球坐标系与柱坐标系
柱坐标系和球坐标系简介
z
P( ρ ,θ , z )
z
o
θ
x
y
ρ
Q
思考： 思考： 1、给定一个底面半径为r，高为 的圆柱， 、给定一个底面半径为 ，高为h的圆柱 的圆柱， 建立柱坐标系， 建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧 面以及底面上点的位置。 面以及底面上点的位置。 2、举例说明柱坐标系在日常生活中的应 、 用。
空间点P的直角坐标( x, y, z )与柱坐标( ρ , θ , z ) 之间的变换公式为 x = ρ cos θ { y = ρ sin θ z=z
0
z
P(r , ,θ )
r
o
θ
x Q
y
思考： 思考： 在研究空间图形的几何特征时， 在研究空间图形的几何特征时，我们应 该怎样选择坐标系呢？ 该怎样选择坐标系呢？ 思考： 思考： 1、请利用球坐标系说明人们如何确定地面 、 上一点的位置 2、举例说明球坐标系在日常生活中的应用。 、举例说明球坐标系在日常生活中的应用。
练习： 1、设点M的直角坐标是(1, 3 ,3), 则它的柱 坐标是？
4π (2, ,3) 3
π
6 ,7), 求它的直角坐标。
2、设点M的柱坐标为(2,
( 3,1,7)
2、球坐标系 、 思考： 思考： 在航天领域，人们怎样确定航天器的 在航天领域， 准确位置呢？ 准确位置呢？
Z P
o Q
y
X
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP ＝r，OP与Oz轴正 向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q， Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小 正角为θ，这样P点的位置就可以用有序数组 (r , , θ )表示，这样，空间点与有序数组(r , , θ ) 之间建立了一种对应关系，
高中数学新人教A版选修4-4 柱坐标系与球坐标系简介
四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4， 又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。
柱坐标系与球坐标系简介
O
x
Q
y
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
1 cos
1
sin
1 z
解得ρ=
2，θ=
4
点在柱坐标系中的坐标为 （ 2， ，1）.
4
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
探究（二）：球坐标系
思考1：地球上一点P的经度和纬度分别是什
么概念？对地球表面上一点的位置，一般用
哪种方式来确定？
北极
北极
子 地轴 午
P
线o
赤道
P
o
赤道 地轴
南极
南极
经度：过点P从北极到南极的半圆面与子 午面所成的二面角的平面角；
纬度：过点P的球半径与赤道平面所成的 角.
对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定.
思考2：要确定航天器在天空中某一时刻 的位置，可通过哪些数据来确定？
航天器到地表面的距离，航天器所处 位置的经度和纬度.
302m，1 7 ，1.8m
12
思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，1 7 ，1.8)表示点A的准确位置，那
12
么这个空间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系Ox， 过极点O作水平面的垂线 Oz.
O
x
思考4：上述所建立的坐标系叫做柱坐标
系，对于空间一点P，点P的柱坐标如何
表示？ z
极坐标系，因为极角是极径与极轴所成
的角，那么航天器的纬度角φ可换成哪
个角来反映？
z
射线OP与Oz轴正 向所夹的角为φ.
P φr
Oφ
xθ
Q
思考5：一般地，在球坐标系中，对空 间任意一点P，设|OP|＝r，射线OP与Oz 轴正向所夹的角为φ，Ox轴按逆时针方 向旋转到OP在水平面上的射影OQ所转过 的最小正角为θ，则点P的位置可以用 有序数组(r，φ，θ)表示，该有序数 组叫做点P的球坐标，其中三个坐标分 量的取值范围分别是什么？
柱坐标系与球坐标系简介 ppt课件
空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱 AA1的长为 2 ，如图1-4-3所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1 的直角坐标和球坐标．
【思路探究】 先确定C1的直角坐标，再根据空间直角 坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．
阶
阶
段
段
一
三
四 柱坐标系与球坐标系简介
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单 问题中的点的位置．(重点)
2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解 题．(难点、易错点)
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[基础·初探]
是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向
图1-4-2
所夹的角为 φ.设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时
所转过的 最小正角 为 θ.这样点 P 的位置就可以用有序数组 (r，φ，θ) 表
示．这样，空间的点与有序数组 (r，φ，θ) 之间建立了一种对应关系．把建立
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将点的球坐标化为直角坐标 已知点M的球坐标为2，34π，34π，求它的直角坐标．
【思路探究】 球坐标 x―＝―rs―in―φ―co―sz＝θ―，r―cyo―＝s ―φrs―in―φs―in―θ→， 直角坐标
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1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的
球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即
柱坐标与球坐标系简介
柱坐标与球坐标系简介
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标系是描述三维空间中点的两种常用坐标系。
它们为研究三维问题提供了方便的工具，可以使问题的表达和求解更加简洁。
柱坐标系
柱坐标系是一种用圆柱形式来描述三维空间中的点的坐标系。
在柱坐标系中，
一个点的位置由距离原点的长度、与正向x轴的夹角和z坐标组成。
通常用(r, θ, z)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系在求解具有轴对称性的问题时特别有用，例如旋转体的体积和表面积
的计算等问题。
球坐标系
球坐标系是通过球坐标来描述三维空间中的点的坐标系。
在球坐标系中，一个
点的位置由距离原点的长度、与正向z轴的夹角和在x-y平面上的极角组成。
通常用(r, θ, φ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，φ表示点在z轴上的极角。
球坐标系常常用于处理具有球对称性或球体几何的问题，例如电场和磁场的计
算等。
它也在计算机图形学和三维建模中被广泛应用。
无论是柱坐标系还是球坐标系，它们都是解决特定类型的问题时十分有效的工具。
通过灵活运用这两种坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的问题，为实际问题的求解提供更多的可能性和方法。
柱坐标和球坐标系给了我们描述空间中点位置的不同视角，为解决相关问题提
供了更多的数学工具。
通过学习和掌握这两种坐标系的原理和应用，我们可以在数学和物理领域中更加灵活地处理复杂的三维问题。
高中数学柱坐标系与球坐标系简介
2.设M点的直角坐标为 标.
(1, 求它3的,柱3坐)
(2, 4 , 3)
3
思考：
点P的柱坐标为(ρ,θ, z)，
(1)当ρ为常数时，点P的轨迹是____
圆柱面
(2)当θ为常数时，点P的轨迹是___
(3)当z为常数时，
z
点P的轨迹是____平_面
半平面
P(ρ,θ, z)
o θ
x
y Q (ρ,θ)
地球的纬度
地球的纬度与经度：
球坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是空间
任意一点，记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为j.
点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向 旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.则P的位置可用
有序数组(r, j, )表示， (r, j , )叫做点P的球坐标.
z P(xρ,,θy, z,)z)
o
x
θ
y Q (ρ,θ)
柱坐标与空间直角坐标的互化
(1)柱坐标转化为直角坐标
x=ρcosθ
y=ρsinθ
z=z
柱坐标与空间直角坐标的互化
(2)直角坐标转化为柱坐标
2 x2 y2
tan
y( x x
0)
z z
练习
1.设P点的柱坐标为 角坐标.
(2, ，求,它7的) 直 6
44
(1,1, 2)
练习
2.设M点的直角坐标为 球坐标是
(1, ，1那, 么它2的)
A.(2, , )
44
C.(2,
5
,
)
44
B.(2, , 5 )
44 D.(2, 3 , )
第1讲-柱坐标系和球坐标系讲解
究
业
系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
点的柱坐标与直角坐标互化
课
当
前
堂
自 主
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标
双 基
导
达
学 系中的坐标．
标
(2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
课
【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱
课 堂 互 动
∴|P1P2|＝
0＋322－ 262＋
3－12＝
30－ 2
10 .
课 时
探
作
究
业
柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解
决．
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
在球坐标系中，求两点 P(3，π6，4π)，Q(3，π6，34π)的距离．
课
【解】 将 P、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点 P 当
2．球坐标系
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
图 1－4－2
课
堂 互
建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 课
动
时
探 究
间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的
作 业
角为 φ.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球
课 前
1.4 柱坐标系与球坐标系
3 cos 2 2 － 2） －1 3 x 2sin （ 4 4 2 2 2 2 y 2sin 3 sin 3 2 1 4 4 2 2 2 3 2 ( z 2 cos － ）－ 2 4 2
点在直角坐标系中的坐标为 （ －1 ，1 ，－ 2 ）.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数 组(r,φ,θ)表示.
空间的点与有序数组 (r,φ,θ)之间建立了一种 对应关系.
z
P(r,φ,θ)
我们把建立上述 Q 对应关系的坐标系 x 叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
o θ
r φ
y
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标， 其中 r 0, 0 , 0 2
1 cos 1 sin 1 z
点在柱坐标系中的坐标为 （ 2 ， ，1）. 4 注：求θ 时要注意角的终边与点的 射影所在位置一致
解 得 ρ =
给定一个底面半径为r，高为h的圆 柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述
圆柱侧面以及底面上点的位置.
z
注：坐标与点的位置有关 x
o
y
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标
柱坐标系与球坐标系的转换
柱坐标系与球坐标系的转换在空间几何中，我们经常会用到柱坐标系和球坐标系来描述物体的位置和方向。
本文将讨论这两种坐标系之间的转换关系，帮助读者更好地理解它们之间的联系与应用。
柱坐标系柱坐标系是一种常用的三维坐标系，通常用来描述空间中的点的位置。
它由一个原点O和一个固定方向OZ组成。
柱坐标系中，一个点的位置可以由极径r、极角 $\\theta$ 和高度z来表示。
其中，极径r表示点到Z轴的距离，极角$\\theta$ 表示点在XOY平面上的投影与X轴正向的夹角，高度z表示点在OZ轴上的投影距离。
球坐标系球坐标系也是一种常用的三维坐标系，通常用来描述空间中的点的位置。
它由一个原点O和一个固定方向OZ组成。
球坐标系中，一个点的位置可以由半径r、极角 $\\theta$ 和方位角 $\\varphi$ 来表示。
其中，半径r表示点到原点O的距离，极角 $\\theta$ 表示点在XOY平面上的投影与X轴正向的夹角，方位角$\\varphi$ 表示点在XOY平面上的投影与OX轴正向的夹角。
坐标系转换柱坐标系与球坐标系之间的转换关系可以通过一些简单的数学关系来表示。
首先，考虑从柱坐标系转换到球坐标系的情况。
给定柱坐标系中的点 $P(r, \\theta, z)$，它对应球坐标系中的点 $P'(r', \\theta', \\varphi')$，其中$$ \\begin{aligned} r' & = \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\theta' & =\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\varphi' & = \\theta \\end{aligned} $$ 同样地，从球坐标系到柱坐标系的转换也可以通过类似的数学关系给出。
给定球坐标系中的点 $P'(r', \\theta', \\varphi')$，它对应柱坐标系中的点 $P(r, \\theta, z)$，其中$$ \\begin{aligned} r & = r' \\cdot \\sin(\\theta') \\\\ \\theta & =\\arctan\\left(\\frac{r'}{z'}\\right) \\\\ z & = r' \\cdot \\cos(\\theta')\\end{aligned} $$应用与总结柱坐标系与球坐标系的转换关系在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
圆柱坐标系和球坐标系是一样的吗为什么
圆柱坐标系和球坐标系是一样的吗？为什么？1. 引言在三维空间中，常用的坐标系统包括直角坐标系、极坐标系、圆柱坐标系和球坐标系等。
其中，圆柱坐标系和球坐标系在描述点的位置和方向时非常常见。
然而，它们之间存在着一定的区别。
本文将通过对圆柱坐标系和球坐标系的定义、转换关系和应用等方面的探讨，来回答“圆柱坐标系和球坐标系是一样的吗？为什么？”这个问题。
2. 圆柱坐标系的定义和特点圆柱坐标系是一种以点到直角坐标系x、y轴的投影距离以及点到z轴的距离来描述点的位置的坐标系统。
在圆柱坐标系中，点的坐标由三个分量表示：$P(r,\\theta, z)$。
其中，r代表点到z轴的投影长度，$\\theta$代表点在x、y平面上的极角，z代表点距离x、y平面的高度。
圆柱坐标系的特点是可以简洁地描述环形结构，如圆柱体或圆柱面等。
它本质上是三维空间的二维定义（平面坐标系）加上一个垂直方向的高度。
3. 球坐标系的定义和特点球坐标系是一种以点到原点的距离、点到原点连线与正半轴的夹角和点到该连线在投影平面上的投影距离来描述点的位置的坐标系统。
在球坐标系中，点的坐标同样由三个分量表示：$P(\\rho, \\phi, \\theta)$。
其中，$\\rho$代表点到原点的距离，$\\phi$代表点到原点连线与正半轴的夹角，$\\theta$代表点在投影平面上的投影位置的极角。
球坐标系的特点是可以用来描述以一个固定点为中心的球状结构。
它是一个以距离、纬度和经度来描述点的位置的坐标系。
4. 圆柱坐标系和球坐标系的关系圆柱坐标系和球坐标系并不相同，它们之间存在一定的差异。
首先，在数学上，两个坐标系使用的坐标分量不同。
圆柱坐标系使用的是笛卡尔坐标系中的$(r, \\theta, z)$，而球坐标系使用的是$(\\rho, \\phi, \\theta)$。
其次，两个坐标系描述的空间结构也不同。
圆柱坐标系主要用于描述圆柱体或圆柱面等具有轴对称性的结构，而球坐标系则主要用于描述球状结构。
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【答案】 (1)(2,2 3，8) (2)(2,2，－2 2)
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将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，如图4-1-8建立空间直角坐标 系A—xyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
【思路探究】 义和联系计算即可．
(1)设M(x，y，z)，
3À 3À 则x＝2sin 4 ·cos 4 ＝－1， 3À 3À y＝2×sin 4 ×sin 4 ＝1， 3À z＝2×cos 4 ＝－ 2. 即M点坐标为(－1,1，－ 2)．
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(2)设M(x，y，z)， À 则x＝2×cos 6＝ 3， À y＝2×sin 6＝1，z＝7. 即M点坐标为( 3，1,7)．
3 2 3 2 B ， ，－ 2 . 2 2
AB
2
＝ 2
9 9 3 2 3 2 2 2 2 3－ 2 ＋ 2－ 2 ＋(2＋2) ＝12＋ 2 －6 6 ＋4＋ 2 －6 2 ＋16＝41
图4-1-8 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意
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【自主解答】
点C1的直角坐标为(1,1,1)，
设点C1的柱坐标为(Á，¸ ，z)，球坐标为(r，Æ ，¸ )， 其中Á≥0，r≥0,0≤Æ ≤À ，0≤¸ ＜2À ， x＝Ácos ¸ ， 由公式y＝Ásin ¸ ， z＝z cos ¸ ， x＝rsin Æ sin ¸ ， 及y＝rsin Æ z＝rcos Æ
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
À À 1， ， ， 2 2 2 À À ； ， ， 2 2 4
，
À À 2，2，4 ，
它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，
À À 2 À 2，4，0，1，2，0， ， ，0 . 2 4
一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球 坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间 直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数 值的有序数组组成．
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2．在空间的柱坐标系中，方程Á＝Á0(Á0为不等于0的常数)，¸ ＝¸ 0，z＝z0分别 表示什么图形？
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3．已知点P的柱坐标为
À À À 2，4，5 ，点B的球坐标为 6，3，6 ，这两个点在
空间直角坐标系中点的坐标分别为________． 【导学号：98990007】
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【解析】
À 设P(x，y，z)，则x＝ 2cos4＝1，
À y＝ 2sin4＝1，z＝5， ∴P(1,1,5)． À À 3 3 3 6 À À 设B(x，y，z)，则x＝ 6sin 3cos 6＝ 6× 2 × 2 ＝ 4 ，y＝ 6sin3sin6＝ 6 3 1 3 2 × 2 ×2＝ 4 ， À 1 6 z＝ 6·cos 3＝ 6×2＝ 2 . 3 6 3 2 6 故B( 4 ， 4 ， 2 )．
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(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，¸ 表示以Oz为始边，OP为终边的角， Æ 表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，¸ ，Æ )就叫做点P的球坐标， 其中r≥0,0≤¸ ≤À ，0≤Æ ＜2À .
图4-1-5
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2．直角坐标与球坐标间的关系
若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及 Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，¸ ，Æ )之 间的关系，如图4-1-6所示． x2＋y2＋z2＝r2， x＝ rsin ¸ cos Æ y＝ rsin ¸ sin Æ z＝ rcos ¸ . ， ，
À 解之得Á＝ 2，¸ ＝4.
因此，点M的柱坐标为
À 2，4，1.
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(2)由坐标变换公式，可得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2. 由rcos ¸ ＝z＝ 2， 2 2 À 得cos ¸ ＝ r ＝ 2 ，¸ ＝4. À y 又tan Æ ＝x＝1，Æ ＝4(M在第一象限)，
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2．设点M的直角坐标为(－1，－1， 2)，则它的球坐标为________．
【解析】 由坐标变换公式，r＝ x2＋y2＋z2＝2.
2 À z y cos ¸ ＝r＝ 2 ，¸ ＝4.∵tan Æ ＝x＝1， 5 ∴Æ ＝4À .
À 5À 故M的球坐标为2，4， 4 . À 5À 【答案】 2，4， 4
(Á，¸ ，z)
叫做点P的柱坐标，记作P(Á，¸ ，z)，其中
Á≥0,0≤¸ ＜2À ，z∈R.
4．直角坐标与柱坐标之间的关系 x＝Ácos ¸ ， y＝Ásin ¸ ， z＝z.
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图4-1-7
[思考·探究] 1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？ 【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中
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À À ∴点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为( 2，4，1)，球坐标为( 3，Æ ，4)， 其中tan Æ ＝ 2，0≤Æ ≤À .
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化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(Á，¸ ，z)或球坐标(r，¸ ，Æ )，需要对 x＝Ácos ¸ ， 公式y＝Ásin ¸ ， z＝z
【答案】 (1)(－1,1，－ 源自) (2)( 3，1,7)上一 页
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[再练一题]
À 1．(1)已知点P的柱坐标为4，3，8，则它的直角坐标为________． 3À À (2)已知点P的球坐标为4， 4 ，4，则它的直角坐标为________．
【提示】
在极坐标中，方程Á＝Á0(Á0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径
为Á0的圆，方程¸ ＝¸ 0(¸ 0为常数)表示与极轴成¸ 0角的射线．而在空间的柱坐标系 中，方程Á＝Á0表示中心轴为z轴，底半径为Á0的圆柱面，它 是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程 ¸ ＝¸ 0表示与zOx 坐标面成¸ 0角的半平面．方程z＝z0表示平行于xOy坐标面的 平面，如图所示． 常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族 坐标面．
阶 段 一
阶 段 三
4.1.3
阶 段 二
球坐标系与柱坐标系
学 业 分 层 测 评
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1．球坐标系、柱坐标系的理解． 2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．
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[基础·初探] 1．球坐标系与球坐标 (1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极 轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了 一个球坐标系．
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Á＝ x2＋y2， 得 y tan ¸ ＝xx≠0 r＝ x2＋y2＋z2， 及 z cos Æ ＝r，
Á＝ 2， 得 tan ¸ ＝1
r＝ 3， 及 3 cos Æ ＝3，
À 3 结合图形得¸ ＝4，由cos Æ ＝ 3 得tan Æ ＝ 2.
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将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标
3À 3À (1)已知点M的球坐标为2， 4 ， 4 ，则点M的直角坐标为________． À (2)设点M的柱坐标为2，6，7，则点M的直角坐标为________．
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【自主解答】
À À 从而知M点的球坐标为2，4，4.
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[真题链接赏析] (教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示 棱长为3的正四面体的四个顶点．
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结晶体的基本单位称为晶胞，如图4-1-9(1)是食盐晶胞的示意图 1 (可看成是八个棱长为 2 的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如 图4-1-9(2)，建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出下层钠原子所在位置的球坐 标、柱坐标．
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【答案】
3 6 3 2 6 P(1,1,5)，B( 4 ， 4 ， 2 )
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À À 4．把A(4， 6 ，2)、B(3， 4 ，－2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距 离为________． 【解析】 点A化为直角坐标为A(2 3，2,2)，点B化为直角坐标为
【解析】
(1)由变换公式得：
À x＝4cos 3＝2， À y＝4sin 3＝2 3，z＝8. ∴点P的直角坐标为(2,2 3，8)．