主题行星运动三定律及万有引力定律
第五章 微专题32 开普勒行星运动定律 万有引力定律
第五章万有引力与宇宙航行微专题32开普勒行星运动定律万有引力定律1．开普勒第三定律同样适用于卫星围绕地球的运动，其中k 由中心天体决定.2.万有引力和重力的关系：(1)考虑星球自转时，物体所受重力为万有引力的分力．赤道上：mg ＝GMmR 2－mRω自2；两极处：mg ＝GMm R 2.(2)忽略星球自转时，重力等于万有引力，即mg ＝G MmR 2.3.天体质量和密度的估算：(1)由g 、R 估算：mg ＝G Mm R 2；(2)由T 、r 估算：G Mm r 2＝m 4π2rT2.1．2020年7月，我国用长征运载火箭将“天问一号”探测器发射升空，探测器在星箭分离后，进入地火转移轨道，如图所示，2021年5月在火星乌托邦平原着陆．则探测器()A ．与火箭分离时的速度小于第一宇宙速度B ．每次经过P 点时的速度相等C ．绕火星运行时在捕获轨道上的周期最大D ．绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等答案C解析与火箭分离即脱离地球束缚进入太阳系，应为第二宇宙速度即速度大于第一宇宙速度，故A 错误；由题图可知，探测器做近心运动，故每次经过P 点的速度越来越小，故B 错误；由题图可得，绕火星运行时在捕获轨道上的轨道半径最大，则由开普勒第三定律知在捕获轨道上的周期最大，故C 正确；由开普勒第二定律可知，绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等，故D 错误．2．飞船运行到地球和月球间某处时，飞船所受地球、月球引力的合力恰好为零．已知地球与月球质量之比为k ，则在该处时，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离之比为()A ．k 2B ．k C.kD.1k答案C解析设地球质量与月球质量分别为m 1、m 2，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离分别为R 1、R 2，飞船质量为m ，飞船所受地球、月球引力大小相等，则有Gm 1m R 12＝G m 2mR 22，解得R1 R2＝m1m2＝k，故选C.3．(多选)如表格中列出一些地点的重力加速度，表中数据的规律可表述为：随着地面上地点纬度的增大，该处的重力加速度增大．已知地面不是标准球面，纬度越大的地点半径越小，是形成表格所示规律的原因，以下说法正确的有()地点纬度重力加速度赤道海平面0°9.780m/s2马尼拉14°35′9.784m/s2广州23°06′9.788m/s2上海31°12′9.794m/s2东京35°43′9.798m/s2北京39°56′9.801m/s2莫斯科55°45′9.816m/s2北极90°9.832m/s2A．地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力大小之差B．地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大C．地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而增大D．地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大答案BD解析地面物体的重力等于所受地球引力与随地球自转所需向心力矢量之差，故A错误；由题意可知，地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大，故B正确；由F向＝mω2r且纬度越高的地点半径越小可得地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而减小，故C错误；如图所示，可得出地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大，故D正确．4．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.3π(g 0－g )GT 2g 0B.3πg 0GT 2(g 0－g )C.3πGT 2D.3πg 0GT 2g答案B解析物体在地球的两极时有mg 0＝GMm R 2，物体在赤道时有mg ＋m (2πT )2R ＝G MmR 2，其中M ＝ρ·43πR 3，联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g )，故B 正确，A 、C 、D 错误．5.(多选)如图，某次发射火箭的过程中，当火箭距地面的高度恰好为地球半径的3倍时，火箭的加速度大小为a ，方向竖直向上，火箭内有一电子台秤，物体在该台秤上显示的示数为发射前在地面上静止时示数的一半．已知地球的第一宇宙速度为v ，忽略地球自转，引力常量为G ，则下列说法正确的是()A ．距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度大小为地球表面重力加速度大小的116B ．地球表面的重力加速度大小约为16a C ．地球的半径为R ＝7v 216a D ．地球的质量为M ＝9v 416aG 答案AC解析设地球表面的重力加速度为g ，距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度为g 1，由G Mm R 2＝mg ，得g g 1＝(R ＋H )2R 2，解得g 1＝g16，A 项正确；设台秤上物体的质量为m ，火箭在地面上时台秤显示的示数F N1＝mg ，距地面3R 时台秤显示的示数F N2＝12F N1＝ma ＋mg 1，解得a ＝716g ，同时得到g ＝16a 7，B 项错误；在地球表面，设近地卫星质量为m 0，有m 0g ＝m 0v 2R ，解得R ＝7v 216a ，C 项正确；由G Mm 0R 2＝m 0g ，解得M ＝7v 416aG，D 项错误．6．(2023·上海市松江区模拟)2020年5月22日，“祝融号”火星车驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测，火星的质量和半径分别约为地球110和12，忽略地球和火星的自转，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为()A ．0.2B ．0.4C ．2.5D ．5答案B解析在天体的表面，根据万有引力等于重力有G MmR 2＝mg ，可得火星表面的重力加速度为g 火＝Gm 火R 火2＝G ·110m 地(12R 地)2＝2Gm 地5R 地2＝0.4g 地，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为0.4，故选B.7．若将地球看作质量分布均匀的球体(半径为R )，且不计地球的自转．地球表面处的重力加速度为g 1，地球表面下方深R 2处的重力加速度为g 2，地球表面上方高R2处的重力加速度为g 3，下列说法正确的是()A ．g 3<g 2<g 1B ．g 2<g 3<g 1C ．g 1<g 2<g 3D ．g 1<g 3<g 2答案A解析在地球表面的物体，万有引力近似等于重力，有GMm R 2＝mg 1；在地球表面下方深R2处的重力加速度相当于半径为R －R 2＝R 2的球体在其表面产生的加速度，由球的体积公式V ＝43πr 3及M ＝ρV 可知，半径为R 2的球体质量为半径为R 的球体的18，故G 18Mm ＝G Mm2R2＝mg 2；地球表面上方高R 2处的重力加速度为Mm＝G 4Mm9R2＝mg 3.由上面的分析可知g 3<g 2<g 1，故选A.8．(多选)(2023·河北保定市模拟)设想宇航员随飞船绕火星飞行，飞船贴近火星表面时的运动可视为绕火星做匀速圆周运动．若宇航员测试飞船在靠近火星表面的圆形轨道绕行n 圈的时间为t ，飞船在火星上着陆后，宇航员用弹簧测力计测得质量为m 的物体受到的重力大小为F ，引力常量为G ，将火星看成一个球体，不考虑火星的自转，则下列说法正确的是()A ．火星的半径为Ft 2n 2mB ．火星的质量为F 3t 416π4Gn 4m 3C ．飞船贴近火星表面做圆周运动的线速度大小为2πnFmt D ．火星的平均密度为3πn 2Gt 2答案BD解析靠近火星表面的圆形轨道绕行的周期T ＝tnm 的物体受到的重力大小为F ，即F ＝mg ，根据万有引力提供向心力有G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，G MmR 2＝mg ＝F ，联立求得火星半径R ＝Ft 24π2n 2m ，火星质量M ＝F 3t 416π4Gn 4m 3，A 错误，B 正确；线速度大小满足v ＝2πRT ，联立解得v ＝Ft 2πmn ，C 错误；火星的平均密度为ρ＝M V ＝M 43πR 3，解得ρ＝3πn 2Gt 2，D 正确．9．(多选)(2023·山东省模拟)为了探测某未知星球，探测飞船载着登陆舱先是在离该星球中心距离为r 1的圆轨道上运动，经测定周期为T 1；随后登陆舱脱离飞船，变轨到该星球的近地圆轨道上运动．已知该星球的半径为R ，引力常量为G .则()A ．登陆舱在近地圆轨道上运行的周期为T 1R 3r 13B ．登陆舱在近地圆轨道上运行的周期为T 1r 13R 3C ．该未知星球的平均密度为3πr 13GT 12R 3D ．该未知星球的平均密度为3πGT 12答案AC解析根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得T ＝2πr 3GM道上运行的周期T 2＝T 1R 3r 13，故A 正确，B 错误；根据G Mm R 2＝m 4π2T 22R ，结合V ＝43πR 3，和密度公式ρ＝M V ，联立解得ρ＝3πr 13GT 12R 3，故C 正确，D 错误．。
第五章 第1节 万有引力定律及引力常量的测定
转周期T的_平__方_成正比
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二、万有引力定律
结束
1．万有引力定律
内容 公式
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向
沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的 乘积m1m2正成比____，与这两个物体间距离r平的方____成反比 F＝ Gmr21m2，G＝ 6.67×10－11 m3/(kg·s2) ，r 指两个质点 间的距离，对于匀质球体，就是两球心间的距离
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3．地球到太阳的距离为水星到太阳距离的 2.6 倍，那么地球和
水星绕太阳运转的线速度之比为多少？
解析：设地球绕太阳的运行周期为 T1，水星绕太阳的运行周期
为 T2，根据开普勒第三定律有RT1123＝RT2223
①
因地球和水星绕太阳做匀速圆周运动，故有 T1＝2πvR1 1
②
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解析：火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的 一个焦点上，选项 A 错误；由于火星和木星在不同的轨道上 运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速 度大小不一定相等，选项 B 错误；由开普勒第三定律可知， Ta火火32＝Ta木木32＝k ，即TT火 木22＝aa火 木33，选项 C 正确；由于火星和木星 在不同的轨道上，因此它们与太阳的连线在相同的时间内扫 过的面积不相等，选项 D 错误。 答案：C
T2＝2πvR2 2
③
由①②③式联立求解得vv12＝
RR21＝
21.6＝
1＝ 2.6
5＝ 13
1635。
开普勒三定律与万有引力定律
第四讲 开普勒三定律与万有引力定律【知识梳理】一、开普勒行星运动三定律1. 开普勒第一定律：2. 开普勒第二定律：3. 开普勒第三定律：二、万有引力定律1. 万有引力定律内容：2. 万有引力定律表达式：3. 万有引力常量：⑴ 开普勒第一定律中不同行星绕太阳运行时的椭圆轨道是不同的。
⑵ 开普勒第二定律中行星在近日点的速率大于在远日点的速率，从近日点向远日点运动时速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。
⑶ 开普勒第三定律的表达式k Tr =23中，k 是与太阳有关而与行星无关的常量，如果认为行星的轨道是圆的，式中半长轴r 代表圆的半径。
⑷开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于卫星。
适用于卫星时,23k Tr =，常量k ’是由行星决定的另一常量，与卫星无关。
【例题1】太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是多少年？【变式训练1】、已知地球半径约为R=6.4⨯106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。
图4-1（1）地球对物体的吸引力就是万有引力，重力只是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力是物体随地球自转所需的向心力。
如图4-1所示。
（2）物体在地球上不同的纬度处随地球自转所需的向心力的大小不同，重力大小也不同： 两极处：物体所受重力最大，大小等于万有引力，即2RMmGmg =。
赤道上：物体所受重力最小，22自ωmR R Mm Gmg -= 自赤道向两极，同一物体的重力逐渐增大，即g 逐渐增大。
（3）一般情况下，由于地球自转的角速度不大，可以不考虑地球的自转影响，近似的认为2RMmGmg = 【例题2】已知火星的半径为地球半径的一半，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的4/9倍，则火星的质量约为地球质量的多少倍？【变式训练2】经测定，太阳光到达地球需要经过500s 的时间，已知地球的半径为6.4×106m ，试估算太阳质量与地球质量之比。
地球的引力课堂笔记
地球的引力课堂笔记第一节万有引力定律一、开普勒建立了行星运动三定律，被称为“天空立法者”1.开普勒第一定律（椭圆定律）：所有行星绕太阳的运动轨迹都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上；2.开普勒第二定律（面积定律）：连接行星和太阳的半径在相等时间内扫过相同的面积。
面积定律揭示了：每一颗行星都是在近日点的速率最大，在远日点的速率最小，从近日点到远日点的过程中速率不断减小。
3.开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。
周期定律揭示了：公转半径越大的行星，它的公转周期越长，绕太阳的转动越慢二、牛顿发现了万有引力，建立了万有引力定律1.万有引力是宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在的相互吸引力，是自然界中的四种基本相互作用力之一。
2.万有引力定律分别从产生条件（宇宙间的一切有质量的物体都是相互吸引的）、引力的方向（在它们的连线上）、引力的大小(跟它们的质量的乘积成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比)这三个方面全面描述了引力遵循的规律。
3.重大意义：揭示了影响天体运动的主要因素，揭示了天体的运动和地面上物体的运动遵循相同的规律，解放了人们的思想。
三、用F？Gm1m2计算引力的大小 2r1.只适用于计算两个质点之间的引力大小2.两个质量分布均匀的球，无论它们间距离的远近，都可以将它们视为位于各自球心处的两个质点,r是球心距。
3.计算天体和普通物体间的引力，可将普通物体视为质点，r是天体中心到该物体的距离4.计算天体之间的万有引力，r是两个天体中心的距离5.引力常数G？6.67？10-11n？m2/kg2，是由卡文迪许首次在地面试验室中用扭秤实验（利用“光杠杆”放大了微小形变）测出。
四、物体的重力和地球对它的万有引力之间的关系1.离地面高为h处的物体：重力就是地球对它的万有引力即：mgh？GM地m 2(R地？h)2.地面上随地球自转的物体：重力是万有引力的一个分力，但它们近似相等即：mg？GM地mR地2总结：⑴ 除非是要考虑地球自转对重力的影响，通常情况都是认为重力等于地球对它的万有引力；⑵ 在受力分析时，考虑了重力，就不要同时考虑地球对它的引力，反之亦然。
万有引力定律及其应用
4．特殊情况： (1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用 两球心间的距离． 本定律来计算，其中r为 (2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的 质点到球心间的距离． 相互作用本定律也适用，其中r为
匀速圆周运动 三、万有引力定律在天体运动中的应用 1．基本方法：把天体的运动看成 所需向心力由万有引力提供．
地
M地m月 2π 月 v T ，G r2 ＝m
月
v2/r.以上两式消去 r，解得 M 地＝
疑难点二．你了解发射速度和运行速度的区别和 联系吗？试说明． 名师在线：1.发射速度． 所谓发射速度是指在地面的附近离开发射装置(火 箭)时的初速度(牛顿人造卫星原理图中平抛的初 速度就是发射速度)．要发射一颗人造卫星，发射 速度等于第一宇宙速度，则卫星只能“贴着”地 面做匀速圆周运动，若发射速度大于第一宇宙速 度，则卫星将沿着椭圆轨道运动．第一宇宙速度、 第二宇宙速度和第三宇宙速度都指的是发射速 度．
v mM 4π2 r 解析：根据 G 2 ＝m r ＝mω2 r＝m 2 ＝ma 向得 r T v＝ GM r ，可知变轨后飞船的线速度变大，A 错．角速度变大，
2
B 错．周期变小，C 错．向心加速度变大，D 正确．
答案：D
4．同步卫星相对地面静止，犹如悬在高空中，下 列说法不正确的是( ) A．同步卫星处于平衡状态 B．同步卫星的速度大小是唯一的 C．同步卫星的加速度大小是唯一的 D．各国的同步卫星都在同一圆周上运行
所以加速度大小是唯一的，故 C 对．
答案：A
疑难点一．试推导下列几种情况下地球质量的表 达式： (1)已知月球绕地球运行的周期T和半径r. (2)已知月球绕地球运行的半径r和月球的运行速度 v. (3)已知月球运行的速度v和运行周期T. (4)已知地球半径R和地球表面的重力加速度g.
开普勒三大定律和万有引力定律
开普勒三大定律和万有引力定律开普勒三大定律和万有引力定律一、开普勒三定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆_，太阳处在椭圆的一个焦点_上．2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的面积．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的周期的平方的比值都相等，a3即＝k. T思考：开普勒第三定律中的k值有什么特点？二、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________________成正比，与它们之间____________________成反比．2．公式____________，通常取G＝____________ N·m2/kg2，G是比例系数，叫引力常量．3．适用条件公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到________间的距离．考点突破考点一天体产生的重力加速度问题考点解读星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：MmGM设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝G，即g＝或GM＝gR2) RRMmGMR2若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝G，即g′＝. (R＋h)(R＋h)(R＋h)典例剖析例1 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则星球的平均密度是多少？跟踪训练1 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为( )11A．400gC．20gD.g 40020考点二天体质量和密度的计算考点解读1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.MmgR2MM3g由于Gmg，故天体质量M＝ρ. RGV434πGRR32．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.Mm4π24π2r3(1)由万有引力等于向心力，即Gr，得出中心天体质量M＝；rTGT3MM3πr(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝ V43GTRR3(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，3π则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天GT体的密度．Mm特别提醒不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg＝G.从而得出GM＝gR2(通R常称为黄金代换)，其中M为该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重力加速度．典例剖析例2 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×1011－N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( )A．1.8×103 kg/m3B．5.6×103 kg/m3C．1.1×104 kg/m3D．2.9×104 kg/m3跟踪训练2 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2019年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )A．火星的密度和火星表面的重力加速度B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C．火星的半径和“萤火一号”的质量D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力.双星模型例3 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式．建模1．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供．由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小．2．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比．3．要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系设两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 2v1MMM1：GM1＝M1r1ω21Lr12v2MMM2：GM＝M2r2ω22 Lr2在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径．跟踪训练3 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？配套练习开普勒定律的应用1．(2019·新课标全国·20)太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是( )2．(2019·安徽·22)(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴aa3的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常T量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)万有引力定律在天体运动中的应用3．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上，已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( ) A. 3Gρ4πGρC. GρGρ4．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )A．0.5 B．2 C．3.2 D．45．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量M.课后练习mm1．对万有引力定律的表达式F＝G( ) rA．公式中G为常量，没有单位，是人为规定的B．r趋向于零时，万有引力趋近于无穷大C．两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力2．最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )A．恒星质量与太阳质量之比B．恒星密度与太阳密度之比C．行星质量与地球质量之比D．行星运行速度与地球公转速度之比3．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F.若两个半径为实心小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )A．2FB．4FC．8FD．16F4．如图1所示，A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，某一时刻两行星相距最近，则( )A．经过T1＋T2两行星再次相距最近TTB．经过两行星再次相距最近 T2－T1T1＋T2C．经过两行星相距最远 2T1T2D．经过两行星相距最远 T2－T1图15．原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名美国科学家共同分享了2019年度的诺贝尔物理学奖．早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高11锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的，半径为地球半径的，则“高锟星”表面kq的重力加速度是地球表面的重力加速度的( )qkq2k2C. kqkq116．火星的质量和半径分别约为地球的，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重102力加速度约为( )A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．5g图27．一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图2所示，则根据题设条件可以计算出( )A．行星表面重力加速度的大小B．行星的质量C．物体落到行星表面时速度的大小D．物体受到行星引力的大小8．(2019·浙江·19)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是、( )A．太阳引力远大于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异。
物理万有引力与航天重点知识归纳
万有引力与航天重点知识归纳考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
（2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
（3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：k Ta =23。
其中k 值与太阳有关，与行星无关。
中学阶段对天体运动的处理办法：①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k TR =23，R ——轨道半径。
2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。
（2） 公式：221rm m G F =，G 叫万有引力常量，2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-。
（3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。
（4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。
3. 万有引力与重力的关系(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。
①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22ω-=；②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2；故纬度越大，重力加速度越大。
由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。
(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。
在地面上，22R GM g mg R Mm G =⇒=；在地球表面高度为h 处：22)()(h R GM g mg h R Mm Gh h +=⇒=+，所以g h R R g h 22)(+=，随高度的增加，重力加速度减小。
考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度1．T 、r 法：232224)2(GTr M T mr r Mm G ππ=⇒=，再根据32333,34R GT r V M R Vπρρπ=⇒==，当r=R 时，23GT πρ=2．g 、R 法：GgR Mmg RMm G 22=⇒=，再根据GRg VM R V πρρπ43,343=⇒==3．v 、r 法：Grv M r v m r Mm G 222=⇒=4．v 、T 法：G T v M T mr r Mm G r v m r Mm G ππ2)2(,32222=⇒==考点三、星体表面及某高度处的重力加速度1、 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则22R GM g mg R Mm G =⇒=。
开普勒行星运动三大定律
开普勒行星运动三大定律①第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
②第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。
③第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二 次方的比值都相等。
即： 其中k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。
推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。
K 取决于中心天体的质量。
1、有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径之比是1：2，则它们绕地球运转的周期之比为 。
2．关于开普勒行星运动的公式23TR ＝k ，以下理解正确的是 （ ）A ．k 是一个与行星无关的常量B ．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R 地，周期为T 地；月球绕地球运转轨道的长半轴为R 月，周期为T 月，则2323月月地地T R T R =C ．T 表示行星运动的自转周期D ．T 表示行星运动的公转周期3．地球绕太阳运行的半长轴为1.5×1011 m ，周期为365 天；月球绕地球运行的轨道半长轴为3.82×108m ，周期为27.3 天，则对于绕太阳运行的行星；R 3／T 2的值为______m 3／s 2， 对于绕地球运行的物体，则R 3／T 2＝________ m 3/s 2.4.我们研究了开普勒第三定律，知道了行星绕恒星的运动轨道近似是圆形，周期T 的平方与轨道半径 R 的三次方的比为常数，则该常数的大小 ( )A .只跟恒星的质量有关B .只跟行星的质量有关C .跟行星、恒星的质量都有关D .跟行星、恒星的质量都没关5、假设行星绕太阳的轨道是圆形，火星与太阳的距离比地球与太阳的距离大53％，,试确定火星上一年是多少地球年。
6、关于开普勒第三定律下列说法中正确的是 （ ）A ．适用于所有天体B ．适用于围绕地球运行的所有卫星C ．适用于围绕太阳运行的所有行星D ．以上说法均错误7、有关开普勒关于行星运动的描述，下列说法正确的是 （ ）A.所有行星绕太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上B.所有行星绕太阳运动的轨迹都是圆，太阳处在圆心上C.所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等D.不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是相同的32a k T =1、万有引力定律的建立 ①太阳与行星间引力公式 ②月—地检验 ③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量2、万有引力定律①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。
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主題：行星運動三定律及萬有引力定律一. 行星運動三定律1. 第一定律(軌道定律)：太陽系所有行星軌道均為橢圓，且上。
2. 第二定律(等面積定律)：常數 A. 在近日點與遠日點兩處B. 3. 第三定律(週期定律)：(即32RT )，對所有行星均相同。
A. 平均半徑R 稱為半長軸)B. 亦適用於繞地球公轉之人造衛星及月球。
二. 萬有引力定律：宇宙中任兩質點間均有相互作用之吸引力=2112F F 其中231110672.6秒公斤公尺-⨯=-G 稱為重力常數，r 為兩質點間的距離。
1.2. 質量均勻分布球殼之萬有引力。
(1次)A. B. 三. 重力與重力加速度1. 重力加速度：物體在某處僅受重力作用時所產生的加速度稱為該處之重力加速度。
(以符號g 表示)，即g 重力加速度F 四. 雙星運動：1. 若m 作圓周運動，則M 亦會做同轉向的圓周運動。
2. M 、m 五. 系統角動量守恆定律：由tL∆∆=τ可得，當0=τ時，L 為常數，稱為角動量守恆。
例如：行星繞太陽公轉過程，由太陽看行星因r 與F 夾180o ，故角動量守恆。
六. 算此處的題目，常用到公轉過程中，恆星與行星組成的系統力學能(動能及重力位能)守恆的觀念一、一人造衛星以橢圓軌道繞地球運行。
設A 、B 分別為衛星距地球最遠及最近的位置(如右圖)。
若忽略其他星體的影響，則下列敘述何者正確？ (A)衛星在A 處的動能最小，在B 處的動能最大 (B)若K A 、K B 各表衛星在A 、B 處的動能，R A 、R B 各表地球質心至A 、B 處的距離，則K A /K B =R B /R A (C)若衛星在A 、B 處的角動量之量值各為L A 、L B ，則L A =L B (D)衛星在軌道上任何位置的動量之量值均相等(E)在同一軌道上衛星繞地球的週期隨衛星的質量增加而增長。
(79年聯考)AC二、設一星球為密度均勻之球體，如一質點在此星球表面的重量為W ，則此質點在此星球球心位置的重量為(A)0(B)0.5W(C)W(D)2W(E)無窮大。
(82年聯考)A三、已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞太陽運轉平均距離的l0倍，則土星繞太陽一周需時 年。
(83年聯考) 1010四、設有二星球其質量均為m ，在相互吸引之重力作用下同時以半徑 r 對此二星球之質量中心做圓周運動，如圖所示，則至少需多少能量， 才能將此二星球拆散成相距無限遠？(G 為重力常數) (A)2G m 2∕r (B) G m 2∕r (C) G m 2∕2 r (D) G m 2∕4 r (E)G m 2∕8 r 。
(84年聯考)D解析：(1)設二星球質量各為m 1及m 2，二者相距d ，距質心之距離（即軌道半徑）分別為r 1及r 2。
∵ r 1：r 2＝m 2：m 1，且r 1＋r 2＝d⇒ r 1＝(212m m m ＋)d ，r 2＝(112m m m ＋)d(2)m 1繞質心做圓周運動，以兩者間之萬有引力做向心力。
F 1＝2111m v r ＝212Gm m d∴Ek 1＝12m 1v 12＝122Gm m d ⨯1r d ＝122Gm m d (212m m m ＋) 同理Ek 2＝12m 2v 22＝122Gm m d ⨯2r d＝122Gm m d (112m m m ＋) (3)(A)系統總動能Ek ＝Ek 1＋Ek 2＝122Gm m d(B)系統總位能U G ＝－12Gm m d(C)系統總力學能E ＝E k ＋U G ＝－122Gm m d(D)將二星球拆散成相距∞，至少做功W （即束縛能）W ＝0－E ＝122Gm m d依題意：m 1＝m 2＝m ，d ＝2r ∴W ＝24Gm r。
五、一衛星環繞一行星做橢圓軌道之運動，設此衛星至行星最遠距離與最近距離之比為2：1，則相應的角速度之比為 。
(84年聯考) 1：4六、 甲、乙兩衛星分別環繞地球做等速率圓周運動，已知兩者的週期比值為T 1/T 2=8，則兩者的速率比值V 1/V 2為：(A)4 (B)2 (C)1 (D)1/2 (E)1/4。
(85年聯考) D七、 海爾-波普彗星的週期約為2500年，則其與太陽的平均距離，約為地球與太陽平均距離的多少倍？(86年聯考)(A) 2500 (B) 1665 (C) 615 (D) 185 (E) 50。
D八、 一人造衛星質量為m ，以橢圓軌道繞地球運行；衛星離地球中心最近的距離為R ，離地心最遠的距離為3R 。
設地球之質量為M ，重力常數為G ，試求(1)衛星在離地心最近和最遠處之動能比。
(2)衛星在離地心最近和最遠處之動能差。
(86年聯考)9：1、RGMm 32解析：(1)設衛星在近地點及遠地點之速率分別為v 1及v 2，由克卜勒第二定律知：12Rv 1＝12(3R)v 2⇒v 1：v 2＝3：1 ∴動能E k1：E k2＝12mv 12：12mv 22＝9：1(2)因衛星僅受重力做功，故在軌道上力學能守恆。
E k1＋(－GMm R )＝E k2＋(－3GMm R) 動能差∆E k ＝E k1－E k2＝GMm R －3GMm R ＝23GMmR九、 在完成登月任務後，登月艇自月球表面升空與母船會合。
母船與登月艇會合後一起繞月球作圓周運動，其速率為v 。
母船與登月艇的質量均為m ，月球的質量為M ，重力常數為G ，求母船與登月艇繞月球軌道運動的(a)週期(b)軌道半徑。
(c)在啟動歸程時，船上火箭作一短時間的噴射（噴出廢氣的質量及動量均可忽略），使登月艇與母船分離，且分離方向與速度方向平行。
若分離後母船恰能完全脫離月球的引力，求在剛分離後登月艇的速率？(d)母船與登月艇在火箭噴射的過程中共獲得的力學能？(所有答案以G 、M 、m 與v 表示之)(88年聯考)32v GM π、2vGM 、(2－2)v 、(3－22)mv 2十、 一質量為m 的小星球，在離太陽無窮遠處的速率為v ，位能為零。
假設小星球不受太陽引力之影響，而沿直線運動，則與太陽的質心最近距離為b 。
在太陽的引力作用下，小星球的軌道是一條以太陽為焦點的雙曲線。
設太陽質量為M ，位置固定；小星球離太陽的質心最短距離為d （d 大於太陽之半徑），重力常數為G 。
則下列有關小星球之敘述，何者為正確？ (A)對太陽質心的角動量之量值為mvb 。
(B)總力學能為12mv 2。
(C)在離太陽最近處之加速度量值為2GM d。
(D)對太陽的最大速率為v 。
(E)d 2GM v 。
(89年聯考) ABCE 解析：(A)由角動量L ＝r ⨯P 得在最近處之L ＝bmvsin90o =bmv 。
又由於太陽對小星球的萬有引力造成的力矩為0，所以整個過程，角動量守恆，皆為bmv 。
(B)公轉過程中，太陽及小星球組成的系統力學能守恆，因此在無窮遠處之力學能等於其他地方的力學能，即E=E 無窮遠=12mv 2+0=12mv 2。
(C)小行星僅受萬有引力作用，由牛頓第二運動定律得a ＝F m ＝2GMmd m＝2GMd 。
(D)因為力學能守恆，所以星球在距太陽最近處，位能最小，動能最大(速率最大)；距太陽無窮遠處，位能最大，動能最小(速率最小)。
(E)角動量守恆：bmv ＝dmv ' (1)力學能守恆：12mv 2＝12mv '2－GMmd……(2)，(1)(2)式聯立解得：d 2GM v－。
十一、 設有兩相距甚遠之恆星A 與B ，其平均密度比為A ρ：B ρ＝1：2，質量比為M A ：M B ＝4：1。
如果兩恆星旁各有一質量同為m 的小行星分別以圓軌道繞A 、B 運動，假設繞行軌道半徑相同，則(a)此兩恆星表面之重力加速度比g A ：g B 為何？(b)兩行星之週期比T A ：T B 為何？(c)兩恆星系統之位能比U A ：U B 為何(以無限遠為位能零點)(d)兩行星之動能比K A ：K B 為何？ (90年聯考)(a)1：1(b)1：2(c)4：1(d)4：1十二、 一質量為m 的行星沿橢圓形軌道環繞太陽運動，已知此行星離太陽的最大和最小距離分別為R 和r ；行星的最小速率為v 。
此行星在近日點的動能減去在遠日點的動能，其差值為何？(92年聯考)(A) 0(B)r v r R m 2)(2-(C)R v R r m 2)(2-(D)22222)(r v r R m -(E)22222)(Rv R r m - D十三、 如圖9所示，甲、乙兩人造衛星以圓形軌道繞地球運轉，假設運行的軌道在同一平面上，且運行的方向相反。
甲衛星發現每隔1/9週期會與乙衛星相遇（即甲、乙兩衛星與地球恰在一直線上且在地球同側），若忽略甲、乙兩衛星間的作用力，則甲、乙兩衛星軌道半徑之比為何？(A)1:4(B) 1:2(C) 1:1(D) 2:1(E) 4:1(95年聯考)E十四、 將萬有引力常數當作已知，則從下面哪些選項中的兩個數據，就可以估計出地球的質量?(A) 地球與同步衛星間的距離，地球的自轉周期 (B) 人造衛星的運動速率，人造衛星的周期(C) 人造衛星與地球間的距離，人造衛星的周期 (D) 地球繞太陽運轉的周期，地球與太陽間的距離 (E) 月球繞地球運轉的周期，月球與地球間的距離 ABCE十五、 若有一行星繞著恆星S 作橢圓軌道運動，則下列有關行星在圖1所示各點的加速度量值的敘述，何者正確？(98聯考) (A)所有點都一樣大 (B)點A 處最大(C)點B 與點F 處最大 (D)點C 與點E 處最大(E)點D 處最大B十六、 設人造衛星以半徑r 繞地心作圓軌道運動，令地球的質量為M ，萬有引力常數為G ，則人造衛星與地心的連線，在單位時間內所掃過的面積為下列哪一項？(98聯考)(A)(B)(C)(D)(E) A十七、 甲行星的質量是乙行星的25倍，兩衛星分別以半徑為甲R 、乙R 的圓軌道繞行甲、乙兩行星。
若4/=乙甲R R ，則兩衛星分別繞行甲、乙兩行星的週期之比值乙甲T T /為何？(99指考)(A) 6.25 (B) 2.5 (C) 1.6 (D) 0.4 (E) 0.16 C圖9圖1十八、 已知月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度 g 的六分之一。
在月球的水平面上有一質量為 m 的物體受水平推力 F 作用，而作加速度為 2g 的等加速運動，已知物體與水平面之動摩擦係數為 0.5，則推力 F 的量值為下列何者？(101指考) (Ａ)25mg (Ｂ)1225mg (Ｃ)1223mg (Ｄ)65mg (Ｅ) 2mg 。
(Ｂ)十九、十三、(95年)因甲乙二星逆向運行，所以在相鄰兩次的相遇時間內，甲乙所走的位移和恰為一圈，即θ1+θ2=1tT1+tT2=1t=T19∴T1T2=81又根據克卜勒III T2∝R3，可知R132R232=81⇒R1R2=4111。