16总复习：导数的概念和运算知识梳理
数学导数知识点高中总结
数学导数知识点高中总结一、导数的定义及几何意义1. 导数的定义导数的定义是陈述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点的切线的斜率。
对于函数f(x)，它在 x 点处的导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 几何意义导数的几何意义即为函数在某一点处的切线斜率。
导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数曲线在该点的切线的斜率。
二、导数的求法1. 导数的基本求导公式常见的导数的求法包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本求导公式。
例如：- (常数函数)' = 0- (x^n)' = nx^(n-1)- (e^x)' = e^x- (lnx)' = 1/x- (sinx)' = cosx- (cosx)' = -sinx- (tanx)' = sec^2x2. 导数的高阶导数高阶导数即为对函数进行多次求导得到的结果，表示函数的多次变化率。
例如二阶导数表示函数的二阶变化率，表示函数斜率的变化率。
3. 隐函数求导隐函数求导即为对含有变量的方程进行求导，通过对方程两边求导，可以求得所求的变量的导数。
4. 参数方程求导参数方程求导即为对由参数方程表示的函数进行求导，通过对参数方程中的各个方程分别求导，可以得到参数方程对应的函数的导数。
三、导数的应用1. 函数的极值导数可以用来判断函数的极值，即通过求导得到函数的导数，再令导数等于零求得函数的极值点。
2. 函数的凹凸性与拐点通过对函数的二阶导数求解，可以判断函数的凹凸性和拐点，即确定函数的临界点和拐点的位置。
3. 切线与法线通过函数的导数可以求得函数在某一点处的切线斜率，再通过函数的导数的倒数求得法线的斜率。
4. 最优化问题导数可以用来解决最优化问题，即通过求导得到函数的导数，再通过求导等于零的条件求得函数的最大值或最小值。
四、常见的导数公式1. 常数函数的导数常数函数 f(x) = C 的导数为 f'(x) = 0。
总结导数的知识点归纳
总结导数的知识点归纳一、导数的概念1. 导数的定义导数是描述函数在某一点处的变化率的概念。
如果函数f(x)在点x处可导，那么它的导数表示为f'(x)，即函数f(x)在点x处的导数为f'(x)。
导数可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率，它描述了函数在该点附近的变化情况。
2. 函数的可导性函数在某一点可导，意味着该点处函数曲线存在切线，并且切线的斜率存在有限值。
如果函数在某一点处可导，那么该点也称为函数的导数存在的点。
函数在某一点处可导的充分必要条件是该点处函数的左极限和右极限存在且相等。
3. 导数的图像解释函数的导数可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
当函数曲线上升时，导数为正；当函数曲线下降时，导数为负；当函数曲线水平时，导数为零。
函数曲线的凸凹性可以通过导数的正负来判断。
二、导数的性质1. 可导函数与连续函数可导函数必定是连续函数，但是连续函数不一定可导。
可导函数的导数在其定义域内连续，也就是说，可导函数的导数也是连续函数。
2. 导数的四则运算函数的导数满足四则运算的性质。
设函数f(x)和g(x)在点x处可导，那么它们的和、差、积、商的导数分别为(f+g)' = f' + g'，(f-g)' = f'-g'，(fg)' = f'g + fg'，(f/g)' = (f'g - fg') / g^2。
3. 复合函数的导数复合函数的导数可以通过链式法则来求导。
设函数y=f(u)和u=g(x)都可导，那么复合函数y=f(g(x))的导数为f'(g(x))g'(x)。
4. 高阶导数函数的导数也可以再求导，得到的导数称为原函数的高阶导数。
高阶导数的符号表示一阶导数的凸凹性。
三、导数的计算方法1. 导数的基本求导法则导数的基本求导法则包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数以及反三角函数的导数等。
函数的导数知识点总结
函数的导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的概念导数是函数在某一点的切线斜率，也是函数在某一点的瞬时变化率。
在几何角度上，导数是函数图像上一点的切线的斜率。
2. 导数的定义对于函数f(x)，如果函数在点x处的导数存在，则导数定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h3. 导数的几何意义导数表示函数图像上某一点的切线斜率，即表示函数在该点的瞬时变化率。
二、导数的求法1. 导数的基本求法导数的基本求法有三种：（1）使用导数的定义进行求解；（2）使用导数的基本公式进行求解（如幂函数的导数公式、三角函数的导数公式等）；（3）使用导数的运算法则进行求解（如和差积商的导数、复合函数的导数等）。
2. 不定导数当函数是一般函数形式时，可以使用导数的定义进行求解，也可以根据函数的具体形式使用导数的基本公式进行求导。
3. 定导数当函数是特定的函数形式时，可以根据函数的具体形式使用导数的基本公式进行求导。
三、导数的性质1. 导数的性质导数具有以下性质：（1）可加性：[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)（2）可乘性：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)（3）常数倍性：[c * f(x)]' = c * f'(x)，其中c为常数（4）导数的乘积法则：(f * g)' = f' * g + f * g'2. 高阶导数高阶导数是指对于一个函数的导数再求导数的过程。
如果函数f(x)的导数存在，那么f(x)的导数又称为一阶导数，记作f'(x)。
如果f(x)的一阶导数再求导数，得到的导数称为二阶导数，记作f''(x)。
以此类推，可得到高阶导数。
3. 隐函数导数隐函数是指方程中包含了隐含变量的函数。
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
高中是导数知识点总结
高中是导数知识点总结一、导数的概念导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何上来看，导数是函数曲线在某一点处的切线斜率。
导数也可以理解为一个函数在某一点处的瞬时速度或瞬时增长率。
导数的符号通常用 f'(x) 或 dy/dx 表示，其中 f(x) 是函数，x 是自变量，f'(x) 表示函数 f(x) 在 x 点处的导数。
二、导数的计算1. 导数的定义函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义为：f'(x0) = lim (h->0) [f(x0+h)-f(x0)]/h其中 h 是变化量，当 h 趋近于 0 时，表示函数 f(x) 在点 x0 处的斜率，即导数。
这是导数的最基本定义，通过它可以计算任何函数在任何一点处的导数。
2. 基本导数公式导数的计算通常涉及到基本的导数公式，例如：- 常数函数的导数为 0- 幂函数的导数为 nx^(n-1)- 指数函数的导数为 a^xln(a) (a 为常数)- 对数函数的导数为 1/x这些基本导数公式对于导数的计算提供了重要的参考。
3. 导数的运算法则导数的运算法则包括了常用的导数运算法则，例如：- 常数倍法则：f'(ax) = af'(x)- 和差法则：(f+g)' = f'+g'- 乘积法则：(fg)' = f'g + fg'- 商法则：(f/g)' = (f'g - fg')/g^2这些导数的运算法则在求解导数的过程中起到了重要的作用，能够简化导数的计算过程。
4. 高阶导数高阶导数是指导数的次数大于一次的情况，例如 f''(x) 表示函数 f(x) 的二阶导数，即对 f'(x) 再次求导数。
高阶导数的计算通常可以利用导数的定义和运算法则来进行，它描述了函数曲线的更加细致的变化情况。
三、导数的应用1. 函数的极值点导数的一个重要应用是求函数的极值点，即函数的最大值和最小值所对应的点。
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
高中导数知识点归纳一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
导数知识点归纳汇总
导数知识点归纳汇总导数是微积分中的重要概念，它可以被理解为函数其中一点处的变化率。
导数的概念和性质在微积分中应用广泛，无论是求解方程、研究函数的性质，还是研究物理、经济等现象，都离不开导数。
下面我将归纳汇总一些导数的重要概念和性质。
1.导数的定义：导数表示函数在其中一点处的变化率，用数学表示为：f'(x) =lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h。
这个极限表示当自变量x的变化趋于0时，函数值的变化率。
2.导数的几何意义：导数可以用来描述函数的切线，函数在其中一点的导数等于其切线的斜率。
当导数为正时，函数在该点上升；当导数为负时，函数在该点下降；当导数为0时，函数在该点达到极值。
3.导数的基本性质：-求导法则：常数的导数为0，幂函数的导数为幂次减一乘以原函数的导数，指数函数的导数等于自然对数e的指数乘以原函数的导数，对数函数的导数等于原函数的导数除以x。
-和与积的求导法则：对于两个函数的和、差或积，可以通过对每个函数分别求导后再相加、相减或相乘得到导数。
-乘积法则和商积法则：对于两个函数的乘积或商，可以通过乘积法则和商积法则得到导数的计算方法。
-链式法则：对于复合函数y=f(g(x))，可以通过链式法则将其导数转化为两个函数的导数的乘积。
4.高阶导数：高阶导数是指导数的导数，可以用f"(x)、f'''(x)等符号表示。
高阶导数描述函数的曲率，即函数的弯曲程度。
5.隐函数求导：对于由x和y之间的关系式表示的函数，有时y无法用显式函数表示。
通过隐函数求导可以求得函数y对x的导数。
6.参数方程求导：参数方程表示的函数可以通过对参数分别求导得到对应的x和y的导数。
7.反函数求导：如果函数y=f(x)的反函数存在且可导，则反函数的导数可以通过对原函数的导数求倒数得到。
8.微分：微分是导数的一个应用，用于近似描述函数值的变化。
微分可以用来求函数在其中一点的增量及变量之间的微小变化关系。
导数定义运算知识点总结
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的导数与在点 x0 处的导数不是同一概念， f '(x0 ) 是常数，是函数 f '(x) 在 x x0 处的函数值，反
映函数 f (x) 在 x x0 附近的变化情况。
要点诠释：
函数的导数与在点 x0 处的导数不是同一概念， f '(x0 ) 是常数，是函数 f '(x) 在 x x0 处的函数值，反
要点诠释：
①若曲线 y f (x) 在点 P(x0, f (x0 )) 处的导数不存在，但有切线，则切线与 x 轴垂直。 ② f '(x0 ) 0 ，切线与 x 轴正向夹角为锐角； f '(x0 ) 0 ，切线与 x 轴正向夹角为钝角； f '(x0 ) 0 ， 切线与 x 轴平行。
(3)曲线的切线方程
要点诠释：
①增量 x 可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数：
如果函数 y f (x) 在开区间 (a,b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个 x (a,b) ，都对应着一个
确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这个函数 f / (x) 为函数 y f (x) 在开区间内的
x
4
【答案】
（1）
f
'(4)
lim
f (4 x)
f (4)
lim
1 4 x
4 x (1 2) 4
x0
x
x0
x
lim
1 4 x
1 4
(
4 x 2)
以中间变量 u 对自变量 x 的导数 u 'x 。
要点诠释： 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把 中间变量转换成自变量的函数。 【典型例题】 类型一：导数概念的应用
例 1、用导数的定义，求函数 y f (x) 1 在 x=1 处的导数。 x
【解析】∵ y f (1 x) f (1) 1 1 1 x
时，割线
PQ
的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为 ，则当△x→0 时，割线 PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。
即： tan = lim y = lim f ( x0 x ) - f ( x0 ) 。
x x0
x0
x
(2)导数的几何意义：
函数 y f (x) 在点 x0 的导数 f '(x0 ) 是曲线 y f (x) 上点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线的斜率。
lim x0
f (x0
x) x
f
(x0 )
存在，则此极限称为
f
(x)
在点
x0 处的导数，记作
f
'(x0 ) 或
y ' |xx0 ，此时也称 f (x) 在点 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 处可导。
即：
f
'
(x0
)
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 ) （或
f
'
(x0 )
lim
x x0
f (x) - f (x0) ） x - x0
如果 y f (x) 在点 x0 可导，则曲线 y f (x) 在点（ x0 , f (x0 ) ）处的切线方程为： y f (x0 ) f / (x0 )(x x0 ) 。
考点二：常见基本函数的导数公式
（1） f (x) C （C 为常数）， f '(x) 0 （2） f (x) xn （n 为有理数）， f '(x) n xn1 （3） f (x) sin x ， f '(x) cos x （4） f (x) cos x ， f '(x) sin x （5） f (x) ex ， f '(x) ex （6） f (x) a x ， f '(x) a x ln a （7） f (x) ln x ， f '(x) 1
导数的概念和运算
【考纲要求】
1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2.掌握常函数 y=C，幂函数 y=xn（n 为有理数），三角函数 y=sinx，y=cosx，指数函数 y=ex，y=ax，对 数函数 y=lnx，y=logax 的导数公式； 3.掌握导数的四则运算法则；并能解决一些简单的数学问题。 4.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数。
1 1 x
11 x
1 x (1 1 x) 1 x
x
(1 1 x) 1 x
∴ y
1
x (1 1 x) 1 x
∴ f '(1) lim y 1 。
x0 x
2
举一反三：
【变式】已知函数 y 1 x x
（1）求函数在 x=4 处的导数.
3
（2）求曲线 y 1 x 上一点 P(4, 7) 处的切线方程。
x
2
（8）
f
(x)
log a
x
，
f
'(x)
1 x
log
a
e
考点三：函数四则运算求导法则
设 f (x) ， g(x) 均可导
（1）和差的导数：[ f (x) g(x)]' f '(x) g '(x)
（2）积的导数：[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g '(x)
【知识网络】
导数的概念和运算
【考点梳理】 考点一：导数的概念： 1．导数的定义：
导数的概念 导数的运算
初等函数的求导公式 导数的运算法则 复合函数求导
对函数 y f (x) ，在点 x x0 处给自变量 x 以增量 x ，函数 y 相应有增量 y f (x0 x) f (x0 ) 。
若极限 lim y x0 x
映函数 f (x) 在 x x0 附近的变化情况。
3．导数几何意义：
1
（1）曲线的切线
曲线上一点 P(x0，y0)及其附近一点 Q(x0+△x,y0+△y)，经过点 P、Q 作曲线的割线 PQ，其倾斜角为
，则有kPQ
=
tan
=
y x
.
当点
Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点
P(x0，y0)，即△x→0
（3）商的导数：[ f (x)]' g(x)
f
'(x) g(x) f (x) g '(x) [ g ( x)] 2
（ g(x) 0 ）
考点四：复合函数的求导法则
y 'x y 'u y 'x 或 f 'x[(x)] f '(u) '(x)
即复合函数 y f [(x)] 对自变量 x 的导数 y 'x ，等于已知函数 y 对中间变量 u (x) 的导数 y 'u ，乘