2021年高中数学 排列与组合 版块四 排列数组合数的计算与证明完整讲义(学生版)

2021年高中数学 排列与组合 版块四 排列数组合数的计算与证明完整讲
义（学生版）
1．基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理．
⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理．
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
排列数公式：A (1)(2)
(1)m n n n n n m =---+，，并且． 全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列． 的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：．
⑵组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．
组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．
组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!
m n n n n n m n m m n m ---+==-，，并且． 组合数的两个性质：性质1：；性质2：．（规定）
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
知识内容
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！
8．错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．
1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：
①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2．具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
典例分析
排列数组合数的简单计算
【例1】对于满足的正整数，（）
A． B． C． D．
【例2】计算______．
【例3】计算，；
【例4】计算______，_______．【例5】计算，；
【例6】计算，，，，．
【例7】已知，求的值．
【例8】解不等式
【例9】证明：．
【例10】解方程．
【例11】解不等式．
【例12】解方程：
【例13】解不等式：．
【例14】设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（）A． B．
C． D．
【例15】组合数恒等于（）
A． B． C． D．
【例16】已知，求、的值．
排列数组合数公式的应用
【例17】 已知32212020212221C C C C C n
n n n ---+<<-，求的值．
【例18】 若，则_______
【例19】 若，则
【例20】 证明：
【例21】 证明：．
【例22】 求证： ．
【例23】 证明：．
【例24】 证明：1230123()2n n n n n n n n n n C C C nC C C C ++++=+++．
【例25】 求证：1121C C C C C n
n n n
n n n n n m n m ++++++++++=；
【例26】 计算：，
【例27】 证明：0
11220C C C C C C C C C k k k k k m n m n m n m n n m --+++++=．
（其中）
【例28】 解方程
【例29】确定函数的单调区间．
【例30】规定，其中，为正整数，且，这是排列数（是正整数，且）的一种推广．
⑴求的值；
⑵排列数的两个性质：①，②（其中是正整数）．是否都能推广到（，是正整数）
的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．。