连续介质力学练习2
连续介质力学
1. 推导（2.8.10）后两式第二式：T T Xi F F G g G g G g G g g g F l kkK kK k KK T T ki k K k K j K K K j x x t t X X tv x v X X x <><><>>>⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎪==⊗=⊗ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⊗=⊗⊗= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭（1）或Tl F FT-T>>><<>=得到0TT Tl F F F F F F T-T-T-T>>><<>><<>><<>===+ （2）⇒TTF F F FT -T<><>><<>=- （3）（我这一步得到的和书上有点差别，为什么呢？）第三式： 由（1）、（3）得到TT F F F F F lT -TT T<><>><<><>>>=-=由（2）、（3）得到TTTFF F Fl F-T-T T ><><<>><>>><--=-=-2.推导（2.8.16）后两式第三式： d d d d d div d v VvVv v=∴===v J J J J第四式：d d Tv FA ><><-= Jd d d TTvF A F A ><><><<--∴=+J J(这步最右式和书上的也不同)d d d div d d tr d d T T T T TTv F A F A F A F A d F A FA ><><><><><<<<----><><>><<--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭v J J J J JT tr tr TTd l Fl F><>>><>>>>--⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,（2.8.10）T d tr d d T T v l F A l F A ><>>><>>><<--⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭J3．证明第二单元章后习题变形基本定理：FV R R U ==R 为转动张量，且是正交张量T V R U R ⇒=U V ⇒、互为正交相似矩阵，因而有相同的特征值记,k K k k k k UN N V n n λλ=⊗=⊗T V R U R =k k k ij i j K k k i j ji R R n n e e N N e e λλ⇒⊗=⊗⊗⊗令k ij i j K k R n e e N λ=⊗证得k k n R N =4．简要说明四类应力的共同点和差异点（1）Cauchy 应力张量，kirchhoff 应力张量，第二类P-K 应力都是对称张量，而第一类P-K 应力无所谓对称性。
《连续体力学》习题及解答2_工学_高等教育_教育专区.doc
2二阶张量及其若干运算法则（一）概念.理论和公式提要2-1张量的乘法① 张量的外乘（并乘）张量的外乘用0表示，其外积为张量，其阶数等 于外乘诸张量阶数之和。
② 张量的内乘（点乘）张量的点乘用匕”表示（有时也可省去“•” ）, 其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。
③ 张量的双点乘记作“：”（两次点乘），例如A ：B ；其积为张量，其阶 数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。
设A 为CT （m ）, B 为CT （〃），C 为CT （p ）, 则A ：B ：C =D 9 D 为 CT （m + 斤 + p - 2 x 4）（2-1-1） 取加=4, n = 4, p = 2,则D 为CT （2）,其分量为D a = A ij inn B ,nn r P C r P （2T-2）其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标，B 分量的后两个指标与C 分 量的询两个指标依次相同O二阶张量T 的范数记为||7|定义为T ：T = 为正方根，且有||T|| > 0,只当T = o 吋才取等号|a r|| = |a|||T||, |a|为标量◎的绝对值 ||r+i?||<||r||+W T ：国聊|・|网 |八忤制问为矢量"的模，/?亦为二阶张量。
⑤ 设A 和B 分是是CT0）和CT （" 则4和B 外积的s 次缩拼为张量C ,记为C S A®B = CC 为O + / - 25）阶张量，其分量关系为(2-1-3) (2-1-4)(2-1-5)(2-1-6)(2-1-7)C ij …mn — Aj ……k$B k'kfks. 反Z,如果已知B 和C 为张量，其分量与带指标的量务•满足上式，则务•为张 量A 的分量，称为商法则或张量识别定理。
A 的阶数等于C 的阶数加减去 B 的阶数。
特别地当s = t, B 的分量的全部指标都是哑标时，则A 的阶数等于B 和c 的阶数Z 和。
大连理工研究生连续介质力学作业题
f = xT Ax ， grad（f ）= ∂x T Ax = 2Ax ∂x
f ′ = (RT x′)T ART x′ = x′T RART x′
grad(f' ) = ∂x′TRART x′ = 2RART x′ ∂x′
= 2RA(RT x′) = 2RAx = R ⋅ 2Ax = R ⋅ grad(f)
（3） a1 = p, a 2 = q, a3 = r
⎡2 0 1⎤ 由[gij ] = ⎢⎢0 4 2⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦ 及 ai = gij a j 得 a1 = 2 p+ r, a2 = 4 q+ 2 r, a3 = p+ 2 q+ 2 r
1
2. 已知笛卡尔坐标系 e1 , e3 , e3 ，一个新的坐标系定义为
2 3
x2'
+
2 3
x2'
−
4 3
x2'
+
2 3 x3' 4 3 x3' 2 3 x3'
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
= grad（f ′）
3
3.
二维情况下，一质点应力张量 σ 主值 λ1σ = 1.6 ， λσ2 = 2.3 。主方向 N1 =
3 2
e1
−
1 2
e2
，
N2
=
1 2 e1
+
3 2
e
（2） 求向量 x 参考新坐标系的表示形式 x = xi′ ei′ （3） 求函数 f 在新的坐标系下的表达形式 f ′(x1′ , x2′ , x3′ ) （4） 判断 grad（f ）的客观性。
¾ 解答：
（1） grad（f ）＝ (2 x1 , 0, − 2 x3 )T
连续介质力学-2d
度
23
量
H
=
1 2
ln(I
+
2E)
=
ln(I
+
E工 )
=
1 2
(2E
−
1 2
(2E)2
+
1 (2E)3 3
− ...)
=
E工
−
1 2
E工2
+
1 3
E工3
−
...
Green应变,工程应变和对 数应变张量之间的关系
18
第 二
同理, 对参考构形中随体坐标系{ xi, t0 }变形状态的描
章 述还可定义工程应变张量 e工和对数应变张量 h ：
(C AB
− GAB )
(2.69)
应
称为Green应变张量
变
度 量
Green应变张量 E 是对当前构形中随体坐标系
{ XA, t }的变形状态描述,称为空间应变张量。
—
E的主方向：Lα ,α = 1,2,3
E的主值：
1 2
( λ α2
− 1), α
= 1,2,3
14
第 二 章
任取变形前在参考构形R中的单位矢量 L ，记
L ⋅ E ⋅ L 为Green应变张量在 L方向的法分量：
变 形 和 运
∴L ⋅ E ⋅ L = 1 (L ⋅C ⋅ L − L ⋅ I ⋅ L) 2
=
1 2
(λ2L
−1)
=
ds2 − dS 2dS 2
2
(2.70)
动
2.考虑{ xi, t0 }
{xi} 线元长度的改变(E描述)：
—
应 ds2 − dS 2 = dx ⋅ i ⋅ dx − dx ⋅ c ⋅ dx = dx ⋅ (i − c) ⋅ dx
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
(完整版)流体力学练习题
、选择题1、连续介质假设意味着 B 。
（A）流体分子互相紧连；（B）流体的物理量是连续函数;（C）流体分子间有间隙；（D）流体不可压缩2、静止流体A—剪切应力。
（A）不能承受；（B）可以承受；（C）能承受很小的；（D）具有粘性是可承受3、温度升高时，空气的粘度 B 。
（A）变小；（B）变大；（C）不变；（D）可能变大也可能变小4、流体的粘性与流体的D_ 无关。
（A）分子的内聚力；（B）分子的动量交换；（C）温度；（D）速度梯度5、在常温下，水的密度为 D kg/m3。
（A）1 ；（ B）10 ；（ C）100；（ D）1000 6水的体积弹性模量A 空气的体积弹性模量。
（A）大于；（B）近似等于；（C）小于；（D）可能大于也可能小于7、C的流体称为理想流体。
（A）速度很小；（B）速度很大；（C）忽略粘性力；（D ）密度不变8、D—的流体称为不可压缩流体。
（A）速度很小；（B）速度很大；（C）忽略粘性力；（D）密度不变9、与牛顿内摩擦定律直接有关系的因素是 B（A）切应力和压强；（B）切应力和剪切变形速率;（C）切应力和剪切变形；（D ）切应力和速度。
10、水的粘性随温度升高而 B（A）增大；（B）减小；（C）不变；（D）不确定11、气体的粘性随温度的升高而A（A）增大；（B）减小；（C）不变；（D）不确定。
12、理想流体的特征是C（A）粘度是常数；（B）不可压缩；（C）无粘性；（D）符合pV=RT。
13、以下关于流体粘性的说法中不正确的是（B ）粘性是流体的固有属性；粘性是在运动状态下流体具有抵抗剪切变形速率能力的量度; 流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重作用;流体的粘性随温度的升高而增大。
14、按连续介质的概念，流体质点是指 D（A）流体的分子；（B）流体内的固体颗粒；（C）无大小的几何点; （D）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。
15、理想流体与实际流体的主要区别在于（A ）o（A）是否考虑粘滞性；（B）是否考虑易流动性;（C）是否考虑重力特性；（D）是否考虑惯性16、对于不可压缩流体，可认为其密度在流场中（D ）（A）随压强增加而增加；（B）随压强减小而增加（C）随体积增加而减小；（D ）与压强变化无关17、液体与气体都是流体，它们在静止时不能承受（（A）重力；（B）压力；（C）剪切力；（D ）表面张力C ）o18、下列流体的作用力中，不属于质量力的是（B（A）电磁力；（B）粘性内摩擦力；（C）重力；（D）惯性力19、在连续介质假设下，流体的物理量（ D ）0（A）只是时间的连续函数；（B）只是空间坐标的连续函数;（C）与时间无关；（D ）是空间坐标及时间的连续函数20、用一块平板挡水，平板形心的淹深为h e,压力中心的淹深为h D,则h c A h D。
连续介质力学1-3
3. 对称张量与反对称张量 命题一、对称性与反对称性与坐标系无关。 命题一、对称性与反对称性与坐标系无关。 证明： 证明：
Ti′j′ = β i′m β j′nTmn T j′i′ = β j′m β i′nTmn
命题二、 命题二、任意二阶张量可以唯一分解成一个对称 张量与一个反对称张量之和。 张量与一个反对称张量之和。 证明： 证明： 存在性 唯一性
证明： 证明：I 12 = (λ1 + λ2 + λ3 )
2
2 = λ1 + λ2 + λ2 + 2 λ1 λ 2 + λ 2 λ 3 + λ 3 λ1 2 3
(
) (
)
ˆ = T2
( )
kk
+ 2I2
§3-3 二阶实对称张量 ˆ的三个主值都是实数。 1. T的三个主值都是实数。 v v v 证明： 为主值， 是主方向， ˆ 证明：λ为主值，x是主方向，即T • x = λx v v ˆ • x # = λ# x # 则T v ˆ v# v 或x • T • x ˆ对称， ˆ v ˆ Q T对称，故T • x # = x # • T v# ˆ v = x •T • x v# ˆ # v# ∴ x •T = λ x v v v ˆ v x # • T • x = λ# x # • x
Tij a j = β ii ′ β jj′Ti ′j′ β jk ′ ak ′ = β ii ′δ k ′j′Ti ′j′ a k ′ = β ii ′Ti ′k ′ ak ′
λa i = λβ ik ′ a k ′ β ii ′Ti ′k ′ a k ′ = λβ ik ′ ak ′ β im′ β ii ′Ti ′k ′ ak ′ = λβ im′ β ik ′ ak ′
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
连续介质力学习题二答案
连续介质力学习题二答案连续介质力学是力学中的一个重要分支，研究的是连续介质的宏观性质和行为。
在学习连续介质力学的过程中，习题是不可或缺的一部分。
下面将为大家提供一些连续介质力学习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 一个均匀的弹性杆，长度为L，横截面积为A，杨氏模量为E。
如果在杆的一端施加一个拉力F，另一端固定，求杆的伸长量。
解答：根据胡克定律，弹性杆的伸长量与施加的拉力成正比。
所以，伸长量可以用下面的公式表示：ΔL = (F * L) / (A * E)其中，ΔL表示伸长量，F表示施加的拉力，L表示杆的长度，A表示横截面积，E表示杨氏模量。
2. 一个圆柱形的液体容器，底面半径为R，高度为H。
如果在容器的底部施加一个压力P，求液体容器内部的压强分布。
解答：液体容器内部的压强分布可以用下面的公式表示：P(z) = P + ρ * g * z其中，P(z)表示液体容器内部距离底部高度为z处的压强，P表示底部施加的压力，ρ表示液体的密度，g表示重力加速度。
3. 一个均匀的弹性球体，半径为R，杨氏模量为E。
如果在球体的表面施加一个压力P，求球体的压缩量。
解答：根据胡克定律，弹性球体的压缩量与施加的压力成正比。
所以，压缩量可以用下面的公式表示：ΔR = (P * R^3) / (3 * E)其中，ΔR表示压缩量，P表示施加的压力，R表示球体的半径，E表示杨氏模量。
4. 一个均匀的弹性体，体积为V，体积弹性模量为K。
如果在弹性体的体积上施加一个压力P，求弹性体的体积变化量。
解答：弹性体的体积变化量可以用下面的公式表示：ΔV = -(P * V) / K其中，ΔV表示体积变化量，P表示施加的压力，V表示弹性体的体积，K表示体积弹性模量。
以上是一些连续介质力学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
在学习连续介质力学的过程中，多做习题是非常重要的，通过解答习题可以加深对理论知识的理解和运用。
同时，也希望大家能够在学习中保持耐心和积极性，相信通过不断的努力，一定能够掌握连续介质力学的知识。
连续介质力学习题二
连续介质力学习题二二．变形与运动2-1 如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变，则称这样的运动为刚体运动，试证：物体的运动若为刚体运动，则参考构形中的物质点X变换到当前构形中的空间位置x时，必满足：)()()(t a A X t Q x +-⋅=，其中)(t Q 为正常正交仿射量。
2-2 现取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e，有一物体的变形为：33222011,,X x X x X k X x ==+=，试写出以下各量：1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ；2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B的三个主不变量；3）写出C 和B的特征方程，并求出三个特征值αη和相应的特征方向αL 和αl)3,2,1(=α。
4）试给出极分解R V F ⋅=中的左伸长张量V 和正交张量R的矩阵表示。
2-3 现取物质坐标系}{A X 为直角坐标系{X ，Y ，Z}，空间坐标系}{i x 为圆柱坐标系},,{z r θ，令z 轴与Z 轴重合，0=θ与X 轴重合，图示长方体发生纯弯曲，题2-3图变形满足),(X r r =),(Y θθ=)(Z z z =，且存在逆关系：),(r X X =，),(θY Y =)(z Z Z =，试写出以下各量：1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ；2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B的三个主不变量；3）写出C 和B的特征方程，并求出三个特征值αη和相应的特征方向αL 和αl)3,2,1(=α。
2-4 现取空间坐标系}{i x 为直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e，有一物体的小变形位移场为3212323213131))(())((e x x e x x x x e x x x x u-+++--=，试求：（1）P （0，2，-1）点的小应变张量e ，小转动张量Ω 及其反偶矢量ω； （2）求P 点在9/)48(321e e e+-=ν方向上的线应变；（3）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν和9/)744(321e e e-+=μ二方向上的直角的变化量。
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(c) The expression ti = Sij nj is a valid indicial notation expression, for which i is a free index (giving 31 = 3 equations) and j is a dummy index pair (giving 1 + 31 = 4 terms per equation). The corresponding expanded equations are t1 = S11 n1 + S12 n2 + S13 n3 , t2 = S21 n1 + S22 n2 + S23 n3 , t3 = S31 n1 + S32 n2 + S33 n3 . (d) The expression ti = Sij ni is not a valid indicial notation expression. The index i looks like a free index on the left-hand side and looks like a dummy index pair on the right-hand side and the index j appears in only the term on the right-hand side. (e) The expression Sij = 2µEij + λEkk δij is a valid indicial notation expression, for which i and j are free indices (giving 32 = 9 equations) and k is a dummy index pair (giving 1+1+31 = 5 terms per equation). The corresponding expanded equations are S11 = 2µE11 + λ(E11 + E22 + E33 )δ11 , S12 = 2µE12 + λ(E11 + E22 + E33 )δ12 , S13 = 2µE13 + λ(E11 + E22 + E33 )δ13 , . . . S33 = 2µE33 + λ(E11 + E22 + E33 )δ33 . (f) The expression xi xi = ρ2 is a valid indicial notation expression, with no free indices (giving 30 = 1 equation) and for which i is a dummy index pair (giving 31 + 1 = 4 terms). The corresponding expanded equation is x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 = ρ2 , or, equivalently,
ME2004 Elasticity Homework #2 Solution Set Problem 2.7 (a) For the expression Ams = bm (cr − dr ) [which can be rewritten as Ams = bm cr − bm dr ], the index m is a free index since it appears once in each term. However, the indices s and r are inconsistent—they are neither free indices nor do they form dummy index pairs. Thus, there is no unambiguous way to expand this expression. This expression is not a valid indicial notation expression. (b) The expression Ams = bm (cs − ds ) is a valid indicial notation expression, for which m and s are free indices (giving 32 = 9 equations) and there are no dummy index pairs (so there are 3 terms per equation). The corresponding expanded equations are A11 = b1 (c1 − d1 ) , A21 = b2 (c1 − d1 ) , A31 = b3 (c1 − d1 ) , A12 = b1 (c2 − d2 ) , A22 = b2 (c2 − d2 ) , A32 = b3 (c2 − d2 ) , A13 = b1 (c3 − d3 ) , A23 = b2 (c3 − d3 ) , A33 = b3 (c3 − d3 ) .
ijk ai bj ek ) ·
(
pqr cp dq er )
ijk pqr ai bj cp dq (ek ijk pqr ai bj cp dq δkr ijk pqk ai bj cp dq
· erห้องสมุดไป่ตู้)
= (δip δjq − δiq δjp )ai bj cp dq = ai bj ci dj − ai bj cj di = (ai ci )(bj dj ) − (ai di )(bj cj ) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c) .
ijk pqr
= ei , ej , ek ep , eq , er ei · ep ei · eq = det ej · ep ej · eq ek · ep ek · eq δip δiq δir = det δjp δjq δjr δkp δkq δkr
ei · er ej · er ek · er .
3
2
Problem 2.11 (a) Using contraction, the substitution property of the Kronecker delta, and the identity δkk = 3, it follows from (2.97) that δip δiq δik ijk pqk = det δjp δjq δjk δkp δkq δkk = 3(δip δjq − δiq δjp ) + δkq (δik δjp − δip δjk ) + δkp (δiq δjk − δik δjq ) = 3(δip δjq − δiq δjp ) + δiq δjp − δip δjq + δiq δjp − δip δjq = δip δjq − δiq δjp . (b) If follows from contraction of part (a) that
2 2 2 x2 1 + x2 + x3 = ρ .
1
(g) The expression Brs = hr (ds − hs Krr ) [which can be rewritten as Brs = hr ds − hr hs Krr ] is not a valid indicial notation expression, because the index r is not consistent. (In the second term on the right-hand side, is r a free index of a dummy index pair? It cannot be both.) (h) The expression Bij cj = 0 is a valid indicial notation expression, for which i is a free index (giving 31 = 3 equations) and j is a dummy index pair (giving 31 + 1 = 4 terms per equation). Note that this is an example of the one exception to the general rule that a free index must appear once and only once in every term of a valid indicial notation expression—the numerical value “0” on the right-hand side is assumed to carry over to each equation. The corresponding expanded equations are B11 c1 + B12 c2 + B13 c3 = 0 , B21 c1 + B22 c2 + B23 c3 = 0 , B31 c1 + B32 c2 + B33 c3 = 0 . Problem 2.9 Noting that det[A] det[B ] = det([A][B ]T ), it follows from (2.95) that a1 a2 a3 d1 d2 d3 a, b, c d, e, f = det b1 b2 b3 det e1 e2 e3 c1 c2 c3 f1 f2 f3 a1 a2 a3 d1 e1 f1 = det b1 b2 b3 d2 e2 f2 c1 c2 c3 d3 e3 f3 ai di ai ei ai fi = det bi di bi ei bi fi ci di ci ei ci fi a· d a· e a· f = det b · d b · e b · f . c· d c· e c· f Problem 2.10 Using (2.92) and (2.96), it follows that