您的位置：文档网› 1.3条件概率

1.3条件概率


?
1红 4白
1
2
3
? 某人从任一箱中任意摸出一球， 发现是红球，求该球是取自1号 箱的概率. 1红 4白
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B)
1
3
2
3
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P A1 A2 An P A1 P A2 | A1 P( A3 | A1 A2 )
P An | A1 A2 An1
例 抽签问题 一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券 5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
第三节 条件概率与乘法公式
条件概率 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式 小结
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
在B发生后的缩减样本 空间中计算
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
后抽比先抽的确实吃亏吗？
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5. 则 A 表示“第 i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 由乘法公式
A2 A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
P( A1 ) 0.3, P( A2 ) 0.5, P( A3 ) 0.2, P(B A1 ) 0.02, P(B A2 ) 0.01, P(B A3 ) 0.01,
故 P( B) P( A1 )P( B A1 ) P( A2 )P(B A2 ) P( A3 )P(B A3 )
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
(1)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B
AB A
S
若事件B已发生, 则为使 A也 发生 , 试验结果必须是既在 B 中又 在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
设事件 B 为“任取一件为次品”,
事件 Ai 为"任取一件为i 厂的产品", i 1, 2,3.
A1 A2 A3 ,
Ai Aj , i, j 1,2,3.
30%
2%
1% 20%
1%
50%

由全概率公式得
P( B) P( A1 )P( B A1 ) P( A2 )P( B A2 ) P( A3 )P( B A3 ).
又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取 一件，记
A={取到一等品}， B={取到正品}
则
P(A )=3/10，
3 3 10 P ( AB) P(A|B) 7 7 10 P ( B)
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
朋友说这数字没错，但两棵炸弹与你坐不坐飞机 有什么关系？他很得意的说：当然有关系 啦．不是说同时有两棵炸弹的可能性很小吗， 我现在自带一颗．如果飞机上另外再有一颗炸 弹的话，这架飞机上就同时有两棵炸弹．而我 们知道这几乎是不可能的，所以我可以放心地 去坐飞机．
二、 乘法公式
1、定义 P ( AB) 由条件概率的定义： P ( A | B)
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
考题
1.设A与B互不相容,且P(B)>0,则P(A|B)=________ 2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.6, P( A B) 0.5
则P( B | A)
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5. 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说，
抽签不必争先恐后.
三、全概率公式
如何将一个复杂概率计算问题分解为 简单计算问题之和? 一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 设事件A1为“第一次取到一等品”，事件A2为“第二次取 到一 等品”，求概率P(A2)。
故
P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A)
(3)
2、推广
乘法定理可以推广到多 个事件的积事件的情况.
设 A、B、C 为三个事件 , 且 P AB 0 , 则
P ABC P C | AB P B | AP A.
一般地 , 设有 n 个事件 A1 , A2 , , An , n 2 , 并且 P A1 A2 An1 0 , 则由条件概率的定义 , 可得
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.
例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产 的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解
P ( B)
(2)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)
将A、B的位置对调，有 (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能 掷骰子 结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中. 于是 P(A|B)= 1/3.
容易看到
1 1 6 P ( AB) P(A|B) 3 36 P ( B)
S B1 B2 Bn AB2
ABn )
对任何事件 A 有
A AS AB1 ABn
于是
P( A) P( AB1 AB2 P( AB1) P( AB2 ) P( ABn ) P( A | B1) P( B1) P( A | B2 ) P( B2 ) P( A | Bn ) P( Bn )
解 :由P( A B) P( B) P( AB)
P( AB) P( B) P( A B) 0.1
P( AB) 1 从而P( B | A) P( A) 7
5、概率 P(A|B)与P(AB)的区别与 联系
联系：事件A，B都发生了
区别： （1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，
n
P( A) P( A | Bi ) P( Bi )
i 1
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件 的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终 结果.
B2
A
B1
Bn1
B3
Bn
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件 A的发生有各种可能的原因 ，如果 A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
运用全概率公式 计算P(B)
P ( A ) P ( B｜A )
k 1 k k
将这里得到的公式一般化，就得到
贝叶斯公式
定理(贝叶斯公式)
设 A1 , A2 ,, An 为一个完备事件组 ,
P( Ai ) 0 , i 1,, n , 对任一事件 B,若 P( B) 0 ,有
0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013.
有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1 个红球4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球, 求取得红球的概率.
1
2
3
四、贝叶斯公式
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有 1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装 有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出 一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
A1
A1
A2
S
有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率.
1
A1
2
3
A2
B
A3
S
设 S 为样本空间，若事件 B1, B2, , Bn 满足： B1, B2, , Bn 两两不相容，即 Bi Bj (i j, i, j 1, 2, , n)
通常要求 则称 {B1, B2, , Bn}为样本空间 S 的一个 P(分划 Bi ) 0, i 1, 2, , n
将 P( A) 的计算分解到
B1, B2 , , Bn
合集下载

1-3条件概率

1-3条件概率
P (B 4 A ) =
P (AB4 ) P (A )
=
P (B 4 ) P (A B 4 )
∑ P (B ) P ( A
4 i =1 i
Bi )
0.007 = ≈ 0.2222 = 22.22% 0.0315
P (B
P (B
1
A ) ≈ 2 3 .8 1 %
A ) ≈ 2 5 .4 0 %
2
P (B
2
定义 在事件B已经发生的条件下，求事件A 已经发生的条件下， 发生的概率，称这种概率为事件B 发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事 发生的条件概率 条件概率(conditional 件A发生的条件概率(conditional probability) ， 记为 P ( A B ) . 定理1 定理 设事件B的概率P(B) > 0，则 ， 同样，若P(A) > 0，则 同样， ，
§1.3 条件概率
一、条件概率与乘法公式
在有两个孩子的家庭中任取一个家庭， 例: 在有两个孩子的家庭中任取一个家庭，假定男女出生率 一样， 这个家庭中孩子是一男一女}， 一样，记A={这个家庭中孩子是一男一女 ， 这个家庭中孩子是一男一女 B={这个家庭中至少有一个女孩 ， (1)求A的概率； 这个家庭中至少有一个女孩}， 求 的概率 的概率； 这个家庭中至少有一个女孩 (2)若预先已知这家庭中至少有一个女孩 即B已发生 ，问孩子 若预先已知这家庭中至少有一个女孩(即 已发生 已发生)， 若预先已知这家庭中至少有一个女孩 是一男一女(即A也发生 的概率又是多少？ 是一男一女 即 也发生)的概率又是多少？ 也发生 的概率又是多少 分析:(1)条件下依两个孩子 依大小排列 的性别有 条件下依两个孩子(依大小排列 分析 条件下依两个孩子 依大小排列)的性别有 1 . ∴ P (A ) = 男 ， 男女 ， 女 女 Ω = {(男, 男)，(男,女)， (女, 男), (女, 女)} (2)条件下 Ω B = {(男,女)， (女, 男), (女, 女)} ——缩减样本空间 条件下 男女 ， 女 女 缩减样本空间 AB包含的样本点数 包含的样本点数 2 n AB / nΩ = P (AB) 此时P 此时P (A |B ) = = = P (B) 3 nB / n Ω B包含的样本点数 称为事件B 称为事件B发生的条件下事件 A的条件概率。 的条件概率。

1-3条件概率

1-3条件概率

(4)
P(A1 U A2
B)

P( A1
B) P(A2
B) P(A1A2
B). 4
返回 上页 下页 结束
例1 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放 回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品”, 事 件B为“第二次取到的是一等品”. 试求条件概率 P(B∣A).
事件同时发生的概率. 乘法公式易推广到多个事件的情形, 设A,B,C为事件, 且P(AB)>0, 则
例如:
(3)
6
返回 上页 下页 结束
例2 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下打
破的概率为 1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为 7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为 9/10, 试求透镜落下三次而未
{第一次掷出6点}，
显然，事件 发生，并不影响事件 发生的概率，
这时我们称事件A 独立于B, 在数学上，
可表述为：
其中
(1)
同样，如果
其中
(2)
称事件B 独立于A 由乘法公式易见， (1)式和(2)式
均等价于
(3)
10
返回 上页 下页 结束
故通常称事件A 与B 相互独立. 注意到 (3) 式当
时恒成立，故它不受 约. 从而可采用 独立性.
求得
24
返回 上页 下页 结束
2. 将(1)式改写即得乘法公式 3. 事件的独立性
25
返回 上页 下页 结束
p1 p2 2 p2 (1 p).
21
返回 上页 下页 结束
采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛 3局(可能赛3局，也可能赛4局或5局)，且最后一 局必需是甲胜，而前面甲需胜二局. 例如,共赛4 局，则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”， “甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容. 由独立性 得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为

1.3 条件概率与乘法公式

1.3 条件概率与乘法公式

• （1）抽到的同学来自山东的概率；
• （2）抽到的同学是女生的概率；
• （3）抽到的同学是来自山东的女生的概率；
• （4）若发现抽到的是女生，她来自山东的概率.
• 解 令 A “抽到的同学来自山东”B， “抽到的同学是女生”，
则根据古典概型公式有：
• （1） • （2）
P( A)

#A #

件A发生的概率P( A)是不相同的，与P( AB)也是不同的.我们称之为"在事件
B发生的条件下，事件A发生的条件概率"，记P( A | B),
事件AB与事件A | B可用文氏图表示 （见图1 8、图1 9）.
图1-8
图1-9
• 图1-8中阴影部分表示事件 AB ，图1-9中深色阴影部
分表示事件 A | B ，本来样本空间为 ，当 B 发生以 后，样本空间缩减为 B ，而 P(A | B)是在缩减了的样
解 设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签， 则
(1)
P(
A)

4 10

0.4
(2) P(AB) P( A)P(B
A)

4 10
3 9

2 15
(3) P(AB) P( A)P(B
A)
6 4 4 10 9 15
(4)
P(ABC) P(A)P(B
A)P(C
AB)

4 10
3 9
注 : (1)P( AB) P( A)P(B)
(2)乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法 （3）当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与
P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。

§1.3 条件概率与贝叶斯公式

§1.3 条件概率与贝叶斯公式

A={(男, 男), (男, 女), (女, 男)}，B={(女, 女), (男, 女), (女, 男)}. 显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的 可能性，相当于样本空间由原来的缩小到现在的 B=B，而事件 相应地缩小到={(男, 女)，(女, 男)}，因此 2 2 / 4 P( AB) P( A | B) p( A) 3 3/ 4 P( B)
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第7页
定理1.3.1 乘法公式 若Ｐ(B)>0, 则 若Ｐ(A)>0, 则
P(AB) = P(B)· P(A |B)
P(AB) = P(A)· P(B|A)
推广 若P(A1 A2… An-1)>0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1). 证 反复应用两个事件的乘法公式，得到
P ( AB) 0.12 P( A | B) 0.67 , P( B) 0.18
P ( AB) 0.12 P ( B | A) 0.60, P( A) 0.2
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第6页
课堂练习
(1) 设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是( (2) ) ① P(A)<P(A|B) ② P(A)≤P(A|B) ③ P(A)>P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B) (2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( 0.6 ).
解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4， 于是所求概率为

1.3 条件概率与贝叶斯公式

1.3 条件概率与贝叶斯公式

A , A B A B , (i j ).
i i 1
i j
n
3
按概率的可加性及乘法公式有
B B ( Ai ) B ( A1 B A2 B An B),
n i 1 n
P( B) P( AiB) P( AiB) P( Ai ) P( B | Ai ).
P( A1 A2 | B) P( A1 | B) P( A2 | B), A1 A2 .
其他概率的性质如单调性,减法公式,加法公式等 条件概率同样具备.
计算条件概率有两种方法: (1) 在缩减的样本空间A中求B的 概率，就得到P(B|A).
nAB 2 P ( B | A) nA 3
解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai = {第i次取出 的是黑球}，i=1, 2, 3，则有 A=A1 A2 A3．由题意得
b bc P( A1 ) , P( A2 | A1 ) , ab abc b 2c P( A3 | A1 A2 ) , a b P( A1 A2 A3 ). a b a b c a b 2c
2 2 / 4 P ( AB ) P( A | B) p( A) 3 3/4 P( B)
1.3.1 条件概率与乘法公式
定义1 设 A，B为随机试验 E 的两个事件， 且 P(A)＞0，则称
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
为在事件 A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.
i 1 i 1 i 1
n
n
3. 全概率公式的应用 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1 有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可 能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以 用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完 备事件组。

1.3 条件概率及重要公式

1.3 条件概率及重要公式

P ( Bi ) 0, 则对任一事件A( P ( A) 0), 有
P ( Bi | A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
P(B j )P( A | B j )
j 1
n
, ( i 1,2,, n).
Proof.
P ( ABi ) P ( Bi | A) P ( A)
或称为一个完备事件组 .
定理2: 如果事件组B1 , B2 ,, Bn为样本空间S的一个分划,
P ( Bi ) 0( i 1,2,, n), 则对任一事件A, 有
P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi ).
i 1 n
Proof. B1 , B2 ,, Bn互不相容,
P ( A) P ( AB1 ) P ( AB2 ) P ( AB3 ) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 ) P ( B3 ) P ( A | B3 ) 23 . 26
四、贝叶斯公式 定理3: 如果事件组B1 , B2 ,, Bn为样本空间S的一个分划,
P ( A1 A2 An ) 左边.
乘法公式给出了n个事件 A1 , A2 ,, An 同时发生的概率计算的一般方法.
ex2.100件产品中有10件次品，随机取三次，每次取一 件（不放回），求第三次才取到合格品的概率. Solution. 设Ai＝{第i次取出的产品是次品} i=1,2 A3＝{第三次取出的产品是合格品}
2. 条件概率的定义
在事件B已发生的条件下, 事件A发生的概率, 称为在事 件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率. 记为P(A|B).
P ( AB) 若P ( B ) 0, 规定P ( A | B ) ; P( B) P ( AB) 若P ( A) 0, 规定P ( B | A) . P ( A)

1.3 条件概率解析


例2 人寿保险公司常常需要知道存活到某一年龄
的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知， 某城市的人有出生活到50岁的概率为0.90718，存活 到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能 够活到51岁的概率是多少？
解：记A＝活到50岁，B＝活到51岁，显然B A，
因此AB B
同理可得
P ( AB) P( A B) P( B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
3. 性质
(1) 非负性 : P ( B A) 0;
(2) 规范性 : P( B) 1, P( B) 0;
(3) P ( A1 A2 B) P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B);
因为P A＝0.90718，P AB＝P B＝0.90135
P AB 0.90135 所以，P B A＝ ＝ 0.99357 P A 0. A) 0, 则有 P ( AB) P ( B A) P ( A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) 0, 则有
(4) P ( A B ) 1 P ( A B ).
(5) 可列可加性 : 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件 , 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中至少有一个
是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ 解：由题意，样本空间为
例1 一袋中有a个白球和b个红球，现依次不放回的
从袋中取两球，试求两次均取到白球的概率。 解：记 Ai 第i次取到白球，i 1,2，要求P A1 A2
a a 1 显然P A1 = , P A2 A1 ab a b 1 a a 1 所以P A1 A2 =P A1 P A2 A1 = a b a b 1

1.3 条件概率、全概率公式


• 例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的实 验具有如下效果：被诊断者有癌症，实验反应 为阳性的概率为0.95，被诊断者没有癌症，实 验反应为阴性的概率为0.98，现对自然人群进 行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为 0.005，求：已知实验反应为阳性，该被诊断者 确有癌症的概率。
P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P( A | B) P( AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率符合概率定义中的三个条件 对概率所证明的一些结果都是用） 设A、B ，P(A)>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A).
推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
• 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品， 采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽1台，求 第三次抽到合格品的概率。
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能
结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素,它们的出现是等
可能的,其中只有1个在集A中. 于是
定理1.3 贝叶斯公式
设事件A1, A2 ,..., An是的一个划分，B是任意一个事件
且P(B)>0, P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则有

概率论1.3条件概率


四、贝叶斯（Bayes）公式
• 例8 由医学统计数据分析可知，人群中由 某种病菌引起的疾病的人数占总人数的 0.5%。一种血液化验以95%的概率将患有此 疾病的人检查出呈阳性，但也以1%的概率 误将此疾病的人检验出阳性。现设某人检 查出呈阳性反应，问他确患有此疾病的概 率是多少？
四、贝叶斯（Bayes）公式
P(B ) = P( A)P(B | A) + P A P B | A
()(
)
– 利用全概率公式，可通过综合分析一事件发生 的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该 事件发生的概率。
三、全概率公式
• 例5 某工厂的两个车间生产同型号的家用电 器，据以往经验，第1车间的次品率为0.15， 第2车间的次品率为0.12。两个车间生产的 产品混合堆放在一个仓库且无区分标志，假 设第1，2车间生产的产品比例为2：3. （1）在仓库中随机地取一件成品，求它是次 品的概率； （2）在仓库中随机地取一只成品，若已知取 到的是次品，问此次品分别由第1，2车间生 产的概率是多少？
四贝叶斯bayes公式贝叶斯公式设为试验e的样本空间a为e的事件贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经发生时去求导致该事件发生的各种原因情况或途径的可能性大小
1.3 条件概率
一、条件概率
• 设A、B是两个事件，且P(A)>0，称 是两个事件， 是两个事件 ，
P( AB ) P (B | A ) = P ( A)
n j =1 j j
P( A | Bi )P(Bi )
(i = 1,L , n )
• 意义
– 贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经发 生时，去求导致该事件发生的各种原因、情况 或途径的可能性大小。
四、贝叶斯（Bayes）公式

1.3 条件概率


解 易知此属古典概型问题.
P ( AB ) P ( B A) = P ( A)
3 2 4 3 3 3 4 3
6 12 2 . 9 12 3
二、乘法定理
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
乘法定理 设P ( A) 0, 则有 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 推广 设A, B , C为事件, 且P ( AB ) 0, 则有
P ( An A1 A2 An1 )
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型. 例5 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋 中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a只
与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四 次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白 球的概率. 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”
事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为
P( B A).
例2 全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生 20人；来自福州的(事件B)有20人，其中男生12人， 女生8人；免修英语(事件C)有40人，其中男生32人， 女生8人。试写出 P(A), P(B), P(C), P(B | A), P(A | B), P(AB),
解：由题设 P(A)=0.7 P(Ā)=0.3 P(B|A)=0.95 P(B|Ā)=0.8 甲厂生产的合格品，即 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95 =0.665 乙厂生产的合格品，即 P(ĀB)=P(Ā)P(B|Ā)=0.3×0.8 =0.24 B=AB ĀB且AB与ĀB互不相容。 P(B)=P(AB ĀB) =P(AB)+P(ĀB) =P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā) =0.7×0.95+0.3×0.8 =0.905 P( A)P( B | A) P(AB) P(A | B) P( A)P( B | A) P(A)P( B | A) P( B) 0.7 0.95 0.735 0.7 0.95 0.3 0.8
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相关文档
最新文档