2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期末考试数学试题(有答案)
2019-2020学年山东省潍坊市高一下学期期末考试数学试题
2020．7
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i 为虚数单位，则复数
12i
i
+= A. 2 B. 2 C. 2 D. 2i i i i +--+--
2． 7cos
6
π= 3113 A. B. C.
D.
2
2
2
2
-
-
3．已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为
2
2
2
2.32 B. 16.8.4D A cm cm C cm cm
4．在△ABC 中，点M 满足2BM MC =，则
1221
. B. 3333
12
21
. D. 3333
A AM A
B A
C AM AB AC C AM AB AC
AM AB AC
=
+=
+=-=-
5．二十四节气（The 24 Solar Terms ）是指中 国农历中表示季节变迁的24个特定节 令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳 公转的轨道）上的位置变化而制定的． 每个节气对应地球在黄道上运动15°所 到达的一个位置，根据上述描述，从夏 至到立秋对应地球在黄道上运动的角 度为 A ．15° C ．45° B ．30°
D ．60°
6．已知72cos()410πθ-=，则sin 2θ＝
24
121224
A. B. C. D.
25
252525
-
-
7．已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的2
3
，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为
A ． 16π
B ．27π С． 36π D ．54π
8．若函数()tan()(0)4
f x x π
ωω=+>的最小正周期为π ，则
A. (2)(0)()
B. (0)(2)()
55 C. (0)()(2) D. ()(0)(2)55
f f f f f f f f f f f f ππ
ππ
>>->>->->->>
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．若,,a b c 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是 A ．若a =b ，则a =b B ．若,⋅=⋅=则a c b c a b C ．若，a
b b
c ，则a
c
D ．若a +b =a -b ，则⊥a b 10．下列叙述正确的是
A ．已知a ，b 是空间中的两条直线，若a b ⋂=∅，则直线a 与b 平行或异面
B ．已知l 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，若,l α⋂≠∅，则l ⊂α或l 与α只有一个公共点
C ．已知α，β是空间两个不同的平面，若αβ⋂≠∅，则α，β必相交于一条直线
D ．已知直线l 与平面α相交，且l 垂直于平面α内的无数条直线，则l ⊥α 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，32sin a c A =， 且0,42
C b π
<<
=，则以下说法正确的是
A ．3
C π
=
B ．若72c =
，则1
cos 7
B =
C ．若sin A ＝2cos B sin C ，则△ABC 是等边三角形
D ．若△ABC 的面积是23，则该三角形外接圆半径为4
12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人
类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点
(3,33)A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过
t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足
()sin()(0,0,||)2
y f t R t t π
ωϕωϕ==+≥><
，则下列叙述正确的是
A ．3
π
ϕ=-
B ．当[0,60]t ∈时，函数y ＝f (t )单调递增
C ．当[0,60]t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为33
D ．当t ＝100时， |PA |＝6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数31
22
z i =
+， z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=________． 14．已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，且高为2，则该正四棱锥的斜高为________．
15．若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π ，将y ＝f （x ）的图像向左平移π
6
个单位后，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值为________
16．已知两个非零向量(1,3),(cos ,sin ),[0,]2π
θθθ==∈a b ，若2⋅=a b ，则
θ＝________；若存在两个不同的θ，使得|3|||m +=a b a 成立，则正数m 的取值范围是________（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． （10分）
已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点0(4,)A y ，其中00y ≠．
(1)若25
cos 5
α=
，求0y 的值； （2）若02sin 3cos 4,cos 4sin y αα
αα
+=--求的值．
18． (12分)
某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息．如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3
1600003
cm ． （1）求正方体石块的棱长；
（2）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积．
19． （12分）
已知向量(3,1),(1,2),()n k k R =-=-=-∈a b a b ． (1)若n 与向量2-a b 垂直，求实数k 的值；
（2）若向量(1,1)=-c ，且n 与向量k b+c 平行，求实数k 的值． 20． (12分) 从,32sin 4
B a B π
==①②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完
成解答．
已知△ABC 中， a ，b ， c 分别是内角A ， B ， C 所对的边，且
222sin sin sin A B C =++sin B sinC ．
(1) 求角A ；
(2)已知6b =，且________，求sin C 的值及△ABC 的面积． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 21． （12分）
某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效 机制，把文明城市创建不断引向深入．近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为 五边形区域ABCDE （如图所示），其中三角形区域ABE 为健身休 闲区，四边形区域BCDE 为文娱活动区，AB ， BC ， CD ， DE ， EA ， BE 为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知∠BAE ＝60°， ∠EBC ＝90°， 120,333BCD DE BC CD km ︒∠====．
（1）求道路BE 的长度；
（2）求道路AB ，AE 长度之和的最大值． 22． （12分）
已知函数()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，
||)2
π
ϕ≤
的图像如图所示．
（1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）将函数y ＝f （x ）的图像向右平移 π
6
个单
位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记
作y ＝g （x ）．
（i ）求函数()()()2
x
h x f g x =的最大值；
（ii ）若函数()(2)()()2
F x g x mg x m R π
=-+∈在(0,)()n n N π+∈内恰有2015
个零点，求m 、n 的值．。
山东省潍坊市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学达标检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ，b 的夹角为60︒，且2a =，1b =，则a b -与12a b +的夹角等于 A ．150︒B ．90︒C ．60︒D ．30︒2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，42a =且满足()*212n n n a a a n N ++=-∈，若510S a λ=，则λ的值为（ ）A ．13-B ．3-C ．12-D ．2-3．下列极限为1的是（ ） A ．lim(0.999)n →∞（n 个9）B ．lim (1)(0.9999)n nn →∞-⋅⎢⎥⎣⎦C ．2lim n n n π-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2273lim 714n n n n n →∞++++4．已知cos 4θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．7-B ．7C ．17-D ．175．ABC ∆中，2,3,60,b c A ===︒则a = ABC．D ．36．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+ B．3 C．2+D ．37．已知圆C 的半径为2，在圆内随机取一点P ，并以P 为中点作弦AB，则弦长AB ≤的概率为A ．14B ．34CD8．设sec 6α=-，()0απ∈，,则α的值可表示为（ ） A ．1arccos6π- B ．1arccos6π+ C ．1arccos6D ．1arccos6- 9．如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1231,31,,31n x x x ---的平均数和方差分别为( )A ．2,x sB ．231,x s -C ．231,3x s -D ．231,9x s -10．设,x y 满足约束条件1{2x y y xy +≤≤≥-,则3z x y =+的最大值为 （ ）A ．7B ．6C ．5D ．311．已知向量()1,1a =，()2b 4,2a +=，则向量,b a 的夹角的余弦值为（ ）A B ．C ．2D ．2-12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．(C ．()D ．)二、填空题：本题共4小题13．已知{}n a 为等差数列，135a =，2d =-，0n S =，则n =______.14．将正偶数按下表排列成5列，每行有4个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字2018所在的行数与列数分别是_______________.15．在直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(1,1)时，OP 的坐标为________． 16．已知向量()2,2a =，()1,0b =，则b 在a 方向上的投影为______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年山东潍坊市高一上学期期末考试数学试题及答案
2019-2020学年山东潍坊市高一上学期期末考试数学试题及答案一、单选题1．命题p ：R x ∀∈，21x ≥的否定是（）A ．R x ∀∈，21x <B ．R x ∃∈，21x <C ．R x ∀∉，21x ≥D ．R x ∉，21x <2．已知集合{}2,4,6A =，()(){}260B x x x =--=，则A B = （）A ．∅B ．{}2C ．{}6D ．{}2,63．若p ：1x >，q ：1x >，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，若摸出红球的概率为0.4，摸出红球或黄球的概率为0.62，则摸出红球或蓝球的概率为（）A ．0.22B ．0.38C ．0.6D ．0.785．已知点()2,9在指数函数()y f x =的图像上，则()127f -=（）A ．14B ．13C ．3D ．46．函数()3122xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间()1,0-内的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（）A ．2斤B ．75斤C ．65斤D ．1110斤8．已知函数a y x =，x y b =，log c y x =的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a<<二、多选题9．设a ，b ，R c ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（）A ．22ac bc >B ．2211a b <C ．a c b c->-D ．a be e --<10．已知函数()22f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是（）A ．1a <B ．若120x x ≠，则12112x x a+=C ．()()13f f -=D ．函数有()y fx =四个零点11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（）甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3．A ．甲地B ．乙地C ．丙地D ．丁地12．已知函数()()11,0,2,0.x x f x f x x ⎧+-<⎪=⎨-≥⎪⎩则以下结论正确的是（）A ．()20200f =B ．方程()114f x x =-有三个实根C ．当[)4,6x ∈时，()51f x x =--D ．若函数()y f x t =-在(),6-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =⋅⋅⋅，则()81iii x f x =∑的取值范围为()16,0-三、填空题13．21log 3381272⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．14．数据：18,26,27,28,30,32,34,40的75%分位数为______．15．设函数()1x x f x ae e=+（a 为常数）．若()f x 为偶函数，则实数a =______；若对R x ∀∈，()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数()()222221x k x f x x x +++=++()0x >，∀,,0a b c >，以()f a ，()f b ，()f c 的值为边长可构成一个三角形，则实数k 的取值范围为______．四、解答题17．已知集合[]3,6A =，[],8B a =．（1）在①7a =，②5a =，③4a =这三个条件中选择一个条件，使得A B ⋂≠∅，并求A B ；（2）已知[]3,8A B = ，求实数a 的取值范围．18．已知函数()2273f x x x =-+-．（1）求不等式()0f x >的解集；（2）当()0,x ∈+∞时，求函数()f x y x=的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．19．已知函数()()()log 2log 2a a f x x x =++-()01a <<．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 的最小值为2-，求实数a 的值．20．已知函数()()211,0,2log 1,0.xx f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩（1）求()1f f -⎡⎤⎣⎦的值；（2）在绘出的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =的大致图像；（3）解关于x 的不等式()2f x >．21．某手机生产厂商为迎接5G 时代的到来，要生产一款5G 手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：[)5.0,5.5，[)5.5,6.0，[)6.0,6.5，[)6.5,7.0，[)7.0,7.5，[)7.5,8.0（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在[)5.5,6.0的一组人数为50人．（1）求a 和b 的值；（2）用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为[)5.0,5.5和[)7.0,7.5两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？（3）若以厂家此次调查结果的频率作为概率，市场随机调查两人，这两人屏幕需求尺寸分别在[)6.0,6.5和[)7.0,7.5的概率是多少？22．已知函数()1xf x e a=-，函数()y g x =为函数()y f x =的反函数．（1）求函数()y g x =的解析式；（2）若方程()()ln 324g x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦恰有一个实根，求实数a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当[]12,,1x x b b ∈+时，满足()()12ln 4g x g x -≤，求实数a 的取值范围．数学试题参考答案1-8BDADC BCA 9-12CD ABC AD ACD13、114、3315、(1).1(2).14a ≥16、[]3,6-17、解：（1）选择条件②5a =（或③4a =）,若选②,则[][][]3,65,85,6A B == ．（若选③,则[][][]3,64,84,6A B == ．）（2）因为[]3,8A B = ,[]3,6A =,[],8B a =,结合数轴可得36a ≤≤,所以实数的取值范围为36a ≤≤．18、解：（1）由题意得22730x x -+->,因为方程22730x x -+-=有两个不等实根112x =,23x =,又二次函数()2273f x x x =-+-的图象开口向下,所以不等式()0f x >的解集为132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．（2）由题意知,()2273327f x x x y x xx x-+-===--+,因为0x >,所以3327727y x x x x ⎛⎫=--+=-+≤- ⎪⎝⎭,当且仅当32x x =,即2x =时,等号成立．综上所述,当且仅当62x =时,y 取得最大值为7-．19、解（1）要使函数()f x 有意义,则有20,20,x x +>⎧⎨->⎩解得22x -<<,因为()()()()log 2log 2a a f x x x f x -=-+++=,所以()f x 是偶函数．（2）()()2log 4a f x x =-()01a <<,因为()2,2x ∈-,所以2044x <-≤,令24x μ=-,又01a <<,所以log a y μ=在上为减函数,所以()min log 42a f x ==-,所以24a -=,12a =．20、（1）()11f -=,()()()211log 111f f f -==+=⎡⎤⎣⎦；（2）如图所示,（3）当0x <时,()1122xf x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,即132x⎛⎫> ⎪⎝⎭,得12log 3x <,即2log 3x <-当0x ≥时,()()2log 12f x x =+>,所以14x +>,得3x >,故原不等式解集为{32log x x <-或}3x >．21、解：（1）由已知,屏幕需求尺寸在[)5.5,6.0的一组频数为50,所以其频率为500.125400=,又因为组距为0.5,所以0.1250.250.5b ==,又因为()0.10.250.70.20.10.51a +++++⨯=,解得0.65a =,所以0.65a =,0.25b =．（2）由直方图知,两组人数分别为10.1400202⨯⨯=,10.2400402⨯⨯=,若分层抽取6人,则在[)5.0,5.5组中抽取2人,设为x ,y ；在[)7.0,7.5组中抽取4分,设为a ,b ,c ,d ,样本空间()()()()()()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x y x a x b x c x d y a y b y c y d a b a c a d b c b d c d Ω=共15个基本事件,记两人来自同一组为事件A ,()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,A x y a b a c a d b c b d c d =共7个基本事件．所以()715P A =．（3）记事件B 为屏幕需求尺寸在[)6.0,6.5,事件C 为屏幕需求尺寸在[)7.0,7.5,若以调查频率作为概率,则()0.35P B =,()0.1P C =,()()()0.035P BC P B P C ==,所以两人分别需求屏幕尺寸在[)6.0,6.5和[)7.0,7.5的概率为0.035．22、解：（1）因为()y g x =为函数()y f x =的反函数,故1y x e a=-,得1ln y a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()1ln g x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由()1ln ln 324a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭得()()23410a x a x -+--=；当3a =时,1x =-,经检验,满足题意；当2a =时,121x x ==-,经检验,满足题意；当2a ≠且3a ≠时,113x a =-,21x =-,12x x ≠,若1x 是原方程的解,当且仅当110a x +>,即32a >,若2x 是原方程的解,当且仅当210a x +>,即1a >,于是满足题意的31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上,a 的取值范围为{}31,2,32⎛⎤⎥⎝⎦．（3）不妨令121b x x b ≤≤≤+,则1211a a x x +>+,即函数()1ln g x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[],1b b +上为减函数；()max 1ln g x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()min 1ln 1g x a b ⎛⎫=+⎪+⎝⎭,因为当[]12,,1x x b b ∈+,满足()()12ln 4g x g x -≤,故只需11ln ln ln 41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,即()233110ab a b ++-≥对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >,所以函数()233110y ab a b =++-≥在1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增,14b =时,y 有最小值()3315111164164a a a ++-=-,由1510164a -≥,得415a ≥,故a 的取值范围为4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．。
山东省潍坊市2019-2020学年新高考高一数学下学期期末达标检测试题
【解析】
【分析】
由 为函数 关于 的一个“生长点”，得到
由诱导公式可得答案.
【详解】
解： 为函数 关于 的一个“生长点”，
，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，及函数的创新题型，属于中档题.
21．（1） ；（2）-2
【解析】
【分析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出;
对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；
对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EF FD，又EF CF，∴EF 平面CDF，
即有CD EF，∴CD 平面ADEF，则平面ADEF 平面ABCD，故③正确；
11．D
【解析】
可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对，
故选D.
12．D
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】
同时掷两枚骰子共有 种情况，其中向上点数相同的有 种情况，
其概率为 .
故选：D
【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算公式，解题的关键是找出基本事件个数，属于基础题.
16．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知曲线 上的任意一点到两定点 、 距离之和为 ，直线 交曲线 于 两点， 为坐标原点．
（1）求曲线 的方程；
（2）若 不过点 且不平行于坐标轴，记线段 的中点为 ，求证：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
2019年潍坊市高一数学下期末试卷(及答案)
2019年潍坊市高一数学下期末试卷(及答案)一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53 B ．103C ．56 D ．1163．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-4．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+5．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =rB ．a b ⊥r rC ．1a b ⋅=r rD ．()4C a b +⊥B u u u r rr7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C 223+D 33+8．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．4323⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．4323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．432,3⎛⎤⎥ ⎝⎦9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．410．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 11．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 14．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________15．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 16．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________17．已知圆的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣8y ＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为18．已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r ，则角B 的大小是__________． 19．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．三、解答题21．已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．22．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程.24．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小.25．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．26．已知函数()e cos xf x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．A解析：A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.3．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.4．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.5．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q rr ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r r ．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭o u u u r u u u r ．()4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．7．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当AC BC ==时，取等号．∴12(1)122222S =⨯⨯+++⨯32+=． 故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．8．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC V 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得23x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 9．B 解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =.本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．10．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.11．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 12．A解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B CC++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．14．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：94m ≤【解析】 【分析】由题意将4x y +=代入14x y+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围． 【详解】由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， Q 不等式14m x y +≥恒成立，94m ∴≤． 故答案为94m ≤． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．15．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线解析：1 2【解析】试题分析：依题意有AB ACk k=，即531522m--=+，解得12m=.考点：三点共线．16．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题解析：3 2【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为13 13322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题17．20【解析】【分析】根据题意可知过（35）的最长弦为直径最短弦为过（35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（x﹣解析：6【解析】【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【详解】解：圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52，由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，根据勾股定理得最短的弦|BD |＝=，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝|12AC |•|BD |12=⨯10×=．故答案为．【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半． 18．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件 解析：3π【解析】 由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=u u u r u u u r u u u r ，代入0578a b c GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r 可得()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，故578a b c ==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491cos 802t t t B t +-==，故3B π=，应填答案3π． 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787a b c b GA GC -+-=u u u r u u u r r ，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578a b c ==，最后运用余弦定理求出3B π=，使得问题获解． 19．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答 解析：13【解析】【分析】【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163=； 故答案为13． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．20．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图解析：7【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形，面积为3，有两个侧面是底边为2，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为22的等腰三角形，面积为7，所以面积最大的面的面积是7．考点：三视图．三、解答题21．（1）a n ＝－2n ＋5.（2）4【解析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，，解出a 1＝3，d ＝－2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 22．（1）3,2a c ==；（2）2327 【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得2sin 3B = 由正弦定理，得2sin sin 9cC B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果.（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r 得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b=3，所以2292213a c +=+⨯=.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，2212sin 1cos 1()33B B =-=-=由正弦定理，得22242sin sin 339c C B b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223393927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.23．（1）22(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.【解析】【分析】（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.【详解】（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,.由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切所以007<<x ，圆N 的半径为0x从而0075-=+x x解得01x =.所以圆N 的标准方程为22(1)(6)1x y -+-=.（2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201402-=-. 设直线l 的方程为12y x m =+，即220x y m -+=则圆心M 到直线l 的距离==d因为===BC OA 而2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭BC MC d 所以2(25)2555-=+m 解得152m =或52m =-. 故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=. 【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.24．（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【解析】【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式. （2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．由2219a a =，得140a d +=，由618S =，得1532a d +=， 于是18a =,2d =-．所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．（2）由（1）得(1)8(2)2n n n S n -=+⨯- 29n n =-+2981()24n =--+ 因为*n ∈N ，所以当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.25．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.26．(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式()()()000y f f x ¢-=-中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1xh x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.。
山东省潍坊市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案
潍坊市2019-2020学年高一下学期期末考试数学2020．7一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数12ii+= A. 2 B. 2 C. 2 D. 2i i i i +--+--2． 7cos6π= 3113 A. B. C.D.2222--3．已知某扇形的半径为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积为2222.32 B. 16.8.4D A cm cm C cm cm4．在△ABC 中，点M 满足2BM MC =，则1221. B. 33331221. D. 3333A AM AB AC AM AB AC C AM AB ACAM AB AC=+=+=-=-5．二十四节气（The 24 Solar Terms ）是指中 国农历中表示季节变迁的24个特定节 令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳 公转的轨道）上的位置变化而制定的． 每个节气对应地球在黄道上运动15°所 到达的一个位置，根据上述描述，从夏 至到立秋对应地球在黄道上运动的角 度为 A ．15° C ．45° B ．30°D ．60°6．已知cos()410πθ-=，则sin 2θ＝24121224A. B. C. D.25252525--7．已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的23，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为A ． 16πB ．27π С． 36π D ．54π8．若函数()tan()(0)4f x x πωω=+>的最小正周期为π ，则A. (2)(0)()B. (0)(2)()55 C. (0)()(2) D. ()(0)(2)55f f f f f f f f f f f f ππππ>>->>->->->>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．若,,a b c 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是 A ．若a =b ，则a =b B ．若,⋅=⋅=则a c b c a b C ．若，ab bc ，则acD ．若a +b =a -b ，则⊥a b 10．下列叙述正确的是A ．已知a ，b 是空间中的两条直线，若a b ⋂=∅，则直线a 与b 平行或异面B ．已知l 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，若,l α⋂≠∅，则l ⊂α或l 与α只有一个公共点C ．已知α，β是空间两个不同的平面，若αβ⋂≠∅，则α，β必相交于一条直线D ．已知直线l 与平面α相交，且l 垂直于平面α内的无数条直线，则l ⊥α 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，32sin a c A =， 且0,42C b π<<=，则以下说法正确的是A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin A ＝2cos B sin C ，则△ABC 是等边三角形D ．若△ABC 的面积是23，则该三角形外接圆半径为412．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点(3,33)A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足()sin()(0,0,||)2y f t R t t πωϕωϕ==+≥><，则下列叙述正确的是A ．3πϕ=-B ．当[0,60]t ∈时，函数y ＝f (t )单调递增C ．当[0,60]t ∈时，点P 到x 轴的距离的最大值为33D ．当t ＝100时， |PA |＝6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数3122z i =+， z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=________． 14．已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，且高为2，则该正四棱锥的斜高为________．15．若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π ，将y ＝f （x ）的图像向左平移π6个单位后，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值为________16．已知两个非零向量(cos ,sin ),[0,]2πθθθ==∈a b ，若2⋅=a b ，则θ＝________；若存在两个不同的θ，使得||||m =a a 成立，则正数m 的取值范围是________（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． （10分）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点0(4,)A y ，其中00y ≠．(1)若cos α=，求0y 的值； （2）若02sin 3cos 4,cos 4sin y αααα+=--求的值．18． (12分)某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息．如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是31600003cm ． （1）求正方体石块的棱长；（2）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积．19． （12分）已知向量(3,1),(1,2),()n k k R =-=-=-∈a b a b ． (1)若n 与向量2-a b 垂直，求实数k 的值；（2）若向量(1,1)=-c ，且n 与向量k b+c 平行，求实数k 的值．20． (12分) 从,32sin 4B a B π==①②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．已知△ABC 中， a ，b ， c 分别是内角A ， B ， C 所对的边，且222sin sin sin A B C =++sin B sinC ．(1) 求角A ；(2)已知6b =，且________，求sin C 的值及△ABC 的面积． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 21． （12分）某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效 机制，把文明城市创建不断引向深入．近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为 五边形区域ABCDE （如图所示），其中三角形区域ABE 为健身休 闲区，四边形区域BCDE 为文娱活动区，AB ， BC ， CD ， DE ， EA ， BE 为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知∠BAE ＝60°， ∠EBC ＝90°， 120,333BCD DE BC CD km ︒∠====．（1）求道路BE 的长度；（2）求道路AB ，AE 长度之和的最大值． 22． （12分）已知函数()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2πϕ≤的图像如图所示．（1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）将函数y ＝f （x ）的图像向右平移 π6个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作y ＝g （x ）．（i ）求函数()()()2xh x f g x =的最大值；（ii ）若函数()(2)()()2F x g x mg x m R π=-+∈在(0,)()n n N π+∈内恰有2015个零点，求m 、n 的值．。
山东省潍坊市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析
AM
1
AB
2
AC
A.
33
AM
2
AB
1
AC
B.
33
AM
1
AB
2
AC
C.
33
AM
2
AB
1
AC
D.
33
【答案】A
【解析】
【分析】
BM
2
BC
由已知条件可得
3 ，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案.
BM
2
BC
【详解】由点 M 满足 BM 2MC ，可得
3,
AM
AB+BM
S 1 r2 1 2 42 16cm2
根据扇形的面积公式，可得 2
2
所以此扇形的面积为16cm2 .
故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，其中解答中熟记扇形的面积公式是解答 的关键，着重考查推理与运算能力.
4. 在 ABC 中，点 M 满足 BM 2MC ，则（ ）
2
2
32 3 3 【详解】由题意，R＝
＝6，T＝120＝ ，∴ω＝ 60 ，当 t＝0 时，y＝f(t)
＝ 3 3 ，
代入可得 3
3 ＝6sin
φ，∵
2 ，∴φ＝－ 3 .故 A 正确；
所以
f
(t)
6 sin(
60
t
3
)
t
，当
0,
60 时，
60
t
3
3
，2 3
，所以函数
y f t 0,60
2 7. 已知一个圆柱的 侧面积等于其表面积的 3 ，且其轴截面的周长为 24，则该圆柱的体积为
2019-2020学年山东省潍坊市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）命题:p x R ∀∈，21x …的否定是( ) A ．x R ∀∈，21x < B ．x R ∃∈，21x <C ．x R ∀∉，21x …D ．x R ∉，21x <2．（3分）已知集合{2A =，4，6}，{|(2)(6)0}B x x x =--=，则(A B =I ) A ．∅B ．{2}C ．{6}D ．{2，6}3．（3分）已知:1p x >，:||1q x >，那么p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（3分）口袋中有若干红球、黄球与篮球，若摸出红球的概率为0.4，摸出红球或黄球的概率为0.62，则摸出红球或篮球的概率为( ) A ．0.22B ．0.38C ．0.6D ．0.785．（3分）已知点(2,9)在指数函数()y f x =的图象上，则1(27)(f -= ) A ．14B ．13C ．3D ．46．（3分）函数31()()22x f x x =--在区间(1,0)-内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金( ) A ．2斤B ．75斤 C ．65斤 D ．1110斤 8．（3分）已知函数a y x =，x y b =，log c y x =的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<二、多选选择题9．（3分）设a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．22ac bc >B ．2211a b <C ．a c b c ->-D ．a b e e --<10．（3分）已知函数2()2f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是( ) A ．1a <B ．若120x x ≠，则12112x x a+=C ．(1)f f -=（3）D ．函数有(||)y f x =四个零点11．（3分）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是( ) 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3． A ．甲地B ．乙地C ．丙地D ．丁地12．（3分）已知函数|1|1,0,()(2),0.x x f x f x x +-<⎧=⎨-⎩…则以下结论正确的是( )A ．(2020)0f =B ．方程1()14f x x =-有三个实根 C ．当[4x ∈，6)时，()|5|1f x x =--D ．若函数()y f x t =-在(,6)-∞上有8个零点(1i x i =，2，3，⋯，8)，则81()i i i x f x =∑的取值范围为(16,0)- 三、填空题13．（3分）213381()()272log += ．14．（3分）数据：18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数为 ．15．（3分）设函数1()(xxf x ae ae=+为常数）．若()f x为偶函数，则实数a=；若对x R∀∈，()1f x…恒成立，则实数a的取值范围是．16．（3分）已知函数222(2)2()(0)1x k xf x xx x+++=>++，a，b，c R∈，以f（a），f（b），f（c）的值为边长可构成一个三角形，则实数k的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合[3A=，6]，[B a=，8]．（1）在①7a=，②5a=，③4a=这三个条件中选择一个条件，使得A B≠∅I，并求A BI；（2）已知[3A B=U，8]，求实数a的取值范围．18．已知函数2()273f x x x=-+-．（1）求不等式()0f x>的解集；（2）当(0,)x∈+∞时，求函数()f xyx=的最大值，以及y取得最大值时x的值．19．已知函数()log(2)log(2)(01)a af x x x a=++-<<．（1）判断函数()f x的奇偶性；（2）若函数()f x的最小值为2-，求实数a的值．20．已知函数21()1,0,()2log(1),0.x xf xx x⎧-<⎪=⎨⎪+⎩…（1）求[(1)]f f-的值；（2）在绘出的平面直角坐标系中，画出函数()y f x=的大致图象；（3）解关于x的不等式()2f x>．21．某手机生产厂商为迎接5G时代的到来，要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：[5.0，5.5)，[5.5，6.0)，[6.0，6.5)，[6.5，7.0)，[7.0，7.5)，[7.5，8.0)（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在[5.5，6.0)的一组人数为50人．（1）求a和b的值；（2）用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为[5.0，5.5)和[7.0，7.5)两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？（3）若以厂家此次调查结果的频率作为概率，市场随机调查两人，这两人屏幕需求尺寸分别在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的概率是多少？22．已知函数1()xf xe a=-，函数()y g x=为函数()y f x=的反函数．（1）求函数()y g x=的解析式；（2）若方程()[(3)24]g x ln a x a=-+-恰有一个实根，求实数a的取值范围；（3）设0a>，若对任意1[,1]4b∈，当1x，2[x b∈，1]b+时，满足12|()()|4g x g x ln-…，求实数a的取值范围．2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）命题:p x R ∀∈，21x …的否定是( ) A ．x R ∀∈，21x < B ．x R ∃∈，21x <C ．x R ∀∉，21x …D ．x R ∉，21x <【解答】解：因为：“x R ∀∈，21x …”是全称命题，所以其否定为特称命题，即“x R ∃∈，21x <”． 故选：B ．2．（3分）已知集合{2A =，4，6}，{|(2)(6)0}B x x x =--=，则(A B =I ) A ．∅B ．{2}C ．{6}D ．{2，6}【解答】解：Q 集合{2A =，4，6}，{|(2)(6)0}{2B x x x =--==，6}， {2A B ∴=I ，6}．故选：D ．3．（3分）已知:1p x >，:||1q x >，那么p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解： ||1x >Q1x ∴>或1x <．故1x >是1x >或1x <成立的充分不必要条件， 即p 是q 成立的充分不必要条件． 故选：A ．4．（3分）口袋中有若干红球、黄球与篮球，若摸出红球的概率为0.4，摸出红球或黄球的概率为0.62，则摸出红球或篮球的概率为( ) A ．0.22B ．0.38C ．0.6D ．0.78【解答】解：口袋中有若干红球、黄球与篮球，若摸出红球的概率为0.4， 摸出红球或黄球的概率为0.62，则摸出黄球的概率为：0.620.40.22-=，∴摸出红球或篮球的概率为10.220.78p =-=．故选：D ．5．（3分）已知点(2,9)在指数函数()y f x =的图象上，则1(27)(f -= ) A ．14B ．13C ．3D ．4【解答】解：设指数函数()x y f x a ==，0a >且1a ≠； 代入点(2,9)，则29a =，3a =， 所以()3x f x =；令()327x f x ==，得3x =， 所以1(27)3f -=． 故选：C ．6．（3分）函数31()()22x f x x =--在区间(1,0)-内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：31()()22x f x x =--Q 在区间(1,0)-内连续且单调递减，又(0)20f =-<，(1)10f -=>，根据零点判定定理可得，()f x 在(1,0)-内有1个零点． 故选：B ．7．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金( ) A ．2斤B ．75斤 C ．65斤 D ．1110斤 【解答】解：设此人总共持金x 斤．第1关收税金：12x ；第2关收税金：111(1)3232x x -=⨯；第3关收税金：1111(1)42634x --=⨯，以此类推可得：第4关收税金145x ⨯，第5关收税金为156x ⨯， 5关所收税金之和恰好重1斤，则：111111232344556x x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯，化为：11111(1)122356x -+-+⋯⋯+-=，解得65x =斤．则此人总共持金65斤． 故选：C ．8．（3分）已知函数a y x =，x y b =，log c y x =的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【解答】解：根据幂函数的性质可知：0a >，又Q 幂函数a y x =，当2x =时，2y <，即22a <，01a ∴<<，根据指数函数的性质可知：1b >，又Q 指数函数x y b =，当1x =时，2y <，即2b <，12b ∴<<， 根据对数函数的性质可知：1c >，又Q 对数函数log c y x =，当2x =时，1y <，即log 21c <，2c ∴>，故：a b c <<， 故选：A ． 二、多选选择题9．（3分）设a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．22ac bc >B ．2211a b< C ．a c b c ->- D ．a b e e --<【解答】解：根据a ，b ，c R ∈，且a b >，取1a =，1b =-，0c =可排除A ，B ； 故选：CD ．10．（3分）已知函数2()2f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是( )A ．1a <B ．若120x x ≠，则12112x x a+=C ．(1)f f -=（3）D ．函数有(||)y f x =四个零点【解答】解：根据题意，函数2()2f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，即方程220x x a -+=有两个不同的根，为1x ，2x ， 据此分析选项：对于A ，若方程220x x a -+=有两个不同的根，则有2(2)40a -->，解可得1a <，故A 正确；对于B ，程220x x a -+=有两个不同的根，为1x ，2x ，则有122x x +=，12x x a =，则121212112x x x x x x a++==，B 正确； 对于C ，函数2()2f x x x a =-+，其对称轴为1x =，则有(1)f f -=（3），故C 正确； 对于D ，当0a =时，2(||)2||y f x x x ==-，有3个零点，故D 错误； 故选：ABC ．11．（3分）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是( ) 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3． A ．甲地B ．乙地C ．丙地D ．丁地【解答】解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．在A 中，甲地：中位数为2，极差为5，每天新增疑似病例没有超过7人的可能，故甲地符合标准，即A 成立；在B 中，乙地：总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故乙地不符合标准，即B 不成立；在C 中，丙地：总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故丙地不符合标准，即C 不成立；在D 中，丁地：总体平均数为2，总体方差为3．根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差不会为3，故丁地符合标准，即D 成立． 故选：AD ．12．（3分）已知函数|1|1,0,()(2),0.x x f x f x x +-<⎧=⎨-⎩…则以下结论正确的是( )A ．(2020)0f =B ．方程1()14f x x =-有三个实根 C ．当[4x ∈，6)时，()|5|1f x x =--D ．若函数()y f x t =-在(,6)-∞上有8个零点(1i x i =，2，3，⋯，8)，则81()i i i x f x =∑的取值范围为(16,0)-【解答】解：2,1(),10(2),0x x f x x x f x x --<-⎧⎪=-<⎨⎪->⎩…，如图所示，0x >时，是周期为2的函数，图象与20x -<<一样，A 中，(2020)(2)0f f =-=，所以A 正确；B 中，如图，可得由4个交点，所以B 不正确；C 中46x <…时，260x --<…，所以()|61|1|5|1f x x x =-+-=--，所以C 正确；D 中函数()y f x t =-在(,6)-∞上有8个零点依次可得i x ，()i f x 都相等且()(1i f x ∈-，0)，而122x x +=-，342x x +=，566x x +=，7810x x +=，则81()()(22610)()16()iiiiii x f x f x f x f x ===-+++=∑，可得81()iii x f x =∑的取值范围为(16,0)-，所以D 正确； 故选：ACD ． 三、填空题13．（3分）213381()()272log += 1 ．【解答】解：原式21333221()21333log ⨯-=+=+=．故答案为：1．14．（3分）数据：18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数为 32 ． 【解答】解：根据分位数定义，875%6⨯=（个)，所以数据18，26，27，28，30，32，34，40的75%分位数是32． 故答案为：32． 15．（3分）设函数1()(x xf x ae a e=+为常数）．若()f x 为偶函数，则实数a = 1 ；若对x R ∀∈，()1f x …恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【解答】解：Q 函数1()x x f x ae e=+为偶函数， 1()()x x x x a f x e ae f x e e∴-=+=+=， 解得：1a =．对x R ∀∈，()1f x …恒成立，即11x x ae e+…恒成立， 分离参数a 得：2211()24x x x a e e e ----+=--+…恒成立，当12x e -=时，211()24x e ---+取到组大值14， 14a ∴…．故答案为：1；1[4，)+∞．16．（3分）已知函数222(2)2()(0)1x k x f x x x x +++=>++，a ，b ，c R ∈，以f （a ），f （b ），f （c ）的值为边长可构成一个三角形，则实数k 的取值范围为 (3-，6] ．【解答】解：2()21kxf x x x =+++，(0)x >．0x =时，(0)2f =；x →+∞时，()2f x →．0k =，()2f x =，以f （a ），f （b ），f （c ）的值为边长可构成一个三角形，满足条件． 0k ≠时，222(1)()(1)k x f x x x -'=++， 0k >时，1x =时，函数()f x 取极大值即得最大值，则f （1）63k +=． Q 以f （a ），f （b ），f （c ）的值为边长可构成一个三角形，6223k +∴⨯…，解得06k <…． 0k <时，1x =时，函数()f x 取极小值即得最小值，则f （1）63k +=． Q 以f （a ），f （b ），f （c ）的值为边长可构成一个三角形，6223k +∴>⨯，解得30k -<<． 综上可得：k 的取值范围是(3-，6]．故答案为：(3-，6]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合[3A =，6]，[B a =，8]．（1）在①7a =，②5a =，③4a =这三个条件中选择一个条件，使得A B ≠∅I ，并求A B I ；（2）已知[3A B =U ，8]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）选择条件②5a =，若选②，则[3A B =I ，6][5I ，8][5=，6]．（或③4a =，则[3A B =I ，6][4I ，8][4=，6]．)（2）因为[3A B =U ，8]，[3A =，6]，[B a =，8]，可得36a 剟， 所以实数的取值范围为[3，6]．18．已知函数2()273f x x x =-+-．（1）求不等式()0f x >的解集；（2）当(0,)x ∈+∞时，求函数()f x y x=的最大值，以及y 取得最大值时x 的值． 【解答】解：（1）由题意得22730x x -+->，因为方程22730x x -+-=有两个不等实根112x =，23x =， 又二次函数2()273f x x x =-+-的图象开口向下，所以不等式()0f x >的解集为1|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （2）由题意知，2()273327f x x x y x x x x-+-===--+， 因为0x >，所以33277(2)7y x x x x=--+=-+-…， 当且仅当32x x=，即x =综上所述，当且仅当x =时，y取得最大值为7- 19．已知函数()log (2)log (2)(01)a a f x x x a =++-<<．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 的最小值为2-，求实数a 的值．【解答】解（1）要使函数()f x 有意义，则有20,20,x x +>⎧⎨->⎩解得22x -<<， 因为()log (2)log (2)()a a f x x x f x -=-+++=，所以()f x 是偶函数．（2）2()log (4)(01)a f x x a =-<<，因为(2,2)x ∈-，所以2044x <-…，令24x μ=-，又01a <<，所以log a y μ=在上为减函数，所以()log 42min a f x ==-，所以24a -=，12a =． 20．已知函数21()1,0,()2log (1),0.x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+⎩…（1）求[(1)]f f -的值；（2）在绘出的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =的大致图象；（3）解关于x 的不等式()2f x >．【解答】解：（1）(1)1f -=，[(1)]f f f -=（1）2log (11)1=+=；（2）如图所示，（3）当0x <时，1()()122x f x =->， 即1()32x >，得12log 3x <， 当0x …时，2()log (1)2f x x =+>， 所以14x +>，得3x >， 故原不等式解集为12|33x x log x ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭或．21．某手机生产厂商为迎接5G 时代的到来，要生产一款5G 手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：[5.0，5.5)，[5.5，6.0)，[6.0，6.5)，[6.5，7.0)，[7.0，7.5)，[7.5，8.0)（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在[5.5，6.0)的一组人数为50人．（1）求a 和b 的值；（2）用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为[5.0，5.5)和[7.0，7.5)两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？（3）若以厂家此次调查结果的频率作为概率，市场随机调查两人，这两人屏幕需求尺寸分别在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的概率是多少？【解答】解：（1）由已知，屏幕需求尺寸在[5.5，6.0)的一组频数为50， 所以其频率为500.125400=， 又因为组距为0.5，所以0.1250.250.5b ==， 又因为(0.10.250.70.20.1)0.51a +++++⨯=，解得0.65a =，所以0.65a =，0.25b =．（2）由直方图知，两组人数分别为10.1400202⨯⨯=，10.2400402⨯⨯=， 若分层抽取6人，则在[5.0，5.5)组中抽取2人，设为x ，y ；在[7.0，7.5)组中抽取（4分），设为a ，b ，c ，d ，样本空间{(,)x y Ω=，(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)x d ，(,)y a ，(,)y b ，(,)y c ，(,)y d ，(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)}c d 共15个基本事件，记两人来自同一组为事件A ，{(,)A x y =，(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)}c d 共7个基本事件． 所以7()15P A =． （3）记事件B 为屏幕需求尺寸在[6.0，6.5)，事件C 为屏幕需求尺寸在[7.0，7.5)，若以调查频率作为概率，则P （B ）0.35=，P （C ）0.1=，()P BC P =（B ）P （C ）0.035=， 所以两人分别需求屏幕尺寸在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的概率为0.035．22．已知函数1()x f x e a =-，函数()y g x =为函数()y f x =的反函数．（1）求函数()y g x =的解析式；（2）若方程()[(3)24]g x ln a x a =-+-恰有一个实根，求实数a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]4b ∈，当1x ，2[x b ∈，1]b +时，满足12|()()|4g x g x ln -…，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）因为()y g x =为函数()y f x =的反函数， 故1y x e a=-， 得1()y ln a x=+， 所以1()()g x ln a x=+； （2）由1()[(3)24]ln a ln a x a x+=-+-得2(3)(4)10a x a x -+--=， 当3a =时，1x =-，经检验，满足题意，当2a =时，121x x ==-，经检验，满足题意，当2a ≠且3a ≠时，113x a =-，21x =-，12x x ≠， 若1x 是原方程的解，当且仅当110a x +>，即32a >， 若2x 是原方程的解，当且仅当210a x +>，即1a >， 于是满足题意的3(1,]2a ∈， 综上，a 的取值范围为{}3(1,]2,32U ； （3）不妨令121b x x b +剟?，则1211a a x x +>+， 即函数1()()g x ln a x =+在[b ，1]b +上为减函数；1()()max g x ln a b =+，1()()1min g x ln a b =++， 因为当1x ，2[x b ∈，1]b +，满足12|()()|4g x g x ln -…， 故只需11()()41ln a ln a ln b b +-++…， 即233(1)10ab a b ++-…对任意1[,1]4b ∈成立， 因为0a >，所以函数233(1)1y ab a b =++-在1[,1]4b ∈上单调递增，14b =时，y 有最小值33151(1)1164164a a a ++-=-， 由1510164a -…，得415a …，故a 的取值范围为4[,]15．。
【精选3份合集】山东省潍坊市2019-2020学年高一数学下学期期末达标检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆1C ：22x y a +=关于直线l 对称的圆为圆2C ：222230x y x ay ++-+=，则直线l 的方程为 A ．2450x y -+=B ．2450x y ++=C ．2450x y --=D ．2450x y +-=2．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥3．在ABC ∆中，若45A =°，60B =°，2a =．则b = A ．B 2C 3D ．264．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1a =，2b =，2c =，则cos B =( ) A ．16B ．13C ．14D ．235．已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边,若45,30B C =︒=︒2则a =( ) A ．624B ．622C ．624D ．6226．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a =4b =，则B =（ ）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒73cos 0x x +=的解集是（ ） A ．{|,}x x k k Z π=∈ B ．{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C ．{|,}6x x k k Z ππ=-∈D ．{|,}6x x k k Z ππ=+∈8．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin sin sin sin 1cos2b ac A B B C B =+=-，则角B =（ ） A ．4πB ．3π C ．6π D ．512π 9．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-10．若0a b >>，下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b <B ．2a ab <C ．11a b< D ．1b a<11．设()()132,2log 21,2x xe xf x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f =（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，且()y f x =的图象向左平移()0m m >个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．6π C ．12πD ．512π 二、填空题：本题共4小题13．在ABC ∆中，2a =，3b =，c =，则ABC ∆的面积等于______. 14．已知()214732lim6752n a n n n →∞⎡⎤++++-⎣⎦=--，则a =15．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____. 16．求22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒︒︒︒︒＋＋＋＋＋的值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省潍坊市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案
潍坊市2020-2021学年高一下学期期末考试数学2021．7本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角α的终边经过点()3,4P -，则tan α=（ ） A ．34-B ．43-C ．45-D ．54-2．在复平面内，若复数32z i =-（其中i 是虚数单位），则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为sin y A t ω=（其中0A >，t 表示时间，y 表示纯音振动时音叉的位移）．图2是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定A 和ω的值分别为（ ）A ．1500和800π B ．1500和400π C ．11000和800π D ．11000和400π 4．若sin12a π=，2log sin12b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，tan12c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．已知水平放置的四边形OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O A B C ''''∥，90O A B '''∠=︒，1O A ''=，2B C ''=，则原四边形OABC 的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．6．设α为锐角，若1cos 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A B C ．2D ．2+7．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =，其中a ，b ，c 是ABC △内角A ，B ，C 的对边．若4ac =，60B =︒，则ABC △的面积为（ ）A B ．C ．4D ．8．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A 地出发，向河对岸航行．已知船的速度1v 的大小为18km/h v =，水流速度2v 的大小为22km/h v =，船的速度与水流速度的合速度为v ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）A ．船头方向与水流方向垂直B ．121cos ,4v v =-C ．217km/h v =D ．该船到达对岸所需时间为3分钟二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数z a i =+（a ∈R ，i 为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ） A ．1a = B ．1z =C ．1z i =-D ．复数()()211a a i -+-是纯虚数10．如图，若111111ABCDEF A BC D E F -为正六棱台，则下列说法正确的是（ ）A ．直线AB 与11CD 是异面直线B ．直线AB 与11D E 平行C ．线段1BB 与1FF 的延长线相交于一点D ．点1F 到底面ABCDEF 的距离大于点1B 到底面ABCDEF 的距离11．如图，已知点G 是边长为1的等边ABC △内一点，满足0GA GB GC ++=，过点G 的直线l 分别交AB ，AC 于点D ，E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则下列说法正确的是（ ）A ．1134AG AB AC =+ B ．点G 为ABC △的重心C ．112λμ+=D ．33AG =12．已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭满足5588f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =的最小正周期为π B ．函数()f x 的图像向右平移6π个单位得到函数()sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像 C ．若0ω>时，函数()fx ω在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围是10,8⎛⎤⎥⎝⎦D ．函数()28y f x f x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的值域为9,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知()1,a m =，()3,2b =-，若a b ⊥，则m =______．14．能够说明“设()0,απ∈，()0,βπ∈，若αβ>，则sin sin αβ>”是假命题的一组角α，β的值依次．．为______．15．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ．现测得75BCD ∠=︒，60BDC ∠=︒，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角θ为30︒，则塔高AB 为______m ．16．如图，已知圆锥PO 的底面半径OA 的长度为1，母线PA 的长度为2，半径为1R 的球1O 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点O ，则1R =______；若球2O 与球1O 、圆锥的底面和侧面均相切，则球2O 的表面积为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知复数11z i =+，234z i =+． （1）求12z z +和12z z 的值；（2）若11z i =+是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值．18．（12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，_______________，从①()223b c a bc +-=，②sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． （1）求角A 的大小；（2）若4b =，ABC △的面积S =ABC △的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥S ABCD -的高是长方体1111ABCD A BC D -高的12，且底面正方形ABCD 的边长为4，12AA =．（1）求1AC 的长及该长方体的外接球的体积； （2）求正四棱锥的斜高和体积．20．（12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，b =22cos12BB -=． （1）求角B 的大小及ABC △外接圆的半径R 的值；（2）若AD 是BAC ∠的内角平分线，当ABC △面积最大时，求AD 的长．21．（12分）如图1，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB BC k ==，8AC k =，()120AA k k=>，D ，1D 分别为AC ，11AC 的中点，平面11BB D D 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示）． （1）若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数k 的值；（2）将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数k 的取值范围．22．（12分）已知向量()sin 2,cos 2m x x =，31,22n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，()1f A =，2b =，15,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；（3）若2,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程恰有三个不同的实根1x ，2x ，3x ，求实数λ的取值范围及123x x x ++的值．潍坊市2020-2021学年高一下学期期末考试数学参考答案及评分标准2021．7一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1-4 BDDC5-8 BCAB二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9．AC 10．ABC 11．BD 12．ABD 三、填空题（每小题5分，共20分）13．32 14．56π，3π（答案不唯一） 15．10 16427π（第一空2分，第二空3分） 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）∵11z i =+，234z i =+，∴1213445z z i i i +=+++=+， ∴()()212134343417z z i i i i i i =++=+++=-+．（2）∵11z i =+是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，∴()()2110i m i n ++++=，整理得()()20m n m i +++=，∴020m n m +=⎧⎨+=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩∴2m =-，2n =．18．解：（1）选①，∵()223b c a bc +-=，∴222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，∵()0,A π∈，∴3A π=． 选②，由正弦定理得：sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 在ABC △中，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin sin 3A A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴1sin sin 2A A A =，∴1sin 2A A =，∴tan A = ∵()0,A π∈，∴3A π=．（2由（1）知3A π=，∵4b =，11sin 4222ABC S bc A c ==⨯⨯==△6c =， 又22212cos 1636246282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，∴a = ∴ABC △的周长为10a b c ++=+19．解（1）∵几何体1111ABCD A BC D -为长方形且4AB BC ==，12AA =，∴16AC ===，记长方形外接球的半径为R ，线段1AC 就是其外接球直径， 则26R =，∴3R =，∴外接球的体积为343363V ππ=⨯=． （2）如图，设AC ，BD 交于点O ，连结SO ，∵S ABCD -为正四棱锥，∴SO 为正四棱锥的高，又长方体的高为12AA =，∴1212SO =⨯=， 取AB 的中点E ，连结OE 、SE ，则SE 为正四棱锥的斜高，在Rt SOE △中，1SO =，122OE AD ==，∴SE ===∵4416ABCD S =⨯=，1SO =，∴1116161333S ABCD ABCD V S SO -=⨯=⨯⨯=，163．20．解：（122cos 12B B -=cos 2B B -=，∴12cos 22B B ⎫-=⎪⎪⎝⎭，∴sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0B π<<，∴5666B πππ-<-<，∴62B ππ-=，解得23B π=，由正弦定理得，2sin b R B ===，解得R =（2）在ABC △中，由余弦定理得，2222222cos243b ac ac a c ac π=+-=++=， ∴2423ac ac ac ≥+=，∴8ac ≤，当且仅当a c == 此时ABC S △最大，且ABC △为等腰三角形，6BAC π∠=，∴12BAD π∠=，4ADB π∠=，在ABD △中，由正弦定理得：2sin sin34AD ABππ=，∴23sin 4AD ππ==21．解：（1）∵AB BC =，D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥，又5AB BC k ==，8AC k =，∴3BD k =，易知三棱柱被平面11BB D D 分割成两个相同的直三棱柱， 每个直三棱柱的表面积为：()2123434512242k k k k k k k⨯⨯+++⨯=+， ∴两个新直三棱柱的表面积之和2244872S k =+=，解得：1k =．（2）由题可知：图2、图3的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形： ①当底面是边长为3k ，4k 的矩形，侧棱长为2k的直四棱柱时， 表面积()2122343422428S k k k k k k=⨯⨯++⨯⨯=+， ②当底面是边长为5k ，4k 的平行四边形，侧棱长为2k的直四棱柱时，表面积()2222345422436S k k k k k k=⨯⨯++⨯⨯=+，③当底面是边长为5k ，3k 的平行四边形，侧棱长为2k的直四棱柱时，表面积()2322345322432S k k k k k k=⨯⨯++⨯⨯=+，④当底面是边长为3k ，4k 的四边形（非矩形），侧棱长为2k的直四棱柱时，表面积()2422343422428S k k k k k k=⨯⨯++⨯⨯=+，由上可知：表面积的最大值为22436k +，由题意得：22436132k +<，解得：02k <<．∴实数k 的取值范围是()0,2．22．（1）解：由题意知，()()1sin 2,cos 22f x m n x x ⎫=⋅=⋅⎪⎪⎝⎭12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得：36k x k ππππ-+≤≤+，∴()f x 的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）∵()sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴2262A k πππ+=+，k ∈Z ，即6A k ππ=+，k ∈Z ， 又∵()0,A π∈，∴6A π=．假设三角形存在，由正弦定理可得，sin sin a b A B =，∴sin sin b AB a=， ①当1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1sin 1B a=>，∵(]sin 0,1B ∈，∴三角形无解． ②当1a =时，1sin 1B a ==，∴2B π=，三角形有唯一解． ③当()1,2a ∈时，11sin ,12B a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，此时sin b A a b <<， ∵()0,B π∈，∴B 有两个不同的值，故三角形有两解． ④当52,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，a b ≥，∴A B ≥，故三角形有唯一解．综上所述，当1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，三角形无解；当1a =或52,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，三角形有唯一解；当()1,2a ∈时，三角形有两解． （3）∵()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∴方程()1sin 6f x x πλλ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭可化为()sin 21sin 66x x ππλλ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()cos21sin x x λλ++=，化简得：()22sin 1sin 10x x λλ-++-=（*），即()()()2sin 1sin 10x x λ---=，∴sin 1x =或1sin 2x λ-=，又2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程（*）有三个不同的实根，且当sin 1x =时，12x π=，∴1sin 2x λ-=在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实根为2x ，3x ，又∵2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin x ⎫∈⎪⎪⎣⎭112λ-≤<13λ≤<， 易知2x ，3x 关于2x π=对称，∴2322x x π+=，即23x x π+=，∴123322x x x πππ++=+=．综上所述，λ13λ≤<，123x x x ++的值为32π．。