直线方程(直线方程完美总结 归纳)

直线方程

一、倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角

①倾斜角：与x 轴正方向的夹角

②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为

③倾斜角的范围

2.直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值.记作tan k α=0(90)α≠ ②当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k == ③当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.

④经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（

）的直线的斜率公式是21

21

y y k x x -=-

⑤每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 3.求斜率的一般方法：

①已知直线上两点，根据斜率公式21

2121

()y y k x x x x -=

≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； 4.利用斜率证明三点共线的方法：

已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

考点一 斜率与倾斜角

例1. 已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（ ）. A . 60° B . 30° C . 60°或120° D . 30°或150°

0α00

0180α≤<

例2.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.

考点二 三点共线

例1.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．

考点三 斜率范围

例1.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.

例2. 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y

x

的最大值与最小值。

二、 直线方程

名称 方程的形式

已知条件

局限性 ①点斜式

11()y y k x x -=-

11(,)x y 为直线上一定点，

k 为斜率

不包括垂直于x 轴的直线

②斜截式

y kx b =+

k 为斜率，b 是直线在y 轴 上的截距

不包括垂直于x 轴的直线

③两点式

不包括垂直于x 轴和y 轴的直线

④截距式

是直线在轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距

不包括垂直于x 轴

和y 轴或过原点的直线

⑤一般式

0Ax By C ++=

22(0)A B +≠

,,A B C 为系数

无限制，可表示任何位置的直线

三、直线的位置关系

1.两条直线平行：对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行

2.两条直线垂直：如果两条直线斜率存在，设为，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l

11

2121

y y x x y y x x --=

--11221212(,),(,)x y x y x x y y ≠≠经过两点且(,)

1x y a b +=a x 12,l l 12,k k 12,l l 12l l 与12,l l 12,k k

考点四 直线的位置关系

例1.已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.

例2.已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。

例3. ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.

例4.已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点.

（1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.

考点五定点问题

例1.已知直线31

=++.（1）求直线恒经过的定点；

y kx k

（2）当33

-≤≤时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.

x

考点六周长及面积

例1.已知直线l过点(2,3)

-，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程．

考点七反射

例1.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

四、1.121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，

1212122

(,)2

x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 2.两条直线的交点

设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=

两条直线的交点坐标就是方程组1112220

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。

①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. 3.两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式

22

122121||()()PP x x y y =

-+-

4.点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离002

2

||

Ax By C d A B

++=

+

5.两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离122

2

||C C d A B

-=+

考点八 点到直线距离

例1.已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（ ）.

A ．2

B ．－2

C ．21-

D ．21+

例2. 求过直线1110

:33

l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.