有限元分析的力学基础
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
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第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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有限元分析基础知识
2000，4
ANSYS单元分类
1. 杆单元，包括二维杆单元和三维杆单元，线性调节 元，主要包括： LINK1，LINK8，LINK10，LINK11，LINK180等。 2. 弹簧阻尼单元，包括COMBIN系列： COMBIN7,COMBIN14,COMBIN37,COMBIN40等。 3. 质量元，MASS21。
ANSYS/Structural求解功能
ANSYS/Structural求解功能
Static -- 结构静力问题（包括线性和非线性问题） Modal -- 模态振动特性计算分析（结构固有频率和振型） Harmonic -- 谐波分析 Transient -- 瞬态分析 Spectrum -- 谱分析 Eigen Buckling -- 特征值屈曲分析（线性） Substructural -- 子结构分析 。。。。。。
2000，4
有限元分析步骤（续）
• 集合所有单元的平衡方程，集合依据的是所有相邻 单元在公共节点 处的位移相等；建立总体的有限元方程组。 • 引入边界条件 • 求解有限元方程组，得到未知节点位移 • 计算单元应力，对不同的单元，对应力的处理还有不同的方法
2000，4
ANSYS文件结构
二进制文件 Jobname.db （数据库文件） Jobname.dbb （备份文件） Jobname.rst （结构分析结果文件） Jobname.rth （热分析结果文件） Jobname.rmg （电磁场分析结果文件） Jobname.rfl （流体分析结果文件） Jobname.tri （三角化刚度矩阵文件） Jobname.emat （单元矩阵文件） Jobname.esav （单元保存文件）
2000，4
简例（续）
材料力学中的有限元方法分析
材料力学中的有限元方法分析材料力学是研究物质初始状态至最终破坏状态之间的力学行为及其规律的科学。
有限元分析是一种数值计算方法，可以求解各种工程问题的数学模型。
有限元方法在材料力学研究中有着重要的应用，本文将从有限元方法的基本原理、材料力学中的有限元分析、有限元模拟在材料力学中的应用等方面进行分析。
一、有限元方法的基本原理有限元方法是一种通过建立复杂结构的有限元模型，将一个复杂的连续问题转化为离散问题来求解的方法。
其基本思想是将一个连续物体分割成很多小的单元，使用一些简单的解析方法求解每个小单元内的力学问题，然后将所有小单元的解组合在一起来求解整体力学问题。
有限元方法求解的过程分为以下基本步骤：1.建立有限元模型2.离散化3.施加约束4.建立刚度矩阵和荷载向量5.求解未知量二、材料力学中的有限元分析材料力学中的有限元分析是指通过有限元方法对材料力学问题进行分析、计算和评估的方法。
材料力学问题中的目标是通过施加荷载或外界力，来得到物体内部的应力和应变状态，以及其随时间和载荷变化的规律。
在建立材料力学有限元模型时，需要考虑以下因素：1.应力集中和应变集中的位置和程度2.物理边界和几何结构3.材料的力学性质和力学参数材料力学中的有限元分析包含以下几个方面：1.静态分析：研究物体在静态等效荷载下的应力状态，计算物体的静态变形。
2.动态分析：研究物体在动态载荷下的应力和应变状态，计算物体的动力响应。
3.疲劳分析：研究物体在周期性载荷下的损伤状态、损伤机理和寿命预估。
4.热力耦合分析：研究物体在温度场和应力场的共同作用下的应力和应变状态。
5.多物理场分析：研究物体在电、磁、声、液、气、红外、光、辐射等多个物理场的共同作用下的应力和应变状态。
三、有限元模拟在材料力学中的应用有限元模拟在材料力学中的应用范围非常广泛，包括了以下几个方面：1.材料的结构设计和分析2.材料的性质和参数的测试和评估3.材料的制造和加工工艺的模拟4.材料的破坏和损伤机理的研究5.材料的寿命评估和振动疲劳分析最终，有限元分析的结果可以在材料设计、材料优化和制造流程等方面提供准确的数据支持，帮助人们更好地理解材料的力学行为和性质，促进材料科学的发展。
有限元分析的基本原理
有限元分析的基本原理有限元分析法是一种通用的数值分析技术，它利用有限数目的计算元素来对结构的应力、变形以及失效的可能性进行分析，它简化了复杂的工程结构在实际受力情况下的模拟计算，可以预测出构件的性能、变形和可能失效等。
有限元分析是用数学模型来模拟生活用来模拟工程中结构抗压、抗弯、抗剪、抗疲劳等性能。
有限元分析有三个基本原理：结构变形、力学方程和材料本构方程。
首先，有限元分析的基础原理是结构变形。
结构变形是指在施加外力作用下，受力的结构的空间变形和大小的变化，它是有限元分析的基础，该原理说明了满足力学方程的解决方法如何以有限元的形式出现。
通常情况下，我们会把构件的耦合变形分成很多小的计算元(这些计算元之间有连接约束)，减少变形的不确定性，从而提高分析的准确性。
其次，有限元分析的基础原理是力学方程。
满足力学方程条件的解决方案就是有限元分析，也就是把问题分解成很多小的子问题来求解。
力学方程最常见的形式是基于有限元技术的动态和静态结构分析。
动态结构分析是指结构在某个加载下的振动反应，涉及到施加外力、弹性和惯性效应。
静态结构分析则指结构在不同类型外力作用下的变形。
最后，有限元分析的基础原理是材料本构方程。
材料本构方程是指材料受拉力作用而形成变形和应力的关系，它可以用来描述材料在承受外力时的作用。
本构方程有很多不同的形式，最常用的形式是弹性体的本构方程，它说明了当受到外力作用时，材料的拉伸和压缩的反应，从而将其应用于有限元分析技术。
以上就是有限元分析的基本原理，它是构成有限元分析的基础，而且这些基本原理也被广泛应用于工程中对结构性能进行模拟和分析。
有限元分析可以帮助工程师准确地估算出结构在特定加载条件下的变形和应力，也可以帮助他们判断结构在疲劳荷载作用下是否会发生破坏。
有限元分析也可以帮助设计者更好地分析结构在复杂（多变）条件下的性能，以确定结构的最优设计。
所以，有限元分析的基本原理是工程分析的基础，合理的运用可以节约大量的时间和精力，从而达到性能最优的结构设计。
有限元法的力学基础
有限元法的力学基础有限元法是一种数值分析方法，利用数学和计算机技术解决实际工程问题。
其力学基础主要包括材料力学、结构力学和数值分析。
一、材料力学有限元法的首要任务是分析工程结构的受力情况，而这涉及到材料的应力和应变等基本力学问题。
材料力学是有限元法的基础，它研究材料在外力作用下变形和破坏的规律及其数学描述。
在计算中，材料本构方程是将应力和应变联系起来的核心方程式，通过解析材料的物理特性，可以建立精确的应力-应变关系。
应力是物体受力过程中单位面积所受的力。
在研究材料力学问题时，应力通常分为三个方向：轴向应力、切向应力和法向应力。
材料因内部力的作用而使形状改变的现象称之为应变。
应变分为线性应变和非线性应变两种类型。
材料的本构方程则是将应力和应变通过数学公式联系起来，其中最重要的参数是杨氏模量、泊松比、屈服强度等材料力学性质指标。
二、结构力学有限元法主要应用于结构力学中，因为任何实际的结构都受到力的作用，这些力包括静载、动载、温度变化等。
结构力学是研究结构受力和变形状态的学科，它的核心是研究结构刚度和强度等性质。
结构刚度是指结构抵抗外界力的能力，强度则是指结构承受载荷发生破坏前的最大强度。
在有限元法中，将结构划分成有限个小单元，然后使用材料力学原理及结构力学原理计算每个小单元的应力和应变及整个结构的位移。
通过建立坐标系，可以把每个小单元在局部坐标系下的变形通过旋转变换到全局坐标系下。
将各个小单元的变形叠加起来，就可以求得整个结构的位移和变形。
三、数值分析有限元法是一种数值分析方法，因此数值分析对于有限元法的运用也是相当重要的。
数值分析是研究利用数值方法解决科学和工程问题的一门学科。
有限元法可以通过数学公式和计算机程序来模拟物理现象，从而得出求解问题的解。
数值分析中最重要的就是数值计算误差和截断误差的控制，只有通过合理的参数设置和计算方法，才能得到高精度的结果。
总体来看，有限元法的力学基础涉及材料力学、结构力学和数值分析三个方面。
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
有限元分析的力学基础
.
33
作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：
xxl yx m px xyl y m py
其中
l c o sN ,x,m c o sN ,y
.
34
2.5空间问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：
✓ 位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界
✓ 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力 边界S。 这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。
S
✓ 混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分 别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。
2 u v
xy
yxΒιβλιοθήκη 2 xy xy象发生。
.
29
物理方程
x
E 1 2
x y
x
E 1 2
y x
xy
E
2 1
xy
写成矩阵形式为
D
E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩 变形的抵抗能力。
是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀
的特性。
.
30
线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压
.
12
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A上的内力为 ,则Q
内力的平均集度,即平均应力, 为 / Q A
lim Q S
A0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面
mn上、P点的应力。
有限元分析
单元形函数(续)
二次曲线的线性近 (不理想结果 不理想结果) 不理想结果 DOF值二次分布 值二次分布 真实的二次曲线
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果 更理想的结果) 更理想的结果
.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
.
接近于真实的二次近似拟合) 二次近似 (接近于真实的二次近似拟合 接近于真实的二次近似拟合 (最理想结果 最理想结果) 最理想结果
F
(a) 订书钉 F t0 t1 t2 t3
u
(b) 木制书架
u F
b1 (c) 气动带
b2 u
4、静力 / 动力分析
静力求解能否满足你的分析要求？如果不能， 静力求解能否满足你的分析要求？如果不能， 应当进行 那种动力分析？ 那种动力分析 ？动力分析的所有载荷都是随时间变化的 但在许多情况下动力影响可以忽略不计。 ，但在许多情况下动力影响可以忽略不计。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
是真实系统理想化的数学抽象。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 自由度
UY ROTY
方向 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
三、有限单元法简介
随着高速计算机的发展，有限元的应用也以 惊人的速度发展，现在有限元法已经被工程师和 科学家们公认是一种完美和方便的分析工具。 50 50多年来，有限元法的应用已由弹性力学平 面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡 问题扩展到稳定问题、动力问题。分析的对象从 弹性材料扩展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材 料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学等连 续介质力学领域。
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2.4平面问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
第二章 有限元分析的力学基础
本章主要内容
2.1弹性力学同有限元分析的关系 2.2弹性体的基本假设 2.3弹性力学的基本变量 2.4平面问题的基本力学方程 2.5空间问题的基本力学方程 2.6弹性问题中的能量表达 2.7两大类平面问题
本章要点
变形体的三大类基本变量 变形体的三大类基本方程及两类边界条件 弹性问题中的能量表示 平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达 应力及应变的分解
平面(二维)平衡方程
平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺 寸取一个单位长度.
MC 0
两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程 M c 0
xy
xy x
dx dy 1
dx 2
xydy 1
dx 2
yx
yx y
dx 1
dy 2
方向为负 负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正
方向为负
正应力以拉应力为正，压应力为负
2.3弹性力学基本变量
剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交
线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个 角码可以对调。
yz zy , zx xz xy yx
体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都 远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形 前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在 考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不 计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。
2.3弹性力学基本变量
化简得
yx
x
yy
y
+ yz
z
+f y
0
Z方向力平衡
zx +
zx
x
dx- zx
dydz
+
zy
zy
y
dy- zy
dxdz
zz +
zz
z
dz- x
dxdy
+ fzdxdydz 0
化简得
zx
x
zy
部边界，即 :
S S S
作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：
xxl yxm px xyl ym py
其中
l cos N, x,m cosN, y
2.5空间问题的基本力学方程
平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系 边界条件：
2.3弹性力学基本变量
位移与应变的关系
ui uio ijdxj wijdxj
位移
刚体 位移
应变 位移
刚体 转动
strain-displacement relations.（几何方程 柯西方程）
x
u x
,y
v y
,z
w z
xy
u y
v x
,
yz
v z
w y
,
zx
w x
u z
应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。
运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本 规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从 三大基本规律推导出来。
2.1弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学同材料力学的比较
1、研究内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研
究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的 应力和变形。 2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴 等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力 学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的 板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸， 或三个尺寸相当的构件。
基本变量
2.3弹性力学基本变量
外力：指其他物体对研究对象（弹性体）的 作用力。可以分为体积力和表面力 1、表面力：是分布于物体表面的力，如静 水压力，一物体与另一物体之间的接触压力 等。 2、体力：是分布于物体体积内的外力，如 重力、磁力、惯性力等。
均为矢量。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力（内力）
正应力σ
x y z
剪应力τ
xy xz zy yx zx yz
正应力下标表示作用在垂直于轴的面上同时也沿着轴方向作用的 剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个 角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。
2.3弹性力学基本变量
正面（外法线是沿着坐标轴的正方向） 负面（外法线是沿着坐标轴的负方向） 正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负
的特性。
线应变（相对伸长或压缩）
绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压
缩）。公式：
l
l0
当 0时，为拉伸形变； 时0 ，为压缩形变，因而，
它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横
向形变，则对应的应变(或形变)为：
1
b b0 b0
b b0
其中：设想直杆横截面是正方形每边长为b,0横向形变后为 。b
x xy xz yx y yz zx zy z
一点的应力状态
x xy xz
yx
y yz
zx zy z
不同的坐标表示
x
xy
xz
ij yx y yz
zx
zy
z
应力张量
2.3弹性力学基本变量
应变和位移
应变——形状的改变（形变）——长度的改变和角度
平衡方程
X方向负面 X方向正面 Y方向负面 Y方向正面 Z方向负面 Z方向正面
xx
+
xx
x
dx
yx
+
yx
x
dx
zx
+
zx
x
dx
xy
xy
y
dy
yy
yy
y
dy
zy
zy
y
dy
xz
+
xz
z
dz
yz
+
yz
z
dz
zz
+
zz
z
dz
X方向力平衡
xx
+
xx
x
dx- x
yxdx 1
dy 2
0
上式两边除dxdy,可得:
xy yx
剪力互等关系
以X轴为投影轴,满足平衡方程: F 0
x
x x
dx
dy
1
x
dy
1
yx
yx y
dy dx 1
yxdx 1
fxdxdy1
0
上式两边除dxdy,可得:
x
x
yx
y
fx
0
同理
y
y
xy
x
fy
0
平面(二维)几何方程
均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，
整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性 常 数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。
2.2 弹性力学中关于材料性质的假定
各向同性：也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质
和机械性质都是相同的。
物体的变形是微小的：亦即当物体受力以后，整个物
2.1弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在 外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变 和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚 度问题。
是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它 外界因素作用下产生的变形和内力。
研究对象：包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A上的内力为 ,则Q 内力的平均集度,即平均应力, 为 / Q A
lim Q S
A0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面
mn上、P点的应力。
应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力
2.3弹性力学基本变量
每一个面上的应力分解为一个 正应力和两个剪应力
2 x 2 y 3u 3v
y2 x2 xy2 yx2
2 xy
u y
v x
2 xy
xy
物理方程
x
E
1 2
x y
x
E
1 2
y x
xy
E
2 1
xy
写成矩阵形式为
D
E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩 变形的抵抗能力。
是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀
2.1弹性力学同有限元分析的关系
从几何形状复杂程度来考虑可以分为：
1）简单形状变形体—材料力学 2）任意形状变形体—弹性力学 任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力 学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。 弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂， 处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长 的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然 保留了材料力学中关于材料性质的假定。
2.1弹性力学同有限元分析的关系
弹性力学同材料力学的比较 3、研究的方法：
相同点：静力学、几何学与物理学三方面进行研究； 不同点：材料力学：