广义三角函数与双曲函数的性质的研究
三角函数公式与双曲函数
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。
双曲函数介绍
双曲函数介绍在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“co snh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“ar c sinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。
在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x^2 - y^2 = 1 于点 (cosinh a,sinh a），这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。
定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/n! +...e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是：e^x=x^0/0! + X^1/1! + X^2/2! + X^3/3! + X^4/4! + X^5/5!...+ x^n/n! +...如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x^2 y^2 = 1。
双曲函数
双曲函数的作用双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1）双曲余弦ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2）双曲正切th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3）双曲余切cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4）双曲正割sech z ＝1/ch z （5）双曲余割csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7)双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。
定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。
基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。
也类似于三角函数的推导。
反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。
在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。
定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]其中，e是自然对数的底e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +...e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +...如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。
双曲函数
▪ 悬链线 ▪ 数学证明
双曲函数图册
相关函数 纠错
9 参考文献
5 导数 6 不定积分
二次函数
对勾函数
复变函数
1
定义
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 [1] 双曲正弦：
编辑 幂指函数 贝塞尔函数 三次函数
双曲余弦：
五次函数
幂函数
初等函数
双曲正切：
词条统计
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中文名 外文名 双曲函数 Hyperbolic function 别 称 领 域 圆函数 数学函数论
目录
1 定义 2 函数性质 3 与三角函数关系 4 恒等式
▪ 加法公式
▪ 减法公式 ▪ 二倍角公式 ▪ 三倍角公式 ▪ 半角公式
7 级数表示 8 实际应用
▪ 阻力落体 ▪ 导线电容 ▪ 粒子运动 ▪ 非线性方程
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆ 式中 k2 =e4πε0φ/λ ⒇ 令 c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21） 则⒆式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22） / 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。
利用双辅助方程法求广义的sinh—Gordon方程的相互作用解
Ｃ
Ｕ 一ａ ｕ ＋ｂ ｓ ｉ ｎ ｈ （ ｎ ｕ ） ＝０ ，
（ １ ）
（ １ ） 可化 为下列 方程 ：
其 中 ｎ是 一个 正整数 ， ａ ． ｂ是两 个常 数． Ｗａ ｚ ｗａ ｚ利
用 双 曲正切 函数方 法 得 到 了方程 （ １ ） 的一 些 精确 解 ． ２ ０ ０ ８年，唐亚 宁等 ［ ２ 】 在 三种 函数 变换 的基 础上研 究 了方 程 （ １ ） 的分 支 现 象 并得 到 了若 干孤 立 波 解 ， Ｃ ｏ ｍｐ ａ ｃ ｔ ｏ ｎ解 和周 期波解 ． ２ ０ １ ４年 ， 何斌 等【 ３ 】 利 用双 Ｆ 一 展 开法 对方 程（ １ ） 进 行研 究 ， 获得 了方 程（ １ ） 许 多双 周 期波 解 ． 随着科 学技 术 的发展 ，人们 提 出 了许多 获得非 线性偏 微 分方程 精确解 的有 效方 法 ， 如Ｆ ． 展开 法 、 经典 李 群法 、辅助 函 数法 、首 次积 分 法 Ⅲ、指 数 函数展 开法 、Ｊ ’ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆函数展 开法 ｎ 、试探 函数 法 【 ｌ Ｉ Ｊ 和扩 展 的（ Ｇ ， ／ Ｇ 】 展 开 法 羽 等等 ．这 些方 法 都 已成功 地 运 用 于 多 种 非 线 性 发 展 方 程 的求 解 过 程 中，并得 到 了一系列 与它 们相 对应 的孤 立解 、有 理解 、周期解 、双 周期解 等 多种类 型 的具有 重要物 理意 义 的精确解 ． 孤子理 论是非 线性科 学的一个 重要 分支． 寻求 非 线性偏微分方程 的具体精确解 ， 尤其是求得 同时包含 有理 函数 、三 角 函数 、双 曲函数 或 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆 函数 的相 互作 用解 是孤子理论研究 的热点之一 ， 因为这 些 解可 以反 映不 同类 非线性 波 的相互 作用 ． 本文 利用两 个雅 克 比椭 圆方程作 为辅 助方 程 ， 有效 的假 设解 的形 式 ，对方 程（ １ ） 进 行研 究 ，获得 了 方程 （ １ ） 大量 的由反双 曲正切 函数 、 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆 函数 、 双 曲函数 和三 角 函数组成 的相 互作 用解 ．
双曲函数(Hyperbolic functions)
我们所熟知的三角函数也被叫做circular function，因为sin、cos满足 \sin^2x+\cos^2 x=1 可以看出是从一个单位圆的方程 x^2+y^2=1 中演化过来的。
而圆锥曲线我们知道还有双曲线、抛物线、椭圆等，那么其他圆锥曲线是否也可以演化出类似的函数出来？是有的，比如今天介绍的双曲函数，是从单位双曲线方程 x^2-y^2=1 中演化出来的。
先回忆一下三角函数有哪些：sin 正弦，cos 余弦，tan 正切， sec 正割，csc(cosec) 余割，cot 余切详细关系见下图：那么我们的双曲函数也有这些函数，这不过就是在上面六个三角函数后加一个“h”，表示“hyperbolica”，双曲的...一、函数定义sinh 双曲正弦，cosh 双曲余弦，tanh 双曲正切， sech 双曲正割，csch(cosech) 双曲余割，coth 双曲余切接下去是各个双曲函数的表达式：二、函数图像下面是各个双曲函数的图像以及对应定义域、值域等：y=\sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}2. y=\cosh x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}3. y=\tanhx=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}4. y=\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{cosh}x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}5. y=\operatorname{cosech} x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}6. y=\operatorname{coth} x=\frac{1}{\tanhx}=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}三、几何意义从上面这张图中能看出来双曲函数自变量的几何意义，是红色所围成面积的两倍，或者看下图也是一样的：那么与三角函数之间的关系呢？四、双曲恒等式我们知道三角函数有非常多的恒等式，这也是三角函数成为高中生噩梦的很大一部分原因，如果不清楚有哪些恒等式可以点击下文：那么类似的，双曲函数也有很多恒等式，并且可以这么说在三角函数中有的恒等式，在双曲函数中都有类似的，下面给出了一些当然这些恒等式我们都是可以证明的，比如高数书上就给了两个例子：所以给出恒等出我们都可以通过sinh、cosh定义带入进行计算，可能计算上会有一点复杂。
三角函数和双曲函数互化
三角函数和双曲函数互化
三角函数和双曲函数在数学中是两种不同的函数，它们有各自的性质和用途。
然而，有时我们需要将它们互化，以便在不同的情境下使用。
三角函数和双曲函数互化的基本公式如下：
1. 三角函数转化为双曲函数：
反正弦函数（sin^{-1}）：y = sin^{-1}(x) 可以转化为双曲正弦函数，即 y = sinh(x)。
反余弦函数（cos^{-1}）：y = cos^{-1}(x) 可以转化为双曲余弦函数，即 y = cosh(x)。
反正切函数（tan^{-1}）：y = tan^{-1}(x) 可以转化为双曲正切函数，即 y = tanh(x)。
2. 双曲函数转化为三角函数：
双曲正弦函数（sinh）：y = sinh(x) 可以转化为正弦函数，即 y = sin(x)。
双曲余弦函数（cosh）：y = cosh(x) 可以转化为余弦函数，即 y = cos(x)。
双曲正切函数（tanh）：y = tanh(x) 可以转化为正切函数，即 y = tan(x)。
这些互化公式在解决一些数学问题时非常有用，特别是在处理三角函数和双曲函数的转换、求值和比较等问题时。
双参数广义三角函数与双曲函数的几个均值不等式
浙江理工大学学报，2021，45(2): 242-248Journal of Zhejiang Sci-Tech UniversityDOI ：10. 3969/j.issn.l673-3851(n).2021. 02.012双参数广义三角函数与双曲函数的几个均值不等式钟根红a ，韦露淑1’，贺建辉;1，马晓艳b(浙江理工大学，a.科技与艺术学院；b.理学院，杭州310018)摘要：双参数广义三角函数对于解决微分方程理论中的一些问题有着重要作用。
文章通过初等解析方法与均值理论，研究了带有两个参数的广义三角函数与双曲函数的均值不等式性质，获得了广义正切函数与广义双曲正 切函数的算术平均、调和平均以及几何平均的均值不等式；同时得到了广义三角函数的Cusa-Huygens 型均值不等 式。
所得结果推广和改进了原有不等式性质。
关键词：广义三角函数；广义双曲函数；均值不等式；Cusa-Huygens 型均值不等式中图分类号：0178 文献标志码：A 文章编号：1673-3851 (2021) 03-0242-07Several mean inequalities for generalized trigonom etric andhyperbolic functions with two param etersZHONG Genhonga , W EI Lushu b, H E J ianhuia , MA Xiaoyanb(a. Keyi College ； b. School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)Abstract ： Generalized trigonometric functions with two parameters play an important role in solving some problems in the theory of differential equations. The properties of mean inequalities for generalized trigonometric and hyperbolic functions with two parameters are explored by using elementary and analytic methods and the theory of means. Several new mean inequalities for generalized tangent functions and generalized hyperbolic tangent functions are obtained, such as arithmetic mean, harmonic mean and geometric mean inequalities. At the same time, Cusa-Huygens type mean inequalities for generalized trigonometric functions are obtained The results expand and improve the properties of the original inequalities.Key words ： generalized trigonometric function ； generalized hyperbolic function ； mean inequality ； Cusa-Huygens type mean inequality0引言对于0 < X < 7t /2，Huygens [1]给出了三角函数的下列不等式2siar + t a n r 〉3x对于：r > 0, Neuman 等l2]给出了双曲函数的Huygens 型不等式：2sinkr + ta n k r 〉3:r不等式（1) 一 (2)分别可以表示为：收稿日期：2020—10—23 网络出版日期：2021 —02 —03基金项目：国家自然科学基金项目（11671360);浙江省自然科学基金项目（LQ17A010010);浙江省教育厅一般科研项目（Y201840023);浙江理工大学科技与艺术学院科研项目（2011KY002)作者简介:钟根红（1980 — ），男，安徽桐城人，讲师，硕士，主要从事函数空间、拟共形特殊函数方面的研究。
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诚信书本人所呈交的本科毕业论文是在指导教师的指导下独立完成的研究成果。
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论文为本人亲自撰写，没有从他人文献中抄袭的现象。
本人完全意识到本声明意味着本人毕业论文的原创性，如经查证有抄袭事实，同意承担由此导致的一切后果。
本人签名：年月日摘要众所周知，经典的三角函数与双曲函数不仅在数学学科中有着非常重要的作用，而且在物理学、工程技术等其它学科中都有广泛的应用。
1995年，Lindqvis t给出了带p的广义三角函数sinp x、cospx、tanpx以及广义双曲函数s i n hp x、c o s hpx、t a n hpx的定义后，吸引了很多感兴趣的学者研究。
带有一个参数的广义三角函数sinp x、cospx、tanpx广义双曲函数sinhpx、coshp x、tanhpx及其反函数arcsinpx、arc cospx、arctanpx的研究是国内外最近发展起来的新课题。
当2p 时，这些函数即为基本初等三角函数。
本文主要介绍带有单参数p的广义三角函数sinp x,cospx,tanpx,以及广义双曲函数sinhp x，coshpx，tanhpx的一些分析性质，并用极其简单的方法解决了文献[6]中提出的一个公开问题。
同时获得了一些单参数p的广义三角函数sinp x,tanpx以及广义双曲函数sinhpx的Wilker型不等式以及Huygens型不等式，这些不等式大大推广了文献[11]的一些结果。
最后利用了Hölder不等式推广了Mitrinović-Adamović不等式以及Lazarević不等式。
本论文的研究内容紧密联系国际数学界所关注的前沿和热点问题，研究成果进一步完善了广义三角函数理论，同时也为与之密切相关的特殊函数如Gauss 超几何函数提供了理论基础。
关键词：广义三角函数；广义双曲函数；不等式AbstractIt is well known that the classical trigonometric and hyperbolic function play a ve ry important role in several mathematical branches as well as in engineering and physics. The generalized trigonometric sinp x、cospx、tanpx and hyperbolicfunctions sinhp x、coshpx、tanhpx depending on one parameter 1p>were studiedby P. Lindqvist in 1995. Later on numerous authors have extended this work in various directions.Recently the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameter with their inverse functions have attracted attentions of researchers at home and abroad. For the case when2p=, these functions coincide with elementary functions.The main research contents and expected results of this paper are as follows:The analytic properties for the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameter will be introduced. Meanwhile, the conjecture posed by the experts in [6] will be solved by using the extremely simple method. And some classical inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameters, such as Wilker-type inequality and Huygens-type inequalities are generalized. The Mitrinović-Adamovićinequality and the Lazarević inequality of generalized trigonometric and hyperbolic functions of one parameters have been extended.The contents of the research are closely related to the hot issues of the world’s mathematics.The research results can further perfect the theory of hypergeometric function. At the same time, the research results provide theoretical basis for studying the spacial functions which are closely related them such as the Gaussian hypergeometric function.Key words:generalized trigonometric functions; generalized hyperbolic fun ctions; inequalities目录摘要Abstract第1章引言 (1)1.1 三角函数的发展及应用 (1)1.2 广义三角函数和广义双曲函数在国内外的研究现状 (1)1.3 研究方法分析 (3)第2章定义 (4)2.1广义三角函数及反三角函数的定义和基本公式 (4)2.2 广义双曲函数及反双曲函数的定义及基本公式 (6)2.3利用超几何函数定义广义三角函数与广义双曲函数 (8)第3章不等式性质 (9)3.1 Huygens-type不等式 (9)3.2 Turán不等式 (10)3.3 Wilker不等式 (10)3.4 与均值性质相关不等式 (11)第4章引理 (12)第5章主要结果 (14)第6章结论 (18)参考文献 (21)致谢 (23)浙江理工大学本科毕业设计（论文）第1章 引言1.1 三角函数的发展及应用从古代到今天，天文学的研究都离不开三角学，从最初三角学依附于天文学研究到今天形成独立的分支，三角学的应用越来越广泛，研究其理论也越来越重要。
约公元前150年，初创三角学，古埃及人用三角学进行距离的测量，观测天象。
泰勒斯用相似三角形理论测量出金字塔的高度，是三角学的最初始的应用。
公元前2世纪，“三角学之父”希帕霍斯创建了弦表，弦表与现代的三角函数表十分相似，他创建弦表主要是为了天文观测。
公元2世纪，托乐密创建00-900之间每隔半度的弦表，并建立了许多结合三角函数性质的关系式，同时代，梅内劳斯著成《球面学》，主要研究了三角学在球面上的推广，将三角学应用于球面上，进行建模，利用三角学得出许多关于球面的性质，至此西方三角学发展至鼎盛时期，我国古代三角学研究比较晚，在《周髀算经》中记载了陈子运用勾股定理对太阳的高度的测量，1653年薛风祚与穆妮阁协作编写了《三角算法》，确定了三角这一称号，1877年华蘅熙探讨了三角级数展开式问题，这是首次将三角函数推广到三角级数理论。
有了数发明后，简化了三角函数的计算过程，减少计算量，对三角函数的研究已经不局限与制作三角函数表，而是转向研究三角学理论。
不过因为三角函数表在科学研究中是无法被替代的，进而逐渐演变为现代三角学。
在现代，三角函数可应用于复数领域中，也可应用于物理学中，例如利用三角函数的图像性质研究抛物运动，利用其周期性研究波，简谐运动以及电流等。
也广泛应用于铁路设计，在国防中也有利用三角函数最值的例子。
广义三角函数与双曲函数的运用也很普遍，例如数学中的微分方程，随机过程，复变函数都会用到广义函数理论。
广义三角函数与广义双曲函数的性质以及推广它们的相关性质的研究是十分重要的。
1.2 广义三角函数和广义双曲函数在国内外的研究现状1995年，Lindqvist 给出了带有一个参数p 的广义三角函数sin ,p x cos ,p x tan ,p x cot p x 以及广义双曲函数sinh ,p x cosh ,p x tanh p xcoth p x (当2p =时，即为初等三角函数)的定义[1],最初，从微积分上，在]2/,0[π有关单参数广义三角函数及双曲函数的性质的研究上定义正弦函数,即⎰≤≤=-x t x dt x 0)1(1,10,)arcsin(2/12其中1arcsin 2=π,10)1(12/12⎰-=dt t 并将反正弦函数延伸到),(∞-∞.令∞<<p 1，根据已有的微积分公式，延伸出了带有一个参数p 的反正弦函数的微积分公式，同时也发现了p π与带有一个参数p 的反正弦函数的关系。
当2=p 时s ，带有单参数p 的反正弦函数退化为普通反正弦函数，ππ=2[2].因为正弦函数求导为余弦函数，根据这一法则，带有一个参数p 的余弦函数的相关求导法则也延伸出来。
也可用Gauss 超几何函数给出广义反三角函数和反双曲函数的定义[3]()110111sin 1,;1;.u p p p p u t dt uF u p p p --⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰ ()110111s i n h 1,;1;.u p p p p u t dt uF u p p p --⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭⎰11cos sin p p u --=，11cosh sinh .p p u --= 11tan sinp p u --⎛⎫=，11 t anh sinh .p p u --⎛⎫=在这之后，许多有兴趣的学者参与研究。
)(sin x p 做为p -Laplacian 算子p ∆的Dirichlet 问题的特征函数，继续研究其性质，有利于完善p -Laplacian 方程的Dirichlet 问题理论。