指数函数的图像和性质
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指数函数图像及性质(上课 )
指数函数的定义： 函数形如 y a x (a 0且a 1)叫做指数函数， 其中X为自变量，定义域为R
例1、下列函数中，哪些是指数函数？
1
y4
x
2
x
yx
y4
x 1
4
3
y 4
4
二、实践操作，探求新知
动手画一画下列函数的图像：（1、2组画（1）、 （2），3、4组画（3）、（4））
五、小结归纳，拓展深化
（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识 ？
（2）你又掌握了哪些研究数学的学习方法？
六、布置作业,提高升华
(1)必做题 ：课本P73，1、2 (2)选做题：课本P77，4,5
指数函数及其性质
• 新知导学 • 1．指数函数的定义x a • 一般地，函数y＝_____(a＞0，且a≠1)叫做 指数函数，其中x是________ 自变量 ． • [名师点拨] 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的 结构特征： • (1)底数：大于零且不等于1的常数； • (2)指数：仅有自变量x； • (3)系数：ax的系数是1.
0.3
不同底数幂比大小 ，利用指数函数图像 与底的关系比较
不同底但同指数
6
1.70.3 与0.93.1
底不同，指数也不同
利用函数图像 或中间变量进行 比较
•2 •指数函数的图象问题 x和y＝(a－ • (1) 当 a ＞ 1 时，函数 y ＝ a •2 1)x2的图象只可能是( )
(2)图中的曲线是指数函数 y＝ax 的图象， 已知 a 的值取 3， 1 4 3 10，3，5四个值，则相应的曲线 C1，C2，C3，C4 的 a 的值依次 是( )
6．求下列函数的值域： (1)y＝2
指数函数图像及其性质
0
-1
定义域 值域
R 0,
性 质
（1）过定点（0,1） （2）在R上是增函数
（2）在R上是减函数
探究：比较下列数的大小
1.71x 0.94
x
1.71 1.71
3.1 1
2.5
4 0.94 0.94 1.2
同底数幂比较大小 利用图象的单调性
如何 比较
1、指数函数图象和性质
a>1
6
0<a<1
6 5 4
图 像
-4 -2
5
4
3
3
(0,1)
1 0
2
y=1
2 4 6
2
(0,1)
2 4
y=1
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
1
-4
-2
0
-1
-1
定义域
值域
0,
R
性 （1）过定点（0,1） 质 （2）在R上是增函数 （2）在R上是减函数
2、指数函数的大小比较
人教版高中数学必修1第二章第一节
2.1指数函数图象
及其性质
课前回顾
1、什么样的函数叫指数函数？
x y a (a 0且a 1) 叫做指数函数 一般地，函数 定义域为 R ，值域为(0,) 。
a 为何只
解析式的三 个特点！
能在此 范围内 取值？
指数函数的图象和性质
设问：得到函数图象一般的步骤是什么？研究函数一
…
8
x
4
2
1.4
1
0.71 0.5 0.25
0.13
…
11 x yy 22
y 3
指数,对数,幂函数的图像和性质
指数函数的图像是一条向上开口的曲线，通常表示为y=a^x（a>0，a≠1）。
指数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为1。
2.对于不同的指数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变指数函数的
指数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
3.对于相同的指数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。
对数函数的图像是一条向右开口的曲线，通常表示为y=loga(x)（a>0，a≠1）。
对数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为0。
2.对于不同的对数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变对数函数的
底数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
3.对于相同的对数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。
幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线，也可以是一条向右开口的曲线，通常表示为y=x^n（n为常数）。
幂函数的性质有：
1.当n>0 时，幂函数的图像是一条向上开口的曲线。
2.当n<0 时，幂函数的图像是一条向右开口的曲线。
3.当n=0 时，幂函数的图像是一条水平直线。
4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。
5.对于不同的幂函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变幂函数的指数，
则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
6.对于相同的幂函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸
缩。
指数函数y=2x和y=(12)x的图像和性质_课件
指数函数的概念
函数y=ax(a>0且a≠1)叫作指数函数,其中x是自变量,函 数的定义域是R.
为什么规定底数大于0且不等于1？
为了保证定义域为实数集，且具有单调性.
(1)如果a＝0,当x>0时,ax恒等于0;当x≤0时，ax 无意义； (2)如果a<0,对于x的某些值使ax无意义; (3)如果a＝1,则y＝1x＝1是一个常数,对它没有 研究的必要.
练习
1.下图是指数函数y=2x的图像,试由x的下列各值, 确定函数y的值(精确到0.1): -4, -2, -0.5, 0, 1.5, 3.
0.1 0.2 0.8 1.0 3.0 8.0
练习
2.利用下图,找出适合方程2x=5的近似解(精确 到0.1). 2x=5的近似解为2.4.
小结
指数函数 的概念
于0;20=(1/2)0=1;函数y=2x是R上的增函数,函数
y
1 2
x
是R上的减函数.
正整数指数函数y=2x(x∈N+)与指数函数 y=2x(x∈R)有什么相同与区别?
都是增函数 函数值都大于零
孤立点
y
36 32 28 24 20 16 12
8 4
O 246x
y
y=2x
8
光 滑
4
曲
2
线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
... -3 -3 -1 0 1 2 3 ...
...
1 8
1 4
1 2
12 48
...
... 8
1 4 21
8
1 4
1 2
...
再用描点法画出图像
指数函数图像及性质
指数函数图像及性质
指数函数图像的特征就是“J”形的曲线，它可用来表示水平和垂直运动的加速度和内能释放。
指数函数可以表示非常多种物理或生物学现象。
指数函数图像具有以下性质：
1. 指数函数图像以指数增长和指数衰减。
即曲线是从左向右张开的，以及从右向左收缩的。
2. 一般情况下，指数函数图像会通过坐标原点（0,0），如果不是，则说明指数函数图像是一条平行曲线。
3. 在每一个定义域，指数函数图像的斜率最大值为1，但是随着x的增加，它的斜率越来越小，趋近于0。
4. 在不同的定义域，指数函数图像的形状也有所不同，一般数学家会把它们分成“快速增长函数”和“减速函数”，其中前者的最大斜率大于1而后者的最大斜率小于1。
5. 对于指数函数图像，从右向左看斜率是负值，而从左向右看又会变成正值。
6. 有时候，指数函数图像会拐到右上或者右下方，这时候说明指数函数正在发挥它的作用。
7. 指数函数的绝对值有三种情况，即增加，减少和突然增加，这种情况受到外部因素的影响。
8. 指数函数图像在平行于y轴的负半轴上，其值会无限接近0，而在平行于y轴的正半轴上，其值会无限增长。
2.1.2指数函数图象及性质(二)
若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2－3 则得到函数 _________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
y
o
x
0 a 1, 1 b 1 0,
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二) y ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2
y
2
o -2
- x 1
x
所以当x＜0时, f ( x ) 2
主页
.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
1.图像过定点问题
由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经 过哪个定点？ (3, 3)
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经 过哪个定点？ ( 5, 0)
【2】函数 y a b=____. 1
x b
2 恒过定点(1,3)则
1 ) x12 2 x1 , f ( x ) ( 1 ) x22 2 x 2 , 则 f ( x1 ) ( 5 2 5
指数函数的图像及性质
∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系 是 ；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是
解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评： 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域 问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．
指数函数及其图像与性质_图文
小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴； （3）函数图象都经过（0,1）点； （4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关 系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？ （如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。 定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又 是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性 质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的； （2）x=0时，y=1； （3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ； （4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5
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它们的自变量都出 指现 数在 的位置 . 上
5
交流探讨、形成概念
问 题 二 ： 你 能 通 一过 次模 、仿 二 次 、 反 比 例 函 数 的 定 义 给 出 型这 函一 数新 的 定 义 吗 ？
指数函数的定义：
一般地，函数 y ax(a0,且a 1),叫做指数函 .
其中x是自变量，函数域 的是 定 R. 义
7
探求新知、深化理解
问 题 三 ： 要 研 究 函一 数种 ，新 如 何 研 究 ？ 从哪些角度研究？
研研究究函函数数的的一一般般思方路法：是：
用性质 解问题
函数的 定义
特殊的 函数
函数的 函数的 性质
图象
8
探求新知、深化理解
问 题 四 ： 研 究 一需个要函研数究 它 的 哪呢些？性 质
定义域
3.1.2 指数函数
酉阳县第一中学校 文晓祥
1
棋盘上的麦粒
在印度有一个古老的传说：舍罕王 打算奖赏国际象棋的发明人--宰相 西萨·班·达依尔。国王问他想要什么， 他对国王说："陛下，请您在这棋盘的第1个小格里， 赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给 4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这 样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人 吧!"国王觉得这要求太容易满足了，命令给他这些 麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿 来，也满足不了那位宰相的要求。
思1 考 . 为什么规a 定 0且 底 a1数 呢？
6
小试牛刀、巩固概念
思考 2 . 下列函数哪些是指数
函数？哪些不是，为什
么？
（ 1） y 4 x ; ( 2 ) y 4 x ;
(3) y (4)x; (4) y 4 x 2;
(5) y x 4; (6) y x x;
(7) y (2a 1) x (a 1 且 a 1) 2
特殊点
对称性
值域
单调性
奇偶性
9
探求新知、深化理解
问题五：指数函 象数 什的 么图 样？有怎 质样 呢的 ？
选择前面引例中的 函数y 2x与y (1)x
2
10
探求新知、深化理解
通过列表、描点、连线的方法画出
指数函数 y 2 x与 y ( 1 ) x 的图象．
2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
2x
…1 8
1 4
1 2 1 2 4 8…
(1 )x 2
…
8
4
2
1
1 2
1 4
1 8…
11
探求新知、深化理解
通过列表、描点、连线的方法画出
指数函数 y 2 x与 y ( 1 ) x 的图象．
2
12
探求新知、深化理解
yax(a0,a1)
0a1
a 1
y
•
1
o
x
y
1•
o
x
R
R
(0,)
(0,)
单调递减
4
(3) (4)0.23 3
( 3 ) 0.25 4
16
归纳总结、知识升华 知识 上
（（（ 三二一 ））） 简图图指 单象象数 应及及函 用性性数 ；质质的 的；定
义 ；
.
方法 上
（（（ 三二一 ））） 研数分 究形类 函结讨 数合论 的；； 方 法
17
感谢您的指导！
酉阳县第一中学校 文晓祥
18
总数为：=18446744073709551615(粒) ，1000粒约40克 麦粒有7000多亿吨（现每年全球的小麦总量约6.5亿吨）
2
《庄子 天下篇》
庄子
3
x x
交流探讨、形成概念
1．现在假设棋盘上第一格给2粒麦子，第二格给4粒，第
三格给8粒……，到第 x格时，请写出给的麦子粒数 y 与格子数 x的关系式。
单调递增
非奇非偶函数 非奇非偶函数
(0,1)
(0,1)
13
探求新知、深化理解
函 数y (0.999 )x 与y (1.00001)x 的图象有何不同？
左右无限上冲天, 永与横轴不沾边. 大一增，小一减， 图象恒过(0,1)点.
14
强化训练、巩固新知
例: 利用指数函数的性质比较下列各题中两个数值的大小.
2.《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半万
世不竭”.请你写出截取 x次后，木棰的剩留量 y与截取 次数 x的关系式 ．
x １２３４ …
x
麦子粒数 y 21 2 2 2 3 2 4 …
木棰剩余量 2
(1 )4 2
…
2x
(1 )x 2
4
交流探讨、形成概念 问题一： （1）这两个解析式是不是函数？ （2）这两个函数有什么共同特征？ （3）这两个函数是我们学过的哪种函数？
（ 1） 1.72.5与 1.37.2;
(2)已 知 4） a （ 4） b,比a,较 b的 大 ; 小 37 7
(3) 若 a41，比 a与 较 1的大 ; 小 （ 4） 1.50.3与 0.81.2.
15
强化训练、巩固新知
变式：用“>”或“<”填空：
(1)0.80.1 0.80.2
(2)若 (1)m(0.2)5n,则 m n.
5
交流探讨、形成概念
问 题 二 ： 你 能 通 一过 次模 、仿 二 次 、 反 比 例 函 数 的 定 义 给 出 型这 函一 数新 的 定 义 吗 ？
指数函数的定义：
一般地，函数 y ax(a0,且a 1),叫做指数函 .
其中x是自变量，函数域 的是 定 R. 义
7
探求新知、深化理解
问 题 三 ： 要 研 究 函一 数种 ，新 如 何 研 究 ？ 从哪些角度研究？
研研究究函函数数的的一一般般思方路法：是：
用性质 解问题
函数的 定义
特殊的 函数
函数的 函数的 性质
图象
8
探求新知、深化理解
问 题 四 ： 研 究 一需个要函研数究 它 的 哪呢些？性 质
定义域
3.1.2 指数函数
酉阳县第一中学校 文晓祥
1
棋盘上的麦粒
在印度有一个古老的传说：舍罕王 打算奖赏国际象棋的发明人--宰相 西萨·班·达依尔。国王问他想要什么， 他对国王说："陛下，请您在这棋盘的第1个小格里， 赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给 4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这 样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人 吧!"国王觉得这要求太容易满足了，命令给他这些 麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿 来，也满足不了那位宰相的要求。
思1 考 . 为什么规a 定 0且 底 a1数 呢？
6
小试牛刀、巩固概念
思考 2 . 下列函数哪些是指数
函数？哪些不是，为什
么？
（ 1） y 4 x ; ( 2 ) y 4 x ;
(3) y (4)x; (4) y 4 x 2;
(5) y x 4; (6) y x x;
(7) y (2a 1) x (a 1 且 a 1) 2
特殊点
对称性
值域
单调性
奇偶性
9
探求新知、深化理解
问题五：指数函 象数 什的 么图 样？有怎 质样 呢的 ？
选择前面引例中的 函数y 2x与y (1)x
2
10
探求新知、深化理解
通过列表、描点、连线的方法画出
指数函数 y 2 x与 y ( 1 ) x 的图象．
2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
2x
…1 8
1 4
1 2 1 2 4 8…
(1 )x 2
…
8
4
2
1
1 2
1 4
1 8…
11
探求新知、深化理解
通过列表、描点、连线的方法画出
指数函数 y 2 x与 y ( 1 ) x 的图象．
2
12
探求新知、深化理解
yax(a0,a1)
0a1
a 1
y
•
1
o
x
y
1•
o
x
R
R
(0,)
(0,)
单调递减
4
(3) (4)0.23 3
( 3 ) 0.25 4
16
归纳总结、知识升华 知识 上
（（（ 三二一 ））） 简图图指 单象象数 应及及函 用性性数 ；质质的 的；定
义 ；
.
方法 上
（（（ 三二一 ））） 研数分 究形类 函结讨 数合论 的；； 方 法
17
感谢您的指导！
酉阳县第一中学校 文晓祥
18
总数为：=18446744073709551615(粒) ，1000粒约40克 麦粒有7000多亿吨（现每年全球的小麦总量约6.5亿吨）
2
《庄子 天下篇》
庄子
3
x x
交流探讨、形成概念
1．现在假设棋盘上第一格给2粒麦子，第二格给4粒，第
三格给8粒……，到第 x格时，请写出给的麦子粒数 y 与格子数 x的关系式。
单调递增
非奇非偶函数 非奇非偶函数
(0,1)
(0,1)
13
探求新知、深化理解
函 数y (0.999 )x 与y (1.00001)x 的图象有何不同？
左右无限上冲天, 永与横轴不沾边. 大一增，小一减， 图象恒过(0,1)点.
14
强化训练、巩固新知
例: 利用指数函数的性质比较下列各题中两个数值的大小.
2.《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半万
世不竭”.请你写出截取 x次后，木棰的剩留量 y与截取 次数 x的关系式 ．
x １２３４ …
x
麦子粒数 y 21 2 2 2 3 2 4 …
木棰剩余量 2
(1 )4 2
…
2x
(1 )x 2
4
交流探讨、形成概念 问题一： （1）这两个解析式是不是函数？ （2）这两个函数有什么共同特征？ （3）这两个函数是我们学过的哪种函数？
（ 1） 1.72.5与 1.37.2;
(2)已 知 4） a （ 4） b,比a,较 b的 大 ; 小 37 7
(3) 若 a41，比 a与 较 1的大 ; 小 （ 4） 1.50.3与 0.81.2.
15
强化训练、巩固新知
变式：用“>”或“<”填空：
(1)0.80.1 0.80.2
(2)若 (1)m(0.2)5n,则 m n.