高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末复习提升课件 新人教A版选修2-1
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高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2
变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3， －12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐 标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz， 则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐 标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章空间向量与立体几何3.1.1
一进行判断：
①(A→B＋B→C)＋C→C1＝A→C＋C→C1＝A→C1； ②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1； ④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1. 答案： 4
• (3)注意零向量的书写，必须是0这种情势． • (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
空间向 量的加 减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算 (如图)：
O→B ＝O→A ＋A→B ＝_a_＋__b___； C→A ＝O→A －O→C ＝_a_－__b___
加法运 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
◎在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简D→A－D→B＋B→1C－
B→1B＋A→1B1－A→1B. 【错解】 D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B
＝A→B＋C→B＋B→1B＝D→C＋D→A＋B→1B＝D→B＋D→1D＝D→1B.
【错因】 对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，
中，老师从学校大门口回到住地方产生的总位 移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是
不在同一平面内的位移，如何刻画这样的位移 呢？
• [问题1] • [提示1] • [问题2] 吗？
• [提示2]
老师的位移是空间向量吗？ 是． 空间向量的加法与平面向量类似
类似．
空间向量
定义
长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
①(A→B＋B→C)＋C→C1＝A→C＋C→C1＝A→C1； ②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1； ④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1. 答案： 4
• (3)注意零向量的书写，必须是0这种情势． • (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
空间向 量的加 减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算 (如图)：
O→B ＝O→A ＋A→B ＝_a_＋__b___； C→A ＝O→A －O→C ＝_a_－__b___
加法运 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
◎在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简D→A－D→B＋B→1C－
B→1B＋A→1B1－A→1B. 【错解】 D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B
＝A→B＋C→B＋B→1B＝D→C＋D→A＋B→1B＝D→B＋D→1D＝D→1B.
【错因】 对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，
中，老师从学校大门口回到住地方产生的总位 移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是
不在同一平面内的位移，如何刻画这样的位移 呢？
• [问题1] • [提示1] • [问题2] 吗？
• [提示2]
老师的位移是空间向量吗？ 是． 空间向量的加法与平面向量类似
类似．
空间向量
定义
长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
高中数学优质课件精选人教版选修2-1课件第3章空间向量与立体几何3.1.4
理可知，存在有序ห้องสมุดไป่ตู้数组{x，y，z}，使得 p＝_x_e_1＋__y_e_2_＋__ze_3__.
把_x_，__y_，__z称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记 作_p_＝__(x_，__y_，__z_)
• 建立空间直角坐标系的方法
• (1)建立空间直角坐标系的关键是根据几何图 形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点 的直线，如若找不到，要想办法去构造．
又∵O→E＝12O→C，
∴O→E＝12(O→D－O→A＋O→B)
＝－12O→A＋12O→B＋12O→D.
③
又D→O＝－O→D，
④
将②③④代入①可得，
A→E＝(O→D－O→A)－O→D＋－12O→A＋12O→B＋12O→D ＝－32O→A＋12O→B＋12O→D，
∴A→E＝－32O→A＋12O→B＋12O→D.
7分 8分 11 分 12 分
•
用坐标表示空间向量的解题方法
与步骤为：
3．在直三棱柱 ABO－A1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4， BO＝2，AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角 坐标系中，求D→O，A→1B的坐标．
解析： (1)∵D→O ＝－O→D ＝－(O→O1＋O→1D) ＝－[O→O1＋12(O→A ＋O→B)]＝－O→O1－12O→A－12O→B.
•
用基底表示向量时，
• (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法 的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向 量的运算律进行．
• (2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时， 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量， 再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易 求．
2．设 O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC 的中
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 章末复习课
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学 知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行 线面平行 面面平行
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb ，k∈R
a⊥μ ⇔_______ a·μ＝0 l∥α⇔______ μ＝kv，k∈R α∥β⇔μ∥v⇔____________ a⊥ b a·b＝0 l⊥m⇔______ ⇔_______
线线垂直
线面垂直 面面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R
μ·v＝0 α⊥β⇔μ⊥v⇔_______
|a· b| π |a||b| 线线夹角 l，m的夹角为θ(0≤θ≤ )，cos θ＝______ 2
|a· μ| π |a||μ| 线面夹角 l，α的夹角为θ(0≤θ≤ )，sin θ＝______ 2
解析答
1
2 3 4 5
2.若A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(
A.不等边锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形
)
A
→ → → → ― → 解析 ― AB ＝(3,4,2)，― AC ＝(5,1,3)，― BC ＝(2，－3,1)，― AB · AC ＞0 得 A 为锐角；
如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
求证：(1)BC1⊥AB1； (2)BC1∥平面CA1D.
反思与
解析答
跟踪训练 2
A1FD1.
正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， E 、 F 分别是 BB1 、 CD 的中点，求证：平面 AED⊥平面
2019秋新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2.4
即 MN 的长为 ������2 - 2������ + 1. (2)由(1)知|������������| = ������2 2������ + 1 = =
2 , 2
������-
2 2
2
1 + , 2
∴当 a=
2 时,|������������|min 2
即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为
∴������
2 2 ������,0,1- ������ 2 2
, ������
2 2 ������, ������,0 2 2
,
2 2 ∴ ������������ = 0, ������, ������-1 . 2 2
∴|������������| = ������2 - 2������ + 1,
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
仅供学习交流！！！
-16-
-17-
-18-
题型一
题型二
题型三
错解:取 CD 的中点 O,连接 OB,OM, 则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD,则 MO⊥平面 BCD. 以 O 为原点,建立空间直角坐标系如图, 由题意得 OB=OM= 3, ������������ = 2 3, 所以 C(1,0,0),M(0,0, 3), ������(0, − 3, 0), ������(0, − 3, 2 3). 设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量, 则������������ = (1, 3, 0), ������������ = (0, 3, 3), ������ + 3������ = 0, ������· ������������ = 0, 由 得 取n=( 3, −1,1). 3������ + 3������ = 0. ������· ������������ = 0, 又������������ = 0, − 3, 2 3 , 则点A 到平面 MBC 的距离 d=
2 , 2
������-
2 2
2
1 + , 2
∴当 a=
2 时,|������������|min 2
即 M,N 分别为 AC,BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为
∴������
2 2 ������,0,1- ������ 2 2
, ������
2 2 ������, ������,0 2 2
,
2 2 ∴ ������������ = 0, ������, ������-1 . 2 2
∴|������������| = ������2 - 2������ + 1,
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题型一
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题型三
错解:取 CD 的中点 O,连接 OB,OM, 则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD,则 MO⊥平面 BCD. 以 O 为原点,建立空间直角坐标系如图, 由题意得 OB=OM= 3, ������������ = 2 3, 所以 C(1,0,0),M(0,0, 3), ������(0, − 3, 0), ������(0, − 3, 2 3). 设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量, 则������������ = (1, 3, 0), ������������ = (0, 3, 3), ������ + 3������ = 0, ������· ������������ = 0, 由 得 取n=( 3, −1,1). 3������ + 3������ = 0. ������· ������������ = 0, 又������������ = 0, − 3, 2 3 , 则点A 到平面 MBC 的距离 d=
2018-2019学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末整合提升优质课件 新人教A版选修2-1
专题四 ⇨利用空间向量求空间角
(1)求两异面直线所成的角 设 a、b 分别是异面直线 l1，l2 上的方向向量，θ 为 l1，l2 所成 |cos〈a，b〉|＝||aa|·|bb||．
(2)求直线与平面所成的角 设 l 为平面 α 的斜线，a 为直线的方向向量，n 为平面 α 的法 所成的角，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|＝||aa|·|nn||． (3)求二面角 设 n1、n2 分别是平面 α、β 的法向量，二面角为 θ，则 θ＝〈 －〈n1，n2〉(需要根据具体图形判断是相等还是互补)．
∴a＝(1， 2， 3)，b＝(1,0， 3) ∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ 16＋×32＝ 36．
专题三 ⇨利用空间向量解决平行与垂直问题
空间中的平行与垂直关系，是高考的重点题型， 的线面平行与垂直关系，使用向量将几何证明 为纯代数运算，使问题得以简化．
典例 4 如下图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 A1B 上的点，且 D1E＝2EB1，BF＝2FA1．
(2)已知 a＋b＝(2， 2，2 3)，a－b＝(0， 2，0)，则 cos〈a
A．
6 3
B．
6 6
C．13
D．16
[解析] (1)∵b＝12x－2a ∴x＝2b＋4a ＝2(－4，－3，－2)＋4(2,3，－4) ＝(－8，－6，－4)＋(8,12，－16) ＝(0,6，－20) (2)a＋b＝(2， 2，2 3)，a－b＝(0， 2，0)
新课标导学
数学
选修2-1 ·人教A版
第三章 空间向量与立体几何
章末整合提升
1
知识网
2
知识整
3
专题突
知识网络
高中数学人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何阅读与思考向量概念的推广与应用教学课件共12张PPT含学案
向量概念的推广与应用
从平面向量到空间向量难点解析
• 1.平面向量中成立的放在空间中是否成立？ • 2.在坐标表示的类比中，看看结构形式发生
什么样的变化？
• 3.空间向量与平面向量不同的内容是什么？
空间任意两个向量是否都可以平移到同一 平面内？
B
b
O
A
a
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
z
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
而在i,j所确定的平面上，
k
P
Oj
y
i
x
Q
由平面向量基本定理可知，存在
有序实数对 x,y，
使得OQ = xi + yj. 从而OP = OQ + zk = xi + yj + zk. 如果 i,j,k是空间三个两两垂直的向量， 那么，对空间任一个向量p，
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
突破难点二：三个不共面向量和与这三个向量的 关系
平移这三个向量,使其具有同一起点.以这三个向量为棱 作一平行六面体,则这平行六面体中与这三个向量具有相同
起点的那条对角线所确定的一个向量即是这三个向量之和.
突破难点三：那么什么情况下三个向量共面呢？
e
2
ae1Biblioteka 由e是平2 平面面向内量的基两本个定不理共知线，的如向果量e，，1 那么对于这一平面内的任意向量 a，
存在一个有序实数组 x,y,z ,
使得p = xi + yj + zk. x i,y j,zk为向量p在 i,j,k上的分向量.
空间向量基本定理可知，存在有序实数组
从平面向量到空间向量难点解析
• 1.平面向量中成立的放在空间中是否成立？ • 2.在坐标表示的类比中，看看结构形式发生
什么样的变化？
• 3.空间向量与平面向量不同的内容是什么？
空间任意两个向量是否都可以平移到同一 平面内？
B
b
O
A
a
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
z
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
而在i,j所确定的平面上，
k
P
Oj
y
i
x
Q
由平面向量基本定理可知，存在
有序实数对 x,y，
使得OQ = xi + yj. 从而OP = OQ + zk = xi + yj + zk. 如果 i,j,k是空间三个两两垂直的向量， 那么，对空间任一个向量p，
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
突破难点二：三个不共面向量和与这三个向量的 关系
平移这三个向量,使其具有同一起点.以这三个向量为棱 作一平行六面体,则这平行六面体中与这三个向量具有相同
起点的那条对角线所确定的一个向量即是这三个向量之和.
突破难点三：那么什么情况下三个向量共面呢？
e
2
ae1Biblioteka 由e是平2 平面面向内量的基两本个定不理共知线，的如向果量e，，1 那么对于这一平面内的任意向量 a，
存在一个有序实数组 x,y,z ,
使得p = xi + yj + zk. x i,y j,zk为向量p在 i,j,k上的分向量.
空间向量基本定理可知，存在有序实数组
高中数学优质课件精选人教版选修2-1课件第3章空间向量与立体几何3.2.2
• ②关注点：求角时，常与一些向量的计算联 系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及 模的运算．
1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E1，F1 分别在 A1B1， C1D1 上，且 E1B1＝14A1B1，D1F1＝14D1C1，求 BE1 与 DF1 所成 的夹角的余弦值．
解析： 方法一：(几何法)在 A1B1上取点 H 使 D1F1＝A1H， 连接 AH，易得：AH∥DF1，过 H 作 HG∥BE1 交 AB 于点 G， 那么∠AHG 即为两条异面直线所成的夹角，cos∠AHG＝1157；
则 B(4,4,0)，E1(4,3,4)，D(0,0,0)，F1(0,1,4)，
∴B→E1＝(0，－1,4)，D→F1＝(0,1,4)，B→E1·D→F1＝15，
cos〈B→E1，D→F1〉＝
→→ BE1·DF1 →→
＝1157，即为所求．
|BE1||DF1|
求直线与平面的夹角
•
如图所示，在正方体ABCD－
是 A→B 与C→D的夹角 cos θ＝
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
• ②关注点：结合图形求角时，应注意平面几 何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中 位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推
• (2)向量法
• ①方法：利用数量积或坐标方法将异面直线 所成的角θ转化为两直线的方向向量所成的角φ， 若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的 夹角应为两向量夹角的补角，即cos θ＝|cos φ|.
1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E1，F1 分别在 A1B1， C1D1 上，且 E1B1＝14A1B1，D1F1＝14D1C1，求 BE1 与 DF1 所成 的夹角的余弦值．
解析： 方法一：(几何法)在 A1B1上取点 H 使 D1F1＝A1H， 连接 AH，易得：AH∥DF1，过 H 作 HG∥BE1 交 AB 于点 G， 那么∠AHG 即为两条异面直线所成的夹角，cos∠AHG＝1157；
则 B(4,4,0)，E1(4,3,4)，D(0,0,0)，F1(0,1,4)，
∴B→E1＝(0，－1,4)，D→F1＝(0,1,4)，B→E1·D→F1＝15，
cos〈B→E1，D→F1〉＝
→→ BE1·DF1 →→
＝1157，即为所求．
|BE1||DF1|
求直线与平面的夹角
•
如图所示，在正方体ABCD－
是 A→B 与C→D的夹角 cos θ＝
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
• ②关注点：结合图形求角时，应注意平面几 何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中 位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推
• (2)向量法
• ①方法：利用数量积或坐标方法将异面直线 所成的角θ转化为两直线的方向向量所成的角φ， 若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的 夹角应为两向量夹角的补角，即cos θ＝|cos φ|.
高二数学(人教A版)选修2-1课件第三章 空间向量与立体几何
(5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．
6．运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 a· b 利用公式 cos〈a，b〉＝ ， |a|· |b| 但务必注意两异面直线所成角 θ
(3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法： 一种方法是利用平面角 的定义， 在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向 量， 然后求出这两个方向向量的夹角， 由此可求出二面角的大 小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角， 它与二面角的大小相等或互补．
7．运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、 点与面的距离． (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度， 因此也就是 这两点对应向量的模．
二、利用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成的角 设 a，b 分别是异面直线 l1，l2 上的方向向量，θ 为 l1，l2 |a· b| 所成的角，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a||b|. (2)求直线与平面所成的角 设 l 为平面 α 的斜线，a 为直线的方向向量，n 为平面 α 的法向量，θ 为 l 与 α 所成的角，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|＝ |a· n| . |a||n|
成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
空间向量与立体几何
第三章
章末归纳总结
知识梳理
1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、 减法的平行四边形法则， 三角形法则以及相关的运算律仍然成 立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都 是平面向量在空间中的推广， 空间向量基本定理则是向量由二 维到三维的推广．
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.2.1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2 ． 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， O 是 B1D1 的 中 点 ， 求 证：B1证C∥明平：面O证D法C1一. ：∵B→1C＝A→1D，B1∉A1D，∴B1C∥A1D，
(2)求平面法向量的常见类型 ①已知平面内三个点的坐标，求这三个点确定的平面的法 向量； ②一个几何体中存在线面垂直关系，在建立空间直角坐标 系后，平面的垂线的方向向量即为平面的法向量； ③在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行 的向量，然后求平面的法向量．
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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(1)设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点， 于是 G 22， 22，0，从而E→G＝ 22， 22，－1， 又A→F＝－ 22，－ 22，1＝－E→G，所以A→F∥E→G.因为 AF 与 EG 不共线，所以 AF∥EG，又 EG⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE，所以 AF∥平面 BDE.
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3．已知平面α上两个不共线向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)， 则平面α的一个法向量为________．
解析： 设平面 α 的法向量为 n＝(x，y，z)，
由ab··nn＝ ＝00 得25xx＋ ＋36yy＋ ＋z4＝z＝0， 0，
思路点拨： 建立空间直角坐标系 → 求出相应点的坐标 → P→Q，R→S的坐标 → P→Q∥R→S ⇒ 结论
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方法总结
思想构建
1.数形结合思想 数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思 维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.空间向量是既 有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点，因此将 立体几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，使解答过 程顺畅、简捷、有效，提高解题速度.
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第三章 空间向量与立体几何
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要点归纳
主干梳理
1.空间向量的运算及运算律 空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似， 空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的 三角形法则与平行四边形法则仍然成立. 2.两个向量的数量积的计算 向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相 等、两向量垂直、射影、夹角等问题中.
解析答案
课堂小结
空间向量的引入为立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空 间几何问题的重要工具，对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题 解决的过程之中，成为新课标高考必考的热点之一. (1)对本章的考查的重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空 间中的线线角、线面角以及二面角的求解；空间中简单的点点距和点 面距的求解.给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年 考查中已有体现.题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何 的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间 向量的基本概念和运算.
得nn22··FC——C1—→B→11＝＝22yx22＋＝z02＝，0，
得xz22＝＝－0，2y2.
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2，所以n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
解析答案
2.转化和化归思想 转化和化归思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换 使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.其本质含义是：在解 决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟 知的结论，由此将问题化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解 决问题的目的.
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
解析答案
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB的距离和 点N到AP的距离.
解析答案
跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；
解析答案
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1—CD—C1的平面角的D—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、 DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
解析答案
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 因为C——1B→1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
由 n2⊥F—C→1，n2⊥C——1B→1，
(1)求多面体EABCDF的体积；
解析答案
(2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；
解析答案
(3)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明. 解 如图所示，取线段CD的中点Q，连接KQ，直线KQ即为所求.
解析答案
解析答案
3.方程思想 方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转 化为数学模型(方程、不等式)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使 问题获解.用空间向量解决立体几何问题属于用代数方法求解，很多时 候需引入未知量.
即x3＝y＋0， 4z＝0， 令 y＝1，则 z＝－34，∴n＝(0,1，－34)，
又由(1)知，平面 AB1C1 的一个法向量为C—A→1＝(4,0,4)，
∴cos〈n·C—A→1〉＝
—→ n·C—A→1 ＝
－35＝－3102，
|n|·|CA1| 4 2·4
∴二面角 C1－AB1－C 的余弦值为3102.
例1 某几何体ABC－A1B1C1的三视图和直观图如图所示.
(1)求证：A1C⊥平面AB1C1；
解析答案
(2)求二面角C1－AB1－C的余弦值. 解 由(1)得，C→A＝(4,0,0)，C—B→1＝(0,3,4)，
设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)， ∵C→A⊥n，C—B→1⊥n
C→A·n＝0， ∴C—B→1·n＝0，
3.空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再 利用有关公式计算求解.常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行 问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题. 4.空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以 线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的.
5.利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将 原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹 角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后 利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解. 6.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、 正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的 坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实 现几何问题的代数化解法.
(2)空间向量的引入使空间几何体也具备了“数字化”的特征，从而把 空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了纯粹的数 字运算问题，降低了思维的难度，成为新课标高考必考的热点.考查的 重点是结合空间几何体的结构特征求解空间角与距离，其中二面角是 历年新课标高考命题的热点，多为解答题.
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1.数形结合思想 数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思 维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.空间向量是既 有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点，因此将 立体几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，使解答过 程顺畅、简捷、有效，提高解题速度.
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1.空间向量的运算及运算律 空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似， 空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的 三角形法则与平行四边形法则仍然成立. 2.两个向量的数量积的计算 向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相 等、两向量垂直、射影、夹角等问题中.
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空间向量的引入为立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空 间几何问题的重要工具，对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题 解决的过程之中，成为新课标高考必考的热点之一. (1)对本章的考查的重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空 间中的线线角、线面角以及二面角的求解；空间中简单的点点距和点 面距的求解.给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年 考查中已有体现.题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何 的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间 向量的基本概念和运算.
得nn22··FC——C1—→B→11＝＝22yx22＋＝z02＝，0，
得xz22＝＝－0，2y2.
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2，所以n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
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2.转化和化归思想 转化和化归思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换 使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.其本质含义是：在解 决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟 知的结论，由此将问题化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解 决问题的目的.
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
解析答案
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB的距离和 点N到AP的距离.
解析答案
跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；
解析答案
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1—CD—C1的平面角的D—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、 DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
解析答案
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 因为C——1B→1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
由 n2⊥F—C→1，n2⊥C——1B→1，
(1)求多面体EABCDF的体积；
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(2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；
解析答案
(3)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明. 解 如图所示，取线段CD的中点Q，连接KQ，直线KQ即为所求.
解析答案
解析答案
3.方程思想 方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转 化为数学模型(方程、不等式)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使 问题获解.用空间向量解决立体几何问题属于用代数方法求解，很多时 候需引入未知量.
即x3＝y＋0， 4z＝0， 令 y＝1，则 z＝－34，∴n＝(0,1，－34)，
又由(1)知，平面 AB1C1 的一个法向量为C—A→1＝(4,0,4)，
∴cos〈n·C—A→1〉＝
—→ n·C—A→1 ＝
－35＝－3102，
|n|·|CA1| 4 2·4
∴二面角 C1－AB1－C 的余弦值为3102.
例1 某几何体ABC－A1B1C1的三视图和直观图如图所示.
(1)求证：A1C⊥平面AB1C1；
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(2)求二面角C1－AB1－C的余弦值. 解 由(1)得，C→A＝(4,0,0)，C—B→1＝(0,3,4)，
设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)， ∵C→A⊥n，C—B→1⊥n
C→A·n＝0， ∴C—B→1·n＝0，
3.空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再 利用有关公式计算求解.常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行 问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题. 4.空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以 线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的.
5.利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将 原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹 角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后 利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解. 6.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、 正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的 坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实 现几何问题的代数化解法.
(2)空间向量的引入使空间几何体也具备了“数字化”的特征，从而把 空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了纯粹的数 字运算问题，降低了思维的难度，成为新课标高考必考的热点.考查的 重点是结合空间几何体的结构特征求解空间角与距离，其中二面角是 历年新课标高考命题的热点，多为解答题.
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