直线的方程知识点及题型归纳总结

直线的方程知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、基本概念 斜率与倾斜角

我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。

x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合

的直线的倾斜角为0，倾斜角不是

2

π

的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。 当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；

当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式

1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式

12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式

121212tan (,)2

y y k x x x x π

αα-=

=≠≠-

3.直线方程的几种形式

（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+

（3）两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。

注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：

1x y

a b

+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。 （5）一般式：2

2

0(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =r

是这

条直线的一个法向量）

题型归纳及思路提示

题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示

正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式12

12

y y k x x -=

-，根据该公式求出经过两

点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90o

求斜率可用tan (90)k αα=≠o

，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。牢记“斜率变化分两段，90o

是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”。这可通过画正切函数在

0,,22πππ????

?? ??????

上的图像来认识。

例9.1 若三点(2,2),(,0),(0,)A B a C b (0)ab ≠共线，则11

a b

+=___________.

分析 由三点共线可联想到斜率相等或向量共线。 解析 解法一：由题设可知AB AC k k =，

即

022

202b a --=

--，(2)(2)4,2()a b ab a b --==+ 1112

a b a b ab ++== 解法二：由题设可知//AB AC u u u r u u u r

，

即(2,2)//( 2.2)a b ----，即(2)(2)4a b --=。

2()ab a b =+，111

2

a b a b ab ++=

= 解法三：由题设可知点(2,2)A 在直线BC 上，又由截距式方程得直线BC 方程：

1x y

a b

+=，故221111,2

a b a b +=+=。 评注 关于三点共线问题，可以联想到斜率相等或向量共线，亦可先由两点确定一条直线，再证第三点在该直线上，这些方法对学习平面解析（空间立体）几何或几何证明都很有益处。

变式1 若直线l 先向左平移一个单位，再向上平移两个单位后，所得直线与直线l 重合，则直线l 的斜率为__________.

变式2 已知过2

(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是___________.

例9.2 已知(0,0),(1,1),(1,1),(1,1)O A B C --，P 点为一动点。 （1）当P 点在线段AB 上运动时，求直线OP 倾斜角的范围 （2）当P 点在线段AC 上运动时，求直线OP 的斜率的范围。

解析 （1）当P 点在线段AB 上运动时，求直线OP 斜率为[]1,1-，可得倾斜角的范围为

30,,44πππ?????????????

。 （2）当P 点在线段AC 上运动时，倾斜角范围为3,44ππ??

????

，可得斜率为直线OP 的斜率的范围(][).11,-∞-?+∞

评注 当斜率有正负时，倾斜角为两段；当角度包括90o

时，斜率分两段，可用正切函数0,,22πππ????

?? ??????

上的图像求解。

变式1 若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，则下列四个命题正确的是（ ） A.若12αα<，则两直线的斜率12k k < B.若12αα=，则两直线的斜率12k k = C.若12k k <，则两直线的斜率12αα< D.若12k k =，则两直线的斜率12αα=

变式2 若直线l 的斜率k 的变化范围是?-?，则其倾斜角的变化范围是（ ）

A. ,()43k k k Z ππππ??

-

++∈????

B.

,43ππ??-???? C.3,34ππ??--???? D .30,,34πππ????

?????????

变式3 直线l 经过2

(2,1),(1,)A B m 两点（m R ∈），那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A. [)0,π B. 0,

,42πππ????????????? C.0,4π?????? D .0,,42πππ????

?? ??????

例9.3 已知直线l 过(1,2)P -，且与以(2,3),(3,0)A B --为端点的线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围。

分析 本题为“由直线区域求直线斜率范围”求解步骤。

①做出直线区域图；②求出区域边界斜率12,k k ；③按逆时针方向旋转得到12k k →；④若12k k >，直接写出12[,]k k k ∈（或开区间），若12k k <过无穷，[)12(,],k k k ∈-∞?+∞。 解析 解法一：如图所示，1

5,2

PA PB k k ==-

。因为过点(1,2)P -且与x 轴垂直的直线PC 与线段AB 相交，但此时直线l 斜率不存在，直线PA 绕点P 逆时针旋转到PC 时，l 斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时

l 斜率的范围是[)5,+∞；

直线l 由PC （不包括PC ）逆时针旋转至PB 时，l 斜率始终为负值，且逐渐增大，范围是1,2

??-∞- ??

?

。

故所求直线的斜率的取值范围是[)1,5,2

??-∞-?+∞ ??

?

。

解法二：本题也可以用线性规划的知识来解决，当l x ⊥轴时，与线段AB 相交，此时斜率不存在。当斜率k 存在时，设直线l 的方程为(1)2y k x =++，即20kx y k -++=，要使l 与线段AB 有交点，只需,A B 落在直线l 的两侧或直线上，则应满足[(2)(3)2](32)0k k k k ---++??++≤，得1

2

k ≤-或5k ≥，故所求直线l 的斜率k 的取值范围是[)1,5,2

??-∞-?+∞ ??

?

。

评注 本题主要用了数形结合的方法。另外，直线斜率的绝对值越大，直线就越“陡”，这一规律在判断直线的倾斜程度上应用较广。

变式1 已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1),(2,2)-，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 有交点，求实数m 的范围。

变式2 已知实数,x y 满足2

22(11)y x x x =-+-≤≤，试求3

2

y x ++的最大值与最小值。，

题型2 直线的方程 思路提示

要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式。 例9.4 求下列直线方程：

（1）直线`1l ：过点(2,1)，斜率2k =-； （2）直线`2l ：过点(2,1)-和点(3,3)-； （3）直线`3l ：过点(0,1)，斜率12

-

。 分析 已知点的坐标和斜率用点斜式，已知两点的坐标用两点式，已知在轴上的截距和斜率用截距式，最终的结果最好化成直线的一般式。

解析 （1）由直线的点斜式方程得12(2)y x -=--，整理得`1l 的方程为250x y +-=。 （2）解法一：由直线的两点式方程得

1(2)

313(2)

y x ---=----，整理得`2l 的方程为4530x y ++=。 解法二：直线`2l 的方程求解也可用点斜式，先算出314325k --==-+，再代入点斜式得4

1(2)5

y x -=-+，即4530x y ++=

（3）由直线的点斜式方程得1

12

y x =-

+，整理得`3l 的方程为220x y +-= 评注 已知直线上一点的坐标以及直线斜率，或已知直线上两点坐标均可用直线方程的点斜式表示，使用直线方程的点斜式时，应在直线斜率存在的条件下使用，当斜率不存在时，直线方程为0x x =。 变式1 求满足下列条件的直线方程： （1）斜率2k =，在y 轴上的截距是5； （2）斜率3k =，在x 轴上的截距是1-；； （3）在x 轴, y 轴上的截距是2，-5。

变式2 直线`1l ： 310x y -+=，直线`2l 过点(1,0)，且它的倾斜角是`1l 的倾斜角的2倍，则`2l 的方程为__________.

例9.5 已知两直线`111:70l a x b y ++=，`2l 22:70a x b y ++=都经过点(3,5)，则经过点

112212(,),(,)()a b a b a a ≠的直线方程是____________.

解析 解法一：由题设可知所求直线斜率为21

21b b k a

a -=

-，且1122

35703570a b a b ++=??++=?，

作差得12123()5()0a a b b -+-=，则350k +=，35

k =-

。 故所求直线为：113()5

y b x a -=--，即1135(35)0x y a b +-+=， 即3570x y ++=。

解法二： 由两直线`111:70l a x b y ++=，`2l 22:70a x b y ++=都经过点(3,5),得1122

3570

3570a b a b ++=??++=?，两

点112212(,),(,)()a b a b a a ≠都适合方程3570x y ++=，

又过这两点的直线是唯一的。故经过点112212(,),(,)()a b a b a a ≠的直线方程是3570x y ++=

评注 若两点1122(,),(,)A x y B x y 同时满足方程：22

0()Ax By C A B ++=+，即

0(1,2)i i Ax By C i ++==，则过,A B 两点的直线方程为AB l ：0Ax By C ++=

变式1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的顶点为(0,),(,0),(,0)A a B b C c 。点(0,)P p 为线段AO 上的一点（异于端点），这里,,,a b c p 为非零常数。设直线,BP CP 分别与边,AC AB 交于点,E F 。某同学已正确求得直线OE 的方程为1

111

()(

)0x y b c p a

-+-=，请完成直线OF 的方程：11

(_________)()0x y p a

+-=.

例9.6 过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别是,a b ，且满足3a b =的直线方程为__________. 分析 过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别是,a b ，注意分类讨论,a b 为0的情形。

解析 若0a b ==，此时直线过原点，设直线方程为y kx =且过点(2,1)P -，则直线方程为；1

2

y x =-； 若30a b =≠，则设直线方程为1x y a b +=。又3a b =，故13x y b b +=，又过点(2,1)P -，则21

13b b

-=，得1

3

b =-

，故直线方程为310x y ++=， 故所求的直线方程为

20x y +=或310x y ++=。

评注 本题常见的求解错误是忽视截距为零的情况，一般地，条件给出的两个截距（或截距的绝对值）成倍数关系时，若设直线的截距式应注意截距为零，及直线过原点的情形。 变式1 直线l 经过点(3,2)，在在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程。

变式2 直线l 经过点(2,1)P ，且在y 轴上的截距是在x 轴截距的2倍，求直线l 的方程。

例9.7 直线l 经过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程。 解析 解法一：依题意，设直线l 的方程为1x y a b +=，因为直线l 经过点(5,4)P --，所以541a b

--+=，即45a b ab +=-，由已知1

||||52

a b =， 得||||10a b =，解方程组45||||10

a b ab

a b +=-??

=?，

得524a b ?

=-

???=?或52a b =??

=-?，故所求的直线l 方程为1542

x y +=-或152x y +=- 85200x y -+=或25100x y --=。

解法二：依题意，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为4(5)y k x +=+， 令0x =，得54y k =-，令0y =，得4

5x k

=-。 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为

14|5||54|52k k --=，得25k =或8

5

k =。故所求的直线l 方程为24(5)5y x +=+或8

4(5)5

y x +=+

即85200x y -+=或25100x y --=。

变式1 过点(2,1)P 分别与,x y 轴正半轴交于,A B 两点。 （1） 当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程; （2） 当||||OA OB +取最小值时，求直线l 的方程;

（3） 当||||PA PB +取最小值时，求直线l 的方程;

例9.7 一条直线l 被两条直线1:85200l x y -+=和2:85200l x y -+=截得的线段中点M 恰好是坐标

原点，求直线l 的方程

分析 已知点(0,0)O ，故可以考虑使用点斜式方程，通过两次联立方程，分别求出直线l 与460x y ++=和3560x y --=的两个交点坐标，然后利用中点坐标公式求得k 的值。 解析 解法一：当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =

由,460y kx x y =??++=?得6464x k k y k -?=??+?

-?=?+?，由,3560y kx x y =??--=?得635635x k

k y k ?

=??-??=?-?

， 其交点的中点坐标为6666435435(,)22

k k

k k k k --++

+-+-.

据题意知660435k k -+=+-得1

6

k =-.

故所求直线方程为1

6

y x =-.

当直线l 斜率不存在时，则l ：x =0，与l 1,l 2交点分别为(0,－6)，(0,65-

)，其中点坐标为(0,18

5

-)，不为原点，不满足题意.

解法二：为了确定直线l 的方程，需要两个独立的要素，故考虑求出直线上的两个点的坐标，从而可得直线l 的方程. 因为两个交点的线段的中点为原点，故设直线l 与1:460l x y ++=的交点为(,)A a b ，则与直线2:3560l x y --=的交点为(,)B a b --，因为(,)A a b 在直线1:460l x y ++=上，(,)B a b --在直线

2:3560l x y --=上，故有4603560a b a b ++=??-+-=?，得3623

6

23a b ?=-????=??

，所以直线通过点366(,)2323A -和点O （0，

0），易得直线l 的方程为1

6

y x =-

. 评注 求直线方程最常用的方法是待定系数法，本题所求方程的直线过已知点M （0，0），故设出直线的点斜式y kx =，由题中另一条件确定斜率，思路顺理成章.但要注意讨论斜率是否存在，特别是能否把已知条件与相关知识联系变能再得新的解法，如本题中的解法二.确定直线方程基本可以分为两类题型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，此法可称为直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程（含有参数或待定系数），再确定方程（即求出参数值），此时对直线方程来讲可称为间接法. 因为确定一条直线需要两个独立的几何量，要么上个点与斜率，要么两个都是点，所以在求直线方程时，要拿着“方程思想”去积极地从题设中获得未知的几何量所应满足的方程的方程组，然后加以解决即可得解.

变式1过点M （0，1）作直线，使它被两条直线12:3100,:280l x y l x y -+=+-=所截的线段恰好被点M 平分，求此直线的方程.

例9.9

若直线1:l y kx =与直线2:2360l x y +-=的交点位于第一象限，则直线1l 的斜率取值范围为 .

解析 1l

过定点(0,,2l 与x 轴正半轴的交点为(3,0),与y 轴正半轴交点为(0,2).要交点位于第一象限,即交点在此两点之间,可得k

的取值范围为)+∞,所以倾斜角的范围为(,)62

ππ. 评注 两直线交点问题一般是一动直线与一定直线,动直线要找出经过的定点,即可解答.

变式 1 直线1:2340l ax y a +++=与直线2:40l x y +-=的交点位于第一象限,则a 的取值范围为 .

有效训练题

1.下列命题

A ．过点00(,)P x y 的直线都可表示为00()y y k x x -=-

B ．过两点1122(,),(,)x y x y 的直线都可表示为122121()()()()x x y y y y x x --=--

C ．过点（0，b ）的所有直线都可表示为y kx b =+

D ．不过原点的所有直线都可表示为

1x y a b

+= 2.过点(2,2)-且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为1的直线的斜率为（ ） A ．2k =-或1k =- B ．2k =-或12

k =-

C ．12

k =-

D ．3k =-或13

k =-

3.已知直线12,l l 的方程分别为0,0x ay b x cy d ++=++=，其图象如图9-3所

示，则有（ ） A ．0ac < B ．a c <

C ．0bd <

D ．b d >

4.设直线l 的方程为cos 30()x y R θθ++=∈，则直线l 的倾斜角α的取值范围是

（ ） A ．[0,)π

B ．(

,)42

ππ

C ．3[

,

]44ππ

D ．3(

,)(,)4224

ππ

ππU 5.直线:10l Ax By +-=在y 轴上的截距是1-

y -=的倾斜角的2倍，则（ ） A

．1A B == B

．1A B ==- C

．1A B ==-

D

．1A B ==

6.直线10ax y ++=与连接(2,3),(3,2)A B -两点线段相交，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,2]-

B ．(,1)[2,)-∞-+∞U

C ．[2,1]-

D ．(,2][1,)-∞-+∞U

7.过点P （2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .

8.已知点(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点P （1，1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .

9.直线2

0(0)x a y a a +-=>，当此直线在x ,y 轴上截距和最小时，a 的值为 . 10.设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈. （1）若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；

（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.

11.根据所给条件求直线的方程：

（1）直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. （2）直线过点(5,10)，且到原点距离为5. （3）过点A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是35

.

12.已知在矩形ABCD 中，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上，求AD 边所在的直线的方程.