圆的相似综合题
相似与圆综合题目练习
2.(2013?湛江)如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.
(1)求证:PA为⊙O的切线;
(2)若OB=5,OP=,求AC的长.
3.(2013?营口)如图,点C是以AB为直径的⊙O上的一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D.(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD=1,AC=,求⊙O的半径长.
4.(2013?西宁)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O直径,作∠CAD=∠B,且点D在BC的延长线上,CE⊥AD 于点E.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为8,CE=2,求CD的长.
6.(2013?宁夏)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,以BD为直径作⊙O交AC于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点F.且BD=BF.
(1)求证:AC与⊙O相切.
(2)若BC=6,AB=12,求⊙O的面积.
7.(2013?黄冈)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.(1)求证:DC为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AD=4,求AC的长.
9.(2013?朝阳)如图,直线AB与⊙O相切于点A,直径DC的延长线交AB于点B,AB=8,OB=10
(1)求⊙O的半径.
(2)点E在⊙O上,连接AE,AC,EC,并且AE=AC,判断直线EC与AB有怎样的位置关系?并证明你的结论.(3)求弦EC的长.
11.(2013?巴中)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B (1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.
12.(2012?岳阳)如图所示,在⊙O中,=,弦AB与弦AC交于点A,弦CD与AB交于点F,连接BC.
(1)求证:AC2=AB?AF;
(2)若⊙O的半径长为2cm,∠B=60°,求图中阴影部分面积.
14.(2012?陕西)如图,正三角形ABC的边长为3+.
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.
15.(2012?河南)类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若=3,求的值.
(1)尝试探究
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是_________ ,CG和EH的数量关系是
_________ ,的值是_________ .
(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,若=m(m>0),则的值是_________ (用含有m的代数式表示),试写出解答过
程.
(3)拓展迁移
如图3,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上的一点,AE和BD相交于点F.若=a,=b,(a>0,b>0),则的值是_________ (用含a、b的代数式表示).
初中数学组卷
一.解答题(共15小题)
2.(2013?湛江)如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC.(1)求证:PA为⊙O的切线;
(2)若OB=5,OP=,求AC的长.
考点:切线的判定;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
分析:(1)欲证明PA为⊙O的切线,只需证明OA⊥AP;
(2)通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度.
解答:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°.
又∵OP∥BC,
∴∠AOP=∠B,
∴∠BAC+∠AOP=90°.
∵∠P=∠BAC.
∴∠P+∠AOP=90°,
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°,即OA⊥AP.
又∵OA是的⊙O的半径,
∴PA为⊙O的切线;
(2)解:由(1)知,∠PAO=90°.∵OB=5,
∴OA=OB=5.
又∵OP=,
∴在直角△APO中,根据勾股定理知PA==,
由(1)知,∠ACB=∠PAO=90°.
∵∠BAC=∠P,
∴△ABC∽△POA,
∴=.
∴=,
解得AC=8.即AC的长度为8.
点评:本题考查的知识点有切线的判定与性质,三角形相似的判定与性质,得到两个三角形中的两组对应角相等,进而得到两个三角形相似,是解答(2)题的关键.
3.(2013?营口)如图,点C是以AB为直径的⊙O上的一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若CD=1,AC=,求⊙O的半径长.
考点:切线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
专题:压轴题.
分析:(1)连接OC.先由OA=OC,可得∠ACO=∠CAO,再由切线的性质得出OC⊥CD,根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥CO,由平行线的性质得∠DAC=∠ACO,等量代换后可得∠DAC=∠CAO,即AC平分∠BAD;
(2)解法一:如图2①,过点O作OE⊥AC于E.先在Rt△ADC中,由勾股定理求出AD=3,由垂径定理求出AE=,再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△ADC,由相似三角形对应边成比例得到,求出AO=,即⊙O的半径为;解法二:如图2②,连接BC.先在Rt△ADC中,由勾股定理求出AD=3,再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△ACD,由相似三角形对应边成比例得到,求出
AB=,则⊙O的半径为.
解答:(1)证明:连接OC.
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO.
∵CD切⊙O于C,
∴OC⊥CD,
又∵AD⊥CD,
∴AD∥CO,
∴∠DAC=∠ACO,
∴∠DAC=∠CAO,
即AC平分∠BAD;
(2)解法一:如图2①,过点O作OE⊥AC于E.
在Rt△ADC中,AD===3,
∵OE⊥AC,
∴AE=AC=.
∵∠CAO=∠DAC,∠AEO=∠ADC=90°,
∴△AEO∽△ADC,
∴,即,
∴AO=,即⊙O的半径为.
解法二:如图2②,连接BC.
在Rt△ADC中,AD===3.
∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=∠DAC,∠ACB=∠ADC=90°,
∴△ABC∽△ACD,
∴,
即,
∴AB=,
∴=,
即⊙O的半径为.
点评:本题考查了等腰三角形、平行线的性质,勾股定理,垂径定理,切线的性质,相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.
4.(2013?西宁)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O直径,作∠CAD=∠B,且点D在BC的延长线上,CE⊥AD
于点E.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为8,CE=2,求CD的长.
考点:切线的判定;解分式方程;相似三角形的判定与性质.
分析:(1)首先连接OA,由BC为⊙O直径,CE⊥AD,∠CAD=∠B,易求得∠CAD+∠OAC=90°,即∠OAD=90°,则可证得AD是⊙O的切线;
(2)易证得△CED∽△OAD,然后设CD=x,则OD=x+8,由相似三角形的对应边成比例,可得方程:,
继而求得答案.
解答:(1)证明:连接OA,
∵BC为⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠CAD=∠B,
∴∠CAD+∠OAC=90°,
即∠OAD=90°,
∴OA⊥AD,
∵点A在圆上,
∴AD是⊙O的切线;
(2)解:∵CE⊥AD,
∴∠CED=∠OAD=90°,
∴CE∥OA,
∴△CED∽△OAD,
∴,CE=2,
设CD=x,则OD=x+8,
即,
解得x=,
经检验x=是原分式方程的解,
所以CD=.
点评:此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
5.(2013?绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD.
(2)如图2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.
考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
专题:压轴题.
分析:(1)根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根据AC:AB=1:2及点E为AB的中点,得出AC=BE,再利用AAS 证明△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD;
(2)作EH⊥AD于H,EQ⊥B C于Q,先证明四边形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,则∠FEQ=∠GEH,再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根据正弦函数的定
义得出EQ=BE,在△AEH中,根据余弦函数的定义得出EH=AE,又BE=AE,进而求出EF:EG的值.
解答:(1)证明:如图1,
在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.
∵AC:AB=1:2,∴AB=2AC,
∵点E为AB的中点,∴AB=2BE,
∴A C=BE.
在△ACD与△BEF中,
,
∴△ACD≌△BEF,
∴CD=EF,即EF=CD;
(2)解:如图2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,
∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,
∴四边形EQDH是矩形,
∴∠QEH=90°,
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH,
∴EF:EG=EQ:EH.
∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,
∴∠B=30°.
在△BEQ中,∵∠BQE=90°,
∴sin∠B==,
∴EQ=BE.
在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,
∴cos∠AEH==,
∴EH=AE.
∵点E为AB的中点,∴BE=AE,
∴EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质,解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线,构造相似三角形,并且证明四边形EQDH是矩形.
6.(2013?宁夏)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上的一点,以BD为直径作⊙O交AC于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点F.且BD=BF.
(1)求证:AC与⊙O相切.
(2)若BC=6,AB=12,求⊙O的面积.
考点:切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析:(1)连接OE,求出∠ODE=∠F=∠DEO,推出OE∥BC,得出OE⊥AC,根据切线的判定推出即可;
(2)证△AEO∽△ACB,得出关于r的方程,求出r即可.
解答:证明:(1)连接OE,
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∵BD=BF,
∴∠ODE=∠F,
∴∠OED=∠F,
∴OE∥BF,
∴∠AEO=∠ACB=90°,
∴AC与⊙O相切;
(2)解:由(1)知∠AEO=∠ACB,又∠A=∠A,
∴△AOE∽△ABC,
∴,
设⊙O的半径为r,则,
解得:r=4,
∴⊙O的面积π×42=16π.
点评:本题考查了等腰三角形的性质,切线的判定,平行线的性质和判定,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的推理和计算能力,用了方程思想.
7.(2013?黄冈)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.(1)求证:DC为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AD=4,求AC的长.
考点:切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析:(1)连接OC,由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA,然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA,接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD,然后就得到OC⊥CD,由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点;
(2)连接BC,根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°,又∠DAC=∠OAC,由此可以得到△ADC∽△ACB,然后利用相似三角形的性质即可解决问题.
解答:(1)证明:连接OC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠OAC
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直线CD与⊙O相切于点C;
(2)解:连接BC,则∠ACB=90°.
∵∠DAC=∠OAC,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴,
∴AC2=AD?AB,
∵⊙O的半径为3,AD=4,
∴AB=6,
∴AC=2.
点评:此题主要考查了切线的性质与判定,解题时首先利用切线的判定证明切线,然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,(1)求出三角形全等的条件∠1=∠E是解题的关键,(2)(i)根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键,(ii)判断出路径为三角形的中位线是解题的关键.
9.(2013?朝阳)如图,直线AB与⊙O相切于点A,直径DC的延长线交AB于点B,AB=8,OB=10
(1)求⊙O的半径.
(2)点E在⊙O上,连接AE,AC,EC,并且AE=AC,判断直线EC与AB有怎样的位置关系?并证明你的结论.
(3)求弦EC的长.
考点:切线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
分析:(1)连接OA,交EC于F,根据切线性质得出∠OAB=90°,根据勾股定理求出即可;
(2)根据AE=AC推出弧AE=弧AC,根据垂径定理求出OA⊥EC,根据平行线判定推出即可;
(3)证△OFC∽△OAB,求出FC,根据垂径定理得出EC=2FC,代入求出即可.
解答:(1)解:连接AO,交EC于F,
∵AB切⊙O于A,
∴OA⊥AB,
∴∠OAB=90°,
在Rt△OAB中,由勾股定理得:OA===6,
答:⊙O的半径是6.
(2)直线EC与AB的位置关系是EC∥AB.
证明:∵AE=AC,
∴弧AE=弧AC,
∵OA过O,
∴OA⊥EC,
∵OA⊥AB,
∴EC∥AB.
(3)解:∵EC∥AB,
∴△OFC∽△OAB,
∴=,
∴=,
∴FC=,
∵OA⊥EC,OA过O,
∴EC=2FC=.
点评:本题考查了勾股定理,相似三角形的性质和判定,切线性质,垂径定理,圆周角定理的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.
10.(2013?百色)如图,在等腰梯形ABCD中,DC∥AB,E是DC延长线上的点,连接AE,交BC于点F.
(1)求证:△ABF∽△ECF;
(2)如果AD=5cm,AB=8cm,CF=2cm,求CE的长.
考点:相似三角形的判定与性质;等腰梯形的性质.
分析:(1)由“两直线平行,内错角相等”推知∠B=∠ECF,∠BAF=∠E.则由“两角法”证得结论;
(2)利用(1)中的相似三角形的对应边成比例得到=,即=.所以CE=(cm).
解答:(1)证明:∵DC∥AB,
∴∠B=∠ECF,∠BAF=∠E,
∴△ABF∽△ECF.
(2)解:∵在等腰梯形ABCD中,AD=BC,AD=5cm,AB=8cm,CF=2cm,
∴BF=3cm.
∵由(1)知,△ABF∽△ECF,
∴=,即=.
∴CE=(cm).
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰梯形的性质.等腰梯形的两腰相等.
11.(2013?巴中)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B (1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.
考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质.
专题:压轴题.
分析:(1)利用对应两角相等,证明两个三角形相似△ADF∽△DEC;
(2)利用△ADF∽△DEC,可以求出线段DE的长度;然后在在Rt△ADE中,利用勾股定理求出线段AE的长度.
解答:(1)证明:∵?ABCD,∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C.
在△ADF与△DEC中,
∴△ADF∽△DEC.