三角函数和向量
三角函数,向量
三角函数1. 终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即Z}k ,2k |{∈+=∈απβββ，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
2.区间角区间角是介于两个角之间的所有角，如]65,6[}656|{πππαπαα=≤≤∈3.象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
第一象限角：{α|k ⋅360︒<α<k ⋅360︒+90︒，（k ∈Z ）}； z}k ,22k 2k |{∈+<<ππαπα第二象限角：{α|k ⋅360︒+90︒<α<k ⋅360︒+180︒，（k ∈Z ）}； z}k ,2k 22k |{∈+<<+ππαππα第三象限角：{α|k ⋅360︒+180︒<α<k ⋅360︒+270︒，（k ∈Z ）}； z}k ,232k 2k |{∈+<<+ππαππα第四象限角：{α|k ⋅360︒+270︒<α<k ⋅360︒+360︒，（k ∈Z ）}；或{α|k ⋅360︒-90︒<α<k ⋅360︒，（k ∈Z ）}z}k ,22k 232k |{∈+<<+ππαππα或z}k ,2k 22k |{∈<<-παππα要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
O xyO xyO xy角的概念任意角的三角函数的定义 同角三角函数的关系三角函数 弧度制弧长公式、扇形面积公式三角函数线诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式公式的变形、逆用、“1”的替换化简、求值、证明（恒等变形）三角函数 的 图 象 定义域奇偶性 单调性 周期性最值 对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x 轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(k π2，0)（k ∈Z ）.正弦函数y ＝sin x= 余弦函数y ＝cos x 正切函数y ＝tan xy ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋b①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意ω的符号）； ④最小正周期T ＝2π| ω |；⑤对称轴x ＝(2k ＋1)π－2ϕ2ω，对称中心为(k π－ϕω，b )（k ∈Z ）.值域图象对称性{α|α=k ⋅360︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅360︒+180︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅180︒,k ∈Z}O x yO x yO xy{α|α=k ⋅360︒+90︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅360︒+270︒,k ∈Z} {α|α=k ⋅180︒+90︒,k ∈Z}O x yO x yO xy{α|α=k ⋅90︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅90︒+45︒, k ∈Z} {α|α=k ⋅45︒, k ∈Z} 4．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
三角函数与向量的应用
三角函数与向量的应用在数学中，三角函数和向量是两个重要的概念。
它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数和向量的应用，并分别列举一些实际场景中的例子来说明它们的作用。
一、三角函数的应用1. 几何学中的角度测量：三角函数广泛应用于几何学中的角度测量。
我们可以使用正弦、余弦和正切函数来计算三角形中的角度。
2. 物理学中的振动和波动：三角函数在物理学中的振动和波动研究中起着重要的作用。
例如，傅里叶级数可以表示任意周期函数，而傅里叶变换可以将信号从时域转换为频域。
3. 工程学中的三维计算：在工程学中，三角函数可以用来计算转动和旋转的角度。
它们在现代计算机图形学中的应用尤为突出，可以实现逼真的三维模型和动画效果。
4. 统计学中的回归分析：在统计学中，三角函数被广泛应用于回归分析。
通过拟合三角函数的曲线，可以对观测数据进行趋势分析和预测。
二、向量的应用1. 物理学中的力学和静力学：向量在物理学中的力学和静力学研究中扮演着重要的角色。
例如，力可以表示为一个有方向和大小的向量，通过向量的合成和分解可以计算力的合成和平衡条件。
2. 计算机图形学中的矢量图形：在计算机图形学中，矢量图形使用向量的形式来描述和存储图像。
向量的性质使得图像可以无损地缩放和旋转。
3. 统计学中的因子分析：在统计学中，向量用于因子分析。
通过将多个变量表示为向量，可以将复杂的数据关系简化为向量空间中的几何关系。
4. 经济学中的资源分配：向量在经济学中的资源分配模型中得到应用。
通过定义资源向量和约束条件，可以求解最优的资源配置方案。
总结：三角函数和向量在数学、物理学、工程学、统计学等领域中都具有广泛的应用。
在几何学中，三角函数用于角度测量和三角形计算；在物理学中，三角函数用于振动和波动的分析；在工程学中，三角函数用于计算旋转角度和创建三维模型；同时，向量在力学、计算机图形学、统计学和经济学等领域发挥着重要作用。
它们的应用促进了各个领域的发展和研究，为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具和方法。
三角函数与向量
三角函数与向量1 三角函数——连接几何与数学三角函数是连接几何和数学的关键工具之一。
正弦、余弦、正切等三角函数是用来计算角度和距离的工具。
在三角学中，角度是通过弧度来计算的，而弧度是圆的弧长与其半径之比。
三角函数中，最重要的是正弦、余弦、正切三个函数。
它们是由直角三角形的边长比值定义的。
正弦是对于直角三角形，其斜边相对于一个锐角的对边长度与斜边的比值。
余弦是同样的三角形中，斜边相对于该锐角的邻边长度与斜边的比值。
正切函数是三角形的对边与邻边的比值。
三角函数不仅在三角学中有着广泛的应用，还应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
它们是用来描述振动、波动、电磁波等的重要工具。
它们也经常在声音、光学等领域中出现。
2 向量——描述方向和大小的数学工具向量是一个有方向的量，它可以用箭头表示。
箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以被加、减、缩放等操作。
向量广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
它们是用来描述物体的运动、力、速度等的重要工具。
它们还可以用于计算机图形、机器学习等领域中。
向量和三角函数密切相关。
向量可以用三角函数来描述和计算，而三角函数可以被表示成向量的内积和外积。
向量和三角函数一起形成了一个强大的数学工具箱，可以应用于各种领域的问题。
3 向量和三角函数的联系——使用向量描述三角形向量和三角函数之间有一个有趣的联系：可以用向量来描述三角形。
假设有一个三角形ABC，点A、B、C的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)。
可以用向量AB和AC来描述该三角形。
向量AB的坐标为 (x2-x1,y2-y1)，向量AC的坐标为 (x3-x1,y3-y1)。
可以计算出向量AB和AC的长度，然后使用三角函数来计算三角形的角度。
例如，可以使用余弦定理计算三角形的角度。
向量和三角函数是紧密相关的数学工具。
它们可以一起用来描述和计算各种物理和工程问题。
向量和三角函数的应用广泛，是数学和科学中必不可少的工具之一。
三角与向量的主要知识点
三角与向量的主要知识点2.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） (1)周期性 ①函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T② 函数)tan(ϕω+=x A y 的周期是ωπ=T （2）单调性．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；（3）奇偶性①)sin(ϕω+=x A y 为奇函数)(Z k k ∈=⇔πϕ)sin(ϕω+=x A y 为偶函数)(2Z k k ∈+=⇔ππϕ②)cos(ϕω+=x A y 为奇函数)(2Z k k ∈+=⇔ππϕ)cos(ϕω+=x A y 为偶函数)(Z k k ∈=⇔πϕ（4）对称性把x ωϕ+看作一个整体，由x y sin =的对称性得)sin(ϕω+=x A y 的对称性 由x y cos =的对称性得)cos(ϕω+=x A y 的对称性，由x y tan =的对称性得)tan(ϕω+=x A y 的对称性（5）)sin(ϕω+=x A y 图像的画法①五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图：设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。
②变换法画图：可以先平移再伸缩，也可以先伸缩再平移，但需要注意的是每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
2．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；3.三角函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。
向量三角函数知识点归纳
向量三角函数知识点归纳向量和三角函数是高中数学中的重要内容，下面是关于这两个知识点的归纳总结。
一、向量1.向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头在平面或空间中表示。
向量的大小叫做模，用，a，或，a，表示；向量的方向用一个角度或另一向量表示。
2.向量的基本运算-向量的加减：向量的加减使用平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点用直线连接。
- 向量的数量积：向量 a 和 b 的数量积（内积或点积）定义为abcosθ，其中θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
-向量的数量积的性质：交换律、结合律、分配律等。
-向量的夹角：可以使用向量的点积公式计算向量之间的夹角。
-向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个标量，表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
3.向量的应用-分解力的合力：当一个力可以分解为多个力的合力时，可以使用向量的方法表示这个过程。
-平行四边形法表示速度：当一个物体以两个向量之和的速度在平面内运动时，可以使用平行四边形法则来表示其速度。
二、三角函数1.三角函数的定义三角函数是一组用于描述角和边之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
- 正弦函数：sinθ = 对边 / 斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边 / 斜边- 正切函数：tanθ = 对边 / 邻边2.三角函数的性质和关系-三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都为2π，正切函数的周期为π。
-三角函数的奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
-三角函数的和差化积公式：- 正弦函数的和差化积：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB- 余弦函数的和差化积：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB- 正切函数的和差化积：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓tanAtanB)-三角函数的平方和差公式：- 正弦函数的平方和差：sin²A ± sin²B = 2sinAcosA，cos²A ± cos²B = 2cosAcosB- 余弦函数的平方和差：cos²A + cos²B = 2cosAcosB，cos²A - cos²B = -2sinAsinB- 正切函数的平方和差：tan²A ± tan²B = 1 ∓ 2tanAtanB3.三角函数的应用-三角函数的性质可以用于求解各种三角形的边长和角度。
高一数学三角函数与向量公式
两角和公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 倍角公式：tan2A=2tanA/(1-tan 2A) cos2a=cos 2a-sin 2a=2cos 2a-1=1-2sin 2a 半角公式：sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 和差化积：2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 正弦定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理： b 2=a 2+c 2-2accosB 注：角B 是边a 和边c 的夹角弧长公式： l=α*r ，α是圆心角的弧度数，r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 乘法与因式分：a 2-b 2=(a+b)(a-b) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) a 3-b 3=(a-b(a 2+ab+b 2) 一元二次方程的解: X 1=-b+√(b 2-4ac)/2a; X 2=-b-√(b 2-4ac)/2a 根与系数的关系: X 1+X 2=-b/a ；X 1*X 2=c/a （韦达定理） 判别式：b 2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b 2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b 2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 降幂公式：sin 2x=1-cos2x/2 cos 2x=1-cos2x/2 万能公式：Sin2α=2 tan α/(1+ tan 2α) Cos2α=(1- tan 2α)/(1+ tan 2α) Tan2α=2tan α/(1- tan 2α) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosα tan （2kπ＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot （π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα (以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
职高三角函数与向量知识点
职高三角函数与向量知识点在职业高中的数学学习中，三角函数和向量是相当重要的知识点。
它们不仅在数学中具有广泛应用，而且在实际问题求解中也能发挥巨大的作用。
下面我们就来仔细探讨一下职高数学中的三角函数和向量相关知识。
一、三角函数三角函数是描述角度与边长之间关系的函数。
主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：1. 正弦函数：在直角三角形中，对于非直角的角A，正弦函数的定义为对边与斜边的比值，即sin A = 对边/斜边。
2. 余弦函数：在直角三角形中，对于非直角的角A，余弦函数的定义为邻边与斜边的比值，即cos A = 邻边/斜边。
3. 正切函数：在直角三角形中，对于非直角的角A，正切函数的定义为对边与邻边的比值，即tan A = 对边/邻边。
三角函数不仅有这些基本定义，还有一系列的特性和性质。
例如，关于三角函数的周期、奇偶性、增减性等。
这些特性的掌握对于进行计算和图像的解析具有重要意义。
此外，三角函数在解决实际问题中也有着广泛的应用。
例如，在测量工程中，利用正弦定理可以求解三角形的边长和角度；在物理学中，正余弦函数可以描述振动过程中的变化规律等等。
二、向量向量是指具有大小和方向的物理量，它可以用有向线段来表示。
在职高数学中，我们主要学习平面向量和空间向量。
1. 平面向量：平面向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量的运算主要包括加法、乘法和求模等。
此外，平面向量还有一些重要的性质，例如，零向量的特点、平面向量的线性相关、平面向量的垂直等。
2. 空间向量：空间向量与平面向量类似，不同之处在于它们的表示需要通过三个坐标来描述。
空间向量的运算除了加法、乘法和求模外，还包括点积和叉积。
点积用于求两向量之间的夹角和平行关系，而叉积则能够计算两向量的乘积和垂直关系。
向量不仅在数学中有重要地位，而且在物理、工程、计算机等领域也有广泛应用。
例如，在力学中，向量可以描述物体的位移、速度和加速度等；在计算机图形学中，向量可以描述点的位置和方向等。
高二数学最难知识点归纳总结
高二数学最难知识点归纳总结在高二数学学习的过程中，有些知识点可能会令同学们感到困惑和挑战。
本文将对高二数学中最难的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些难点。
一、三角函数和向量1. 三角函数的运用：部分同学对于三角函数的各种变换以及在实际问题中的应用还存在困惑。
例如，对于角度的弧度制和角度制的转换，同学们需要通过实践和练习多加理解，熟练掌握。
2. 向量的运算：同学们常常会遇到向量的加减法、数量积和向量积的计算问题。
这些运算需要掌握清晰的概念和规则，并且能够熟练运用到实际问题中。
二、平面几何和立体几何1. 相似三角形和斜三角函数的运用：同学们需要深入理解相似三角形的性质和斜三角函数的定义，并能够熟练运用到几何问题的解答中。
2. 空间几何和立体几何：空间几何中的立体图形、平面与直线的位置关系等概念需要同学们进行实际的推理和画图来理解。
例如，对于立体图形的投影和旋转等变换，同学们需要掌握对应的方法和技巧。
三、导数与微分1. 函数的导数：对于函数的导数的定义和运算法则，同学们需要进行充分的练习，并注意理解导数在几何中的意义。
特别是对于复合函数和隐函数求导的问题，同学们需要加强练习，掌握相应的计算方法。
2. 微分与极值问题：同学们在求函数的最大值、最小值、驻点等问题时，常需要运用微分的概念和极值判定的方法。
这些问题需要具备一定的数学推理和分析能力，同学们应多进行思考和练习。
四、数列与级数1. 数列的性质和运算：对于递推式的数列的第n项的计算，以及常见数列的性质，同学们需多进行实例练习，加深理解。
此外，对于数列的收敛与发散、数列极限的计算需要掌握相应的求解方法。
2. 级数的性质和运算：对于级数的收敛条件、级数求和公式及其收敛域的判定，同学们需要熟悉并能够进行灵活运用。
五、概率与统计1. 随机事件的运算：对于概率的计算，包括单个随机事件和复合随机事件的概率计算，同学们需要理解概率的定义和计算方法，并能够运用到实际问题中。
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1．已知锐角α,且5α的终边上有一点P(sin(－50°），cos 130°)，则α的值为()A．8°B．44°C．26°D．40°答案B解析∵sin (－50°）＜0，cos 130°＝－cos 50°＜0,∴点P(sin（－50°)，cos 130°)在第三象限．又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°。
又∵点P的坐标可化为（cos 220°，sin 220°），∴5α＝220°,∴α＝44°，故选B.2．已知向量错误!＝(2，0）,向量错误!＝（2，2），向量错误!＝(错误!cos α，错误!sin α)，则向量错误!与向量错误!的夹角的取值范围是（）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!答案D解析由题意，得：错误!＝错误!＋错误!＝(2＋错误!cos α，2＋错误!sinα)，所以点A的轨迹是圆(x－2）2＋（y－2)2＝2，如图，当A位于使向量错误!与圆相切时，向量错误!与向量错误!的夹角分别达到最大、最小值,故选D。
3．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足｜c－a－b｜＝1，则｜c|的最大值为( ）A。
2－1 B.2C.错误!＋1 D。
错误!＋2答案C解析建立平面直角坐标系，令向量a,b的坐标a＝（1，0），b＝（0,1),令向量c＝（x，y），则有错误!＝1，|c｜的最大值为圆（x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即错误!＋1。
4．已知函数f (x ）＝sin 错误!－错误!在［0,π]上有两个零点，则实数m 的取值范围为（ )A ．[－错误!，2］B ．［错误!，2)C ．（错误!，2］D ．[错误!，2］ 答案 B解析 如图，画出y ＝sin （⎭⎪⎫x ＋π3在[0，π]上的图像，当直线y ＝错误!与其有两个交点时，错误!∈错误!，所以m ∈［错误!，2)．5．已知函数y ＝2sin （ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π）为偶函数，其图像与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2,若|x 2－x 1|的最小值为π,则该函数的一个递增区间可以是( ）A.错误!B 。
错误!C 。
错误!D 。
错误!答案 A解析 由函数为偶函数知φ＝错误!＋k π(k ∈Z ）．又因为0＜φ＜π，所以φ＝错误!，所以y ＝2cos ωx 。
由题意知函数的最小正周期为π,故ω＝2，所以y ＝2cos 2x ,经验证知选项A 满足条件．故选A 。
题型一 三角函数的图像与性质例1 已知函数f (x )＝cos x ·sin 错误!－错误!cos 2x ＋错误!,x ∈R 。
(1)求f （x )的最小正周期；(2）求f (x )在闭区间错误!上的最大值和最小值．解 (1）由已知，得 f (x )＝cos x 错误!－错误!cos 2x ＋错误!＝错误!sin x cos x －错误!cos 2x ＋错误!＝错误!sin 2x －错误!（1＋cos 2x )＋错误!＝错误!sin 2x －错误!cos 2x＝错误!sin 错误!。
所以f (x ）的最小正周期T ＝错误!＝π.(2）因为f （x ）在区间错误!上是减函数,在区间错误!上是增函数,f 错误!＝－错误!，f 错误!＝－错误!，f 错误!＝错误!，所以函数f （x ）在闭区间错误!上的最大值为错误!,最小值为－错误!.思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ）＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体,结合y ＝sin t 的图像求解．已知函数f (x ）＝sin(ωx ＋错误!)＋sin （ωx －错误!）－2cos 2错误!,x ∈R (其中ω>0）．(1）求函数f (x ）的值域;（2）若函数y ＝f (x ）的图像与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离均为错误!，求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 （1）f （x )＝错误!sin ωx ＋错误!cos ωx ＋错误!sin ωx －错误!cos ωx －(cos ωx ＋1)＝2（错误!sin ωx －错误!cos ωx )－1＝2sin(ωx －错误!)－1。
由－1≤sin (ωx －π6)≤1， 得－3≤2sin（ωx －错误!)－1≤1，所以函数f （x )的值域为[－3,1］．（2）由题设条件及三角函数图像和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，所以错误!＝π，即ω＝2.所以f （x )＝2sin(2x －错误!）－1，再由2k π－π2≤2x －错误!≤2k π＋错误!（k ∈Z ), 解得k π－错误!≤x ≤k π＋错误!(k ∈Z )．所以函数y ＝f (x ）的单调增区间为[k π－错误!，k π＋错误!]（k ∈Z )．题型二 三角函数和解三角形例2 （2015·山东）设f （x )＝sin x cos x －cos 2错误!.（1)求f （x )的单调区间;（2)在锐角△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,c 。
若f 错误!＝0,a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝sin 2x －错误!.由－错误!＋2k π≤2x ≤错误!＋2k π，k ∈Z ，可得－错误!＋k π≤x ≤错误!＋k π，k ∈Z ；由错误!＋2k π≤2x ≤错误!＋2k π，k ∈Z ，可得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ,k∈Z。
所以f（x)的单调递增区间是错误!（k∈Z);单调递减区间是错误!（k∈Z）．（2）由f错误!＝sin A－错误!＝0,得sin A＝错误!，由题意知A为锐角，所以cos A＝错误!.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得1＋错误!bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立．因此错误!bc sin A≤错误!。
所以△ABC面积的最大值为错误!。
思维升华三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角,再代入到三角函数中,三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．已知函数f(x）＝2cos2x－sin错误!.（1）求函数f(x)的最大值，并写出f(x）取最大值时x的取值集合；(2)在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f（A）＝错误!，b＋c＝2，求实数a 的最小值．解(1)∵f(x）＝2cos2x－sin错误!＝(1＋cos 2x）－错误!＝1＋错误!sin 2x＋错误!cos 2x＝1＋sin错误!.∴函数f(x)的最大值为2。
要使f（x)取最大值，则sin错误!＝1，∴2x＋错误!＝2kπ＋错误!(k∈Z)，解得x＝kπ＋错误!，k∈Z.故f(x）取最大值时x的取值集合为错误!.(2）由题意知，f（A)＝sin错误!＋1＝错误!，化简得sin错误!＝错误!.∵A∈(0,π），∴2A＋错误!∈错误!，∴2A＋错误!＝错误!，∴A＝错误!。
在△ABC中,根据余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bc cos 错误!＝(b＋c）2－3bc.由b＋c＝2,知bc≤错误!2＝1,即a2≥1.∴当b＝c＝1时，实数a的最小值为1。
题型三三角函数和平面向量例3 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f（x）的图像过点(错误!，错误!）和点（错误!，－2）．（1）求m，n的值；（2）将y＝f(x）的图像向左平移φ(0<φ〈π)个单位后得到函数y＝g(x）的图像,若y＝g （x)图像上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间．解（1)由题意知f(x)＝a·b＝m sin 2x＋n cos 2x。
因为y＝f（x）的图像过点（错误!，错误!）和(错误!，－2)，所以错误!即错误!解得错误!（2)由(1）知f(x）＝错误!sin 2x＋cos 2x＝2sin（2x＋错误!）．由题意知g(x）＝f（x＋φ）＝2sin(2x＋2φ＋错误!)．设y＝g（x）的图像上符合题意的最高点为(x0,2），由题意知x错误!＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为（0，2）．将其代入y＝g（x）得sin(2φ＋错误!)＝1，因为0〈φ〈π,所以φ＝错误!，因此g(x）＝2sin(2x＋错误!）＝2cos 2x。
由2kπ－π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ－错误!≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x）的单调递增区间为[kπ－错误!，kπ]，k∈Z.思维升华（1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．（2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．已知向量a＝（cos α，sin α)，b＝(cos x,sin x）,c＝（sin x＋2sin α，cos x＋2cos α),其中0〈α<x<π。
（1)若α＝错误!,求函数f(x）＝b·c的最小值及相应x的值；(2）若a与b的夹角为错误!，且a⊥c，求tan 2α的值．解（1）∵b＝（cos x,sin x），c＝（sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝错误!，∴f(x）＝b·c＝cos x sin x＋2cos x sin α＋sin x cos x＋2sin x cos α＝2sin x cos x＋错误!（sin x＋cos x)．令t ＝sin x ＋cos x 错误!，则2sin x cos x ＝t 2－1,且－1<t <错误!.则函数f (x )关于t 的关系式为y ＝t 2＋错误!t －1＝错误!2－错误!，－1<t <错误!， ∴t ＝－错误!时，y min ＝－错误!，此时sin x ＋cos x ＝－错误!， 即2sin 错误!＝－错误!，∵错误!<x <π，∴错误!<x ＋错误!〈错误!，∴x ＋错误!＝错误!，∴x ＝错误!.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为错误!。
(2)∵a 与b 的夹角为错误!，∴cos 错误!＝错误!＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos （x －α）．∵0<α〈x 〈π,∴0〈x －α〈π，∴x －α＝π3。