【人教A版】高中数学重点难点突破：导数的概念 同步讲义
高考数学总复习 31导数的概念及运算 新人教A版PPT课件
第三章
第一节 导数的概念及运算
基础梳理导学
3 考点典例讲练
思想方法技巧
4 课堂巩固训练
5 课后强化作业
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：导数的概念、公式及运算法则，导数的应用 难点：1.积商的导数公式． 2．(理)复合函数的导数．
夯实基础 稳固根基
一、导数及有关概念
1．函数的平均变化率
4．生活中的优化问题举例． 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问 题，体会导数在解决实际问题中的作用． 5．(理)定积分与微积分基本定理 (1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题 情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基 本思想，初步了解定积分的概念． (2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程 的关系)，直观了解微积分基本定理的含义．
第三章 导数及其应用
●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时 变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就 是导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
2．导数的运算
(1)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝
●命题趋势 1．求导数及切线方程． 2．用导数研究函数的单调性，求函数的极值与最值． 3．已知函数的单调性或极值等讨论字母参数． 4．导数的实际应用与综合应用． 5．(理)定积分与微积分基本定理的应用．
●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义及几何意义，熟记求导公式、导 数的四则运算法则、(理)复合函数求导法则，并能运用上述公 式与法则进行求导计算. 导数的几何意义是重点必考内容，要 熟练掌握求解曲线在某点或经过某点的切线问题．
高中数学 导数的概念_说课课件 新人教A版选修2-2
有了新的概念， 当然少不了例题和 练习.
例1的设置是对 导数概念的及时巩 固和诠释，同时规 范解题的格式.
让学生从中总结 求导的步骤，实现 由理论到技能的转 化.
导 数 DAOSHU
（四）成果巩固
分组练习
1、求函数 y 在x3
x1,2处， 的， 导6 数. 2、求函数y=x4在
x1,2处， 的， 导6数.
人民教育出版社
普通高中课程标准实验教科书 选修2-2 第一章
导 数 DAOSHU
五 教学过程
导 数 DAOSHU
微积分的创立是数学发展中的里程 碑，导数是微积分的核心概念之一．
在本节课中学生将经历由平均变化率 到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解 导数的含义，体会导数的内涵，感受导数 在解决数学问题和实际问题中的作用．
在第 2h与第 6h时,原油温度的瞬时 分变 别化 为 3 率 与5.它说明在 2h附 第近 ,原油温度大 30C约 /h的 以速 率下;降 在6h附近 ,原油温度大 50C约 /h的 以速率.上升
意义，这也是 本节课的重点.
强一
般 ,f'地 x0反
映
了
原
油x温 附度 近在 的时 变刻 化 0
当然别忘了
的瞬时变化,率 并说明它们的意. 义
设计意图
实际生产 生活中的应 用最能体现 数学的价值.
导 数 DAOSHU
（七）实际应用
设计意图
解：
，根据导数的定义
在例题的解
和 f' 6 同理 .f可 '6得 5.
在2第 h和6第 h时,原油温度 f'2的瞬时
析中要特别强 调x=2和x=6处
的导数的实际
特 别
2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
故 e＝f′(x0)．
故 a＝d＝e.故选 B.
【警示】fx0＋ΔΔxx－fx0中的 x0 是常数，Δx 是可趋 近于 0 的变量，其形式可以变化，如变成－Δx,2Δx 等，要 正确表示出相应的导数，应保持分子和分母同步变化．
1．函数 y＝f(x)在某一点 x＝x0 处的导数就是函数 y＝f(x)
3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是
米，t的单位是秒，那么物体在t＝3秒时的瞬时速度是( )
A．7米/秒
B．6米/秒
C．5米/秒
D．8米/秒
【答案】C
4．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.
【答案】1
求瞬时速度
【例1】 一辆汽车按规律s＝2t2＋3作直线运动，求这辆汽 车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)．
对导数定义式的理解易错
【示例】 已知 a＝Δlxi→m 0 fx0＋ΔΔxx－fx0，
b＝Δlxi→m 0 fx0－ΔΔxx－fx0，c＝Δlxi→m 0 fx0＋2ΔΔxx－fx0，
d＝Δlxi→m 0 fx0＋Δx2－Δxfx0－Δx，e＝Δlxi→m 0 fxx－－fx0x0，
则 b，c，d，e 中与 a 相等的是( )
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
【答案】A 【解析】当 f(x)＝b 时，瞬时变化率 liΔxm→0 ΔΔyx＝liΔxm→0 bΔ－xb＝0，∴f(x)的图象为一条直线．
3．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，
如果第
x
小 时 时 ， 原 油 温 度 ( 单 位 ： ℃) 为
f(x)
＝
1 3
刻的瞬时速度 v 就是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均
高中数学人教新课标A版：导数的概念及运算 课件
f′(x)＝ lim
函数．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q *)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f′(x)＝ cos x f′(x)＝－sin x
命题点一 导数的运算(自主练通)
[题组练透]
1．已知 f(x)＝cos 2x＋e2x，则 f′(x)＝
()
A．－2sin 2x＋2e2x
B．sin 2x＋e2x
C．2sin 2x＋2e2x
D．－sin 2x＋e2x
解析：由题意 f′(x)＝－sin 2x·2＋e2x·2＝－2sin 2x＋2e2x，故选 A.
A．0
B．－1
C．12 解析：依题意得，
D．2
f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，
所以 f′(－1)＝3＋2t－4＝0，
即 t＝12. 答案：C
2．(数形结合)已知函数 f(x)的图象如图所示，f′(x)是 f(x)的导
函数，则下列数值排序正确的是
()
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
4．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________. 解析：∵f′(x)＝－8＋4x， ∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得 x0＝3. 答案：3
数学人教A版选择性必修第二册5.1.2导数的概念课件
∴当 Δx→0 时，f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）必趋于 f′(x0)＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）Δ－xf（x0－Δx）＝2k.
规律方法 由导数的定义可知，若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，则 f′(x)＝
[思考] 1.导数或瞬时变化率可以反应函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反应函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区分和联系？ 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区分：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率ΔΔyx趋于一个常数， 这个常数为函数在 x＝x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
2
＝ lxim 0 Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ lim 2] x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
22.
规律方法 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x －f（x0）；
又f′(1)＝3，∴a＝3. 答案 3
4.已知函数 f(x)＝ x，则 f′(1)＝________.
解析
f′(1)＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝ lim x0
1＋Δx－1 Δx
＝ lim x0
1＋1Δx＋1＝12.
答案
1 2
5.若 lim x0
3.1导数的概念及运算-高考数学人教A版理科一轮复习课件
(4)y=ln√1 +
2
1
'=1- cos
2
=
x,
x.
1
ln(1+x2),
2
1
1
1
1
2
∴y'= · 2 (1+x )'= · 2 ·
2x= 2 .
2 1+
2 1+
1+
思考函数求导应遵循怎样的原则?
解题心得 函数求导应遵循的原则:
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这
有导数,导数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的 导函数
通常也简称为导数.
,
4.基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=xα(α∈Q,α≠0)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2=0.
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切
线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的
切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
u-u,导数为g'(u)=
-1.
当u>1时,g(u)单调递减,当0<u<1时,g(u)单调递增,可得当u=1时,取得最大
【人教A版】高中数学重点难点突破：导数的计算 同步讲义
【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的计算 同步讲义（学生版）【重难点知识点网络】： 1．几个常用函数的导数 几个常用函数的导数如下表：（1）若()f x c =，则()0f x '=；（2）若()()f x x αα*=∈Q ，则()_______f x '=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()______f x '=；（5）若()x f x a =，则()ln (01)x f x a a a a '=>≠且；（6）若()e x f x =，则()e x f x '=；（7）若()log a f x x =，则()______(01)f x a a '=>≠且；（8）若()ln f x x =，则1()f x x'=． 3．导数运算法则（1）[()()]___________f x g x '±=；（2）[()()]_____________f x g x '⋅=；（3）()[]____________(()0)()f xg x g x '=≠． 4．复合函数的导数 （1）复合函数的定义一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数(composite function)，记作(())y f g x =． （2）复合函数的求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为___________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【重难点题型突破】： 一、求函数的导数（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． （2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错． ②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导． 例1.下列求导运算正确的是（）A ．211()1x x x '+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log x xx '=D ．2(cos )2sin x x x x '=-【变式训练1-1】、已知函数2()(1)22(1)f x f x x f '=++，则(2)f '=（） A ．0 B ．2- C ．4-D ．6-【变式训练1-2】、已知函数2l ()n f x a x =的导函数是()f 'x ，且)8(4f '=，则实数a =______________．二、复合函数求导对于复合函数的求导，一般步骤为：（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； （2）利用求导法则分层求导；（3）最终结果要将中间变量换成自变量． 例2.求下列函数的导数： （1）2()(11)y x x +-=；（2）22()ln f x x x =-； （3）e 1e 1x xy +=-．例3.求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）sin cos 22x x y x =-；（3）2359x x x x y x-+-=【变式训练3-1】．求下列函数的导函数： （1）3sin cos y x x x =；（2）1()23()()y x x x =+++．三、导数几何意义的应用利用导数的几何意义解题时需注意：（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；（2）在切点处的导数值等于切线的斜率．例4.）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则（） A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =-例5.（2019天津文11）曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________.【变式训练5-1】、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2【变式训练5-2】．（2015新课标2）已知曲线x x y ln +=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相 切，则=a ．【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的计算 同步讲义（教师版）【重难点知识点网络】： 1．几个常用函数的导数 几个常用函数的导数如下表：（1）若()f x c =，则()0f x '=；（2）若()()f x x αα*=∈Q ，则()_______f x '=；（3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=；（4）若()cos f x x =，则()______f x '=；（5）若()x f x a =，则()ln (01)x f x a a a a '=>≠且；（6）若()e x f x =，则()e x f x '=；（7）若()log a f x x =，则()______(01)f x a a '=>≠且；（8）若()ln f x x =，则1()f x x'=． 3．导数运算法则（1）[()()]___________f x g x '±=；（2）[()()]_____________f x g x '⋅=；（3）()[]____________(()0)()f xg x g x '=≠． 4．复合函数的导数 （1）复合函数的定义一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数(composite function)，记作(())y f g x =． （2）复合函数的求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为___________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【重难点题型突破】： 一、求函数的导数（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． （2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错． ②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导． 例1.下列求导运算正确的是（）A ．211()1x x x '+=+B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log x xx '=D ．2(cos )2sin x x x x '=-【答案】：B【解析】：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x 2，所以A 选项错误； 又(log 2x )′＝1x ln 2，所以选项B 正确； 又(3x)′＝3xln 3，所以选项C 错误；[来源:]又(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以选项D 错误．【变式训练1-1】、已知函数2()(1)22(1)f x f x x f '=++，则(2)f '=（）A ．0B ．2-C ．4-D ．6-【答案】D【解析】由题可得(1)(1)22(1)f f f '=++，即(1)(1)2f f '=--，因为()2(1)2f x f x ''=+，所以(1)2(1)2f f ''=+，解得(1)2f '=-，故(1)0f =，所以2()22f x x x =-+，所以()42f x x '=-+，所以(2)6f '=-，故选D ．【变式训练1-2】、已知函数2l ()n f x a x =的导函数是()f 'x ，且)8(4f '=，则实数a =______________．【答案】42±【解析】由题意得22(l ()n )a x a x f 'x '==，因为)8(4f '=，所以284a =，解得42a =±．二、复合函数求导对于复合函数的求导，一般步骤为：（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；（2）利用求导法则分层求导；（3）最终结果要将中间变量换成自变量． 例2.求下列函数的导数： （1）2()(11)y x x +-=；（2）22()ln f x x x=-；（3）e 1e 1x xy +=-． 【答案】（1）2321y x x '=+-；（2）341()f x x x=--'；（3）22e (e 1)x x y -'=-．【解析】（1）方法1：22[(1)]11()(1)()y x x x x '=+'-++-'2()()11)1(2x x x =+⋅-++ 2321x x =+-．方法2：因为232()(21)11y x x x x x x =++-=+--，所以32212(31)y x x x x x '=+--'=+-．（2）224322()141()x x f x x x x x''-=-'-=-． （3）222(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'e (e 1)(e 1)e 2e (e 1)(e 1)(e 1)x x x x x x x x xx x x y '+--+---+-===--'-． 例3.求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）sin cos 22x x y x =-；（3）25x x x y x=【参考答案】见试题解析．【试题解析】（1）方法1：∵232()()21316231y x x x x x =-+=+--, ∴()()3232262316231184 3.()()()y x x x x x x x x '=+--'='+'-'-'=+-方法2：22()()2131213()(1)y x x x x '=-'++-+'2224313211246()3()x x x x x x =++-=++- 21843x x =+-．（2）∵sincos 22x xy x =-， ∴111(sin )()(sin )1cos 222y x x '=x 'x 'x '=--=-． （3）∵3122359y x x x -=-+-， ∴31223)()(5)((9)y x 'x ''x'-'=-+-1322313109()22x x -=⨯-+-⨯-⋅21)1x=+-． 【变式训练3-1】．求下列函数的导函数： （1）3sin cos y x x x =；（2）1()23()()y x x x =+++．【答案】（1）233sin2cos22y x x x x '=+；（2）231211y x x '=++． 【解析】（1）3[(sin )cos ]y x x x '='33sin c ()()os sin cos x x x x x x ='+'333[()(sin sin cos sin sin )]()x x x x x x x x ='+'+-2333sin cos c (os si )n n )si (x x x x x x x x =++-232323sin cos cos sin x x x x x x x =+-233sin2cos2.2x x x x =+ （2）方法1：123[()()()]y x x x '=+++'()()()[12]3123()()()x x x x x x =++'+++++'213()()()()12x x x x x =+++++++2(23)33()2x x x x =+++++231211.x x =++方法2：因为2321233())())()()()236116x x x x x x x x x +++=+++=+++,所以322[()()()]()123611631211y x x x x x x x x '=+++'=+++'=++．三、导数几何意义的应用利用导数的几何意义解题时需注意：（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；（2）在切点处的导数值等于切线的斜率．例4.）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则（） A ．a=e ，b =-1B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =- 【解析】：e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-. 故选D ．例5.（2019天津文11）曲线cos 2x y x =-在点()0,1处的切线方程为__________.【解析】：由题意，可知1sin 2y x '=--.因为1sin 002y x '=--==所以曲线cos y x =)0,1处的切线方程112y x -=-，即220x y +-=． 【变式训练5-1】、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ） A ．12- B ．12C．2- D．2 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--'==++，所以 2112(sin cos )444y x πππ'===+。
人教A版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义课件
解得 x0＝－23或 x0＝2， ∴切点的坐标为－23，4297或(2,3)． 当切点为－23，4297时，有4297＝4×－23＋a， 解得 a＝12271； 当切点为(2,3)时，有 3＝4×2＋a， 解得 a＝－5. ∴当 a＝12271时，切点为－23，4297； 当 a＝－5 时，切点为(2,3)．
＝Δlxim→0Δx2Δ－x 3Δx＝Δlxim→0(Δx－3)＝－3.故选 C.
答案：C
3.如图是函数y＝f(x)的图象，则 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
解析：(1)函数 f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为f11－－f－－11＝2－2 1＝12. (2)由函数 f(x)的图象知，f(x)＝x＋2 3，－1≤x≤1，
＝x20＋x0－1. 又由导数的几何意义知 k＝f′(x0)＝Δlxim→0fx0＋ΔΔxx－fx0 ＝Δlxim→0x0＋Δx3－2x0Δ＋x Δx－x30－2x0 ＝3x20－2， ∴x20＋x0－1＝3x20－2， ∴2x20－x0－1＝0.
∵x0≠1，∴x0＝－12. ∴k＝x20＋x0－1＝－54， ∴切线方程为 y－(－1)＝－54(x－1)， 即 5x＋4y－1＝0，故选 A. 答案：A
x＋1，1<x≤3. 所以函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f22－－f00＝3－2 32＝34. 答案：(1)12 (2)34
知识点二 导数的几何意义 (一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝_Δlxi_m→_0_f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0_ ＝f′(x0)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的概念 同步讲义（学生版）【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。
二、导数的概念定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝ 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆。
也可称为三步法求导数。
【重难点题型突破】： 一、平均变化率与瞬时变化率函数(x)f 在某点()00x ,(x )f 处的导数()()00'000(x )lim lim x x f x x f x y f x x →→+-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例1．（1）设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x +Δx 时，函数的增量Δy 为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ⋅∆D ．00()()f x x f x +∆-（2）若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy∆∆等于 A.4 B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2例2.函数()y f x==在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。
例3.求函数y=2x 2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当12x ∆=时，平均变化率的值。
例4.已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy．二、利用定义求导数的值例5.（1）设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．1(1)3f ' B ．(1)f ' C ．3(1)f 'D ．(3)f '（2）设函数f (x )在x =1处存在导数为2,则()()113x f x f limx∆→+∆-∆= _______________．例6.用导数的定义，求函数()y f x ==在x=1处的导数。
例7.（1）求函数2()3f x x =在x =1处的导数.（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例8.已知函数1y x=x=4处的导数.例9.已知()f x =，求'()f x ，'(2)f三、导数的几何意义例10.已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是A ．()()AB f x f x >''B ．()()A B f x f x =''C ．()()A B f x f x <''D ．()A f x '与()B f x '大小不能确定例11.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]f f =；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-∆=.例12.已知曲线31433C y x =+：． （1）求曲线C 上横坐标为2的点处的切线方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的概念 同步讲义（教师版）【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。
二、导数的概念定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝ 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤：④ 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；⑤ 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ⑥ 求极限，得导数：00000()()'()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆。
也可称为三步法求导数。
【重难点题型突破】：一、平均变化率与瞬时变化率函数(x)f 在某点()00x ,(x )f 处的导数()()00'000(x )lim lim x x f x x f x y f x x →→+-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例1．（1）设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x +Δx 时，函数的增量Δy 为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ⋅∆D ．00()()f x x f x +∆- 【答案】 D【解析】 由公式00()()y f x x f x ∆=+∆-可得，故选D 。
（2）若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy∆∆等于 A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx 2【答案】C【解析】Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy∆∆=4+2Δx . 例2.函数()y f x==在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。
【解析】∵(1)(1)1y f x f ∆=+∆-====，∴y x ∆=∆ 例3.求函数y=2x 2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当12x ∆=时，平均变化率的值。
【答案】∵222(2)(2)2(2)5(225)82()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆+-⋅+=∆+∆ ∴82yx x∆=+∆∆，函数在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为82x +∆。
当12x ∆=时，829y x x∆=+∆=∆，即平均变化率的值为9. 例4.已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 【答案】∵)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴2(1)(1)23y x x x x x∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆ 二、利用定义求导数的值例5.（1）设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．1(1)3f ' B ．(1)f ' C ．3(1)f 'D ．(3)f '【答案】A 【解析】00(1)(1)1(1)(1)1limlim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，故选A.（2）设函数f (x )在x =1处存在导数为2,则()()113x f x f limx∆→+∆-∆= _______________．【答案】23【解析】由极限的运算法则结合导函数的定义可得：()()0113x f x f limx ∆→+∆-∆=()()01113x f x f lim x∆→+∆-∆=13×f ′(1)=23.例6.用导数的定义，求函数()y f x x==在x=1处的导数。
【解析】∵(1)(1)11y f x f x∆=+∆-=+∆111(11)1x x x x -+∆==+∆++∆+∆(11)1x x=++∆+∆∴y x ∆=∆∴01'(1)lim 2x y f x ∆→∆==-∆。
【点评】利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。
例7.（1）求函数2()3f x x =在x =1处的导数.（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．【答案】 (1)22(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆263()63y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆, 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=.所以函数2()3f x x =在x =1处的导数为6 .（2）依照定义，f (x )在1x =-的平均变化率，为两增量之比，需先求2200()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆，再求：23()3y x x x x x∆∆-∆==-∆∆∆，即为f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率。
再由导数定义得：00(1)limlim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆例8.已知函数1y x=x=4处的导数. 【答案】（1）0011(2)(4)(4)44'(4)lim lim x x f x f x f x x∆→∆→-+∆-+∆==∆∆0112)44lim x x x ∆→⎛⎫-- ⎪+∆⎝⎭=∆0lim x ∆→=015lim 4(4)16x x ∆→⎛-==- +∆⎝，例9.已知()2f x x =+，求'()f x ，'(2)f【答案】因为22y x x x ∆=+∆+-+，所以22(2)(2)1(22)22y x x x x x x x x x x x x x x x ∆+∆+-++∆+-+===∆∆∆+∆++++∆+++。