基本不等式教师版
基本不等式的比较几大题型(教师版)
基本不等式的比较几大题型(教师版)基本不等式是数学中的重要概念，它帮助我们比较数字大小关系并解决实际问题。
在这份文档中，我们将介绍基本不等式的比较几大题型，帮助教师更好地教授这一知识点。
1. 常见的不等式类型在教学中，我们常见到以下几种类型的不等式：- 单变量一次不等式：类似于 $ax + b < 0$ 或 $cx + d > 0$ 的形式。
- 单变量二次不等式：类似于 $ax^2 + bx + c < 0$ 或 $dx^2 + ex + f > 0$ 的形式。
- 双变量不等式：例如 $ax + by < c$ 或 $dx + ey > f$ 的形式。
针对每种类型的不等式，我们可以采用不同的解题方法和策略，下面将介绍其中的一些重点。
2. 单变量一次不等式的解法对于单变量一次不等式，我们可以通过以下步骤来解题：1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。
2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。
3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。
4. 根据测试点的结果确定每个区间的解集。
5. 将所有区间的解集合并得出最终解集。
通过这种方法，我们可以清晰地展示单变量一次不等式的解题过程，并帮助学生理解不等式的含义。
3. 单变量二次不等式的解法单变量二次不等式的解法也可以采用类似的步骤：1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。
2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。
3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。
4. 根据测试点的结果确定每个区间的解集。
5. 将所有区间的解集合并得出最终解集。
单变量二次不等式相对于一次不等式来说更加复杂，因此需要更多的练和理解。
4. 双变量不等式的解法对于双变量不等式，我们需要利用平面直角坐标系的图形来解题。
通过绘制不等式的图形，我们可以找到满足条件的区域。
常见的解题方法包括：- 绘制不等式的边界线，确定边界线上的点是否满足不等式。
5.含参不等式及基本不等式(教师版) WPS文字 文档
参数不等式与基本不等式学习目标：① 含参数的一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式； ②不等式的解集与方程的根相关； ③基本不等式及其应用一、基础知识1、含参不等式20ax bx c ++≥需讨论二次项系数正负或零以及两根的大小； 2、含参分式不等式先将其转化为整式不等式；3、基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤ 4、利用重要不等式求函数最值时，谨记：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针5、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <2). 能成立问题（有解问题 ）若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立, 则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立, 则等价于在区间D 上的()min f x B <.如3). 恰成立问题不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价()A x f >的解集为D ； 不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价()B x f <的解集为D .二、题型归类（一）含字母参数一元二次不等式的问题1. 当0a <时，不等式22420x ax a +-≤的解集是____________2. 已知不等式210ax bx ++≥的解集为{51}x x -≤≤，则2a b +=____________ 3. 实数k 在什么范围内取值时，不等式220kx kx -+>的解集是实数集R ？解集会不会是空集？4. 若不等式组()22201ax x x x a x ⎧--≤⎨-≥-⎩的解集为R ,求a 的取值范围是____________5.已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或。
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
第六章第3讲基本不等式(教师)
第3讲基本不等式
a＋b1．ab 2
(1)基本不等式成立的条件：．
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y
有最小值是(简记：积定和最小)
2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当xy．(简记：和定积最大) [做一做]
1．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
a＋b2?解析：由基本不等式得a＋b≥ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤?2＝
11a＝b＝
421答案：2 4
1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
2．活用几个重要的不等式
baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≥2(a，b同号)． ab
a＋b2a＋b2a2＋b2??ab≤?2(a，b∈R)；?2≤2(a，b∈R)．
3．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[做一做]
a＋b2．“a>0且b>0”是“ab”成立的( ) 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A。
基本不等式实战方法大全--教师版
基本不等式【知识梳理】12a b+≤(1)基本不等式成立的条件：0,0a b ≥≥.(2)等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号.(3)其中2a b +称为正数a ，b 称为正数a ，b 的几何平均数.2、几个重要的不等式（1）222222a b a b ab ab ++≥⇒≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（2）2(2a b a b ab ++≥⇒≤，当且仅当a ＝b 时取等号.（3）222()22a b a b ++≤.（4）熟悉一个重要的不等式链：211a b +2a b +≤≤≤222b a +总结：基本不等式重点就是体现一个“定”的思想，所以在学习过程中要感悟配凑技巧。
拓展：若+∈R c b a ,,，3a b c ++≥c b a ==时等号成立；【典例分析】技巧1：直接法例1、已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为________。
【答案】3【解析】因为x >0，y>0，所以34x y +≥(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于1≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3.例2、已知+∈R y x ,若16=xy ，求11x y+的最小值.并求y x 、的值【答案】12【解析】1112x y +≥==，当且仅当4==y x 时等号成立例3、若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是．【答案】-2当1a b ==-时取等号。
例4、若实数a ，b满足12a b+=，则ab 的最小值为__________．【答案】由题意可知可以利用基本不等式，12a b =+≥=，当且仅当122b a a b =⇒=时取等号，化简后可得：ab =145422a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩技巧2：“添项”配凑法例1、已知函数1(0)y x x x =+>，求y 的最小值.【答案】2例2、已知函数3(2)2y x x x =+>-，求y 的最小值.【答案】2例3、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高一秋-03-不等式的性质与基本不等式-教师版
知识点一、不等式的性质 （1）对称性：a >b ⇔b <a . （2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . （3）可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .（4）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . （5）加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . （6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .（7）乘方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （8）开方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （9）倒数法则：a >b ，ab >0⇒11a b<；a >b >0，0<c <d ⇒a b c d >.（10）重要不等式：若a >b >0，m >0，则b b ma a m+<+. 知识点二、比较大小的方法（1）作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b −后比较a b −与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．（2）作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．题型一：用不等式（组）表示不等关系【例1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10m ，用不等式表示为（ ） A ．120km/h v ≤且10m d ≥B ．120km/h v ≤或10m d ≥第3讲 不等式的性质与基本不等式知识梳理例题分析模块一：不等式的性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C ．120km/h v ≤且10m d >D ．120km/h v <或10m d >【难度】★ 【答案】A【解析】由速度v 的最大值为120km/h ，故120km/h v ≤，由车间距d 不得小于10m ，故10m d ≥，即有120km/h v ≤且10m d ≥.【例2】某学生月考数学成绩x 不低于100分，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）A ．100200240x y z >⎧⎨<+<⎩B ．100200240x y z ≥⎧⎨≤+≤⎩C ．100200240x y z >⎧⎨≤+≤⎩D ．100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩【难度】★ 【答案】D题型二：利用不等式的性质判断命题真假【例1】已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22ac bc >B ．22a b >C ．2211ab a b >D ．22b a a b<【难度】★ 【答案】C【例2】下列说法正确的是（ ）. A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c> C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+ D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a−>− 【难度】★ 【答案】D【例3】若R a b c ∈,,，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则11a b> B ．若0a b >>，则11b ba a+<+ C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b >【难度】★ 【答案】D【解析】选项A ，若0,0a b <>，则结论错误，故选项A 错误； 选项B ，根据糖水不等式可知，10,1b ba b a a+>>>+，故选项B 错误； 选项C ，当0c =时，220ac bc ==，故选项C 错误；选项D ，22,ac bc >可知20c >，a b ∴>，故选项D 正确.【例4】 若0a b <<，则下面有六个结论：①22a b >，②33a b >，③11a b<，④1>ab ，⑤11a b a>−，⑥a b >−中，正确结论的序号是 ． 【难度】★★ 【答案】①④⑥【解析】因为0a b <<，则0a b −>−>，所以()()22a b −>−，即22a b >，故①正确； 由22a b >，不等式两边同时乘a 时，32a b a <，对于a b <，两边同乘2b ，可得23b a b <，故323a b a b <<，即33a b <，则②错误；因为0a b <<，所以0ab >，则10ab >，所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，则③错误；由11b a <，不等式边同时乘a ，得1a a b a>=，故④正确； 由()()()11a a b ba b a a b a a b a −−−==−−−，因为0,0a b a −<<，所以()0a b a −>，又因为0b <，所以110a b a −<−，即11a b a<−，故⑤错误； 由0a b <<可得，a b b >=−，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥.题型三：利用不等式的性质比较大小【例1】已知0a b >>−（填“＞”“＜”或“＝”） 【难度】★ 【答案】<【解析】()(22a b b −−=，因为0a b >>，所以20abb b >，所以()20a b −−<，()2a b <−，0>，0a b −【例2】在下列空格上填适当的不等号： （1）若x y ≠，则()x x y − ()y x y −； （2）若0a b <<，0c >，则a b 1；a c bc．【难度】★【答案】 > > <【解析】（1）由于x y ≠，故()()()20y x y x x x y y −−=−−>，即()()y x x x y y −>−，（2）由于0a b <<，则1>ab，又0c >，a b c c <，【例3】若0,0a b c d >><<，试比较()2ca c −和()2cb d −的大小.【难度】★★ 【答案】()()22cca cb d >−−【详解】0c d <<，0c d ∴−>−>，又0a b >>，∴0a c b d −>−>，∴()()22a cb d −>−，∴()()2211a cb d <−−，又∵0c <，∴()()22cca cb d >−−.题型四：作差（作商）法比较大小【例1】设x 是实数，比较()()211x x x +−+与()()211x x x −++的值的大小.【难度】★【解析】23(1)(1)1x x x x −++=−，23(1)(1)1x x x x +−+=+，因为()331120x x +−−=>，所以3311x x +>−，即22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +−+>−++.【例2】已知1a ≥−，求证：321a a a +≥+. 【难度】★★【解析】()()()()()()()32221111121a a a a a a a a a a a +−+=+−+−+=+−+()()211a a =+−，因为1a ≥−，所以10a +≥，又()210a −≥，所以()()()()2321110a a a a a +−+=+−≥，所以321a a a +≥+.【例3】原有酒精溶液a （单位：g ），其中含有酒精b （单位：g ），其酒精浓度为ba.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x （单位：g ），新溶液的浓度变为b xa x++.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若0a b >>，0x >，则1b b x a a x+<<+. 试加以证明. 【难度】★★【解析】因为0a b >>，0x >，所以0a x b x +>+>，所以1b xa x+<+； 又()()()()()ab bx ab ax x b a b b x a a x a a x a a x +−+−+−==+++， 因为0a b >>，0x >，所以()0x b a −<，()0a a x +>， 所以()()0x b a b b x a a x a a x −+−=<++，即b b xa a x +<+ 综上，1b b xa a x+<<+.【例4】设,a b R +∈，试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【难度】★★【答案】当a b =时两者相等；当a b 时a b b a a b a b >.【详解】依题意，,a b R +∈， 当a b =时，a b b a a b a b =；当ab 时，a ba b b a a b a a b b −⎛⎫= ⎪⎝⎭：当0a b >>时，1,0a a b b >−>，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭；当0b a >>时，01,0b a b a <<−<，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故当ab 时，1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即a b b a a b a b >.题型五：利用不等式的性质证明不等式【例1】已知a 、b 为任意给定的正数，求证：3322a b ab ba +≥+，并指出等号成立的条件． 【难度】★★【解析】由题意可知：()()()()23322a b ab ba a b a b +−+=+−，因为0,0a b >>，则0a b +>，且()20a b −≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以()()()()233220a b ab ba a b a b +−+=+−≥，即3322a b ab ba +≥+，等号成立的条件为a b =.【例2】证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>−−. 【难度】★★【解析】因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><， 则0a c b c −>−>，则()()0a c b c −−>，则10()()a cbc >−−，则11()()0()()()()a c b c a c b c a c b c ⋅−>⋅−>−−−−，则110b c a c>>−−，又0c < 则c c a c b c>−−.命题得证.【例3】（1）已知0a b >>，0c d <<，求证：b aa cb d<−−； （2）已知0bc ad −≥，0bd >，求证：a b c db d++≤． 【难度】★★【解析】证明：（1）因为0c d <<，所以0c d −>−>． 又0a b >>．所以0a c b d −>−>，所以110a c b d<<−−． 又因为0b a <<，所以b a ac bd <−−． （2）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+， 展开得ad bd bc bd +≤+， 即ad bc ≤，0bc ad −≥ 因为0bc ad −≥成立，所以a b c db d++≤成立．题型六：利用不等式的性质求取值范围【例1】若13a <<，24b −<<，则2a b −的取值集合是 ． 【难度】★★ 【答案】()2,8−【详解】因为13a <<，24b −<<，所以226a <<，42b −<−<，故228a b −<−<.【例2】已知12,24a b a b ≤−≤≤+≤，则2a b −的取值可以为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【难度】★★ 【答案】ABC【解析】设()()()()2a b m a b n a b m n a n m b −=−++=++−，则21m n n m +=⎧⎨−=−⎩，解得31,22m n ==，()()31222a b a b a b ∴−=−++， ()()3313,12222a b a b ≤−≤≤+≤，()()5315222a b a b ∴≤−++≤，即52,52a b ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦， 【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知2030,1518x y x y <+<<−<，要求23x y +的范围，不能分别求出,x y 的范围，再求23x y +的范围，应把已知的“x y + ”“x y − ”视为整体，即5123()()22x y x y x y +=+−−，所以需分别求出51(),()22x y x y +−−的范围，两范围相加可得23x y +的范围．【例3】若变量x ，y 满足条件329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，则2z x y =+的最小值为（ ） A ．7− B ．6− C ．5− D ．4−【难度】★★ 【答案】B【解析】设()()22z x y m x y n x y =+=++−，故21m n +=且2m n −=， 所以,11m n ==−，故()()22z x y x y x y =+=+−−，由于329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，所以()()()39296x y x y +−≤+−−≤+−，623x y −≤+≤，故最小值为6−，此时4,5x y ==−，【例4】（多选题）已知13a −≤≤，12b ≤≤，则以下命题正确的是（ ） A ．16ab −≤≤ B ．05a b ≤+≤ C ．21a b −≤−≤ D ．()()114a b +−≤【难度】★★ 【答案】BD【解析】对于A ：[][][]1,3,1,22,6a b ab ∈−∈∴∈−,故A 错误.对于B ：[][][]1,3,1,20,5a b a b ∈−∈∴+∈,故B 正确. 对于C ：[][]1,23,2b a b ∈∴−∈−,故C 错误.对于D;[][]()()[]10,4,10,1,110,4a b a b +∈−∈∴+−∈,故D 正确.【例5】已知13a <<，24b <<，则ab的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】13,42⎛⎫⎪⎝⎭【详解】∵24b <<，∴11142b <<，又∵13a <<，∴1342a b <<，∴a b 的取值范围是13,42⎛⎫⎪⎝⎭.【例6】已知125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，则x 的取值范围是（ ） A ．22x −≤≤ B ．23x −≤≤C ．14x −≤≤D ．12x −≤≤【难度】★★ 【答案】C【详解】因为125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，所以1(1)2253x y x y −+−≤++−≤+，即228x −≤≤得14x −≤≤.知识点一、基本不等式 （1）算术平均数与几何平均数 对于正数a 、b ，我们把2a b+称为a 、b 的算术平均数，ab 称为a 、b 的几何平均数． （2）基本不等式如果a 、b 是正数，那么2a bab +≤ (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称为基本不等式． 知识点二、重要不等式 1. 两个重要的不等式知识梳理模块二：基本不等式~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~若a ，b ∈R ，则（1）222ab ab +≥，即222a b ab +≤(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2. 常用结论 （1）2b aa b+≥（a 、b 同号）； （2）2b aa b +≤−（a 、b 异号）； （3）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+.题型一、对基本不等式的理解【例1】不等式2244a a+≥中，等号成立的条件是（ ） A ．4a = B ．2a = C ．2a =− D ．2a =±【难度】★ 【答案】D【详解】由基本不等式可知22224424a a a a+≥⋅=，当且仅当224a a =， 即2a =±时等号成立，【例2】某市场上第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元所()a b ≠，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为12,m m ，则下列结论正确的是（ ） A ．12m m = B ．12m m >C ．21m m >D ．12,m m 的大小无法确定【难度】★ 【答案】C【详解】解：根据题意可得120202220202ab abm aba b ab a b+==≤=++．当且仅当=a b 等号成立； 例题分析266122a b a bm ++==≥，当且仅当=a b 等号成立，由题意可得a b ≠，所以12m m <>，则21m m >.【例3】（多选题）下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a ，b 为正实数，所以b a a b +2B ．因为x ∈R ，所以211x +>1C ．因为a ＜0，所以4a+a 4 D ．因为0x y R xy ∈<、，，所以2x yx y y y x y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A.因为a ，b 为正实数，所以0,0b a a b >>，所以b a a b + 2.故A 正确；对于B.当x =0，有211x +=1.故B 错误；对于C.当a =-1时，左边4a+a =-5，右边，所以4a +a 4不成立，故C 错误.对于D. 因为0x y R xy ∈<、，，0,0x yy x −>−>， 所以2x yx y y yx y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦.故D 正确.【例4】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（ ）．A ．)0,02a b a b +>> B ．)20,0aba b a b ≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【难度】★★ 【答案】C【详解】解：由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++−===−=−=，在Rt OCD △中，CD ==，所以OC OD ≤，即)0,02a b a b +>>，【例5】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)ab a b a b ≤>>+D ．0,0)2a b a b +>> 【难度】★★题型二、利用基本不等式比较大小【例1】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy 、中最大的一个是 ．【难度】★又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【例2】设a ，b 2a b +，2ab a b +的大小关系是 ．【难度】★22a b aba b+≥≥+ 【解析】∵222a b ab +≥，∴()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，∴()2222a b a b ++≥，即22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，2a b+≥当且仅当a b =时等号成立∵2ab a b =+a b =时等号成立，又2a b+≥a b =时等号成立，22a b ab a b +≥≥≥+，当且仅当a b =时等号成立【例3】（多选题）设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（ ）A ．4a b +≥B ．228a b +≤C ．111a b+≥D ≤【难度】★★ 【答案】AC【详解】A 选项，由基本不等式得4a b +≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，1,4a b ==时，4ab =，但22178a b +=>，B 选项错误.C 选项，由基本不等式得111a b +≥，，当且仅当11,2a b a b ===时等号成立，C 选项正确.D 选项，1,4a b ==时，4ab =3=>D 选项错误.【例4】希罗平均数（Heronianmean ）是两个非负实数的一种平均，若a ，b 是两个非负实数，则它们的希罗平均数H =.记2a b A +=，G ，则,,A G H 从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 【难度】★★【例5】（多选题）若,R a b ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +≥B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A ，,R a b ∀∈，不等式222a b ab +≥成立，A 正确；对于B ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，0a b ，而0>，不等式不成 对于C ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，11a b +<0>，不等式不成对于D ，由,R a b ∈，且0ab >，得0,0b a a b >>，则2b a a b +≥=，当且仅当a b =时【例6】下列不等式恒成立的是（ ）A ．a b +≥−B ．a b +≤C ．222a b ab +≤；D ．222a b ab +≥−．【难度】★★ 【答案】D【详解】对于A ：取2a =−，1b ，则3a b +=−，−=−a b +<−故A 错误；对于B ：取2a =，1b =，则3a b +=，=a b +> 故B 错误；对于C ：取2a =，1b =，则225a b +=，24ab =，此时222a b ab +>. 故C 错误；对于D ：因为()22220a b a ab b +=++≥，所以222a b ab +≥−.题型三、利用基本不等式证明不等式【例1】已知实数,,a b c 均大于0，证明：()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++≥.【难度】★★【详解】()()()222222a b c b c a c a b +++++2226a bc b ac c ab abc ≥⋅+⋅+⋅=，当且仅当a b c ==时取等号，证毕.【例2】已知0m >，0n >，且1m n +=，求证：3311()1m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥．【难度】★★【难度】★★22x y时等号成立．【例4】（1）已知0a >，0b >，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a b c ++> 【难度】★★【详解】（1）()222222a b c a b c a b c b c a b c a b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2a b c ≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，所以222a b c a b c b c a++≥++.（2）()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++≥当且仅当a b c ==时等号成立，因为a ，b ，c 为不全相等的正实数，所以a b c ++>【例5】已知a 、b 、c 、d R ∈，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：（1）()()()22222a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++． 【难度】★★【例6】（1）设a ，b ，c ，d 为实数，求证：2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++； （2）已知,a b R ∈，求证：216536163aa b b +≤−++． 【难度】★★★【解析】（1）因为22222()2()a b c d ab bc cd ad +++−+++ 2222()()()()0a b b c c d a d =−+−+−+−≥，当且仅当a b c d ===时，等号成立， 所以22222()2()a b c d ab bc cd ad +++≥+++， 所以2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++； （2）因为22116261266a a a a+++≥⋅=，当且仅当2166a a +=，即1a =−时取等号， 所以1261113611266aa a a++=≤++，当且仅当2166a a+=，即1a =−时取等号， 因为2251311()63321212b b b −+=−+≥，综上216536163a ab b +≤−++．【巩固1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（ ） A ．54100x y +< B ．54100x y +≥ C ．54100x y +> D ．54100x y +≤【难度】★ 【答案】B【巩固2】若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >【难度】★ 【答案】C师生总结巩固练习【巩固3】已知14x y −<−<，23x y <+<则3x y +的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】()3,10【巩固4】（多选题）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（ ） A ．39x y <+< B ．13x y −<−<C ．218xy <<D ．1621xy <<− 【难度】★★ 【答案】ACD【巩固5】（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以2b a a b +≥=B ．因为3a >，所以44a a +≥=C ．因为<0a ，所以44a a +≥D ．因为,R,0x y xy ∈<，所以2x yx y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−=−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当0x y =−≠时，等号成立 【难度】★★ 【答案】ABD【详解】对于A ，,a b 为正实数，有0,0b a a b>>，且1b a a b ⋅=，又当且仅当a b =时，b aa b =成立，满足均值不等式的条件，A 正确；对于B ，44a a +≥=，当3a >时，40a >，且44a a ⋅=，显然不存在大于3的正数a使4a a =成立，所以44a a+>，B 正确； 对于C ，因为0a <，则40a<，不符合均值不等式成立的条件，C 错误；对于D ，,R,0x y xy ∈<，则0,0x y y x −>−>，且()()1x yy x−⋅−=，又当且仅当0y x =−≠时，x yy x−=−成立，满足均值不等式的条件，D 正确.【巩固6】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy、中最大的一个是 ． 【难度】★★ 【答案】x y +【解析】01x <<，01y <<，由基本不等式得222x y xy +≥；x y +≥又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【巩固7】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）． A．)0,02a ba b +≥>> B ．()22200a b ab a b +≥>>，C()20,011a b a b≥>>+ D()002a b a b +>>，【难度】★★ 【答案】B【解析】因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）【巩固8】若0,0a b >>，且a b ≠，则（ ）A ．2a b +>B ．2a b +<C 2a b+≤D 2a b+<【难度】★★ 【答案】BD【详解】0,0a b >>，且ab ，所以2222()()0244a b a b a b ++−−=>，即2a b +<A 错误，B 正确；所以a b +>2a b+<，故C 错误，D 正确.【巩固9】设0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A 2a ba b +<<< B ．2a ba b +<<<C 2a ba b +<< D ．2a ba b +<<< 【难度】★★ 【答案】D【详解】因为0a b <<2a b+<； 因为0,02222a b b a a b a ba b +−+−−=>−=<， 所以,22a b a b a b ++><，即2a b a b +<<，因为0a b <<，0a =>a >，因此2a ba b +<，【巩固10】比较大小： （1）22a b +和2(1)a b −−；（2）22b a a b+和a b +，其中0,0a b <<．【难度】★★【答案】(1)()2221a b a b +−−≥(2)22b aa b a b+≤+【详解】（1）因为()()()222221110a b a b a b +−−−=−++≥，所以()2221a b a b +−−≥；（2）因为0,0a b <<，所以()()()223333+−+=+++−+=−ab a b b a ab a b b a b a a b a b ab ab ab()()()()2220b b a a a b b a b a abab−+−−+==≤，所以22b a a b a b+≤+.【巩固11】（1）已知,,0a b e f c >>>，求证：f ac e bc −<−；（2）已知0,0a b c d >><<，求证：b aa cb d <−−； （3）已知0,0bc ad bd −≥≥，求证：a b c db d++≤. 【难度】★★【解析】（1）因为,0a b c >>，可得ac bc >，所以ac bc −<−， 又因为f e <，可得f ac e bc −<−. （2）因为0c d <<，所以0c d −>−>， 又因为0a b >>，所以0a c b d −>−>，可得110b d a c>>−−， 因为0a b >>，根据不等式的性质，可得a bb d ac >−−，即以b a ac b d<−−. （3）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+， 展开得ad bd bc bd +≤+，即ad bc ≤，即0bc ad −≥， 又因为0bc ad −≥，所以a b c db d++≤.【巩固12】已知a 、b 1【难度】★★【解析】因为a 、b 是正数，1=≥=当且仅当a b =时，等号成立，1≥+【巩固13】一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为2m a ，2m b ．（1）若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为2220m ，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；（2）若同时增加窗户面积和地板面积各2m n ，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【难度】★★【答案】(1)20；(2)变好了，详细见解析.【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为22m ,m a b ，则10%220ab a b ⎧≥⎪⎨⎪+=⎩，所以1010%ab a ≤=，所以22010a b a a +=≤+，所以20a ≥. 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a 和b 分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0,0a b n <<>， 则()()()n b a a n a ab bn ab an b n b b b n b b n −++−−−==+++. 因为0,0b n >>，所以()0b b n +>. 又因为a b <，所以()0n b a −>. 因此0a n a b n b +−>+，即a n ab n b+>+. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.【巩固14】（1）已知x 、y 都是正数，求证：()()()2233338x y x y x y x y +++≥；（2）已知0a >，0b >，0c >，求证：bc ac aba b c a b c++≥++． 【难度】★★当且仅当x y =时，等号成立． （2）∵0a >，0b >，0c >，∴2bc acc a b+≥，2bc ab b a c +≥，2ac ab a b c +≥， ∴()22bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，故bc ac aba b c a b c ++≥++，当且仅当bc ac ab a b c==，即a b c ==时等号成立．【巩固15】已知a ，b 都是正数.（1）若1a b +=，证明：4+≥b a a b ab ； （2）当a b ≠时，证明：+>+a a b b b a a b . 【难度】★★【详解】（1）证明：由于a ，b 都是正数，()11ab b a b a a b ab ab a b++==+()112224b ab aa b ab a b a b⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当14a b ==时等号成立.所以4+≥b a a b ab . （2）证明：()()()a a b b b a a b a a b b a b +−+=−−− ()()()()2a b a b a ba b =−−=−+.因为a b ，0,0a b >>，所以()20a b−>，0a b +>，所以+>+a a b b b a a b成立.【提升1】已知0a >，0b >，且2a b +=，证明： （1）222a b ab +≤；（2）33211a b b aa b +++≥++． 【难度】★★★能力提升【解析】（1）()222a b ab ab a b ab +=+=，因为0a >，0b >，2a b =+≥01ab <≤，当且仅当1a b ==时等号成立， 所以222a b ab +≤；（2）()()()()3333332222111111a ab b a a b b a b b a a b a b a b −+−++−+−+++=+=+++++++ ()()()()22112112221111a a ab b b a b a b a b a b +−++−+=+=+−−++++++ ()()()()222221122221111a b a b a b ab a b a b ++⎛⎫=+++−=+−+− ⎪++++⎝⎭ 88222213ab ab ab a b ab =−+=−+++++，由（1）有01ab <≤，有34ab +≤，1ab −≥−，有1134ab ≥+，22ab −≥−， 有8122822234ab ab −+≥⨯−+=+，当且仅当1a b ==时等号成立， 所以33211a b b aa b +++≥++．。
高中数学不等式知识点总结教师版
高中数学不等式知识点总结教师版一、基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中一种重要的关系，是一个数与另一个数之间的大小关系的表达方式。
2.不等式的性质：不等式具有传递性、对称性和加法性。
-传递性：若a>b,b>c，则a>c。
-对称性：若a>b，则b<a。
-加法性：若a>b，则a+c>b+c。
3.常见的不等式符号：>,<,≥,≤。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义：一元一次不等式是形如 ax + b > 0 或ax + b < 0 的不等式，其中 a, b 是实数，且a ≠ 0。
2.一元一次不等式的解法：分为以下几步：-将不等式转化为等式求解，得到等式的解集。
-判断等式解集与原不等式的关系，得到不等式解集。
3.一元一次不等式的图像：可利用数轴来表示一元一次不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义：一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0 或ax² + bx + c < 0 的不等式，其中 a, b, c 是实数，且a ≠ 0。
2.一元二次不等式的解法：-利用一元二次不等式的图像法，即通过绘制一元二次函数的图像来确定不等式的解集。
-利用一元二次不等式的求根法，即通过求解一元二次方程来确定不等式的解集。
3.一元二次不等式的图像：可利用平移、压缩、翻折等方法，通过一元二次函数的图像形状来确定其解集。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是形如x-a，>b或，x-a，<b的不等式，其中a,b是实数，且b>0。
2.绝对值不等式的解法：-对于，x-a，>b形式的不等式，可拆分为两个一元一次不等式求解，并求得并集。
-对于，x-a，<b形式的不等式，可利用绝对值的定义，得到不等式的解集。
3.绝对值不等式的图像：可利用数轴来表示绝对值不等式的解集。
利用基本不等式求范围的四个典例 教师版
1
1
2 6 (3 y
8
32
)
4
2 ，当且仅当 x 2
2 1, y 3 2
2 取等号
3 y
【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解.
28k 2 40k 4 2 4k 6k 2 2
，令 g (k)
0 ，得k
4
2 5 ， 7
∵ g(k) 在(0, 4 2 5) 上递减，在( 4 2 5 ,1) 上递增，
7
7
∴g k
g(4
2 5) 3 2
2
，∴
2
1
32 2
的最小值
；
min
7
4
x 3y x y
2
；
【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本
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不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考 虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行.
点评：换元更好：令 x 3y m,
1 b
1，则 1 a 1
4 的最小值为 b 1
.
答案：4 ； 1 1 1，得a b 4 ，∴[(a 1) (b 1)]( 1 4 ) 5 b 1 4(a 1) 9 ，
ab
a 1 b 1
a 1 b 1
好像不对？
点评：如果a b 4 ，则可以做；
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2016-2017普集高中10月月考卷3考试范围：基本不等式；考试时间：100分钟；命题人：张老师一、选择题1．下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．1y xx =+ B ．2y =C ．y =D ．3log log 3(0,1)x y x x x =+>≠【答案】B 【解析】试题分析：A ．对于函数1y x x=+，当0<x 时，0<y ，不满足函数的最小值等于2，故排除A ；B ．对于函数211111112222222≥+++=+++=++=x x x x x x y ，当且仅当11122+=+x x ，即0=x 时等号成立，故其最小值为2；C ．对于函数y =42+x 和412+x 不能相等，故有2>y ，故排除C ；D ．对于函数3log log 3(0,1)x y x x x =+>≠，当10<<x 时，0<y ,故不满足函数的最小值等于2，排除D.故选B ． 考点：基本不等式.2．函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上，则14m n+的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.25【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()13x f x a -=+得图象过一个定点P ，所以P 的坐标为()1,4，又因为点P在直线10mx ny +-=上，所以41m n +=，()141444417n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++⎪⎝⎭1725≥+=，14m n ∴+得最小值是25，故选D.考点：1、指数函数的性质；2、基本不等式求最值. 3．如果，4log log 33=+n m 那么m+n 的最小值是（ ） A.4 B.34 C ．9 D ．18 【答案】D 【解析】试题分析：4log log log 333==+mn n m ，所以43=mn ，而182=≥+mn n m ，故选D.考点：基本不等式 4．若直线1x ya b+=（a>0,b>0）过点（1,1）,则a+b 的最小值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】试题分析：∵直线1x y a b +=（0>a ，0>b ）过点()1,1，∴111=+ba ．则()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭224b a a b =++≥+=，当且仅当2==b a 时取等号．故答案为：C ． 考点：基本不等式.5．已知0a >，0b >.3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．1D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由题意233a b ⋅=，所以1a b +=，则1111()()2a ba b a b a b b a+=++=++24≥+=（当且仅当a b =时等号成立），即最小值为4．故选B ． 考点：基本不等式．【名师点睛】求二元函数的最值问题，基本方法是应用基本不等式，但要注意基本不等式的条件，本题应用“1”的代换法，把11a b +变为11()()a b a b++展开后，凑出了基本不等式的条件：定值，然后才可应用它得出结论，在应用基本不等式时一定要注意． 6．已知1>x ，则函数11)(-+=x x x f 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，因为1>x ，所以10x ->，则11)(-+=x x x f 1(1)11x x =-++-13≥=，当且仅当111x x -=-时，即2x =时等号的是成立的，故选C ． 考点：基本不等式的应用．7．若正数,x y 满足35x y xy +=，则43x y +取最小值时y 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：∵正数,x y 满足35x y xy +=，∴3311555x y xy y x+=+=，∴()31434355x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131231355555x y y x =++≥+=，当且仅当12355x y y x =即12x =且1y =时取等号，∴43x y +取最小值时y 的值为1，故选A ． 考点：基本不等式的应用．8．已知0,0a b >>且21a b +=，若不等式21m a b+≥恒成立，则m 的最大值等于（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】B 【解析】试题分析：212122()(2)559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=,当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立，所以21a b +的最小值为9，又因为21m a b+≥恒成立，所以9m ≤，即m 的最大值为9，故选B. 考点：基本不等式.【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，中档题；就用基本不等式求最值时要保证所用的两个数均为正数、和或积为定值、且两个数相等，才能取到最大值或最小值，三者缺一不可，在求最值过程中，有时还需要配凑系数或进行适当变形，如本题中的变形212122()(2)5b aa b a b a b a b+=++=++. 9．设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为 A.22 B.22+1 C.22+2 D.22+3【答案】D 【解析】 试题分析：()212122133b a ab a b a b a b b a b a a b ⎛⎫∴=+∴+=∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=时等号成立，所以最小值为3+ 考点：不等式性质10．函数()04)(2>+=x xx x f 的最小值为（ ）A.2B.3C.D.4 【答案】D 【解析】试题分析：()4424=⋅≥+=x x x x x f ，等号成立的条件为()04>=x xx ，即当2=x 时，函数的最小值为4，故选D. 考点:基本不等式11．如果实数,x y 满足4x y +=，则22x y +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】C 【解析】试题分析：因4)2(2222=+≥+y x y x ，故22x y +8≥，所以应选C. 考点：基本不等式及运用．12．已知3x+y=10,则的最小值22y x +为（ ）A ．101B ．10C ．1D ．100 【答案】B 【解析】试题分析：()222221031060100x y x x x x +=+-=-+,结合二次函数性质可知函数最小值为10考点：函数求最值13．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（ ）A ．8M ≥B ．118M ≤<C ．18M ≤<D ．108M ≤< 【答案】A 【解析】试题分析：因为1a b c ++=，所以111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝(1)(1)a b c a b ca b++++--（1a b cc++-）＝()()()88b c a c a b ab bc ac abc +++≥=，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选A.考点：基本不等式．二、填空题 14．当时，函数224x x y x++=的最小值为_____________。
【答案】6. 【解析】试题分析：由已知0x >得，函数22444226x x y x x x x x ++==++≥=g ，所以函数224x x y x++=的最小值为6.故答案为：6. 考点：均值不等式.15．已知0x <，求21x y x+=的最大值= .【答案】-2. 【解析】试题分析：由0x <，则2112x y x x x +==+≤-=-. 故答案为：-2. 考点：均值不等式.16．已知正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为______. 【答案】9 【解析】试题分析：因为y x ,为正数，且22=+y x ，95822582)2)(81(8=+⋅≥++=++=+xyy x x y y x y x x y xy y x ， 当且仅当344==y x 时，等号成立，所以xy y x 8+的最小值为9.考点：基本不等式 17．设01x <<，则141x x+-的最小值为______________. 【答案】9 【解析】 试题分析：因为01x <<，所以011x <-<，则141414()[(1)]14111x xx x x x x x x x-+=+--=+++---59≥+=，当且仅当14113x x x x x -=⇒=-时，等号成立，故141x x+-的最小值为9.考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中把141414()[(1)]14111x xx x x x x x x x-+=+--=+++---，在利用基本不等式求得最小值，其中灵活利用011x <-<是解答本题的关键. 18．若对0,0x y >>，有21(2)()x y m x y++≥恒成立，则m 的最大值为 . 【答案】8 【解析】试题分析：21(2)()x y m xy ++≥恒成立min21(2)()0,0x y m x y x y ⇔++≥>>Q214(2)()448y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当20x y =>时取等号8m ∴≤考点：基本不等式 19．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】()(),14,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.三、解答题20．求证：（1）222a b c ab ac bc ++≥++;（2）>【答案】详见解析 【解析】试题分析：证明不等式可用综合法和分析法，结合特点可知（1）中证明时可利用不等式性质利用综合法证明，（2）中不等式证明时可采用分析法试题解析：（1） ∵222a b ab +≥,222a c ac +≥，222b c bc +≥将此三式相加得2222()222a b c ab ac bc ++≥++,∴原式成立（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2即证402422>。