三角函数和向量知识点
向量三角函数知识点归纳
向量三角函数知识点归纳向量和三角函数是高中数学中的重要内容，下面是关于这两个知识点的归纳总结。
一、向量1.向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头在平面或空间中表示。
向量的大小叫做模，用，a，或，a，表示；向量的方向用一个角度或另一向量表示。
2.向量的基本运算-向量的加减：向量的加减使用平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点用直线连接。
- 向量的数量积：向量 a 和 b 的数量积（内积或点积）定义为abcosθ，其中θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
-向量的数量积的性质：交换律、结合律、分配律等。
-向量的夹角：可以使用向量的点积公式计算向量之间的夹角。
-向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个标量，表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
3.向量的应用-分解力的合力：当一个力可以分解为多个力的合力时，可以使用向量的方法表示这个过程。
-平行四边形法表示速度：当一个物体以两个向量之和的速度在平面内运动时，可以使用平行四边形法则来表示其速度。
二、三角函数1.三角函数的定义三角函数是一组用于描述角和边之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
- 正弦函数：sinθ = 对边 / 斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边 / 斜边- 正切函数：tanθ = 对边 / 邻边2.三角函数的性质和关系-三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都为2π，正切函数的周期为π。
-三角函数的奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
-三角函数的和差化积公式：- 正弦函数的和差化积：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB- 余弦函数的和差化积：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB- 正切函数的和差化积：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓tanAtanB)-三角函数的平方和差公式：- 正弦函数的平方和差：sin²A ± sin²B = 2sinAcosA，cos²A ± cos²B = 2cosAcosB- 余弦函数的平方和差：cos²A + cos²B = 2cosAcosB，cos²A - cos²B = -2sinAsinB- 正切函数的平方和差：tan²A ± tan²B = 1 ∓ 2tanAtanB3.三角函数的应用-三角函数的性质可以用于求解各种三角形的边长和角度。
新高一数学知识点总结归纳
新高一数学知识点总结归纳在新的高一数学课程中，学生将接触到许多新的知识点和概念。
本文将对这些知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地掌握新学期的数学内容。
1. 函数与方程1.1 函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素与另一个集合的元素进行对应。
函数的定义域、值域、图像等是关键概念。
1.2 一次函数与二次函数一次函数的表达式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
二次函数的表达式为y = ax^2 + bx + c，通过顶点、轴对称、零点等属性进行研究。
1.3 不等式与方程组不等式的解集为一系列使不等式成立的值的集合。
方程组是多个方程的集合，需要通过代入、消元等方法求解。
2. 三角函数与向量2.1 三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义涉及到直角三角形中的比率关系，具有周期性、奇偶性等特点。
2.2 三角函数的图像与变换三角函数的图像可以通过变换角度、振幅、平移等方式进行，掌握这些变换规律有助于解决相关题目。
2.3 向量与坐标向量的定义与性质是理解向量运算的基础。
坐标的概念与二维平面直角坐标系和三维空间直角坐标系的建立和应用。
3. 数列与数学归纳法3.1 等差数列与等比数列等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
3.2 递推数列与特殊数列递推数列通过前一项或前几项的值确定下一项的值。
特殊数列如斐波那契数列、调和数列等在数学和自然界中具有特殊性质。
3.3 数学归纳法数学归纳法是证明数学命题的一种重要方法，主要包括归纳基和归纳假设两个步骤。
4. 概率与统计4.1 随机事件与概率随机事件是在一定条件下发生或不发生的结果，它们的概率可以用频率或理论分析的方法计算。
4.2 条件概率与独立性条件概率是在给定某个条件下某个事件发生的概率。
职高三角函数与向量知识点
职高三角函数与向量知识点在职业高中的数学学习中，三角函数和向量是相当重要的知识点。
它们不仅在数学中具有广泛应用，而且在实际问题求解中也能发挥巨大的作用。
下面我们就来仔细探讨一下职高数学中的三角函数和向量相关知识。
一、三角函数三角函数是描述角度与边长之间关系的函数。
主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：1. 正弦函数：在直角三角形中，对于非直角的角A，正弦函数的定义为对边与斜边的比值，即sin A = 对边/斜边。
2. 余弦函数：在直角三角形中，对于非直角的角A，余弦函数的定义为邻边与斜边的比值，即cos A = 邻边/斜边。
3. 正切函数：在直角三角形中，对于非直角的角A，正切函数的定义为对边与邻边的比值，即tan A = 对边/邻边。
三角函数不仅有这些基本定义，还有一系列的特性和性质。
例如，关于三角函数的周期、奇偶性、增减性等。
这些特性的掌握对于进行计算和图像的解析具有重要意义。
此外，三角函数在解决实际问题中也有着广泛的应用。
例如，在测量工程中，利用正弦定理可以求解三角形的边长和角度；在物理学中，正余弦函数可以描述振动过程中的变化规律等等。
二、向量向量是指具有大小和方向的物理量，它可以用有向线段来表示。
在职高数学中，我们主要学习平面向量和空间向量。
1. 平面向量：平面向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量的运算主要包括加法、乘法和求模等。
此外，平面向量还有一些重要的性质，例如，零向量的特点、平面向量的线性相关、平面向量的垂直等。
2. 空间向量：空间向量与平面向量类似，不同之处在于它们的表示需要通过三个坐标来描述。
空间向量的运算除了加法、乘法和求模外，还包括点积和叉积。
点积用于求两向量之间的夹角和平行关系，而叉积则能够计算两向量的乘积和垂直关系。
向量不仅在数学中有重要地位，而且在物理、工程、计算机等领域也有广泛应用。
例如，在力学中，向量可以描述物体的位移、速度和加速度等；在计算机图形学中，向量可以描述点的位置和方向等。
高二数学最难知识点归纳总结
高二数学最难知识点归纳总结在高二数学学习的过程中，有些知识点可能会令同学们感到困惑和挑战。
本文将对高二数学中最难的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这些难点。
一、三角函数和向量1. 三角函数的运用：部分同学对于三角函数的各种变换以及在实际问题中的应用还存在困惑。
例如，对于角度的弧度制和角度制的转换，同学们需要通过实践和练习多加理解，熟练掌握。
2. 向量的运算：同学们常常会遇到向量的加减法、数量积和向量积的计算问题。
这些运算需要掌握清晰的概念和规则，并且能够熟练运用到实际问题中。
二、平面几何和立体几何1. 相似三角形和斜三角函数的运用：同学们需要深入理解相似三角形的性质和斜三角函数的定义，并能够熟练运用到几何问题的解答中。
2. 空间几何和立体几何：空间几何中的立体图形、平面与直线的位置关系等概念需要同学们进行实际的推理和画图来理解。
例如，对于立体图形的投影和旋转等变换，同学们需要掌握对应的方法和技巧。
三、导数与微分1. 函数的导数：对于函数的导数的定义和运算法则，同学们需要进行充分的练习，并注意理解导数在几何中的意义。
特别是对于复合函数和隐函数求导的问题，同学们需要加强练习，掌握相应的计算方法。
2. 微分与极值问题：同学们在求函数的最大值、最小值、驻点等问题时，常需要运用微分的概念和极值判定的方法。
这些问题需要具备一定的数学推理和分析能力，同学们应多进行思考和练习。
四、数列与级数1. 数列的性质和运算：对于递推式的数列的第n项的计算，以及常见数列的性质，同学们需多进行实例练习，加深理解。
此外，对于数列的收敛与发散、数列极限的计算需要掌握相应的求解方法。
2. 级数的性质和运算：对于级数的收敛条件、级数求和公式及其收敛域的判定，同学们需要熟悉并能够进行灵活运用。
五、概率与统计1. 随机事件的运算：对于概率的计算，包括单个随机事件和复合随机事件的概率计算，同学们需要理解概率的定义和计算方法，并能够运用到实际问题中。
高二数学最难的一课知识点
高二数学最难的一课知识点高二数学是我国中学数学课程中的重要阶段，其中有一些知识点备受学生们的困扰。
本文将介绍高二数学中最难的一课知识点，并为解决这些难点提供一些建议。
一、三角函数与向量在高二数学中，三角函数与向量是一门相对较难的课程，许多学生往往在这方面遇到困难。
1. 三角函数三角函数涉及到角度测量、正弦、余弦和正切函数等内容。
学生们常常对三角函数的定义和性质理解不深刻，导致在解题时常常摸不着头脑。
解决方法：强调对公式的记忆和理解，通过大量的例题练习来加深对三角函数的认识。
此外，可以请教老师或同学，加入学习小组，共同解决问题。
2. 向量向量是高中数学中一项重要的内容，涉及到向量的定义、加法、数量积和向量积等。
许多学生在理解向量的概念和运算规则时感到困惑。
解决方法：通过图形化的方法来理解向量的概念，例如绘制向量在平面内的示意图。
此外，可以通过动手操作，进行向量的实际应用，例如力的合成等。
二、解析几何解析几何是高二数学中比较重要的一门课程，其中的平面坐标系和直线方程是学生们最常遇到的难点。
1. 平面坐标系平面坐标系是解析几何中的基础概念，学生们通常会遇到如何确定坐标和计算距离的问题。
解决方法：熟悉平面坐标系的定义和性质，通过实际画图和实例计算来加深对于坐标和距离的理解。
2. 直线方程直线方程包括一般式和点斜式等多种形式，学生们往往混淆和困惑。
解决方法：掌握直线方程的定义和常见形式，并进行大量的练习来熟练掌握。
三、微分与积分微分与积分是高二数学中的重点和难点，学生们在这方面经常遇到困难。
1. 微分微分是研究变化率和极值问题的一门数学工具，学生们通常会在求导和应用方面遇到困难。
解决方法：掌握导数的定义和常见的求导法则，通过例题和实际问题来熟练运用。
2. 积分积分是微分的逆运算，涉及到定积分和不定积分等内容。
很多学生在求解积分和利用积分求面积等方面存在困难。
解决方法：了解积分的定义和基本性质，掌握积分的常见计算方法，并通过多做题目来提高解决问题的能力。
高中数学重要知识点详细归纳
高中数学重要知识点详细归纳近年来，随着国内高中教育的改革和提升，高中数学日益成为学生所关注的一个重点科目。
而在学习高中数学的过程中，掌握重要的知识点是非常关键的，因为这些知识点是后续学习的基础和重点。
下面，将从教材中摘选出一些比较重要的知识点，简要地进行归纳和分析，以便高中学生能够更好地掌握数学的本质和精髓。
一、三角函数三角函数是高中数学中一个非常重要的知识点，它是许多数学领域的重要基础。
学习三角函数，不仅能够帮助我们了解各种常见函数的性质，还能够帮助我们建立复杂函数的理论模型，以及进行应用研究。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，我们需要掌握它们的定义、性质、公式以及应用。
二、向量向量是三维几何中一个非常重要的概念，它可以用来表示位移、速度、加速度等物理量，也可以用于求解平面与空间中的几何问题。
在高中数学中，我们需要学习向量的基本概念、坐标表示、长度、模、夹角、向量的加减法、数量积和向量积、共面条件、平面方程等知识点。
此外，我们还需要掌握向量的应用，例如：空间几何问题、物理学中的位移、速度和加速度计算等。
三、导数导数是高中数学的一项重要内容，它是微积分的核心概念。
学习导数，不仅能够帮助我们研究各种复杂函数，还能够帮助我们理解各种物理量的变化以及相关变化规律。
我们需要掌握导数的定义、性质、公式、变化率、导数存在条件、一阶导数、二阶导数、高阶导数等知识点，在掌握这些知识的基础之上，我们还需要能够应用导数求解各种物理学、经济学、生物学等实际问题。
四、数列与级数数列与级数是高中数学中的另一个重要领域，它与函数、导数等概念都紧密相关。
学习数列与级数，不仅能够帮助我们了解各种数列的性质和规律，还能够帮助我们研究差分方程和微分方程的解法，从而进一步深入到微积分的领域。
我们需要掌握数列与级数的基本概念、通项公式、求和公式、收敛性、极限值、数值大小比较等知识点，此外，我们还需要掌握数列与级数的应用，例如：生物学中的种群模型、经济学中的投资收益和风险等。
中职数学高二知识点大全
中职数学高二知识点大全一、平面向量1. 向量的概念与特点2. 向量的表示与运算3. 向量的数量积与向量积4. 平面向量的坐标表示二、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义与性质2. 三角函数图像与周期性3. 三角恒等式及其应用4. 三角形的面积与周长5. 解三角形的基本原理与方法三、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的定义与性质2. 二次函数图像与性态分析3. 一元二次方程的求解方法4. 一元二次方程的应用问题四、指数与对数函数1. 指数函数的定义与性质2. 指数函数的图像与性态分析3. 对数函数的定义与性质4. 对数函数的图像与性态分析5. 指数与对数函数的方程与不等式五、立体几何1. 球的性质及公式2. 圆锥与圆台的性质及公式3. 圆柱与圆筒的性质及公式4. 空间直线与平面的位置关系六、概率与统计1. 随机事件与概率的基本概念2. 概率的计算方法及性质3. 随机变量与概率分布4. 统计与统计图表七、函数与导数1. 函数的定义与性质2. 函数的图像与性态分析3. 极限与连续性4. 导数的定义与性质5. 函数的导数与求导法则八、立体几何应用1. 空间中点、距离及比例2. 空间中的平行与垂直3. 空间中的角与面4. 空间曲线与曲面以上是中职数学高二的主要知识点大全，通过系统学习和掌握这些知识，你将能够更好地应对数学学科中的各种问题与挑战。
希望你能够认真对待每一个知识点，不断巩固和提升自己的数学水平。
祝你在学业上取得优异的成绩！。
北京高三数学知识点归纳
北京高三数学知识点归纳数学作为一门重要的学科，在高中阶段的学习中占有重要的地位，尤其是对于处于高三阶段的北京学生来说。
为了能够帮助北京高三学生更好地掌握数学知识和复习备考，本文将对北京高三数学的知识点进行归纳总结。
一、函数与方程在高三数学中，函数与方程是一个非常重要的知识点。
北京高三数学中，常常涉及到一元函数、二元函数、函数的性质和图象等相关内容。
在学习这些内容时，学生需要掌握函数的定义、函数的性质（奇偶性、单调性、有界性等）、函数的图象和函数的应用等。
除此之外，方程也是高三数学中一个重要的内容，学生需要掌握一元二次方程、二元一次方程、二次函数与二次方程的关系等。
二、数列与数列极限数列与数列极限也是北京高三数学中的重要内容。
数列是一列有序的数按照一定规律排列而成，数列极限则是指数列中的元素随着项数的增加而逐渐趋于一个确定的值。
北京高三学生需要掌握等差数列、等比数列、斐波那契数列等不同类型的数列，并能够灵活应用数列的性质和数列极限的计算方法。
三、三角函数与向量三角函数与向量是高三数学中比较复杂的知识点之一。
学生需要掌握三角函数的定义、性质和基本关系式，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，并能够灵活运用三角函数解决各类与角度有关的问题。
此外，高三学生还需要理解向量的概念、向量的基本运算法则以及向量与其他数学概念的关系，如平面几何、解析几何等。
四、导数与微分导数与微分是高三数学中的重要内容，也是应用较为广泛的数学工具之一。
学生需要掌握导数的定义、常用导数公式、导数的运算法则以及高阶导数等。
此外，学生还需要了解微分的意义和应用，如微分中值定理、泰勒展开等，能够运用导数和微分解决实际问题。
五、概率与统计概率与统计是高三数学中的一门实践性较强的内容。
学生需要掌握基本概率原理、事件间的关系、条件概率和贝叶斯公式等。
此外，统计学也是高三数学中的一个重要内容，学生需要了解统计量的含义、抽样调查的方法和数据处理等。
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三角函数知识点1. 三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。
2. 弧度制:○1rl=||α； ○2弧长公式:r l ||α=,其中||α为圆心角的弧度数．．．； ○3扇形的面积公式:2||2121R R l S α=⋅=扇形； ○41弧度=815730.57'︒=︒，π弧度180=。
3. 三角函数的公式:)2(cos sin tan 1cos sin 22Z k k ∈+≠==+，公式一ππαααααα 公式组二：xx k xx k x x k xx k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ 公式组三：xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四：x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ公式组五：xx x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ 公式组六：xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ其中诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．。
其中奇．是指2π的系数为奇数，偶．是指2π的系数为偶数，变．是指：正弦与余弦互变，正切与余切互变。
看符号时是指对原三角函数进行判断，并且要将．．α视为锐角．．．．。
如：ααπcos )2(sin =+，ααπsin )2(cos -=+。
4. 三角恒变换的主要公式：βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-αααco s s i n 22s i n ⋅= ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=ααα2tan 1tan 22tan -=化一公式：sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=)，常见：○1)4sin(2cos sin πααα+=+a a a ，○2)3sin(cos 23sin 21πααα+=+； 5.正余弦的齐次式转化为正切值求解如ααααααtan 3tan 32sin cos 3sin 3cos 2+-=+-；αααααααααα22222tan 11tan cos sin cos cos sin cos cos sin ++=++⋅=+⋅等。
6. 掌握配角技巧：)()(2βαβαα-++=，αβαβ-+=)(等。
7.三角函数图象的五点作图法：如正弦：)0,0(；)1,2(π；)0,(π；)1,23(-π；)0,2(π， 余弦：)1,0(；)0,2(π；)1,(-π；)0,23(π；)1,2(π 这五点是函数图象在一个周期内的最高点、最低点与平衡点。
注意：你会用五点作图法画k x A y ++=)sin(ϕω的草图吗？哪五点？你会根据图象求参数ϕω、、A 、k 的值吗？8.三角函数图象及性质函数 正弦函数余弦函数正切函数图 象定义域R R⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2|ππ 值域 ]1,1[- ]1,1[- R周期性 π2π2π奇偶性 奇函数偶函数奇函数对称中心)0,(πk （Z k ∈）即正弦值为0的点)0,2(ππ+k （Z k ∈）即余弦值为0的点)0,2(πk （Z k ∈） 对称轴ππk x +=2（Z k ∈） πk x =（Z k ∈）无单调性区间：]22,22[ππππk k ++-，（Z k ∈）是增区间； 区间：]223,22[ππππk k ++，（Z k ∈）是减区间； 区间：]2,2[πππk k -，（Z k ∈）是增区间；区间：]2,2[πππk k +，（Z k ∈）是减区间；区间：)2,2(ππππk k ++-（Z k ∈）是增区间9.三角函数的周期问题：○1函数k wx A y ++=)sin(ϕ、k wx A y ++=)cos(ϕ，（R x ∈且A,ω,ϕ为常数，且A 、h ≠0）的周期||2w T π=。
○2函数k wx A y ++=)tan(ϕ，（,2x k k Zππ≠+∈）(A,ω,ϕ 为常数，且A ≠0)的周期||w T π=。
○3函数|)sin(|ϕ+=wx A y 、|)cos(|ϕ+=wx A y 的周期||w T π=。
10.函数图象的变换： 先平移后伸缩sin y x =ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度sin()y x ϕ=+()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变sin()y x ωϕ=+()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变sin()y A x ωϕ=+(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度sin()y A x k ϕ=++．先伸缩后平移sin y x=(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变x y ωsin =(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位)sin(ϕω+=x y (1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)sin ()y A x x ωϕ=+(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度sin()y A x k ωϕ=++ 11.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，变形A R a sin 2=，,sin 2B R b =,sin 2C R c =其中R 为三角形外接圆的半径。
12.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-，变形：○1bca cb A 2cos 222-+=；○2A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 222⋅⋅-+=。
13.三角形的面积公式：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示c b a ,,边上的高）； （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===。
14.三角形中角的变换：因为在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+。
B A b a sin sin >⇔> B A b a cos cos <⇔>平面向量知识点1. 基本概念:向量),(y x a = ,向量长度222)(||y x a a +== ,零向量0 ,单位向量e (其中1||=e ),与非零向量a 方向相同的单位向量为:||a a (若反向,则为||a a-)2. 平行向量(也称共线向量):方向相同或相反的非零向量。
规定0与任一向量平行。
注意：平行向量只与方向有关，而与起点、终点无关。
3．相等向量：方向相同且模相等，如),(),,(2211y x b y x a == ，2121y y x x b a ==⇔=且4．向量运算(1)加法运算：加法法则如图：三角形法则（首尾相接）与平行四边形法则（共起点） 特别：n n n A A A A A A A A 113221=+++- ，AB OA OB +=等。
(2)减法运算减法法则(如图)：三角形法则（共起点，指向被减向量）特别：OA OB AB -=，又若A 、B 两点的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则),(1212y y x x AB --=。
(3)实数与向量的积：坐标运算：若),(y x a = ，则),(),(y x y x a λλλλ==。
(4)平面向量的数量积：定义：θco s ||||b a b a =⋅(θ,0,0 ≠≠b a 为向量b a ,的夹角（有时也记>=<b a,θ）且0≤θ≤π)，规定：00=⋅a坐标运算：若),(),,(2211y x b y x a ==，则),(2121y y x x b a ++=+ ，),(2121y y x x b a --=-2121y y x x b a +=⋅， 222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅= θ（用于求向量的夹角） 5．重要定理、公式○1．向量b 与非零向量a共线的充要条件是：b a b a λ=⇔//；坐标形式：若),(),,(2211y x b y x a ==，则0//1221=-⇔y x y x b a ；○2.两个非零向量垂直的充要条件：0=⋅⇔⊥b a b a；坐标形式：若),(),,(2211y x b y x a ==，则02121=+⇔⊥y y x x b a ；6．a 在b 上的投影：><⋅b a a ,cos。