90°＝60°，故选项正确；B、sin A＝，则a＝c·sin A＝10·sin 30°＝10×＝5，故选项正确；C、cos A＝，则b＝c·cos A＝10×＝5，故选项正确，D、tan B＝tan60°＝，故选项错误，故选D.4.【答案】D【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，设每个小正方形边长为1，在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，则tan ∠ACB＝＝2，故选D.5.【答案】A【解析】用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦、余弦、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故选A.6.【答案】B【解析】∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos ∠BCD＝，∴BC＝＝，故选B.7.【答案】B【解析】因为Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切函数值也不变．故选B.8.【答案】B【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，∴AB＝＝＝，A、sin A＝＝＝，故本选项错误；B、tan B＝＝，故本选项正确；C、sin B＝＝＝，故本选项错误；D、cos A＝＝＝，故本选项错误，故选B.9.【答案】B【解析】如图因为第一象限的点P的坐标是(a，b)，所以tan ∠POx＝.故选B.10.【答案】D【解析】设AE＝x m，在Rt△AEP中∠PAE＝45°，则∠P＝45°，∴PE＝AE＝x，∵山顶A处高出水面50 m，∴OE＝50 m，∴OP′＝OP＝PE＋OE＝x＋50，∵∠P′AE＝60°，∴P′E＝tan 60°·AE＝x，∴OP′＝P′E－OE＝x－50，∴x＋50＝x－50，解得x＝50(＋1)(m)，∴PO＝PE＋OE＝50(＋1)＋50＝(50＋100)(m)，即飞艇离开湖面的高度是(50＋100) m.故选D.11.【答案】【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝8，cos B＝，∴＝，∴BC＝.12.【答案】14.2【解析】正确使用计算器计算即可．按运算顺序进行计算．2－sin 60°≈2×7.550＝15.10－0.87≈14.2.13.【答案】2【解析】∵△ABC是直角三角形，∴AB＝，∵AC＝米，∠BAC＝30°，∴AB＝＝2(米)．14.【答案】【解析】∵Rt△ABC中，AB＝15 cm，AC＝h＝10 cm，∴BC＝＝＝5，∴tan ∠ABC＝＝＝.15.【答案】150【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，∴AB＝＝20÷＝25，∴AC＝＝＝15，则△ABC的面积为AC·BC＝×15×20＝150.16.【答案】120【解析】∵sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴∠C＝180°－30°－30°＝120°.17.【答案】2.68【解析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度的概念用四舍五入法取近似数．cos 32°＝3.162 3×0.848 0≈2.68.18.【答案】【解析】设a＝x，则c＝4x，由勾股定理得b＝x，tan A＝＝，故答案为.19.【答案】【解析】∵4＋4＝8＜10，∴AB＝AC＝10，BC＝4.过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝2.∵AB＝AC＝10，∴AD＝＝＝4，∴sin ∠ABD＝＝＝.20.【答案】【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC，∴tan A＝＝，故答案为.21.【答案】解过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝45°，AB＝，则cos B＝.∴AD＝BD＝AB×cos 45°＝×cos 45°＝1，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝BC－BD＝1＋－1＝，则tan C＝＝＝，∴∠C＝30°，∴AC＝＝2，∠BAC＝180°－45°－30°＝105°.【解析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，解直角三角形求出BD、AD，求出CD，解直角三角形求出∠C，AC，即可求出答案．22.【答案】解(1)由题意，得∠BAC＝90°，∴BC＝＝10，∴飞机航行的速度为10×60＝600(km/h)；(2)能降落在跑道MN之间．理由：作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F.在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝10，∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°，又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，∴CE＝AC·sin ∠CAE＝，AE＝AC·cos ∠CAE＝.则AF＝2AE＝15(km)，∴AN＝AM＋MN＝14.5＋1＝15.5 km，∵AM＜AF＜AN，∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间．【解析】(1)先求出∠BAC＝90°，然后利用勾股定理列式求解即可得到BC，再求解即可；(2)作CE⊥l于E，设直线BC交l于F，然后求出CE、AE，然后求出AF的长，再进行判断即可．23.【答案】解设BD＝x米，则BC＝x米，BE＝(x＋2)米，在Rt△BDE中，tan ∠EDB＝＝，即≈1.33，解得x≈6.06，∵sin ∠EDB＝，即0.8＝，解得ED≈10，即钢线ED的长度约为10米．【解析】根据题意，可以得到BC＝BD，由∠CDB＝45°，∠EDB＝53°，由三角函数值可以求得BD的长，从而可以求得DE的长．24.【答案】解(1)α＝shift sin 0.917 1＝66.505°≈66°30′18″，(2)α＝shift cos 0.550 3＝56.612 4°≈56°364 5″，(3)α＝shift tan 72.43＝89.208 9≈89°12′32″.【解析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，用四舍五入法取近似数．25.【答案】解如图，过B作BD⊥AC于D.设CD＝x，则AD＝－x.∵在Rt△BCD中，BD2＝BC2－CD2＝2－x2，在Rt△BAD中，BD2＝AB2－AD2＝1－(－x)2，2－x2＝1－(－x)2，解得x＝，BD＝＝，sin ∠ACB＝＝＝.【解析】根据勾股定理，可得方程，根据解方程，可得CD的长，再根据勾股定理，可得BD的长，根据三角函数的正弦，可得答案．26.【答案】解延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝，∴AB＝BC·tan 75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM＝AB＝2.2392，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHD＝60°，sin ∠FAG＝，∴sin 60°＝＝，∴FG＝2.17，∴DM＝FG＋GM－DF≈3.05米．答：篮框D到地面的距离是3.05米．【解析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．27.【答案】解如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan 37°＝，∴AH＝＝，在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴＝，∵AC＝CB，∴AH＝HD，∴＝x＋5，∴x＝≈15，∴AE＝AH＋HE＝＋15≈35 km，∴E处距离港口A有35 km.【解析】如图作CH⊥AD于H.设CH＝x km，在Rt△ACH中，可得AH＝＝，在Rt△CEH中，可得CH＝EH＝x，由CH∥BD，推出＝，由AC＝CB，推出AH＝HD，可得＝x＋5，求出x即可解决问题．28.【答案】解(1)cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝；(2)tan 15°＝＝＝2－.【解析】从题中给出的信息进行答题：(1)把15°化为45°－30°直接代入三角函数公式：cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ计算即可；(2)把tan 15°代入tanα＝，再把(1)及例题中的数值代入即可．期末复习：人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测试卷(解析版）一、单选题（共10题；共30分）1.sin60°的值为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，∠C =90o，若cosB= ，则∠B的值为（）．A. B. C. D.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A. B. C. D.4.在中，，，则的值等于（）A. B. C. D.5.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )A. 15B. 12C. 9D. 66.一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．A. B. 3 C. D. 以上的答案都不对7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A. 5÷tan26°=B. 5÷sin26°=C. 5×cos26°=D. 5×tan26°=8.在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（）A. 45°B. 75°C. 105°D. 120°9.在中，，，，则cosA等于（）A. B. C. D.10.在学习解直角三角形以后，重庆八中数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，同一时刻，光线与旗杆的夹角为37°，斜坡的坡角为30°，旗杆的高度AB约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）A. 10.61B. 10.52C. 9.87D. 9.37二、填空题（共10题；共30分）11.如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为________．12.如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为________．13.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m（结果保留根号）14.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________ ．15.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD＝________．16.如下图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为________．17.如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米（结果保留根号）．18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=2，b=3，则tanA=________19.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．20.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保留根号)三、解答题（共8题；共60分）21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．22.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)23.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）24.热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为45°，已知楼高是120m，热气球若要飞越高楼，问至少要继续上升多少米？（结果保留根号）25.如图:我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近?(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)26.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．27.如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）28.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时（如图②），人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．（结果精确到1 cm）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.414）答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：sin60°= ．故答案为：B．【分析】由特殊角的三角函数值可求解。
人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试含答案
人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试含答案一、选择题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinB=，则AC等于（）A. 3B. 9C. 4D. 122.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A. cos43°＞cos16°＞sin30°B. cos16°＞sin30°＞cos43°C. cos16°＞cos43°＞sin30°D. cos43°＞sin30°＞cos16°3.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（）A. 不变B. 缩小为原来的C. 扩大为原来的3倍D. 不能确定4.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A. B. C. D.5.如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（）A. 500sin55°米B. 500cos35°米C. 500cos55°米D. 500tan55°米6.已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β，若甲坡比乙坡更陡些，则下列结论正确的是（）A. tanα＜tanβB. sinα＜sinβC. cosα＜cosβD. cosα＞cosβ7.如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m，上弦AB=BC，∠BAC=25°．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（）A. B.C. D.8.已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（）A. B. C. D. 19.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（）A. 2B.C.D. 110.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（）A. 甲的最高B. 乙的最低C. 丙的最低D. 乙的最高11.数学活动课上，小敏.小颖分别画了△ABC和△DEF ，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S △ABC.S△DEF ，那么它们的大小关系是（）A. S△ABC＞S△DEFB. S△ABC＜S△DEFC. S△ABC=S△DEFD. 不能确定12.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m，那么这棵树高是（）A. mB. mC. mD. 4 m二、填空题13.用计算器求tan35°的值，按键顺序是________ ．14.若cosA=0.6753，则锐角A=________（用度、分、秒表示）．15.设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=________．16.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是________ ．17.如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i=________18.在等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即T（A）= = ．例：T（60°）=1，那么T（120°）=________．19. 一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°= × + × =1．类似地，可以求得sin15°的值是________．20.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是________．三、解答题21.计算：sin218°+cos45°•tan25°•tan65°+sin72°•cos18°．22. 南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算，渔政船距A岛的距离AB长为10海里．此时位于A岛正西方向C 处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）23.一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向上的点A处，在A正东方向上距离20海里的有一点B处，在灯塔P 南偏西45°方向上，求A距离灯塔P的距离．（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）24.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB=10米，AE=15米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0．1米．参考数据：）参考答案一、选择题B C A A C C B A D D C A二、填空题13.先按tan，再按35，最后按=14.47°31′12″15.16.4.817.1：2.418.19.20.三、解答题21.解：sin218°+cos45°•tan25°•tan65°+sin72°•cos18°=sin218°+×1+cos218°=1+．22.解：过B点作BD⊥AC，垂足为D．根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，在Rt△ABD中，∵cos∠ABD= ，∴cos37°= ≈0.80，∴BD≈10×0.8=8（海里），在Rt△CBD中，∵cos∠CBD= ，∴cos50°= ≈0.64，∴BC≈8÷0.64=12.5（海里），∴12.5÷30= （小时），∴×60=25（分钟）．答：渔政船约25分钟到达渔船所在的C处．23.解：如图：∵AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20，在△PBC中，∵∠BPC=45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴BC=PC，设BC=PC=x，则AC=20+x，在Rt△APC中，∵tan∠APC=，∴=，∴x=10（+1）（海里）．在Rt△APC中，∵∠A=30°，∴PA=2PC=20（+1）≈54.6（海里）答：A距离灯塔P的距离为54.6海里．24.（1）解：过B作BG⊥DE于G，Rt△ABF中，i=tan∠BAH=∴∠BAH=30°，∴BH= AB=5；（2）解：由（1）得：BH=5，AH=5 ，∴BG=AH+AE=5 +15，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5 +15．Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE= AE=15 ．∴CD=CG+GE﹣DE=5 +15+5﹣15 =20﹣10 ≈2．7m．答：宣传牌CD高约2．7米．。
人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题(含答案)
人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题（含答案）一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)1．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，则下列判断正确的是( )图1A ．∠A ＝30°B ．AC ＝12C ．AB ＝2D ．AC ＝22．在△ABC 中，∠A ，∠C 都是锐角，且sin A ＝32，tan C ＝3，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定3．如图2，直线y ＝34x ＋3分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则cos ∠BAO 的值是( )图2A.45B.35C.43D.544．如图3，一河坝的横断面为梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，坝顶BC 宽10米，坝高BE 为12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )图3A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米5．如图4，某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处，那么tan ∠ABP 的值为( )图4A.12 B ．2 C.55 D.2 556．如图5，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A ，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是( )图5A.312 B.36 C.33 D.327．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔是本市现存最古老的建筑．如图6，测绘师在离铁塔10米处的点C 处测得塔顶A 的仰角为α，他又在离铁塔25米处的点D 处测得塔顶A 的仰角为β，若tan αtan β＝1，点D ，C ，B 在同一条直线上，则测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：10≈3.162)( )图6A ．15.81米B ．16.81米C ．30.62米D ．31.62米二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 8．计算：cos30°＋3sin30°＝________. 9．若α为锐角，且tan(α＋20°)＝33，则α＝__________. 10．如图7，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则cos A ＝________．图711．如图8，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了________米．图812．如图9，菱形ABCD 的周长为20 cm ，且tan ∠ABD ＝43，则菱形ABCD 的面积为________cm 2.图913．如图10所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝45°，AC 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接CD .如果AD ＝1，那么tan ∠BCD ＝________.图1014．如图11所示，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝________.图11三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(8分)计算：|－3|＋3tan30°－12－(2019－π)0.16．(10分)如图12所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C ＝45°，sin B ＝13，AD ＝1.求BC的长．图1217．(12分)如图13，小明在M 处用高1米(DM ＝1米)的测角仪测得旗杆AB 的顶端B 的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到达点F 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°，请求出旗杆AB 的高度．图1318．(14分)如图14，皋兰山某处有一座信号塔AB ，山坡BC 的坡度为1∶3，现为了测量塔高AB ，测量人员选择山坡C 处为一测量点，测得∠DCA ＝45°，然后他沿着山坡向上行走100 m 到达点E 处，再测得∠FEA ＝60°.(1)求山坡BC 的坡角∠BCD 的度数；(2)求塔顶A 到CD 的铅直高度AD (结果保留整数，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．图14详解详析1．D2．[解析] C 由sin A ＝32，tan C ＝3，知∠A ＝60°，∠C ＝60°， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．[解析] A 当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝－4， ∴A (－4，0)，B (0，3)， ∴OA ＝4，OB ＝3.在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝5，则cos ∠BAO ＝OA AB ＝45.故选A. 4．[解析] D ∵坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1 1.5， ∴AE ＝1.5BE ＝18米． ∵BC ＝10米，∴AD ＝2AE ＋BC ＝2×18＋10＝46(米)．5．[解析] A 在△PAB 中，∠APB ＝60°＋30°＝90°，PA ＝20海里，PB ＝60×23＝40(海里)，故tan ∠ABP ＝PA PB ＝2040＝12.故选A.6．B7．[解析] A ∵BC ＝10米，BD ＝25米， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝10tan α. 在Rt △ABD 中，AB ＝BD ·tan β＝25tan β.∵tan αtan β＝1，∴AB 2＝10tan α·25tan β＝250， ∴AB ＝250＝5 10≈5×3.162＝15.81(米)． 8．[答案] 3[解析] cos30°＋3sin30°＝32＋3×12＝ 3. 9．[答案] 10°[解析] 由特殊角的三角函数值可知α＋20°＝30°，则α＝10°. 10．[答案] 2 55[解析] 如图．由勾股定理，得AC ＝2 5，AD ＝4， ∴cos A ＝AD AC ＝425＝2 55.11．[答案] 100[解析] 根据题意，得tan A ＝BC AC＝13＝33，所以∠A ＝30°， 所以BC ＝12AB ＝12×200＝100(米)．12．[答案] 24[解析] 连接AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD . ∵菱形的周长为20 cm ， ∴菱形的边长为5 cm. 在Rt △ABO 中，tan ∠ABO ＝43，故可设OA ＝4x cm ，OB ＝3x cm.又∵AB ＝5 cm ，因此根据勾股定理可得，OA ＝4 cm ，OB ＝3 cm ，∴AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，∴菱形ABCD 的面积为12×6×8＝24(cm 2)．13．[答案] 2－1[解析] ∵∠A ＝45°，AD ＝1，∴sin45°＝22＝DE AD ，∴DE ＝22. ∵∠A ＝45°，AC 的垂直平分线分别交AB ，AC 于D ，E 两点， ∴AE ＝DE ＝CE ＝22，∠ADC ＝90°，AD ＝CD ＝1， ∴AC ＝2，∴BD ＝AB －AD ＝AC －AD ＝2－1， ∴tan ∠BCD ＝BD CD＝2－1. 14．[答案] 12[解析] 连接OM ，MF ，OM 的反向延长线交EF 于点C ，如图所示， ∵直线MN 与⊙O 相切于点M ，∴OM ⊥MN . ∵EF ∥MN ，∴MC ⊥EF ，∴CE ＝CF ， ∴ME ＝MF ，而ME ＝EF ，∴ME ＝EF ＝MF ， ∴△MEF 为等边三角形，∴∠E ＝60°， ∴cos E ＝cos60°＝12.15．解：原式＝3＋3×33－2 3－1＝3－2 3. 16．解：在Rt △ABD 中，∵sin B ＝AD AB ＝13，AD ＝1，∴AB ＝3.∵BD 2＝AB 2－AD 2，∴BD ＝32－12＝2 2. 在Rt △ADC 中，∵tan C ＝AD CD＝tan45°＝1， ∴CD ＝AD ＝1，∴BC ＝BD ＋CD ＝22＋1.17．解：由题意，得四边形CDMF 为矩形，CD ＝FM ＝10米，AE ＝CF ＝DM ＝1米． ∵∠BCE ＝60°，∠BDE ＝30°， ∴∠CBD ＝30°， ∴BC ＝CD ＝10米．在Rt△BEC中，sin∠BCE＝BEBC，∴BE＝BC·sin∠BCE＝5 3米，∴AB＝BE＋AE＝(5 3＋1)米．答：旗杆AB的高度为(5 3＋1)米．18．解：(1)依题意，得tan∠BCD＝13＝33，∴∠BCD＝30°.(2)如图，过点E作EG⊥CD于点G.∵∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，∴∠ACE＝15°，∠DAC＝45°.∵∠AEF＝60°，∴∠EAF＝30°.∵∠DAC＝45°，∴∠EAC＝∠DAC－∠EAF＝15°，∴∠ACE＝∠EAC，∴AE＝CE＝100 m.在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，∴AF＝AE·sin60°＝50 3 m.在Rt△CEG中，CE＝100 m，∠ECG＝30°，∴EG＝CE·sin30°＝50 m，∴AD＝AF＋FD＝AF＋EG＝50 3＋50≈137(m)．。
2018-2019学年人教版九年级数学第二学期第28章锐角三角函数单元检测卷及答案
九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测卷时间120分钟分数120分一、选择题（每小题3分计30分）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( )A ．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tanA 的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.453.计算2cos60°的结果为( )A ．1 B. 3 C. 2 D.124.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35，则斜边上的高等于( ) A.6425 B.4825 C.165 D.1255．如图K －17－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为( )图K －17－3A．4 B．25C.181313D.1213136.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( )A．csinA＝a B．bcosB＝cC．atanA＝b D．ctanB＝b7.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( )A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．3.5 cos29°8.如图K－22－4，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )图K－22－4A．20(3＋1)米/秒 B．20(3－1)米/秒C．200米/秒 D．300米/秒9.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A．29.1米 B．31.9米 C.45.9米 D．95.9米10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )图K－20－3A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米二、填空题（每小题3分计18分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sinB＝________．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．13.若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3 3x＋3＝0的一个根，则锐角α＝________．14．如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE ＝1.5 m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)图K－21－515.一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．16.如图K－22－7，小华站在河岸上的点G处看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为__________米(结果保留根号).图K－22－7三、解答题（17题10分；18题10分；19题12分；20题12分；21题14分；22题14分；计72分）17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，求sinA和sinB的值．18.如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.(1)求sin∠BAC的值；(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；(3)求tan∠ADC的值.图K－17－1219.某太阳能热水器的横截面示意图如图K－18－4所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.(1)求支架CD的长；(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)图K－18－420.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)b＝10，∠A＝60°；(2)a＝25，b＝2 1521.甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？22.某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图K－20－12所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为2米，旗杆的底端A到钟面9点处刻度C的距离为5米．一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到钟面11点的刻度上，同时测得1米长的标杆的影长为1.6米．(1)计算时钟的时针从9点转到11点时的旋转角是多少度；(2)求旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图K－20－1223.如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)?九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测卷时间120分钟分数120分二、选择题（每小题3分计30分）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( D )A ．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tanA 的值是( A ) A.34 B.43 C.35 D.453.计算2cos60°的结果为( A )A ．1 B. 3 C. 2 D.124.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝35，则斜边上的高等于(B ) A.6425 B.4825 C.165 D.1255．如图K －17－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为( A )图K－17－3A．4 B．25C.181313D.1213136.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )A．csinA＝a B．bcosB＝cC．atanA＝b D．ctanB＝b7.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( B )A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．3.5 cos29°8.如图K－22－4，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A )图K－22－4A．20(3＋1)米/秒 B．20(3－1)米/秒C．200米/秒 D．300米/秒9.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( B )A．29.1米 B．31.9米 C.45.9米 D．95.9米10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－20－3，旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( A )图K－20－3A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米二、填空题（每小题3分计18分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则sinB＝________．[答案] 3 412．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．[答案] 3 713.若cosα是关于x的一元二次方程2x2－3 3x＋3＝0的一个根，则锐角α＝________．[答案] 30°14．如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE ＝1.5 m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)图K－21－5[答案] 15.315.一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．[答案]43－416.如图K－22－7，小华站在河岸上的点G处看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离DG＝1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为__________米(结果保留根号).图K－22－7[答案] (8 3－5.5)三、解答题（17题10分；18题10分；19题12分；20题12分；21题14分；22题14分；计72分）17.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，求sinA和sinB的值．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝12＋22＝5(cm)，∴sinA＝BCAB＝25＝2 55，sinB＝ACAB＝15＝55.即sinA＝255，sinB＝55.18.如图K－17－12，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3.(1)求sin∠BAC的值；(2)如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；(3)求tan∠ADC的值.图K－17－12 解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AB＝5，BC＝3，∴sin∠BAC＝BCAB＝35.(2)∵OE⊥AC，O是⊙O的圆心，∴E是AC的中点，∴OE＝12BC＝32.(3)∵AC＝AB2－BC2＝4，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝ACBC＝43.19.某太阳能热水器的横截面示意图如图K－18－4所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.(1)求支架CD的长；(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)图K－18－4解：(1)在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，∴cos30°＝CD80＝32，解得CD＝40 3(cm)．即支架CD的长为40 3 cm.(2)在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，∴tan30°＝OC165＝33，解得OC＝55 3(cm)，∴OA＝2OC＝110 3 cm，OB＝OD＝OC－CD＝55 3－40 3＝15 3(cm)，AB＝OA－OB＝110 3－15 3＝95 3(cm)．即真空热水管AB的长为95 3 cm.20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)b＝10，∠A＝60°；(2)a＝25，b＝2 15解： (1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∵cosA＝bc，∴c＝bcosA＝10cos60°＝1012＝20，∴a＝c2－b2＝202－102＝10 3.(2)c＝a2＋b2＝（2 5）2＋（215）2＝4 5.∵tanA＝ab＝2 5215＝33，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.21.甲、乙两艘轮船于上午8时同时从A地分别沿北偏东23°和北偏西67°的方向出发，如果甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度是32海里/时，那么下午1时两艘轮船相距多少海里？解：如图所示，设下午1时，甲轮船到达B，乙轮船到达C，根据题意知∠BAE ＝23°，∠CAE＝67°，所以∠BAC＝∠CAE＋∠BAE＝90°.又因为AB＝24×5＝120，AC＝32×5＝160，由勾股定理得BC2＝1202＋1602＝40000，所以BC＝200，答：下午1时两艘轮船相距200海里．22.某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，如图K－20－12所示，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为2米，旗杆的底端A到钟面9点处刻度C的距离为5米．一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到钟面11点的刻度上，同时测得1米长的标杆的影长为1.6米．(1)计算时钟的时针从9点转到11点时的旋转角是多少度；(2)求旗杆AB的高度(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图K－20－12解：(1)时钟的时针从9点转到11点转过2个大格，则旋转角的度数为2×30°＝60°.(2)如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，设半圆圆心为O，连接OD.∵点D在11点的刻度上，∴∠COD＝60°，∴DE＝OD·sin60°＝2×32＝3(米)，OE＝OD·cos60°＝2×12＝1(米)，∴CE＝2－1＝1(米)，∴DF＝AE＝5＋1＝6(米)．∵同时测得1米长的标杆的影长为1.6米，∴DFBF＝1.61，∴BF＝61.6＝154(米)，∴AB＝BF＋DE＝154＋3≈5.5(米)．答：旗杆AB的高度约为5.5米．23.如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长(精确到1米)(参考数据：3≈1.7)?(1) 解：连接AP，由题意得AH⊥MN，AH＝15，AP＝39，在Rt△APH中，由勾股定理得PH＝36.答：此时汽车与点H的距离为36米；(2) 解：由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，QC⊥AB，∠QDC＝30°，QC＝39.在Rt△DCQ中，DQ＝2QC＝78，在Rt△ADH中，DH＝AH·cot30°＝15 3.∴PQ＝PH－DH＋DQ≈114－15×1.7＝88.5≈89(米)。