向量与三角函数的综合
高二数学向量知识点总结
高二数学《向量》知识点总结考点一：向量的概念、向量的大体定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的大体定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的概念、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
【命题规律】重点考查概念和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。
由于向量应用的普遍性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出此刻解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考常常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主如果向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示。
专题二 三角函数与平面向量的综合应用
的参数 A，ω ，φ，从图象的特征上寻找答案，A 主要由最值 确定，ω 是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，如相邻 两个最大、最小值点相差半个周期，φ 可由点在函数图象上 求得，确定 φ 值时，注意它的不惟一性．如果函数的最大值 与最小值不互为相反数，说明解析式为 y＝Asin( ω x＋φ)＋k 的形式．设最大值为 m，最小值为 n，则 A＋k＝m，－A＋k m－n m＋n ＝n，从而 A＝ 2 ，k＝ 2 .
π 由图象最高点为 ， 3得 6
(2)由 (1)知，函数的最小值为－ 3； π π π 由 2x＋ ＝2kπ－ ，k∈Z，得 x＝kπ－ ，k∈ Z， 6 2 3 π ∴函数取得最小值时自变量 x 的集合为x|x＝kπ－ ， k∈ Z. 3
探究提高
确定函数关系式 y＝Asin( ω x＋φ)就是确定其中
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的化简求值问题 3 1 1 例1 求 2 － 2 · 的值． sin 140° cos 140° 2sin 10°
思维启迪 从角、函数名称、式子结构入手找其
特征，构造“相消”、“约分”或构造特殊角．
3cos2140° － sin2140° 1 解 原式＝ · sin2140° cos2140° 2sin 10° 3cos240° － sin240° 1 ＝ · sin240° cos240° 2sin 10° ( 3cos 40° － sin 40° )( 3cos 40° ＋ sin 40° ) 1 ＝ · 1 2 2sin 10° sin 80° 4 2sin(60° － 40° )· 2sin(60° ＋ 40° ) 1 ＝ · 1 2 2sin 10° cos 10° 4 8sin 20° sin 100° 16sin 10° · cos210° ＝ ＝ ＝ 16. cos210° · sin 10° cos210° · sin 10° π 探究提高 若 α＋β＝π，则 sin α＝sin β；若 α＋β＝2，
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用高考数学备考攻略：平面向量与三角函数的综合应用在高考数学中，平面向量与三角函数是两个重要的概念和工具。
它们在各种数学问题中都有广泛的应用，特别是在几何和三角函数的综合题目中。
本文将介绍一些关于平面向量与三角函数的综合应用。
希望通过这些攻略，能够帮助大家在高考中更好地理解和应用这些知识点。
一、平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要体现在它们的加法、减法、数量积、向量积等运算上。
下面将介绍其中的一些典型应用。
1. 平面向量的加法平面向量的加法可以用来解决平面上的位移问题。
例如，在平面直角坐标系中，有一个点A(2,3)，以向量a(1,2)为位移，求终点B的坐标。
我们可以通过向量加法得到：B = A + a = (2,3) + (1,2) = (3,5)通过这个简单的例子，我们可以看到，平面向量的加法可以用来求解平面上的位移问题，这在几何中有着重要的应用。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积可以用来解决两个向量之间的夹角问题。
例如，已知两个向量a(3,4)和b(5,12)，求它们的夹角θ。
我们可以通过向量的数量积求解：a·b = |a||b|cosθ其中，“·”表示向量的数量积，|a|和|b|分别表示向量的模，θ表示夹角。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到θ≈0.68弧度。
3. 平面向量的向量积平面向量的向量积可以用来解决平行四边形的面积、三角形的有向面积问题。
例如，在平面直角坐标系中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，求平行四边形的面积。
我们可以通过向量的向量积求解：S = |a×b|其中，“×”表示向量的向量积，|a×b|为向量的模。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到平行四边形的面积为2。
二、三角函数的综合应用三角函数是数学中的一个重要分支，在高考数学中占有很大的比重。
下面将介绍一些关于三角函数综合应用的例子。
山东乐陵一中2015高三上数学教案：平面向量与三角函数的综合
【学习目标】 1.掌握三角函数及正、余弦定理． 2.能进行向量的坐标运算.3. 向量与三角函数交汇创新是近年高考命题的热点，主要涉及三种情形：①以向量为载体，考查三角变换与求值； ②向量与解三角形交汇求边与角；③以三角函数表示向量坐标，研究向量运算及性质．【重点难点】重点 ：(1)三角函数与向量的交汇；(2)解三角形与向量的交汇；。
难点 ：先利用向量进行转化，再利用三角函数的知识求解【自我检测】1. 已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π2. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D.π3，π33. 已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2x cos 2x －sin 2x＝________. 4. 设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a b →→⋅，求f (x )的最大值．5. 设a ＝(cos α，(λ－1)sin α)，b ＝(cos β，sin β)，⎝⎛⎭⎫λ＞0，0＜α＜β＜π2是平面上的两个向量，若向量a ＋b 与a －b 互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a ·b ＝45，且tan β＝43，求tan α的值．【合作探究】例1：已知向量(3)OP→=，4，绕原点逆时针旋转45°到OP →'的位置，求点()P x y '''， 的坐标.【变式训练】已知向量(4)OP→=，3，绕原点旋转-60°到OQ →的位置，求点()Q x y ''，的坐标.例3. 在△ABC 中，BC=2，．（1）求AB AC →→⋅；（2）设(1)(0)BP BA BC λλλ→→→=-+>，当△ABP 时，求λ的值．【变式训练】在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值知识总结方法总结【达标检测】1.已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎦⎤π4，512πC.⎣⎡⎦⎤512π，π2D.⎣⎡⎦⎤π12，512π 2．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2,3)，若a ∥b ，则sin 2α－sin 2α的值等于A ．－513B ．－313 C.313 D.5133．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π34.已知O 为坐标原点，对于函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，称向量OM →＝(a ，b )为函数f (x )的伴随向量，同时称函数f (x )为向量OM →的伴随函数．(1)设函数g (x )＝sin(π2＋x )＋2cos(π2－x )，试求g (x )的伴随向量OM →的模； (2)记ON →＝(1，3)的伴随函数为h (x )，求使得关于x 的方程h (x )－t ＝0在⎣⎡⎦⎤0，π2内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围．【选做题】5.已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1) 若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．6．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且2sin 2A ＋B 2＋cos2C ＝1. (1)求角C 的大小；(2)若向量m ＝(3a ，b )，向量n ＝(a ，－b 3)，m ⊥n ，(m ＋n )·(m －n )＝16，求a ，b ，c 的值．。
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
高一数学三角函数与向量公式
两角和公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 倍角公式：tan2A=2tanA/(1-tan 2A) cos2a=cos 2a-sin 2a=2cos 2a-1=1-2sin 2a 半角公式：sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 和差化积：2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 正弦定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理： b 2=a 2+c 2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角弧长公式： l=α*r ，α是圆心角的弧度数，r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 乘法与因式分：a 2-b 2=(a+b)(a-b) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b(a 2+ab+b 2) 一元二次方程的解: X 1=-b+√(b 2-4ac)/2a; X 2=-b-√(b 2-4ac)/2a 根与系数的关系: X 1+X 2=-b/a ；X 1*X 2=c/a （韦达定理） 判别式：b 2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b 2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b 2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 降幂公式：sin 2x=1-cos2x/2 cos 2x=1-cos2x/2 万能公式：Sin2α=2 tan α/(1+ tan 2α) Cos2α=(1- tan 2α)/(1+ tan 2α) Tan2α=2tan α/(1- tan 2α) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot （π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα (以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题广东省珠海市斗门区第一中学 于发智 519100 jianghua20011628@一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sin θθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( ) A.21 B.32 C.22 D.23 6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 7.α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.B ACD③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 3632sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45 C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
平面向量与三角函数的交汇
． ’ ・ ・
．
２ ｎ ｃ ０
＝ 一
‘ ・ —
＝ 一
ｂ ， ｃ ， ｃ ｏ ＝ 罟 。
（ １ ） ． ；
方 法总结 ： 解决平 面 向量 与 三角 函 数 的交 汇 问题 的关 键 ， 准
确利用 向量 的坐标运 算化 简 已知 条件 ， 将其 转 化为 三角 函数 中的
１ ） ＋ｓ ｉ ｎ 口＝ ２ （ １ 一 ｃ ｏ ｓ ＃ ）
‘ ’
一
．
１ ≤ｃ ｏ ≤１ ， ． ‘ ． ０≤Ｊ ｂ＋ｃＩ ≤４， 即 ０≤Ｉ ｂ＋ｃ Ｉ ≤２
当ｃ ｏ ＝一 １ 时， 有Ｉ ｂ ＋ｃ Ｉ ＝２ ， 所 以 向量 ｂ ＋Ｃ 的长 度 的最 大
值为 ２
解 法二 ： ’ ． ‘Ｉ ｂ Ｉ ＝１ ， Ｉ ｃＩ ＝１ ， ｌ ｂ＋ｃｌ ≤Ｉ ｂＩ ＋ｌ ｃＩ ＝２
学 。 ｉ ｎ ａ ） ， （ 詈， 孚） 。
育 （ ２ ） 翱 ・ 赢
，
当ｃ ０ ：一 １ 时， 有ｂ ＋Ｃ ＝（ 一 ２ ， ０ ） ， 即Ｉ ｂ ＋ｃ Ｉ ： ２ ， 所 以 向量
（ Ⅱ） 设 ｄ＝ 竹， 且ａ 上（ ｂ ＋Ｃ ） ， 求ｃ ｏ 的值 。 思维突 破 ： （ １ ） １ 利用 向量 的运算 法则求 出ｂ ＋ｃ ， 利用 向量模 的
平方 等 于向量的平 方求 出 Ｉ ｂ ＋Ｃ Ｉ 的平 方 ， 利 用三 角 函数 的平 方关
、
又 ÷ ６ ｃ ｓ ｉ ｎ Ａ ＝ ３ ０ ， ． ・ ． ６ ｃ ＝ １ ５ ６
主 思 ： 三 角 形 的 三 边 可 与 三 个 向 量 对 应 ， 这 样 就 可 以 利
司 夹 角 之 间 的 联 系 与 区 别 ， 还 要 注 意 向 量 的 数 量 积 与 三 角 形面 积 公
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(1)求函数 的最大值和最小正周期；
(２）将函数 的图像按向量 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的 ．
（1)求角A的大小；(2)当 =2ｓin2B+sin(2B＋ ）取最大值时，求角 的大小．
８.已知 =(ｃos +sin ,ｓin )，＝(cos -siｎ ，2coｓ ）,
（1）求证：向量 与向量不可能平行；
(２）若 = · ,且 ∈[-,］时,求函数 的最大值及最小值．
9.设函数 ,其中向量 ，
六、目标检测
1、 的三个内角 所对的边长分别是 ,设向量 ，若 ，则角 的大小为＿＿＿＿＿＿__.
２、设向量 ，函数 ．求函数 的最小正周期和最值对应的 的取值.
３、已知向量 .若 ，求 ．
七、作业布置
１．已知 ＝(cos40,sin４0）, =(coｓ20,sin20),则 ＝（）ﻩ
Ａ.1B． Ｃ．D.
4．辅助角公式
ａsinｘ+bcosx=,其中taｎφ=
（二）向量相关知识
已知向量
1.若 ,则
２.若 ，则
3. =
4. 行的综合
例１:已知向量 , ,若 ，求 值.
变式:已知Ａ、B、Ｃ为三个锐角,且A＋B＋C＝π．若向量 ＝（２-2ｓinA,cosA＋sｉnA)与向量 =(sｉnA－coｓＡ，1＋sｉnＡ)是共线向量，求角A.
问题二：三角函数与平面向量垂直的综合
例2:已知向量 , ,且 .(1)求 的值；(2）求 的值.
问题三:三角函数与平面向量数量积的综合
例3：已知向量 ，函数 ，求:
(1）函数 的最小正周期T;
（２)已知 分别是 的三条边,其中A为锐角, 且 ，求 和 的面积 .
变式:设函数 ，其中向量 , ，且 (1）求实数 的值;（2）求函数 的最小值.
A.３0ﻩＢ．45C．６0Ｄ.7５
6.在△ＡBＣ中,A、B、C所对边的长分别为 ，已知向量=(1,2ｓinＡ）， =(ｓｉnA，1＋cosＡ)，满足∥ ,b＋ｃ＝
(１)求A的大小；(2）求ｓin(B+ )的值.
7．△ＡBC的角A、Ｂ、C的对边分别为 ，＝(2b－c, ), ＝(cosA,-ｃosC),且⊥ ．
三、课前检测
（一）三角函数相关知识
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
ｃoｓ(α－β)＝cos(α+β)=
sin(α－β)＝sｉn（α＋β)=
taｎ(α－β）=tan(α＋β)＝
２.二倍角公式
sｉn 2α＝;
cos２α=＝＝;
tan2α=
3.公式的变形
(1)sinαcｏｓα=，
(2）ｃos2α=,sin2α＝；
2．将函数 的图象按向量(, )平移后得到图象对应的解析式
Ａ．2ｃoｓ２ Ｂ．－2cｏs２ ﻩC．２sin2 D．－2sin2
3.已知△ABＣ中，= ， ＝ ,若 ·<0,则△ＡBＣ是（)
A．钝角三角形B．直角三角形C.锐角三角形D.任意三角形
4.设 =(,siｎ),＝（cｏs，)，且 ∥，则锐角为(）ﻩ
向量与三角函数的综合
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ﻩ
平面向量与三角函数的综合
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一、学习目标
掌握三角函数与向量平行、垂直、数量积的综合应用
二、相关知识
三角函数的性质、正余弦定理、三角形面积公式