第三章刚体的转动

第三章 刚体的转动 §3-1刚体的定轴转动

一.

刚体：在无论多大的外力作用下形状和大小都保持不变的物体

c r ij =

二. 刚体运动的基本类型 1. 平动：任一条直线方向不变

2. 转动：每一点都绕同一直线作圆周运动

3. 自由运动：质心的平动和绕过质心的轴的转动的叠加 三.

刚体定轴转动的特点

每一质点都作圆心在轴上，圆平面垂直轴，ω,β,θ相同的圆周运动 四. 角速度ω

方向轴矢量；大小按比例画长度

r v

?=ω，dt

d ωβ

=

§3-2 转动动能 转动惯量

一. 转动动能： 22

1ωI E k = 二.

转动惯量 1. 定义：2i i r m I

∑?=，?=dm r I 2

2. 决定I 大小的因素：总质量、质量分布、转轴位置

3.

量纲：2

ML ; 单位：2

kgm 三. 平行轴定理：2md I I

c += 四. 垂直轴定理：y x z

I I I +=

§3-3 力矩 转动定律

一.

力矩

?sin rF M = F r M ?=

几个力同时作用于刚体上，合力矩：

++=21M M M

定轴转动： ++=21M M M

二.

转动定律 1. 第一定律

0=M

时，定轴转动的刚体保持原有的转动状态不变。

2. 第二定律

β

∝I

M

??→?制SI β I M =

例1.

求质量为m ，长为l 的均匀细杆对过中点且垂直于杆的轴O 的转动惯量；（对

2O ?3O ?）

例2. 求质量为m ，半径为R 的均质圆环对其中心轴的转动惯量；

例3. 求质量为m ，半径为R 的均质圆盘对其中心轴的转动惯量；

例4. 求质量为m 半径为R 的均质圆环对O O '轴的转动惯量; 例5. 求质量为m ，半径为R 的均质圆盘对O O '轴的转动惯量；

例6.

一质量为m ，半径为R 的定滑轮（可看作均质圆盘）可绕垂直于纸面的水平光滑轴无摩擦地转动。轮缘绕一细轻绳，绳下端挂一质量为m 的物体，物体从静止开始下降，设绳与滑轮之间不打滑，求任一时刻盘的加速度。

例7.

一质量为m ，半径为R 的均质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上（μ已知）。若令它开始时以角速度0ω旋转，问经多长时间盘才停止？

同类问题：已知棒的0ω，μ，m ，l 能转几圈？

课后思考：

已知R ，M ，求A I

§3-4 刚体定轴转动的动能定理

一．

力矩的功

θMd s d F dA =?=

))

变不变M (Md M (M {Md dA A ?

???===θθθ

θ用弧度作单位

!

二． 力矩的功率

平均功率：t A P ??= 瞬时功率：ωM dt

dA

P == 三．

刚体定轴转动的动能定理

21222

1

21ωωI I E A k -=

?= 合外力矩对刚体作的功等于刚体转动动能的增量。

§3-5 角动量和冲量矩 角动量守恒定律

一.

刚体的角动量 1. 质点对定点的角动量

v m r L

?=(力矩：F r M ?=) 大小：αsin rmv ，方向：v r

?向

单位：1

2-s kgm

，量纲：12-T ML

2. 刚体对定轴的角动量

ω I L =

此式对质点也适用

3. 转动定律的普遍形式

dt

dI dt d I dt L d M ωω +==

二. 冲量矩:合外力矩对时间的累积 1.

dt 时间内：

I d r dt F r dt M ?=?=

2.

t ?时间内：

)t t (M dt M t t

122

1

-=?

三.

角动量定理 1．dt 时间内： L d dt M =

2．t ?时间内：

122

1

L L dt M t t

-=?

注意：推导中未要求I 不变

I 不变：1212ωω I I L L -=-；I 变：112212ωω I I L L -=-

四.

角动量守恒定律

0=M 时，12L L =，c I

=ω ω ,I 都不变，较少实际应用；ω ,I 都变，ω

I 不变，较多实际应用。

对一个刚体：1122ωω

I I =

对刚体组：00i i i i I I ωω ∑=∑

例１．一长为l ，质量为m 的均匀细棒，一端可绕光滑水平轴在竖直平面

内转动 。求棒从水平静止转动到竖直位置时A 点的?v = （分别用动能定理和机械能守恒定律求解）

例２．一质量为m ，半径为R 的均质圆盘，从水平位置起绕切线'OO 转动，转到竖直位置时，Ａ点的速度?v A =

例3． 均质杆长为l ，质量为Ｍ，上端悬挂于O 点（可绕O 转），若杆由水平静止位置释放，下落至竖直位置时与质量为m 的油灰作完全非弹碰。设油灰与桌面的摩擦可忽略，求：1)碰前瞬间的ω

；2)碰后瞬间油灰的?v = 3) 碰后，?max =θ

例4． 半径为R 、转动惯量为0I 、以0ω转动的光滑圆环，一质量为m 的小球从Ａ点滑下。求：小球运动到Ｂ点和Ｃ点时的速度和角速度；

例5． 光滑桌面有一小洞，一质量为m 的小球在桌面上转动；在Ｆ的作用下缓慢向中心移动，211r ,,r ω已知。求： 1) 2ω;

2)转动动能的变化； 3) ?F =

例6． 均质杆L ,M 已知，一小球以速度0v

水平撞向杆的距转轴43

处并被杆以速度1v

反弹求杆

的最大摆角?=?

例7． 一宇宙飞船，欲考查质量为Ｍ，半径为R 的某星球。当它静止于空中离星球中心5R 处时

以速度0v 发射一质量为m 的仪器舱，且M m <<，要使这仪器舱恰好掠擦此星球的表面着

陆，求：发射倾角θ的大小。

A

例8． (思考＊）一根均质绳子，其单位长度上的质量为λ，盘绕在一张光滑的水平桌面上。设0

=t 时，00==v ,y ; 1) 以一恒定的加速度a 竖直向上提绳，当提起的高度为y 时，作用在绳端的力为多大？ 2) 以一定的速度v 竖直向上提绳，当提起的高度为y 时，作用在绳端的力又是多大？ 3) 以一个恒力F 竖直向上提绳，当提起的高度为h 时，绳端的速度?v =

小结：

一．质点的动量：c v m p v m p

=??→?=刚体 角动量： mv r v m r L z 0=??

→??=Ｌ定轴

对刚体： ωI L =, c p k

mgh E I E ==2

2

1ω

二．动量定理、角动量定理和动能定理

动量定理：?=-=t t dt F P P dt F P d 0

0外外

角动量定理：?=-=t t dt M L L dt M L d 0

0外外

动能定理：外外刚体

A E E dA dA dE k k k

=-??→?=12

刚体定轴转动：?=-θ

θθωω1

21222

121

Md I I

三．三大守恒定律：

动量守恒：0=∑=外F C

P

角动量守恒：0=∑=∑外M C

I

ω

机械能守恒：0=+=+非保内外A A C E E p k

有心力：,F r ,F //r 0=?

角动量守恒。