大学物理电场强度及电势计算习题课
场强电势习题课
E
er 20 r
都不满足n>1的条件，场强对于无限远处的积分都是发散的。 因此对这类 n≤1 的情况不能选择无限远为电势的0点，通常选带 电平面上的电位为零，或带电直线上的电位为零。 点电荷： E 1 2选 在点电荷上，否则也会出现场中各点 电位为无限大的困难。
(4)均匀带电圆环轴线上
E
qx i 2 2 3/ 2 40 ( x R )
x x 2 R2 )i
q 2 2 1/ 2 40 ( x R )
( x 2 R2 x) 2 0
(5)均匀带电圆盘轴线上
E (1 2 0
6.电势差 7. 电场力的功
2 2 2 2 U ( R x R x ) (3) p点的场强由: p 2 1 2 0
dU h 1 Ep | x h ( 2 dx 2 0 R2 h2 1 R12 h2 )`
( R2 R1 ) 环心的电势为: U o 2 0 e ( R2 R1 ) U U 0 ( R2 R1 ) Ek 2 0 2 0
E dS
q
i
i内
0
(4)静电场的环路定理
E dr 0
L
(5)电场强度与电势的关系
P
p0
p
E dr
p0 0
(6)电场强度等于电势的负梯度
E ( i j k) x x x
基本概念和规律
1 . 基本概念
(1) 电场强度定义 (2) 电通量
(3) 电势
2 . 基本的定律和定理
(1) 库仑定律
p0 We E dl P q0
大学物理2-1习题课五,六章
E Exi Eyj Ezk
电荷元 表达式
线电荷 面电荷 体电荷
d q d l
dq dS dq dV
有用的结论
（1）一均匀带电直2
sin
1)
Ey
4 0a
(cos1
cos2 )
特例：无限长均匀带电直线的场强
E 2 0a
（2）一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场
Q E1 2 0 2 0S
C
B C
E dl
0
E0
d /2
E1 dx
d 2
d
Q
2 0 S
2
Qd
4 0 S
P36 10 10．一电偶极子由电荷q的两个异号点电荷组成，两电
荷相距为l．把这电偶极子放在场强大小为E的均匀电场
中。试求：1) 电场作用于电偶极子的最大力矩；2) 电偶
极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力
a
3. 电势叠加原理
(1)点电荷的电势分布:
q
U P 4 0r
(2)点电荷系的电势分布: U
Ui
i
qi
4 0ri
(3)连续带电体的电势分布: U dU 1 dq
V
V 4 0 r
P31 7
7. 如图所示，边长为l的正方形，在其四个顶点上各放
有等量的点电荷．若正方形中心O处的场强值和电势值
UC
U C
q (1 40 rB
1
rC
)
15(V
)
U C 15(V )
P33 11
11．有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布,已知其中任一点电荷
所中受点合移力至均无为穷零远， 处且 外力Q1所=Q作3=的Q。功在固Q定2Q1、. Q3的情况下，将Q2从Q1、Q3连线
大学物理习题课5
E
0
2 0
外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。
11
5. 两根平行“无限长”均匀带电直导线, 相距为d, 导线 半径都是R(R<<d). 导线上电荷线密度分别为+和.
试求该导体组单位长度的电容.
6
V m
1
电容耐压Um = 4.0 kV，因而电容器极板间最小距离
d U m E b 2 . 22 10
4
m
要制作电容为0.047F 的平板电容器，其极板面积
S Cd
0 r
0 . 42 m
2
显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通 常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。
we 1 2
0E
2
Q
2 2
E
0 0
2 0 S
在外力作用下极板间距从d被拉开到2d。电场占有空间 的体积，也由V增加到2V，此时电场能量增加。
W e we V Q d 2 0 S
10
2
（2）两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开 时，应有F = -Fe
则外力所作的功为
2
2.由两块相距0.50 mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器 被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距 0.25 mm，金属板面积为30mm40mm。求：（1）被屏蔽后电 容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与 金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。
分析：薄金属板A、B与金属盒一 起构成三个电容器其等效电路图如 图 （b）所示，由于两导体间距离 较小。电容器可视为平板电容器， 通过分析等效电路图可求得A、B 间的电容。
电场强度电势电势能习题经典
电场强度、电势、电势能专题1、关于静电场场强的概念，下列说法正确的是（）A．由E＝F/q可知，某电场的场强E与q成反比, 与F成正比B．正、负检验电荷在电场中同一点受到的电场力方向相反，所以某一点场强方向与放入检验电荷的正负有关C．电场中某一点的场强与放入该点的检验电荷正负无关D．电场中某点不放检验电荷时，该点场强等于零2、电场强度的定义式为E=F/q，下列说法正确的是（）A．该定义式只适用于点电荷产生的电场B．F是检验电荷所受到的力，q是产生电场的电荷电量C．场强的方向与F的方向相同D．由该定义式可知，同一点电荷在电场中某点所受的电场力大小与该点场强的大小成正比3、关于电势的高低，下列说法正确的是( )A．沿电场线方向电势逐渐降低B．电势降低的方向一定是电场线的方向C．正电荷在只受电场力作用下，一定向电势低的地方运动D．负电荷在只受电场力的作用下，由静止释放时，一定向电势高的地方运动5、下列关于电场性质的说法，正确的是( )A．电场强度大的地方，电场线一定密，电势也一定高B．电场强度大的地方，电场线一定密，但电势不一定高C．电场强度为零的地方，电势一定为零D．电势为零的地方，电场强度一定为零6、关于电势与电势能的说法，正确的是( )A．电荷在电势越高的地方，电势能也越大B．电荷在电势越高的地方，它的电荷量越大，所具有的电势能也越大C．在正点电荷的电场中任一点，正电荷所具有的电势能一定大于负电荷所具有的电势能D．在负点电荷的电场中任一点，正电荷所具有的电势能一定小于负电荷所具有的电势能7、如图所示的电场线，可判定( )A．该电场一定是匀强电场第7题图B．A点的电势一定低于B点电势C．负电荷放在B点的电势能比放在A点的电势能大D．负电荷放在B点所受电场力方向向右8、有关等势面的说法中正确的有（ ）A 、等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直．B 、电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面，两个不同的等势面永远不会相交．C 、两个等势面间的电势差是相等的，但在非匀强电场中．两个等势面间的距离并不恒定，场强大的地方．两等势面间的距离小，场强小的地方，两个等势面间的距离大。
大学物理场强电势习题课讲解
E 2 0 r
L
r ●P
r >>L
●
当 r > > L 时，带电圆柱面可 视为点电荷，其场强大小为： q L E 2 2 4 0 r 4 0 r
P
6、 (学习指导p165,17) A、B为真空中两个平行的 “ 无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场 强度大小为E 0 ，两平面外侧电场强度大小都为E0/ 3，方向如图。则A、B两平面上的电荷面密度分别 为 σA ＝ ， σB ＝ . A B 若A 、B同号，则两边强中间弱。 若A正B负，则中间场强向右。 ∴只能是A负B正，则 E0 / 3
3真空中平行放置两块大金属平板板面积为s板间距离为dd远小于板面线度板上分别带电量q因板间距离d远小于板面线度金属平板可视为无限大带电平面两板间的相互作用力等于其中一块平板受另一平板在该板处产生的电场的作用力
1、真空中一点电荷Q，在距它为r的a点处有一试 验电荷q，现使q从a点沿半圆弧轨道运动到b点， 则电场力作功为（ ）
A B E0 2 0 2 0 B A E0 2 0 2 0 3
E0 2 0 E 0 A 3 4 0 E 0 B 3
E0 / 3
7、如图， 一点电荷带电量 q = 10 -9 C. A、B、C 三点分别距离点电荷 10cm、20cm、30cm .若选 B 点电势为0，则 A 点电势为＿＿＿，C 点电势 为＿＿＿.（0= 8.85 × 10-12 C2· N-1 · m-2 ）
解： 利用电势的定义： q o
B A
A
B
C
r
B
当UB = 0 时，
q
r B U A E dr Edr A
大学物理电学习题
Q
dq
注意：
P 1. 上式为矢量积分(场强矢量迭加)， 计算时要化成标量积分。 dE 2.电荷元的选取 dq 带电线： 电荷线密度 dq dl 线元 dl dq 带电面： 电荷面密度 面积元 dq dS dS
dq 带电体：电荷体密度 dV
体积元 dq dV
40 r 球面内： V V Q Q V 球面外： Q 40 r
**带电球面
**带电圆环
**六、电势差（电压）U
40 R Q 环心处：V 40 R
b
1. 定义 U ab Va Vb E d l
a
2. 电势差与静电场力作功的关系
Aab q0U ab q0 (Va Vb )
。
例1.5 (P20) y 一均匀带电细圆环半径为 R ， dq 所带总电量为Q，求其几何轴 R 线上任意一点P（x )的场强。 解： o 在圆环上任取电荷元 dq Q dq 则 dE r 2 0 z 4 0 r
dE// dE cos
r
Px dE//
dE
dE
Y
dq
dq
Q
R
r
Px dE//
o
Q
Z
x cos θ r
cos E 4 0 r 2
dq
Q
dE
dE
X
Q
Qx dq 4 0r 3 Q
xQ E 4 0 ( x 2 R 2 ) 3 2
讨论：
（1）若x = 0（环心）， 则E = 0 ; （2）若 x R 则 E
静
电
场
（场强部分）
电场强度电势基本训练题
1．某静电除尘器工作时内部电场线分布的俯视图如图，带负电粉尘被吸附时由b点运动到a点，以下说法正确的是A．该电场是匀强电场 B．a点电势高于b点电势C．电场力对粉尘做正功 D．粉尘的电势能增大【答案】BC【解析】试题分析：由图可以看出，电场线的分布并不均匀，故该电场不是匀强电场，A不对；由于电场线的方向由a指向b，沿电场线的方向电势是降低的，故a点电势高于b点电势，B是正确的；带负电粉尘受到的电场力的方向是由b指向a的，故粉尘由b点运动到a点时，电场力做正功，C是正确的；由于电场力做正功，故它的电势能减小，D不对。
考点：匀强电场，电势的高低判断，电势能大小的判断。
2．下列是某同学对电场中的概念、公式的理解，其中正确的是：（）A．根据电场强度的定义式E=F/q可知：电场中某点的电场强度和试探电荷的电量成反比；B．根据库仑定律可知：电荷间的作用力与所带电荷量的乘积成正比，与电荷间的距离的二次方成反比；C．根据真空中点电荷电场强度公式E="kQ" /r2，电场中某点电场强度和场源电荷的电量有关；D．根据电势差的定义式U AB = W AB /q，将带电量为1C正电荷，从A点移动到B点克服电场力做功为1J，则A、B点的电势差为-1V。
【答案】CD【解析】试题分析：A、电场强度为电场本身的性质与试探电荷的电荷量无关；故A错误；B、在真空中有两个点电荷间的作用力遵守库仑定律，要强调点电荷，故B错误；C、根据点电荷的场强公式得，Q为场源电荷的电量，电场中某点电场强度和场源电荷的电量有关，故C正确；D、由电势差的定义可知，U=-1×10−51×10−5 V=1V；故D正确；考点：电场强度；电势差；库仑定律．3．如图所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为－q外，其余各点处的电荷量均为＋q，则圆心O 处()A OA方向B AO方向C OA方向D AO方向【答案】C【解析】试题分析：假设A处同样放+q的正电荷，由对称可知O处的合场强为零，所以在BCDE 四处的+q电荷，在O处产生的合场强一定与A处所放的+q电荷产生的场强等大反向，即在BCDE四处的+q电荷在O OA方向；所以若在A处放一个-q的电荷则圆心O OA方向。
06电势——习题课
v r
dr v
q0
dl
2. 静电场的环路定理（Circuital theorem ） 静电场的环路定理 环路定理（
在静电场中，场强沿闭合路径的线积分等于零， “在静电场中，场强沿闭合路径的线积分等于零， 静电场的环流等于零 等于零。 即静电场的环流等于零。”
∫
L
v v E ⋅d l = 0
说明：静电场为保守场，静电场的电场线不能闭合。 说明：静电场为保守场，静电场的电场线不能闭合。
4 πε 0 r (1 + 1.5 ) × 10 − 8 9 = 9 × 10 × = 450 V −2 50 × 10
3.2 两均匀带电球壳同心放置，半径分别为 1和 两均匀带电球壳同心放置，半径分别为R R2（R1＜R2），已知内外球之间的电势差为 U12， ），已知内外球之间的电势差为 求两球壳间的电场分布。 求两球壳间的电场分布。 设内球的带电量为q， 解：设内球的带电量为 ，则
ϕ =
在 x 轴上
λ 4 πε
ln
0
x2 + a2 + a x2 + a2 − a
∂ϕ ∂ϕ Ez = − = 0 Ey = − = 0, ∂z dy ∂ϕ λa E = Ex = − = 2 2 ∂x 2 πε 0 x x + a
3.20 一边长为工的正三角形，其三个顶点上各放置 ， 一边长为工的正三角形，其三个顶点上各放置q， －q和－2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电 的点电荷， 和 的点电荷 求此三角形重心上的电势。 的点电荷由无限远处移到重心上， 量为＋Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力要做多 的点电荷由无限远处移到重心上 少功？ 少功？ 解：重心上的电势为
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y
q
o dq L b
P
'
x
U P'
dU
q 8 0 L ln
L
qdx 8 0 L( b x )
L
b L b L
练习7. 证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。
a
静电场特性：
b
E
d
c
q
有源
保守
高斯定理
环路定理
作如图环路: abcd
均匀带电球面：
2 0 r
( 带电直线）
E外 qr 4 0 r
3
E内 0 ,
无限大均匀带电平面： E
2 0
( 带电平面）
[练习1] 求半径 R 的带电半圆环环心处的电场强度
1. 均匀带电，线密度为 2. 上半部带正电，下半部带负电，线密度为 3. 非均匀带电，线密度为 0 sin
E
2 0
0
E
……
二 . U 的计算
场强积分法 叠加法
1. 场强积分法 ：
Ua
零势点
注意
E dl
a
(1) 积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路径.
(2) E 为路径上各点总场，若各区域 E 表达式不同，
应分段积分.
(3) 积分值与零势点选取有关 . 选取原则：
R
0
rdr
r
r 2
4 0
R
U外
r
0 E外 dr E内 dr R
r
R dr
2
0
2 0 r
R
rdr
2 0
R
2
2 0
ln
R r
R
2
4 0
E ~ r 曲线和 U ~ r 曲线
E
R
R
rro来自UR1 r
h
S
r
o
r
2
R
r
(1) 由定义求
(2) 由点电荷(或典型电荷分布) E 公式
和叠加原理求
(3) 由高斯定理求
(4) 由
E 与 U
的关系求
典型静电场 点电荷：
E qr 4 0 r
3
均匀带电圆环轴线上： E
1
2
qxi
2
3 2
4 0 ( R x )
无限长均匀带电直线： E
j
0
2
0
cosd
4 0 R
2 0 R
Eo
2 0 R
dq
y
解：3）
dE
d
R
o
dE
x
0sin
dq Rd dE dq 4 0 R
2
; 沿径向
dq
有无对称性？
Ey
sin sin( - )
y
dE
s
(3)
q
内
?
dr
S
k 4 3 q内 V r r 3
对否 ？
r
r o
R
dq dV
k r
R
4r dr
2
R
r R:
r R:
q
内
dV r
0 0
r r
k
2dr 2kR 2 4r
q内
dV
R1
思考 (1) 选用何种方法求解？
挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？补偿法！
r1
E2
E1
P
R2
o1
a
o2
r2
半径 R 1均匀带电实心球体在P点的场强： 1 E 半径 R 2均匀带电实心球体在P点的场强：E 2 所求场强 E P E1 E 2而 E1 E 2 、 均可由高斯定理求出.
kR
2 0 r
沿径向
E内 E外
k 2 0 kR
2
dr
S
r
2 0 r
r
2
o
R
沿径向
E
〈5〉对结果的定性理解：
k 2 0
1 r
2
q内 r
E r
2
1
2
o
R
r
总效果: E内大小为恒量
练习4. 在半径R1 ，体电荷密度 的均匀带电球体内挖 去一个半径R2的球形空腔。空腔中心o2与带电球体中 心o1 相距为a [(R2+ a )< R1], 求空腔内任一点电场 。
0
sin 2d 0 E i dE x i 4 0 R 8 0 R 0
i
[练习2] 求均匀带电半球面(已知R, ) 球心处电场 .
y
R
思考：〈1〉用哪种方法求解?
x
d 叠加法： q dE dE
o
y y
〈2〉 dq ? 是否一定取点电荷？
0
r
0
k
4r dr 2kr
2
2
dr
S
<4> 电场强度的大小，方向 ？
由高斯定理：
E 4r
2
r
r o
1 E dS
R
s
0
q
内
1
0
q
内
得：
E内
2kr
2 2
4 0 r
2kR 4 0 r
2 2
k 2 0
2 2
沿径向
E外
r2 E2 3 0
R1
o1
a
E
R2
a E P E1 E 2 ( r1 r2 ) 3 0 3 0
o2
腔内为平行于 o o a 1 2
的均匀电场！
(3) 思考：请总结获得均匀电场的方法
R1
o1
a
E
R2
o2
E
U
U
U内
q 4 0 R
U外
q 4 0 r
练习5. 求无限长均匀带电圆柱体
R
( R , ) 电势分布。
解： 场强积分法
.
先由高斯定理求电场分布.
r
高 斯 面
r
高 斯 面 l
如何选高斯面？
l
R
R
r
选高 h 半径 r 的同轴圆柱面 为高斯面 .
h
S
1 E dS E 2rh
4 0 R
2 0 R
Eo
i 2 0 R
dq
y
解：2）
dq Rd dq 4 0 R
2
d
R
o
dE
x
dE
; 沿径向
dE
对称性分析与 1）有何不同？
Ex
dq
dE
/2
x
0
2
Ey
dE
y
2
dE cos
电荷有限分布选 U 0 电荷无限分布选 U 有限处 0
2.
叠加法 思路： dq dU U dU
注意：应用典型带电体的电势公式
选取相同的零势点. 典型带电体的电势：
q 4 0 r
q 4 0 ( R x )
2 2
1 2
点电荷：
均匀带电圆环轴 线上： 均匀带电球面：
ab , cd 上
Edl
b
E dl
a
d
E dl 0
c
a
E
d
b
da . bc 上路径相等 而 E 大小不等 .
又
c
q
（电力线密度不同）
c
E dl
b
a
E dl
d
E dl
L
c d a E dl E dl E dl E d l 0
b a b c d
违反静电场环路定理 , 如图所示电场不是静电场。
自学：教材229页 例一
同学们好！
?
如果你老是在你的舒服区里头 打转，你就永远无法扩大你的视 野，永远无法学到新的东西。只 有你跨出舒服区以后，你才能使 自己人生的圆圈变大，你才能挑 战自己的心灵，使之变得更加坚 强，最终把自己塑造成一个更优 秀的人。
－－（美）布伦达.乌尔巴奈克
习题课：E , U 的计算
一.
E
的计算
对数曲线
练习6. 电量 q均匀分布在长为2L的细棒上 。求： (1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处P点的电势 。 (2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P点的电势。
y
P a
解：叠加法 将带电细棒视为点电荷集合
dq
'
q 2L
r
L
dx 令 U 0
q
P o dq L b x
(1) dU
qdx
dq 4 0 r
qdx
2 2
1 2
8 0 L( x a )
q 4 0 L ln L