C专题-构造三角形中位线

G E

H

D A

B C

N M B

A C

D

G

F

H

N

M

D A

B

D A

N

专题 构造三角形中位线

【方法归纳】中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一. 一、连接两点构造三角形中位线

1.如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的四边中点，试判断四边形EFGH 的形状并予以证明. 【解析】：四边形EFGH 为平行四边形.

2.如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且AE ＝BF ，BE 交AF 于M ，CE 交DF 于N ，求证：

1

//2

MN AD .

【解析】：连EF ，证平行四边形ABEF 和平行四边形EFCD ，∴EM ＝BM ，EN ＝CN .

3.如图，点是P 四边形ABCD 的对角线的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠CBD ＝450，∠ADB ＝1050，探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明.

【解析】：连PE ，证PE ＝PF ，∠EPF ＝1200，∴EF 3. 4.如图，点B 为AC 上一点，分别以AB 、BC 为边在AC 同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，点P 、M 、N 分别为AC 、AD 、CE 的中点.

⑴求证：PM ＝PN ；⑵求∠MPN 的度数. 【解析】：⑴连AE ，CD ，证PM //

12CD ，PN //1

2

AE ，证△ABE ≌△BDC ，AE ＝CD ，∴PM ＝PN .

⑵设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H ，由⑴知∠BAE ＝∠BDC ，∠ADH ＝∠ABD ＝600，∠FHG ＝1200，易证四边形PFHG 为平行四边形，∴∠MPN ＝1200.

二、利用角平分线＋垂直构造中位线

5.如图三角形ABC 中，点M 为BC 的中点，AD 为三角形ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD ，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长.

A

F

A

B

B

A

F

D E

【解析】：延长BD ，CA 交于N ，证DN ＝DB ，MD ＝

1

2

CN ＝15. 6.如图，三角形ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝900，F 为BC 上的一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF

＝2ME .

【解析】：延长FE 交AB 于N ，证EF ＝EN ，CF ＝AN ，∵AN ＝2ME ，∴CF ＝2ME .

三、倍长构造三角形中位线

7.如图，三角形ABC 中，∠ABC ＝900，BA ＝BC ，三角形BEF 为等腰直角三角形，∠BEF ＝900，M 为AF 的中点，求证：ME ＝

1

2

CF . 【解析】：延长EF 至N ，使EN ＝EF ，连BN ，AN ，证ME ＝

1

2

AN ，证△BCF ≌△BAN ，∴CF ＝AN ＝2ME . 四、取中点构造三角形中位线

8.如图，四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连BD ，若AB ＝10，CD ＝8，求MN 的取值范围. 【解析】：取BD 的中点P ，连PM ，PN ，∵PM ＝1

2

AB ＝5，PN ＝1

2

CD ＝4，∴1＜MN ＜9.

9.如图，三角形ABC 中，∠ C ＝900，CA ＝CB ，E 、F 分别为CA 、CB 上点，CE ＝CF ，M

、N 分别为AF 、BE 的中点，求证：AE MN . 【解析】：取AB 的中点H ，连MH ，NH ，则MH ＝

12BF ，NH ＝1

2

AH ， ∵AE ＝BF ，∴MH ＝NH ，易证∠MHN ＝900，∴AE ＝2NH ＝

2·

2

MN MN .

10.如图，点P 为三角形ABC 的边BC 的中点，分别以AB 、

AC为斜边作直角三角形ABD和直角三角形ACE，且∠BAD＝∠CAE，求证：PD＝PE.【解析】：分别取AB、AC的中点M、N，证DM＝PN，PM＝EN，∠DMP＝∠ENP，△PMD≌△ENP即可.