演化算法 概述
数学的演化算法
数学的演化算法演化算法（Evolutionary Algorithm）是一种通过模拟自然界生物进化过程来解决复杂问题的计算机算法。
它的提出受到达尔文的进化论启发，进一步发展了进化计算领域。
在数学中，演化算法被广泛应用于求解最优化问题、参数优化、函数逼近等领域，为数学家和工程师提供了一种有效的求解复杂问题的方法。
1. 演化算法的基本原理演化算法的核心概念是“进化”，它模拟了生物进化的过程。
该算法主要包括以下几个步骤：1.1 初始化种群演化算法首先需要初始化一个种群，种群中的个体表示问题的一个可能解，每个个体被编码为一个染色体。
1.2 个体适应度评估对于给定的问题，每个个体都有一个适应度值，它表示该个体对问题的解决程度。
适应度评估是根据问题的具体需求确定的。
1.3 选择选择操作通过适应度值来选择种群中的个体，适应度值越高的个体被选择的概率越大。
选择操作模拟了自然界中的“适者生存”的原则。
1.4 交叉交叉操作模拟了生物个体的基因重组，通过交换染色体中的信息来产生新的个体。
交叉操作可以改变个体之间的染色体结构，从而进一步增加种群的多样性。
1.5 变异变异操作通过改变染色体中的信息来引入种群的多样性，避免种群陷入局部最优解。
变异操作模拟了生物个体基因的突变。
1.6 更新种群根据选择、交叉和变异操作生成的新个体，更新原有种群，形成下一代种群。
1.7 终止条件演化算法根据设定的终止条件判断是否终止，如达到最大迭代次数或满足特定的收敛准则等。
2. 演化算法在数学中的应用演化算法在数学中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用领域：2.1 最优化问题演化算法可以用于求解最优化问题，如函数最大值、函数最小值、方程组求解等。
它通过优化个体的适应度值来逐步逼近最优解，从而得到问题的最优解或近似最优解。
2.2 参数优化在实际问题中，往往需要优化问题的参数，使得问题的性能达到最佳状态。
演化算法可以用于参数优化问题，通过调整参数的组合来达到最佳的性能。
进化算法遗传算子
进化算法遗传算子介绍进化算法是一类启发式优化算法，通过模拟生物进化过程中的遗传机制，来寻找问题的优化解。
遗传算子是进化算法的核心组成部分，它通过模拟生物进化过程中的遗传变异、交叉和选择等操作，来不断改进种群中的个体，并最终找到最优解。
遗传算子的分类遗传算子主要分为以下几种类型：1. 选择算子选择算子模拟自然选择的过程，根据个体的适应度值选择优秀的个体作为父代参与繁殖，从而传递优秀的基因信息。
常用的选择算子有轮盘赌选择、锦标赛选择等。
2. 交叉算子交叉算子模拟生物进化过程中的基因交换，通过将两个父代个体的染色体进行切割和重组，生成新的子代个体。
常用的交叉算子有单点交叉、多点交叉和均匀交叉等。
3. 变异算子变异算子模拟生物进化过程中的基因变异，通过对个体染色体的部分基因进行随机改变，引入新的基因组合，从而增加种群的多样性。
常用的变异算子有位变异、反转变异和插入变异等。
遗传算子的作用遗传算子在进化算法中起到了至关重要的作用，它们通过不同的操作方式影响个体的基因组合，从而对种群进行优化。
1. 选择算子的作用选择算子可以根据个体的适应度值，对种群中的个体进行评估和排序，选择适应度高的个体作为父代，保留其优秀的基因信息。
选择算子能够提高种群适应度，并促使种群向适应度更高的方向进化。
2. 交叉算子的作用交叉算子通过将父代个体的部分基因进行交换和重组，生成新的子代个体。
交叉算子能够引入新的基因组合，增加种群的多样性，并有利于发现更优的解。
交叉算子还能够加速种群的进化速度，提高种群适应度。
3. 变异算子的作用变异算子引入了个体染色体的突变，通过改变染色体中的部分基因，插入新的基因组合。
变异算子可以增加种群的多样性，防止种群陷入局部最优解。
变异算子还可以引入新的基因组合，有助于发现更优的解。
遗传算子的参数设置在使用遗传算法求解问题时，合适的参数设置是非常关键的。
以下是常见的遗传算子参数：1. 种群规模（Population Size）种群规模定义了每一代中的个体数量，它应该充分考虑问题的复杂度和计算资源的限制。
天线设计和参数优化技术
天线设计和参数优化技术随着通信技术的不断发展，天线设计和参数优化技术越来越受到重视。
天线作为通信系统的重要部分，其设计和优化直接影响着系统的性能和可靠性。
因此，天线设计和参数优化技术的研究成为了通信技术领域的热点。
本文将从传统天线设计的缺点、天线参数优化的方法和实践三个方面进行探讨。
一、传统天线设计的缺点传统的天线设计方法主要是通过实验和仿真得到天线的性能参数，并逐步调整来实现优化。
这种方法虽然能够获得较好的天线性能，但存在以下缺点：1. 成本高：传统的天线设计方法需要大量的实验和仿真，并逐步调整优化，因此成本较高。
2. 时间长：传统的天线设计方法需要不断地实验和仿真，耗时较长。
3. 局限性：传统的天线设计方法只能得到局部最优解，无法保证全局最优解。
因此，为了解决传统天线设计的缺点，天线参数优化技术逐渐成为了研究热点。
二、天线参数优化的方法天线参数优化的方法主要包括以下两种：1. 演化算法演化算法是一类基于自然进化原理的全局优化方法，适合于解决复杂问题。
演化算法通过对种群的选择、交叉、变异等操作来寻找全局最优解。
比较常用的演化算法包括遗传算法、粒子群优化算法、蚁群优化算法等。
2. 人工神经网络人工神经网络是一种模仿大脑神经元结构和功能的计算模型，其根据输入信号产生一定输出。
人工神经网络的拓扑结构和参数可以通过优化来得到最佳的天线性能。
比较常用的人工神经网络包括多层感知机、循环神经网络、卷积神经网络等。
尽管演化算法和人工神经网络在优化问题方面都有优良的性能，但在天线参数优化时，具有不同的特点和优势。
因此，选择合适的优化方法和算法来进行天线设计是非常重要的。
三、天线参数优化实践在天线参数优化实践方面，演化算法和人工神经网络均得到了广泛的应用和研究。
1. 演化算法实践演化算法可以用于各种不同类型的天线性能参数优化，包括天线阻抗匹配、天线辐射模式、天线频率带宽等。
演化算法中最常用的是遗传算法和粒子群优化算法。
人工智能算法基础知识概览
人工智能算法基础知识概览人工智能算法是指为了实现人工智能技术而设计的一系列数学模型和方法。
它们是人工智能的核心组成部分，能够通过机器学习、数据挖掘和模式识别等手段，从大量数据中学习和推理，实现人类智能。
一、机器学习算法机器学习算法是人工智能算法的基石，广泛应用于各个领域。
它通过计算机从已有的样本数据中自动学习，并根据这些学习结果进行预测和决策。
1.1 监督学习监督学习算法是指在给定输入和对应输出的训练样本集的情况下，通过学习得到一个输入到输出的映射关系。
常见的监督学习算法有线性回归、逻辑回归和决策树等。
1.2 无监督学习无监督学习算法是指在给定输入的情况下，从数据中挖掘出隐藏的结构和规律。
常见的无监督学习算法有聚类分析、关联规则挖掘和主成分分析等。
1.3 强化学习强化学习算法是指通过试错的方式，使智能体与环境进行交互，并根据环境的反馈来调整自己的行为。
常见的强化学习算法有Q-learning 和深度强化学习等。
二、深度学习算法深度学习是机器学习的一种特殊形式，其核心是人工神经网络模型。
深度学习算法在图像识别、语音识别和自然语言处理等领域取得了重大突破。
2.1 卷积神经网络（CNN）卷积神经网络是一种专门用于处理图像识别和计算机视觉任务的深度学习算法。
它通过卷积、池化和全连接等操作，逐层提取图像的特征。
2.2 循环神经网络（RNN）循环神经网络是一种专门用于处理序列数据的深度学习算法。
它通过神经元之间的循环连接，使过去的信息可以传递到未来，适用于语言模型和序列生成等任务。
2.3 预训练模型预训练模型是指在大规模数据集上进行预训练，然后在特定任务上进行微调的深度学习算法。
常见的预训练模型有BERT、GPT和VGG 等。
三、演化算法演化算法是启发式搜索的一种，在优化问题和模拟进化过程中具有广泛应用。
它通过模拟生物进化的过程，通过选择、交叉和变异等操作来生成更好的解。
3.1 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化的优化算法。
一种创新算法有哪些方法
一种创新算法有哪些方法创新算法是指为了解决特定问题而采用创新思维和方法开发的一种算法。
创新算法的目标是提出一种新颖、高效、精确的解决方案，以满足现实世界中不断变化的需求。
下面我们将介绍一些常见的创新算法方法。
1. 启发式算法（Heuristic algorithms）：启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，用于解决复杂问题。
启发式算法不保证找到全局最优解，但往往能在合理的时间内找到一个较优的解决方案。
启发式算法的代表性方法包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。
2. 深度学习算法（Deep learning algorithms）：深度学习算法是一种模仿人脑神经网络的机器学习方法，能够通过对大量数据进行训练来提取高级抽象特征，并实现自动学习和自适应。
深度学习算法的代表性方法包括卷积神经网络（CNN）、循环神经网络（RNN）等。
3. 转移学习算法（Transfer learning algorithms）：转移学习算法是一种通过将已学习的知识转移到新任务中，从而加速学习过程的方法。
转移学习算法的基本思想是通过共享底层特征的方式，将在一个任务上已经学习到的知识迁移到另一个任务上。
转移学习算法的代表性方法包括领域自适应、特征选择等。
4. 强化学习算法（Reinforcement learning algorithms）：强化学习算法是一种通过试错的方式学习最优行为的方法。
在强化学习中，算法通过与环境进行交互，根据环境的反馈来调整自身的策略，以最大化累计奖励。
强化学习算法的代表性方法包括Q-learning、策略梯度等。
5. 量子计算算法（Quantum computing algorithms）：量子计算算法是一种利用量子力学原理来进行计算的方法。
与传统计算机使用位来表示信息不同，量子计算机使用量子位（qubit）来表示信息，这使得量子计算机能够在某些情况下执行比经典计算机更快的计算。
量子计算算法的代表性方法包括Shor算法、Grover算法等。
认知演化算法
维的问题求解过程和行为的智能算 法——认 知演化算法。该算 法以知识为核心 ， 问题 求解 看成一个基 于知识的创 将
造性 思维过程 ， 对发散思维 、 收敛思维 、 忆、 记 执行 、 习和价值 体 系 ６个关键模块进行 了建模 ， 学 充分发挥 了知识演化和 基 于知识的创造性思维技巧在 问题求解 中的作用。通过数值 实验分析 了 Ｃ Ａ各参数对算 法性 能的影响 ， 以一个扩 Ｅ 并
图基本框架模块的作用分别是知识学习模块将从环境中感知得到的信息通过学习形成知识记忆模块将通过学习得到的知识进行组织和管理价值体系模块是表征思考者价值取向的标准用于对整个解或部分解进行价值评估价值体系将会对各思维模块造成影响发散思维模块是将已有的知识进行组合形成结构化的知识发散模型可以看作是一个人脑内部知识的自组织过程所形成的知识发散模型又可看成是一个包含了若干可行解的集合收敛思维模块是在发散思维得到的知识发散模型基础上按照一定的规则从中选取一个由若干可行解组成的收敛集并创造性地进行改良或革新得到新的解执行模块将通过思维产生的新解作用于环境
（ ｎ ｔｔ ｔ ｆＳｙ ｔｍｓＥｎ ｉｅ ｒｎ Ｎａｉｎａ ｉｅ ｓｔ ｆＤｅ ｅ ｓ ｃ ｎ ｌｇ Ｃｈ ｎ ｓ ａ４１ ０ ３， ｉ ａ Ｉ ｓｉｕｅｏ ｓｅ ｇｎ ｅｉｇ， ｔ ｏ ｌＵｎｖ ｒｉｙｏ ｆｎ ｅＴｅ ｈ ｏｏ ｙ， ａ ｇ ｈ ０ ７ Ｃｈ ｎ ）
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｓ ｉｅ ｙｔ ｅｐ ｏ ｅｓｏ ｕ ｎｃｅ ｔｖ ｈｎ ｉｇ ｃ ｇ ｉｏ ｖ ｌｔ ｎ ｒ ｌｏ ｉ ｍ ， ｏ ｅ ｎｅｌ ｅ ｔ ｌｏ ｓｒｃ ｎ ｐｒｄ ｂ ｈ ｒ ｃｓ ｆｈ ｍａ ｒａｉｅｔ ｉｋｎ ，ｏ ｎｔ ｎｅ ｏｕ ｉ ａ ｙａｇ ｒｔ ｉ ｏ ｈ ａｎ ｖ ｌ ｔｌｇ ｎ ｇ — ｉ ｉ ａ ｒ ｈ ｂ ｓｄｏ ｏ ｎｔ ｎｓ ｉｎ ｅａ ｄｃ ｍｐ ｔｔｏ ａ ｒ ａｉｉｙ ｗａ ｒ ｐ ｓｄ。 ｉｈ ｓ ｕａｅ ｈ ｒａｉｅｔ ｉｋｉｇｂ ｓｄ ｉ ｍ ａ ｅ ｎｃ ｇ ｉｉ ｃｅ ｃ ｎ ｏ ｕａｉｎ ｌ ｅｔｖｔ ． ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｗｈｃ ｉ ｌｔｓｔ ｅｃｅ ｔ ｈｎ ｎ ａ ｅ ｔ ｏ ｃ ｍ ｖ
演化计算-遗传算法
生物进化 环境 适应性
适者生存 个体 染色体 基因 群体 种群 繁殖 变异
遗传编码
• 二进制编码（Binary encoding）
二进制编码是将原问题的结构变换为染色体的位串结构。假设某一 参数的取值范围是[A，B]，A<B。用长度为L的二进制编码串来表示该参 数，将[A，B]等分成2L-1个子部分，记每一个等分的长度为δ。
典型代表：
• 遗传算法（Genetic Algorithm，GA）
• 进化策略（Evolutionary Strategy, ES）
• 进化规划（Evolutionary Programming, EP）
• 遗传规划（Genetic Programming,GP）
2
演化计算
• 达尔文的自然选择学说是一种被人们广泛接受的生物进 化学说：
随机设定第i、j位为两个交叉点（其中i<j<n），交叉后生成的两个新的
个体是：
X’= x1 x2 … xi yi+1 … yj xj+1 … xn Y’= y1 y2 … yi xi+1 … xj yj+1 … yn
例: 设有两个父代的个体串A= 0 0 1 1 0 1 和B= 1 1 0 0 1 0 ，若随机交叉 点为3和5，则交叉后的两个新的个体是：
适应度函数
极大化问题 对极大化问题，其标准适应度函数可定义为
f (x) fmin(x)
f
(x)
0
当f (x) fmin(x) 否则
其中，fmin(x)是原始适应函数f(x)的一个下界。如果fmin(x) 未知， 则可用当前代或到目前为止各演化代中的f(x)的最小值来代替。
演化算法 算子
演化算法算子
演化算法，也称为进化算法，是一种全局优化方法，灵感来源于大自然的生物进化。
以下是几种常见的演化算法算子：
1. 遗传算法算子：这是演化算法中最基本的一类算子，包括选择、交叉和变异等操作。
选择操作基于适应度函数来选择个体，适应度高的个体被选择的概率更大；交叉操作则是将两个个体的部分基因进行交换，以产生新的个体；变异操作则是随机改变个体的一部分基因，以增加种群的多样性。
2. 粒子群优化算法算子：该算法中的粒子代表待优化的解，粒子的速度和位置代表解的更新方向和步长。
通过粒子的速度和位置的动态调整，使得粒子在搜索空间中寻找到最优解。
3. 蚁群优化算法算子：该算法模拟了蚂蚁在寻找食物过程中的行为，通过蚂蚁的信息素传递机制来指导搜索方向，从而在解空间中找到最优解。
4. 模拟退火算法算子：该算法模拟了固体物质的退火过程，通过随机接受一定概率的较差解来避免陷入局部最优解，从而找到全局最优解。
这些算子可以根据具体问题的性质进行选择和组合，以达到最佳的优化效果。
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1.《智能优化算法及其应用》，王凌，清华版。 2.《遗传算法及其应用》，陈国良等，人民邮 电版，1999。
1 0 1 (aij ) 0 0 0 x [ x1
1
1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 x2 x3 x4 x5 x6 ]
0 1 0 1 0
Cost = 29
组合优化问题——装箱问题
组合优化问题——旅行商问题
旅行商问题（Traveling Salesman Problem）
寻找一条最短的遍历n个城市的路径，或者说搜索整数 子集X＝{1，2，…，n}（X的元素表示对n个城市的编 号）的一个排列π (X) = {v1，v2，…，vn}，使下式取最 小值。
Td d (vi , vi 1 ) d (v1 , vn )
背包问题属于NP-难问题
组合优化问题——背包问题
多选择背包问题：有一个容积有限的背包。要放入背 包的物品被分为不重叠的若干类，每类中有若干不同 的物品，从每类中选择一个物品，使得物品总体积在 满足背包容积约束的前提下最大化收益。
属于NP－难问题
组合优化问题——背包问题
max s.t.
每一类中只能 选一个物品
x S : f ( X max ) f ( x )
函数优化问题
函数优化问题
函数优化问题
最优化问题举例(2)
系统建模
给定模型的结构f(x)和决策变量的定义域；
给定实际系统的输入和输出样本数据；
寻找一组最优决策变量，使得模型在测试样 本集上的输出误差最小。
最优化问题举例(3)
min f ( x ) n
xR
n
最优化问题的定义
约束最优化问题通常写为
min f ( x ) s.t. ci ( x ) 0, i E , c j ( x ) 0, j I.
这里E 和I 分别是等式约束的指标集和不等式 约束的指标集，ci(x)是约束函数．
最优化问题的分类
按照运筹学的观点分类：
组合优化问题——调度问题
经典作业车间调度问题（Job-shop Scheduling）：有m台不 同的机器和n个不同的工件，每个工件包含一个由多道工序 组成的工序集合，工件的工序顺序是预先给定的。每道工 序用它所要求的机器和固定的加工时间来表示。此外对工 件和机器有一些约束，例如： (1) 一个工件不能两次访问同一机器；
T min
T
eij E
w
ij
组合优化问题——图划分问题
图的二划分问题：对于一无向图G，设其顶点集合为V
，将顶点集合V划分为两个子集V1和V2，Vl V2＝ ，求使V1和V2两顶点子集之间联结最少的一种划分。
图的划分问题在电子线路设计中非常重要。例如，在
多层印刷电路板的布局设计中，使层间联线数目最少 的器件布局等。由于图的划分问题的计算复杂度极高 在实用规模上精确求出最优解是不可能的。
组合优化问题——最小生成树问题
最小生成树问题（Minimum Span Tree Problem）
考虑一个连通的无向图G＝(V, E)，其中，V = {(v1, v2, …, vn}是代表终端或通信站的有限的端点集。E＝{eij | eij = (vi, vj), vi, vjV} 是代表终端或站间连线的有限边集。每条边有 一个记为W＝ {wij | wij = w(vi, vj), wij > 0, vi, vjV}的正实数的 权重，代表距离、价格等。端点和边有时也称为节点和连 线。 生成树是连接V中所有端点的来自E的最小边集，因此对于 图G至少可找到一棵生成树。最小生成树，记为T*，是边的 权重和最小的生成树。其描述如下：
c x
i 1 j 1 m ni i 1 j 1
m
ni
ij ij
最大化所选物品 的总价值
w x x
j 1 ni ij
ij ij
W
所选物品的总体积不 得超过背包容积
1, i 1,2,, m
xij {0,1}, i, j
i为类下标；j为类中物品的下标；ni是第i类中物品的数 量；cij是第i类中第j个物品的收益；m是类的数量；wij 为第i类中第j个项目的体积，W是背包的容积。
数学形式： 最大化 满足
PX
i
n
i
S X
i i 1
i 1 n
i
C,
X i {0,1}, 1 i n
组合优化问题——背包问题
在应用问题中，设S的元素是n项经营活动各自所需 的资源消耗，C是所能提供的资源总量，P的元素是 人们从每项经营活动中得到的利润或收益，则背包 问题就是在资源有限的条件下，追求总的最大收益 的资源有效分配问题。
(3000个节点的二划分问题的搜索空间可达10900)，因此，
组合优化问题——调度问题
广义地讲，调度问题考虑的是随着时间的变化，如何 调度有限的资源在执行任务的同时满足特定约束。
资源：人力、金钱、机器、工具、材料、能源、等等。
任务：制造系统的加工工序；计算机系统的信息处理。
任务的表征：完成时间、预期时间、相对紧急权重、 处理时间和资源消耗。
组合优化
定义：组合优化问题π是一个最小化问题，或是一个最大 化问题，它由下面三部分组成： (1)实例集合； (2)对每一个实例 I，有一个有穷的可行解集合 S(I)；
பைடு நூலகம்
(3)目标函数 f，它对每一个实例 I 和每一个可行解
，
S (I ) 赋以一个有理数
。
f (I , )
组合优化问题
一个通俗的定义：
所谓组合优化，是指在离散的、有限的数学结构上， 寻找一个（或一组）满足给定约束条件并使其目标函 数值达到最大或最小的解。—般来说，组合优化问题 通常带有大量的局部极值点，往往是不可微的、不连 续的、多维的、有约束条件的、高度非线性的NP完全 （难）问题，因此，精确地求解组合优化问题的全局 最优解的“有效”算法一般是不存在的。
x
i 1
n
ij
1,
yi 0 或 1， xij 0 或 1，
组合优化问题——装箱问题
货运装箱问题
截铜棒问题 布匹套裁问题 。。。 装箱问题属于NP－难问题
组合优化问题——背包问题
0/1背包问题：给出几个体积为S1，S2，…，Sn的物体 和容量为C的背包；要求找出n个物件的一个子集使其 尽可能多地填满容量为C的背包。
智能优化方法
Nature Inspired Computation
考核方式
课程设计报告
用一种（或多种）智能优化方法，实现实际或者虚 拟优化问题的求解。 鼓励与本人未来研究领域的结合。 报告形式：小论文或实验报告的形式，要求包含： 实验目的、技术方案、量化的实验结果、对结果的 简单分析（或解释）。
(2) 不同工件的工序之间没有先后约束； (3) 工序一旦进行不能中断； ·
(4) 每台机器一次只能加工一个工件；
(5) 下达时间和交货期都不是给定的。 问题：确定机器上工序的顺序，以最小化完成所有工件所 需的最小加工持续时间。
最优化问题举例
关于各类优化问题的工程实例，请参考：
《遗传算法与工程优化》
第一章 概述
最优化问题的定义
最优化问题的分类
关于计算复杂性
最优化方法的一般结构
最优化问题的定义
最优化问题的一般形式为
不仅限于 实数集
min f ( x ) s.t. x X
n
不一定能表示为 数学表达式
其中x R 是决策变量，f(x)为目标函数，X R n 为约束集或可行集。特别地，如果约束集 X = R ， 则最优化问题称为无约束最优化问题
数学形式： 最大化 满足
S X
i i 1 n i i 1
n
i
S X
i
C,
组合优化问题——背包问题
广义背包问题：输入由背包容积C和两个向量：物品 体积S＝(S1，S2，…，Sn)和物品价值P＝(P1，P2，… ，Pn)组成。设X为一整数集合（物品的标识），X＝1 ，2，3，…，n，T为X的子集，则问题就是找出满足 约束条件，并使总价值最大的子集T。
玄光男，程润伟著，清华大学出版社
关于计算复杂性
组合优化问题——集覆盖问题
c [10 15 11 10 8 2] 1 0 1 A 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0
c [10 5 11 10 8 2]
装箱问题（bin packing problem）
min s.t. z ( y ) yi
i 1 n
用最少的箱子将 所有物品都装下
所装物品不得超过箱 子的容积
w x
j 1
n
j ij
cyi , i N {1,2,, n} jN iN i, j N
一个物品只能放 入一个箱子
i 1
n 1
式中的d(vi, vi+1)表示城市vi到城市vi+1的距离。 对称旅行商问题是NP－难问题