第3章网络分析方法和网络定理
电路基础-陈佳新-第3章 电路的分析计算法之二——电路方程法
电路基础-陈佳新-第3章电路的分析计算法之二——电路方程法引言在电路分析中，电路方程法是一种重要且常用的方法。
通过建立和求解电路方程，可以得到电路中各个元件的电压、电流以及功率等信息。
在本文中，将介绍电路方程法的基本概念、原理和应用。
电路方程法的基本概念电路方程法是通过建立和求解电路方程来分析电路的一种方法。
对于一个电路，可以通过网络定理（如基尔霍夫定律）和元件特性等，建立一组与电压和电流相关的方程。
通过求解这组方程，可以得到电路中各个元件的电压、电流以及功率等。
电路方程的建立建立电路方程的关键是根据电路的拓扑结构和元件特性，利用基尔霍夫定律和欧姆定律等，建立与电压和电流相关的方程。
基尔霍夫定律基尔霍夫定律是分析电路的基本定律之一，分为基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。
基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律是指在一个节点处，电流进入节点的总和等于电流离开节点的总和。
根据该定律，可以得到关于电路中电流的方程。
基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律是指在电路中的任意一个回路中，电压升降之和等于零。
根据该定律，可以得到关于电路中电压的方程。
元件特性和欧姆定律电路中的元件具有一定的特性，如电阻、电感和电容的特性。
其中，电阻是电流和电压之间的线性关系，电感是电流和电压之间的积分关系，电容是电流和电压之间的微分关系。
利用这些特性和欧姆定律，可以得到与电路中各个元件相关的方程。
电路方程的求解建立了电路方程之后，需要求解这些方程，得到电路中各个元件的电压、电流以及功率等信息。
构建方程组根据电路的拓扑结构和元件特性，可以得到一组关于电压和电流的方程。
将这些方程整理成一个方程组，可以利用代数或数值方法求解。
代数方法对于一些简单的线性电路，可以利用代数方法求解方程组。
通过代数运算，可以得到方程组的解析解，即电路中各个元件的电压、电流以及功率等。
数值方法对于一些复杂的非线性电路或无法通过代数方法求解的电路，可以利用数值方法求解方程组。
3-4线性网络的叠加定理
只有一个独立源的线性电路，响应与激励成正比，称齐次定理。
例：电路如图示，设i 2为响应,()()()232122232123//// //ab sR R u i i R R R R u R R R R ===+二、叠加性（叠加定理） 有多个独立源的线性网络，响应为每一激励单独作用时所产生的响应之代数和。
例：设i 2为响应，依节点分析法有：21211212⎠⎝i 2=另一方面，依叠加定理：设电压源单独作用于电路，电流源视为开路，电路转换为：2112R R u i s+=−s i R R R i 21122+=−依叠加定理，当两个独立源同时作用于电路时，有：12212212121s s R i i i u i R R R R −−=+=+++与节点电位分析法求得的结论一致。
注：在使用叠加定理时，应注意以下几点：1） 线性电容（）视为端电压随时间变化的理想电压源；c q u ∝线性电感（L i ψ∝）视为端电流随时间变化的理想电流源。
2）当某一激励源单独作用时，其它激励源视为零值（电压源视为短路；电流源视为开路）。
3）受控源不能视为激励。
4）叠加定理不适合功率计算（非线性 22Ri RuP ==∵）。
5）多个激励时，只有当所有激励都扩大k 倍时，响应才扩大k 倍。
例3-17用叠加定理求图中电压U 1及电流源的功率解：设电压源单独作用，电流源视为开路，电路为右图所示：依分压公式有： V U 102510//201010//2011=×+=−设电流源单独作用，电压源视为短路，电路为下图所示：()V U 65.110//10//2021=×=−设电压源和电流源同时作用：V U U U 1661021111=+=+=−−电流源的端电压：V U U 91625251=−=−=电流源吸收的功率（注意：电流源为关联参考方向）：9 1.513.5P U I W =×=×=例3-18用叠加定理求I x解：设电压源单独作用（受控源不能单独作用），电路如右图所示：()AI I I X X X 2010212 111=∴=−++−−−设电流源单独作用，电路为右图示：用节点分析法，有：⎪⎩⎪⎨⎧−=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−补充212311212121X X I U I U解得：A I X 6.02−=−()A I I I X X X 4.16.0221=−+=+=−−例3-19设，利用响应与激励成比例的性质求：V U S 4−=?=IIA I 1=V U S 36=，由图可推得：解：设依齐次定理：S S S U I U I k kU I 361361=⇒==⇒=依题意： ()A I V U S 9143614−=−=⇒−=作业：3-14，3-17。
电工基础 第3章 电路分析的网络方程法
第3章 电路分析的网络方程法
1 R2 i2 2
is1
i1
i3
R1
R3
0
i4
R4
＋
us4
－
图3.5 节点分析法
第3章 电路分析的网络方程法
以图3.5为例， 电路中有3个节点， 分别为0、 1、 2。 设节点0为参考节点， 节点1和节点2到参考节点的 电压分别为u1和u2。 根据KCL， 可以列两个独立的电 流方程
2
3A 3 1
＋
2
4i 1
－
i2
0
图3.7 例3.6图
第3章 电路分析的网络方程法
解 设节点0为参考节点， 那么， 节点电压为u1和 u2。 节点1的节点电压方程为
3
1
1
1 4
u1
u2 4
3 0.5i2
由图3.7可得
u2
4i1, i1
u1
u2 4
, i2
u2 2
联立上述各式， 解之得
i1=1.5 A, i2=3 A
G11u1+G12u2+… +G1(n-1)u(n-1)=is11 G21u1+G22u2+… +G2(n-1)u(n-1)=is22
…
G(n-1)1u1+G(n-1)2u2+… +G(n-1)(n-1)u(n-1)=is(n-1)(n-1)
（3-8）
方程组（3-8）可写成通式， 对于第k个节点， 其
电路分析的网络方程法图38电路分析的网络方程法33回路分析法331回路电流法及其一般形式在电路中以假想的回路电流为电路变量通过kvl列出用回路电流表示支路电压的独立回路电压方解方程求出回路电流再利用回路电流求各支路电流及电压的分析方法称之为回路分析法或回路电电路分析的网络方程法图39回路分析法电路分析的网络方程法下面我们来看一下回路电流法的方程形式
第三章线性网络的一般分析方法和网络定理
1.节点电压
以图3-1所示的直流网络 为例。这个网络具有4个节点， 6条支路。标明各支路电流参 考方向，如图3-1所示。
3-1
图 节 点 分 析 法 用 图
2.节点方程
以图3-1所示的直流电路为例， 阐明节点方程的导出步骤。
① 选定参考节点(本例以节点4为 参考节点)，标明各支路电流的参考方 向，如图3-1所示。
在应用叠加定理时，应该注意以下 几点：
① 当令某一激励源单独作用时，其 他激励源应为零值，即独立电压源用短 路代替，独立电流源用开路代替，储能 元件的初始储能设为零。
② 电路中的受控源不能单独作用。
③ 叠加定理只适用于计算电流或电 压，不适用于计算功率。
3.5 替 代 定 理
在具有唯一解的线性或非线性网络 中，若已知某一支路的电压uk或电流ik， 则可用一个电压为uk的理想电压源或电 流为ik的理想电流源来代替这条支路，而 对网络中各支路的电压和电流不发生影 响。这就是替代定理，也叫置换定理。
替代定理不仅适用于直流网络，也适 用于正弦交流网络。不仅一个二端元件或 一条支路可以用理想电压源或理想电流源 代替，任何一个二端网络，包括有源二端 网络，也可用理想电压源或理想电流源代 替。更广泛地说，网络中的任何一个响应 (电压或电流)，一般均可以函数形式相同 的激励(理想电压源或理想电流源)替代， 而不致影响网络中其他的响应。
戴维南定理指出：线性含源单口网络 N，就其端口来看，可等效为一个电压源 串联电阻支路(如图3-41(a)所示)。电压源 的电压等于该网络N的开路电压uoc(如图341(b)所示)；串联电阻R0等于该网络中所有 独 立 源为 零 值时 所 得网 络 N0的 等 效电 阻 Rab(如图3-41(c)所示)。
3第三章3-1叠加定理
us
+
2. 戴维南定理:
任何一个线性含独立电源、线性电阻和线性受控源 的二端网络，对外电路来说，可以用一个电压源(Uoc)和
电阻Ri的串联组合来等效置换；
含 源 一 端 口
i a b i Ri + Uoc -
a
b
含 源 一 端 口
i a b i
a
Ri Uoc
+ b
此电压源的电压Uoc等于一端口的开路电压，而电
R1 ( R5 R6 ) R1 ( R2 R6 ) Δ R1 R1 u1 u s1 u s2 is3 is4 Δ Δ Δ Δ
不作用的电流源的电流强制为零，即电压源看作短路， 电流源看作开路。 is3
is3 i5 U1 R1 Us1 R5 is4 u R6 i5’’’ U1’’’ R5 R1 R6 R2
一、叠加定理 线性电路中，任一支路的电流或电压都是电路中各个独 立源单独作用时在该支路中产生的电流或电压分量的代数和。 例：如图电路，计算i5,u1 用网孔电流法： (R1+R5)il1-R5il3=us1－u (R2+R6)il2-R6il3=－us2＋u
U1
i5 R5
R1 Us1
il3
is4
is3 R6
加压求流法；
3 开路电压，短路电流法；
2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变。
(4) 当一端口内部含有受控源时，控制支路必须包含在被化简 的一端口中。
例3-4
5Ω 10Ω 6V 10Ω 2A 10Ω
计算6电阻中电流i；
1A 6Ω 5V
解：求6电阻左边一端口的戴
il3 il1
第3章 电路分析的几个定理
齐性定理
只有一个电源作用的线性电路中，各支路的电压 或电流和电源成正比。 I1 如图：
R1
+ E1
R2 I2
R3 I3
可见：
若 E1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。
3.2 置换定理
在任意的线性或非线性网络中，若某一支路的电 压和电流为Uk和Ik，则不论该支路是由什么元件组成 的，总可以用下列的任何一个元件去置换，即：（1） 电压值为Uk的独立电压源；（2）电流值为Ik的独立电 流源；（3）电阻值为Uk/Ik的电阻元件。这时，对整 个网络的各个电压、电流不发生影响。
I1 5Ω I3 + 20V -
1 10Ω 20Ω
I2
I1 5Ω + 10V + 20V -
1 10Ω 0.7143
I2
+ 10V -
(a) 原来的网络
(b) 置换后的网络
图3-4 置换定理的例子
图3-4(a)所示电路中的电压、电流已在第二章例 2-8中求得，它们是：U1=14.286V、I1=1.143A、 I2=-0.4286A、I3=0.7143A。现在，为了表明置换定 理得正确性，将含有20Ω电阻的支路换为一个电流 源，这个电流源的电流值为0.7143A，即原支路的 电流值(I3)。
二端网络的概念： 二端网络：具有两个出线端的部分电路。 无源二端网络：二端网络中没有电源。 有源二端网络：二端网络中含有电源。 a + E – R3 a
R1
R2
R4 IS
+ E – R1
R2
IS
R3 b
b 无源二端网络
有源二端网络
无源 二端 网络
a R b + _E a
第三章多端口网络(2)
连通的dendroid图有且只有一个回路！
例: 如图为一个dendroid图G,它的5个节点对应于S中全部导纳
Y1、Y2、Y3、Y4、Y5,而5个支路为T中的一部分导纳Y12、Y14
、Y1Y4和15、Y34Y构25成、与Y3该4, 回其路中相支连路的Y1分2、树Y。15和Y25构Y成1 一个回Y1路2 ,支路Y2
程组是唯一地确定S中各导纳值的充分必要条件。
构造一个dendroid图G
先构造一个辅助图，图中共有n个节点，每个节点对应S中的一 个导纳；有n(n-1)/2条支路，每条支路对应T中的一个导纳，节
点与支路的关系符合 yik yi yk / Yy yi yk /( y1 y2 ... yn )
1 单口网络的散射参数
（1）Ui（Ii）和Ur（Ir）表达：把端口电压和电流看成是入射波和反射波 两部分来组成的。
令：UI
Ui Ii
U Ir
r
，与传输线同。，令UUri
R Ii ，R称为端接电阻，相当于 RIr
传输线的特性阻抗波阻抗Zc，但不是网络N固有的，因此不能叫特性阻抗
Ui 12（U IR）
华中科大（华工) 何仰赞 电力系统分析 P37
(2). 网—星：网状网络有n(n-1)/2个元件参数，星型网络有n个
星形连接的导纳集 ：S Y1, Y2 , ... , Yn
网形连接的导纳集 ：T Y12 , Y13 , ... ,
n
星－网变换公式： yiK yK yi / yK K 1
G6
3
1
G 10
4
2
第三章_1 网络的时延模型
Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University
Xidian Univ.
Little定理的应用
数，“典型”是指时间平均）
服务速率（指系统处于忙时单位时间内服务的典
型（平均）顾客数）
Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University
Xidian Univ.
Little定理
求解量
系统中的平均顾客数（它是在等待队列中和正在
Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University
Xidian Univ.
排队模型
Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University
Xidian Univ.
排队模型
在不同的传输网络中，顾客和服务时间可能是各不
相同的。例如，在分组交换网络中，顾客即为分组，
服务时间即为分组传输时间。在电路交换网络中，
顾客即为呼叫，服务时间即为呼叫持续的时间。
Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University
T N d T
t i i 1 0 i 1
t
t
i
将上式除以t得
t
i 1
1 t
Ti
1 t
t
0
N d
1 t
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独立方程。
再由KVL可列写出 l b (个n 独1立)的回路电压方程，
平面电路中l 恰好是内网孔的数目。
nt l b
联立方程组，可求得 唯一解。
目录
例：试用支路电流法求解三个电源元件上的功率情况。
目录
3－10 列写图示电路的节点方程。
解：1）选定参考点，
a
b
将三个独立节点命 c 名为a、b、c；
2）观察电路，寻找 特例，简化电路； 3）列写节点方程； 4）列写补充方程；
(
1 R1
1 R4
)ua
1 R4
ub
0 uc
us1 R1
gu1
1 R4
ua
( 1 R3
1 R4
1 R5
)ub
1 R5
uc
深刻理解叠加定理，能利用该定理对线性电路进行分 析（包括含受控源电路）。
了解替代定理，能利用该定理简化电路理论分析。
熟练掌握戴维南定理，深刻理解含受控源二端网络的 等效参数的含义，能用该定理对电路进行分析、计算。 掌握最大功率传输的条件、最大功率、效率及利弊。
3.1 支路电流法
支路电流法——以支路电流为未知变量，直接应用 KCL和KVL列方程，求解电路。简称支路法。
即：每个回路至少包含一
条新支路。
目录
3.2 节点电压法
以电路中各节点的电位为未知变量，列方程求解电 路的响应。又称节点电位法。
iS
a
b R5
c
uS1
R2
i3 R4
R1
R1
R3
R6
uS6
R6
d
共有4各节点。
任意选取一点作参考点。 选d点，则d点电位为零
a、b、c三个节点相对于d 点的电压等于该点的电位。
1 (
R1
+
1 R3
)ua
1 R3
ub =-iS1 +
uS2 R3
i
1 R3
ua +(
1 R2
+
1 R3
)ub =iS2 -
uS2 R3
+i
补充方程：ua- ub=uS1
! 特例2
列写如下电路的节点电压方程
a
a
6V 6W 1W 8V
3W
10W 0.4A
6V 6W 1W 8V
10W 0.4A
b 外电路
3 uB 10
2 3 2 A 0.3A 10
1
111
1
53
10 uA
( 10
5
10 )uB
10 uC
10
10
i3
uC
5 uB 10
0.7A
1
11
5
10
uB
( 10
5 )uC
10
0.5u2
i4
uC 5
0.8A
i5 0.5u2 1.5A i6 i 2 i5 1.2A
第3章 网络分析方法和网络定理
3.1支路电流法 3.2节点电压法 3.3叠加原理 3.4替代定理 3.5戴维南定理和诺顿定理 3.6特勒根定理 3.7互易定理
学习要点
熟练掌握支路电流法；
理解节点电压法的原理，熟练掌握节点电压法。能正 确、快速处理四个节点以下的电路（含电流源串电阻 支路、无伴电压源支路及受控源支路）；
以Ua 、Ub 、 Uc为所求的未知量，列方程。
目录
a节点方程：(
1 R1
1 R2
1 R5
)U a
1 R2
Ub
1 R5
Uc
U S1 R1
IS
b节点方程：
1 R2
Ua
( 1 R2
1 R3
1 R4
)U b
1 R4
Uc
0
c节点方程：
1 R5
Ua
1 R4
Ub
1 (
R4
1 R5
1 R6
)U c
US6 R6
IS
( 1 R2
1 R3
)un1
(1 R2
1 R3
1 R4
)un2
ri1 R3
gu2
i1
un1 R1
! 特例1
含有无伴恒压源支路电路如图，列写节点电压方程
i + uS1 -
法一：以b点为参考节点
a
b
R3
+
-
uS2
iS2
iS1 R1
R2
c
ua =uS1
1
11
R1
ua
( R1
R2
)uc
iS1
iS2
法二：以c点为参考节点，设uS1上电流 i为已知量
ri5 R3
0 ua
1 R5
ub
1 (
R2
1 R5
)uc
us2 R2
gu1
u1 ua us1
i5
ub uc R5
例3－4 电路及参数如图3－9所示，试用节点法求各
支路电流。
解：图中参考点已设
定，则有
i1
uB 5
u2 uA 3 uB
uA uB 2V uC 4V
uA 5i1
i2
uA
io 40W 10W 20W
100V
4uo
120V
2io uo 80W
80W
uo 50W io 10W
10W
100V
0.2uo
4io 2A 40W
3.3 叠加定理
定理：在线性电路中，电路某处的电流或电压（即 响应）等于各独立源（即激励）分别单独作用时在 该处产生的电流或电压的代数和，数学表达式为
Gaa Gab Gac Ua ISNa
G ba
G bb
G bc
U
b
I
SN
b
Gca Gcb Gcc Uc ISNc
Gii —自电导（自导） ，i节点 所连接的所有电导之和。
iS
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b R5
c
uS1
R2
i3 R4
R1
R1
R3
R6
uS6
R6
d
Gij 、 Gji —i、j节点间的互电导（互导），直接跨接于
步骤：1. 选定各支路电流为未知变量；
平 面
2. 任选（n-1)个节点列写KCL方程；
网
3. 针对各网孔列（或回路）KVL方程；
络
4. 必要时对受控源控制变量列补充方程；
5. 求解。
Ia I2
4W
I1 8W
2.5W
I3 2W
14V +
I4 15W
+ 1.4Ia U
-
☆ 若为非平面网络，需要
选择独立回路列KVL方程，
练习 1. 求a、b两点的电位。
2W
a
b
6A 3A
10W 5W 4W
3W a 5W b
1W
uo 2W
4uo 3V
（a）
（b）
2.利用节电法求各电源元件的功率，说明吸收释放。
2S
①
2W
10V ②
2W
③
4W
5A 8W
① 2uo ② 8S
3A 1S uo 4S
③ 13V
④
（a）
（b）
练习
识别如下电路中的电源元件是电压源还是电流源
（1 1
1 6
110）Ua
6 1
8 6
0.4
b 外电路
Ua 4V
!! 特殊情况：
①与电流源串联的电导视为无效电导，不计入 自导或互导。
②电路中含有一个无伴恒压源支路（又称纯压 源支路）时，可以选择恒压源的一端作为参考 电位点，则另一端电位已知，无需再列KCL方 程。
③电路中含有多个无伴电压源支路时，可以假 设电压源上的电流为已知值，按电流源处理 （替代定理）。然后对其列写补充方程求解。
两节点之间的所有电导之和。取“-”值！
ISNi — 流入i 节点的独立电流源的代数和。
目录
iS
a R2
R1
b R5
c
i3
R4 R6
+
R3
uS1
-
uS6
-
d
+
iS
a
b R5
c
uS1
R2
i3 R4
R1
R1
R3
R6
uS6
R6
d
1 ( R1
1 R2
1 R3 )un1
1 (
R2
1 R3 )un2
is
ri1 R3