第28章 锐角三角函数
第二十八章“锐角三角函数”简介
第二十八章“锐角三角函数”简介引言在高中数学中，我们学习了三角函数的基本概念和性质，包括正弦、余弦和正切函数。
这些函数可用于描述角度与三角形之间的关系。
但是，这些函数只适用于锐角，即小于90度的角度。
在本章中，我们将介绍新的三角函数，称为锐角三角函数，用于处理大于90度且小于180度的锐角。
1. 三角函数的复习在介绍锐角三角函数之前，让我们先回顾一下正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
正弦函数正弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数的图像在锐角范围内是递增的，即随着角度增加，正弦值也会增加。
余弦函数余弦函数是一个周期函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像在锐角范围内是递减的，即随着角度增加，余弦值会减小。
正切函数正切函数是一个定义域为实数集的函数。
与正弦和余弦函数不同的是，正切函数在90度和270度处存在无穷大的间断点。
正切函数在锐角范围内是递增的。
三角函数的基本关系在锐角范围内，正弦函数的取值范围位于余弦函数的取值范围之上，而正切函数的取值范围位于正弦函数和余弦函数之间。
2. 锐角三角函数的定义在锐角三角函数中, 我们引入了三个新的三角函数：正割、余割和余切。
正割函数正割函数是余弦函数的倒数。
在锐角范围内，正割值大于等于1。
余割函数余割函数是正弦函数的倒数。
在锐角范围内，余割值大于等于1。
余切函数余切函数是正切函数的倒数。
在锐角范围内，余切值大于等于1。
3. 锐角三角函数的图像锐角三角函数的图像与正弦、余弦和正切函数的图像有些相似，但也存在一些差异。
正割函数的图像正割函数的图像是一个周期函数。
在锐角范围内，正割函数的值递增，与余弦函数的值递减相反。
余割函数的图像余割函数的图像是一个周期函数。
在锐角范围内，余割函数的值递增，与正弦函数的值递减相反。
余切函数的图像余切函数的图像是一个周期函数。
在锐角范围内，余切函数的值递增，与正切函数的值递增相反。
第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)
第二十八章 锐角三角函数单元总结【知识要点】 知识点一 锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA 、cosA 是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，对边邻边C知识点二 解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一 正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD ＝5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A 【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴2222=108=6AB AC --，∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A 5B25C5D．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，222425+=∴cos∠25525=．故选B ．变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠=，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（ ） A ．18 B ．2C ．12D ．118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC 中，cosA ＝ACAB，即可求得AC 的长． 【详解】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴cosA ＝ACAB ， ∵cosA ＝13，AB ＝6，∴AC ＝123AB =，故答案选：B ． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系．变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M （5，2），那么cosα的值是（ ）A 5B ．23C 25D 5【答案】D 【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（5，2），∴OH＝5，MH＝2，∴OM＝22(5)2+＝3，∴cosα＝5 OHOM=，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C3D3【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】 如图，连接BC ，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB 2+BC 2=AC 2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan ∠BAC=1， 故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解． 解析：如图，作DE ⊥AB 于E ．∵tan ∠DBA==，∴BE=5DE ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE ．∴BE=5AE ，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=，AE=2．故选A.变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若2tan5BAC∠=，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解：因为2tan5BCBACAC＝∠=，又BC＝30，所以，3025AC＝，解得：AC＝75m，所以，故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(312) D．(－123【答案】B 【详解】∵点（-sin60°，cos60°）即为点（312），∴点（-sin60°，cos60°）关于y 3，12）．变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=3，sin30°=12，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC中，sin A=cos B=22，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=45，则cosB的值等于( )A．35B．45C．34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cos B=sin A=45．故选B．点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA= 12，那么sinA 的值是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可． 【详解】：∵Rt △ABC 中，cosA=12 ，∴ =2， 故选B ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠=，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（ ） A ．35B ．53C ．34D ．43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∴cosA=b c ，tanA=ab ，a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45，设b=4x ，则c=5x ，a=3x ．∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六 解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α， 在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα， 故选B ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（ ）A ．10B ．15C ．6D ．10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，在Rt ACD ∆中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD ∆中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sinB 的值．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ACD ∆中，1CD CA cosC ⋅＝＝，2215AD AD CD ∴=-=；在Rt ABD ∆中，315BD CB CD AD ＝﹣＝，＝，22BD AD 26AB ∴=+=，AD 10sin AB B ∴==． 故选：D ．【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A．11米B．（36﹣153）米C．153米D．（36﹣103）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝103（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．∴甲楼高为（36﹣103）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD ∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ，先在RT △BDN 中求出线段BN ，在RT △ABM 中求出AM ，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题．【详解】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在RT △BDN 中，BD=30，BN ：ND=13，∴BN=15，DN=153，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=603153453-=，在RT△ABM中，tan∠ABM=43 AMBM=，∴AM=603，∴AC=AM+CM=15603+．【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．【解析】分析：利用锐角三角函数，在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF ．通过矩形CEFH 得到CH 的长．详解：在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE=CE AE， ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中，∵tan ∠DBF=DF BF， ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm ）∵CE ⊥EF ，CH ⊥DF ，DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形，∴CH=EF=151（cm ）.答：高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．。
锐角三角函数课件
28.1 锐角三角函数
锐角三角函数
学习目标：
1.利用相似的直角三角形，探索并理解锐角三角函数（正弦、余 弦、正切）的概念，会计算锐角的正弦值、余弦值和正切值；
2.知道30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值，并会由一 个特殊角的三角函数值说出这个角.
B
斜边? 30°
A
35 对边
C
根据 “在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等
于斜边的一半。”
A的对边 ＝ BC 斜边 AB
1 2
可得AB = 2BC = 70 m.也就是说，需要准备70 m长的水管.
锐角三角函数
二、探究新知
问题 3 在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，
A
C A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC AB B' C' A' B'
即 BC B' C' AB A' B'
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大 小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
二、探究新知
如图, 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜
那么需要准备多长的水管？
B B'
35 50
30°
A
C C'
A的对边 B'C' 1,
斜边 AB' 2
在一个直角三角形中，如果一个锐角等 于30，那么不管三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 1 .
第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中，∠C=90°.（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=aa（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=aa（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示：sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.（2）sin α=cos（90°-α）cos α=sin（90°-α）tan α·tan（90°-α）=1（3）锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2（90°-α）=1（5）tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°，则sin α=cos α； 若α<45°，则sin α<cos α； 若α>45°，则sin α>cos α；28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中，三边之间的关系是a 2+b 2=c 2（勾股定理）； 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边，cosA=∠A 的邻边斜边，tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c ，较简便的方法是用正弦求出BC ，用余弦求出AC ，也可用勾股定理求出AC ，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角，且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图，在∠ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( )A．52B．12C．255D．554.如图，在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝35，则AC的长为( )A．3 B．9 C．4 D．127.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图，在∠ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14 ，则sinB 的值为( )A.102 B ．153 C ．64 D ．10410.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线 AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos∠ADC 的值为( )A ．21313B ．31313C ．23D ．53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB，垂足为D，若AC＝ 5 ，BC ＝2，则sin∠ACD的值为_________．16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________．三、解答题19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据：aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)。
人教版九年级数学下第28章28.1《锐角三角函数》优秀教学案例
四、教学评价
1.评价学生的知识掌握程度：通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生对锐角三角函数知识的掌握情况；
2.评价学生的实践操作能力：通过实际问题解决，评价学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力；
3.评价学生的合作交流能力：通过小组讨论、互动交流等方式，评价学生在团队合作中的表现；
3.讲练结合：在课堂中及时进行练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力；
4.反馈调整：根据学生的学习情况，及时调整教学方法，以提高教学效果。
五、教学过程
1.创设情境，引入新课：通过生活实例，引导学生思考并引入锐角三角函数的概念；
2.自主探究，小组合作：让学生在小组内讨论交流，共同探究锐角三角函数的定义及应用；
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发学生学习数学的内在动力；
2.培养学生合作交流的意识，提高学生团队协作的能力；
3.让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识；
4.通过对本节课的学习，使学生树立正确的数学学习观念，相信自己通过努力可以掌握并运用好数学知识。
三、教学重难点
4.评价学生的情感态度与价值观：通过观察学生的学习态度、课堂表现等，评价学生对数学学科的兴趣和热爱。
五、教学拓展
1.利用多媒体技术，展示锐角三角函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；
2.推荐相关的数学读物和网站，让学生课后进行拓展学习，提高学生的数学素养；
3.结合学校或社区的活动，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。
六、教学反思
在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法、教学内容等方面，以确保教学的质量和效果。同时，关注学生的学习反馈，根据学生的需求调整教学策略，以提高教学效果。通过不断的反思和调整，使教学更加符合学生的实际情况，提高学生的数学素养。
第二十八章“锐角三角函数”简介 (1)
本章“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。
锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。
研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。
锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。
难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。
至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
本章内容与已学“相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：28．1 锐角三角函数约6课时28．2 解直角三角形约4课时数学活动小结约2课时一、教科书内容与课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识的展开顺序（二）教科书内容本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。
2024九年级数学下册第28章锐角三角函数练素养求锐角三角函数值的七种常用方法课件新版新人教版
【点方法】
同一锐角的三角函数之间的关系： ①平方关系：sin2 A＋cos2 A＝1； ②商除关系：csions AA＝tan A． 互余两角的三角函数之间的关系： sin A＝cos(90°－A)；cos A＝sin(90°－A)．)
5 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE， 试求sin ∠ECM的值.
2 北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主 火炬塔的设计，体现了环保低碳理 念．如图，它的主体形状呈正六边 形，若点A，F，B，D，C，E是正 六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ 3 _____3___.
3 [2023·成都实验外国语学校模拟]已知 sin 42°≈23，则 cos 48°
的值约为( D )
(2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长. 【解】如图，连接 AE. ∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ ABC，∴AADB＝DBCE. ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴tan B＝ABDD＝2，∴AD＝2BD．
∵CD＝3，∴AC＝BC＝BD＋CD＝BD＋3. ∵AD2＋CD2＝AC2，∴(2BD)2＋32＝(BD＋3)2， 解得 BD＝2 或 BD＝0(舍去)， ∴AD＝2BD＝4，BC＝2＋3＝5. ∴AB＝ AD2＋BD2＝ 42＋22＝2 5. ∵AADB＝DBCE，∴245＝D5E，∴DE＝2 5.
∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，
∴∠OCF＝∠D＝90°.∴OC⊥DC．
又∵OC 是⊙O 的半径，∴DC 是⊙O 的切线．
(2)若 AE＝2，sin∠AFD＝13. ①求⊙O 的半径；
【解】如图，过点 O 作 OG⊥AE，垂足为点 G， ∴AG＝EG＝12AE＝1. ∵OG⊥AD，∴∠AGO＝∠D＝90°. ∴OG∥DF，∴∠AFD＝∠AOG. ∴sin∠AOG＝sin∠AFD＝13.
第28章锐角三角函数【A卷】(原卷版)
第28章锐角三角函数A卷满分120分一、单选题1. ( 3分) 已知是等腰直角三角形的一个锐角，则的值为（）A. B.√2C. D.122. ( 3分) sin30°等于（）A.12B. -12C.√32D. -√323. ( 3分) 如图，在中，.若AC=4，BC=3，则下列结论中正确的是（）A.sinA=34B.cosA=53C.tanA=34D.cosA=354. ( 3分) 在锐角△ABC中，|sinA﹣√32|+（cosB﹣√22）2=0，则△C的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.75°5. ( 3分) 如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于() A.6（√3＋1）m B.6 (√3-1) m C.12 (√3＋1) m D.12（√3－1）m6. ( 3分) 在Rt△ABC中，△C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A.4B.2√5C.18√313D.12√3137. ( 3分) 用计算器求cos15°，正确的按键顺序是（）A.cos15=B.cos15C.Shift15D.15cos8. ( 3分) 如图，已知l1△l2△l3△l4 ，相邻两条平行直线间的距离相等.若等腰直角的三个顶点分别在三条平行直线上，则△α的正弦值是（）A.2√1313B.3√1313C.32D.239. ( 3分) 若△A为锐角，cosA= √22，则△A的度数为（）A.75°B.60°C.45°D.30°10. ( 3分) 等腰三角形的底角为15，腰长a为，则此等腰三角形的底长为（）A. B.1+√32a C. D.√6+√22a二、填空题11. ( 4分)如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则________.12. ( 4分) 计算：tan60°﹣cos30°=________．，则BC的长为________．13. ( 4分) 如图，在△ABC中，AC=2，△A=45°，tanB=1214. ( 4分) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则sin△ABE的值为________．15.( 4分) 在中，，，的面积为12，则的度数为________．16.16. ( 4分) 计算：________．17. ( 4分) 将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，DE、CF为折痕，折叠后点A和点B都落在点O处．若△EOF的值为________．是等边三角形，则ABAD18. ( 4分) 如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AB＝√37，D是CB延长线上一点，以BD为边向上作等边三角形EBD，连接AD，若AD＝11，且△ABE＝2△ADE，则tan△ADE的值为________．三、解答题19. ( 6分) 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角△BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）21. ( 6分) 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为16海里．求A、C两地之间的距离．（保留根号）3﹣（2008﹣π）0 ．22. ( 6分) 计算：|﹣3|+√3•tan30°﹣√823. ( 10分) 如图，抛物线y=14x2+14x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．△求证：△APM△△AON；△设点M的横坐标为m ，求AN的长（用含m的代数式表示）．四、综合题24. ( 12分) 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD△AC于点D，sinA＝1213（1）求BD的长；（2）求tanC的值.25. ( 12分) 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的△O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF△AC于点F.（1）试说明DF是△O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC.。
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情
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成
探
角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需 要准备多长的水管？
究
B
C A
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
A
A的邻边 A的对边
b a
三角函数的定义
锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切， 统称为锐角∠A的三角函数
巩固练习
❖ 1：找一找：如图：在Rt△中你能找出各锐角 的邻边、对边和斜边吗
巩固练习
2 、 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求
∠A的四个三角函数值。
B 3
A
4
C
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8，tanA= 3 ，求sinA、cosB的值。
D
课堂小结:
1、本节课我学会了……
２、我的体会是……
探究
你能说出锐角三角函数值 得取值范围吗？
0﹤sinA ﹤1, tanA﹥0
0﹤cosA ﹤1 cotA﹥0
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
试着找出正弦和余弦，正切和余切之 间有什么联系？
sin2A+ cos2A=1 tanA ×cotA=1
问题情境
余弦（cosine），记作cosA， 即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
★我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切
（COtangent），记作COtA， 即
cot
2
也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝
90°，∠A＝∠A‘＝ ，那么 BC 与 B'C' 有什么关
AB
A' B'
系．你能解释一下吗？
B'
B
A
C A'
C'
由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝
即
sin
A
A的对边 斜边
a c
c 斜边
B
a 对边
A
bC
邻边
在图中 ∠A的对边记a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
• sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦， ∠ABC的正弦记作：sin ∠ABC
• sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比；
• sinA不表示“sin”乘以“A”。
类比探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝
90°，∠A＝∠A‘＝
B'
B
A
C A'
C'
当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A 的对边与邻边的比, ∠A的邻边与对边也随之确 定吗？为什么？
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
4
B
C
A
❖ 4、直角三角形的斜边和一条直角边的
❖ 比为25∶24，则其中最小的角的正弦
❖ 值为
。
5、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求 sinB，cosB，tanB，COtB
A
B
rldmm8989889
C D
6、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= 4 ，
求△ABC 的面积。
所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
BC AB , B'C' A' B'
即 BC B' C' . AB A' B'
探究
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
正弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，
5
B
5
5
A
C
7、已知锐角α的始边在x轴的正半轴 上(顶点在原点)，终边上一点的坐标为 (2，3)，求角α的四个三角函数值。
y P(2,3)
α
o
x
8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， CD⊥AB与点D。 (1)sinB可以为哪两条线段之比？ (2)若AC=5，CD=3，求sinB的值。
C
A
B
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
50m 30m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比 值都等于 1 。
2
如图，任意画一个Rt△ABC， A
使∠C＝90°，∠A＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比 BC ，
生活中有很多的“陡峭”与“平坦”的问题，如我们常见 的各色梯子、商场里的电动扶梯、大城市里的过街天桥等， 在生活中我们经常讲这个坡太“陡”那个坡比较“平”，那 么，我们又是用哪些量来衡量“陡”与“平”的呢？
B
D
A
C
上图是我们把天桥改“平”的示意图，我们这次次改造 过程中有哪些量保持不变，哪些量发生了变化？它们的 变化有联系吗？
你能得出什么结论？ AB C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45° 时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2
是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，