排列与组合.版块四.排列数组合数的计算与证明.学生版

目
t 缈归 知识内容
1 •基本计数原理 ⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有 g 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法•那么完成这件事共有 N m ! m 2 L m n 种不同的方 法•又称加法原理.
⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m i 种不同的方法，做第二个步骤
有m 2种不同方法， ，做第n 个步骤有m n 种不同的方法.那么完成这件事共有
N m i m 2 L m .种不
同的方法•又称乘法原理.
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理•如 果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这 件事的方法数时，使用分步计数原理.
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基 本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用. 2.排列与组合
⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取 m(m < n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个
不同元素中取出m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)
排列数：从n 个不同的元素中取出 m(m < n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号A m 表示.
排列数公式： A ； n(n 1)(n 2)L (n m 1), m , n N ，并且 m < n . 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n 个不同元素的一个全排列.
n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用n!表示.规定：0! 1 •
⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m (m < n)个元素并成一组，叫做从
n 个元素中任取m 个元素的一个组合.
组合数：从n个不同元素中，任意取出m (m < n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号c m表示.
n(n 1)(n 2)L (n m " 世,m, nN，并且m < n •
组合数公式：C；
m! m!( n m)!
组合数的两个性质：性质i: c m c n m；性质2：C；I c m c m1•(规定c n 1)
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列
还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1.特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2.分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏.
3•排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
4.捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素捆成一个”元素，与其它元素进行排列，
然后再给那一捆元素”内部排列.
5•插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空.
6 .插板法：n个相同元素，分成m(m< n)组，每组至少一个的分组问题把n个元素排成一排，从n 1个空中选m 1个空，各插一个隔板，有C^i1.
7.分组、分配法：分组问题(分成几堆，无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成n堆(组)，必须除以n !，如果有m堆(组)元素个数相等，必须除以m !
&错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n 2 , 3, 4, 5时的错位数各为1, 2, 9,
44•关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列
的问题.
1•排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：
①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分
步计数原理；然后分析题目条件，避免选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答.
2.具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法;
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面.
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型.
典例分析
排列数组合数的简单计算
【例1】对于满足n > 13的正整数n , n 5 n 6…n 12 ()
7 7 8 12
A . A n 12
B • A n 5
C • A n 5
D • A n 5
【例2】计算A；_______ .
【例3】计算A；0, A6；
【例4】计算C2 _______ , C7 _______
【例5】计算C130 , C6 ；
【例6】计算A；, A：0 , C7 , C48, C29c；9 •
【例7】已知A；n 1 140A3，求n的值.
例8】解不等式A8x6A8x 2
例9】证明：A99 9A888A77A88.例10】解方程A32x 100A2x
例11 】解不等式 A 8x6A8x 2
例12】解方程：11C x324C2x 1例13】解不等式：C8m 13C8m.
5
【例14】设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］ 2 , - 1 ）,对于给定的n N ,定义
4
c X
n(n 1)L (n x 1) 1)， x 1, ，则当x -,3时，函数c8的值域是（
2
)
x(x 1)L (x x
16
16
A .
28
B .
,56
3
3
28 ,,
16 ,,28
C .
4, U 28, 56
D . 4,
U , 28
3
3 3
【例15】组合数C n n
r >1, n 、r Z 恒等于（
)
A
r 1 r 1
A . C n 1
B . n 1 r 1 C
1
C . nrC
n 1
n j 1
D . — C n 1
n 1
r
【例 16】已知 C ；2 ： c m2 ：C ；； 3: 5: 5，求 m 、
排列数组合数公式的应用
【例 18】若 C 20
1 6
C ；o 2
,(n N)，则 n ___________
【例 19】若 c m 1： c m ： c m 1
3： 4：
5,则 n m ____________
n 的值.
【例17】已知c 2o 3
c 2o 2 C ；i
c ： c 2「，求 c 21 的值.
【例 20】证明：nc n (k 1)c n 1
ke n
n
1
【例21】证明：—en
i o i 1
【例26】计算：C 99出9, C
4 C
5 C
6 L c
l
n
C i 1
C n 1
i 0
【例22】求证：A m 1
A m;
m 2
(m 1)A n 1
n
【例23】证明： kc k n 2
n 1
k 0
【例24】证明：C ； 2C 2
3C 3
L
nC ： 2(
Cn
°
c n
L C n
)
-
【例25】求证：C n C n 1 C n 2 L
C
；
【例27】证明:c m c n e m e n1c m c n 2L c m c0c n m .（其中k < min{m , n}）
1例28
】解方程
c
：5
c
x3
c
x24A
【例29】确定函数A3的单调区间.
【例30】规定A m x（x 1）L （x m 1），其中x R，m为正整数，且A：1，这是排列数A；（n, m是正整数，且m < n）的一种推广.
⑴求A315的值；
⑵排列数的两个性质：① A； nA；；，②A； mA；1A m1 （其中m, n是正整数）.是否都能推广到A；
（x R , m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由.。