数学七年级竞赛入门辅导讲义_共十讲_很实用 2
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 含答案 共30讲 改好278页
初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。
【例3】 解关于的方程。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。
初一数学竞赛辅导讲义
初一数学竞赛讲座自然数的有关性质一、一、知识要点1、1、最大公约数定义1如果a1,a2,…,a n和d都是正整数，且d∣a1,d∣a2,…,d∣a n，那么d叫做a1,a2,…,a n 的公约数。
公约数中最大的叫做a1,a2,…,a n的最大公约数，记作(a1,a2,…,a n).如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.2、2、最小公倍数定义2如果a1,a2,…,a n和m都是正整数，且a1∣m, a2∣m,…, a n∣m，那么m叫做a1,a2,…,a n的公倍数。
公倍数中最小的数叫做a1,a2,…,a n的最小公倍数，记作[a1,a2,…,a n].如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24.3、3、最大公约数和最小公倍数的性质性质1 若a∣b,则(a,b)=a.性质2 若(a,b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd.性质3 若n∣a, n∣b,则()nbanbna,,=⎪⎭⎫⎝⎛.性质4 若a=bq+r (0≤r<b),则(a,b)= (b,r) .性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。
性质5若b∣a,则[a,b]=a.性质6若[a,b]=m,且n为正整数，则[na,nb]=nm.性质7若n∣a, n∣b,则[]nbanbna,,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡.4、4、数的整除性定义3对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=b q 成立，则就称b整除a或a被b整除，记作b∣a，若b∣a，我们也称a是b倍数；若b不能整除a，记作b a5、5、数的整除性的性质性质1 若a∣b，b∣c，则a∣c性质2 若c∣a，c∣b，则c∣(a±b)性质3 若b∣a, n为整数，则b∣n a6、6、同余定义4设m是大于1的整数，如果整数a，b的差被m整除，我们就说a，b关于模m同余，记作a≡b(mod m)7、7、同余的性质性质1 如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，ac≡bd(mod m)性质2 如果a≡b(mod m)，那么对任意整数k有ka≡kb(mod m)性质3 如果a≡b(mod m)，那么对任意正整数k有a k≡b k(mod m)性质4如果a≡b(mod m)，d 是a ，b 的公约数，那么()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡d m,m mod d b da 二、二、例题精讲例1 设m 和n 为大于0的整数，且3m+2n=225.如果m 和n 的最大公约数为15，求m+n 的值(第11届“希望杯”初一试题)解：(1) 因为 (m,n)=15,故可设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1因为 3m+2n=225，所以3a+2b=15因为 a,b 是正整数，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6 从而m+n=15(a+b)=15⨯7=105评注：1、遇到这类问题常设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。
初一数学竞赛辅导讲义
初一数学竞赛辅导讲义一次方程(组)与二元一次不定方程本讲就解一次方程（组）与二元一次不定方程的基本方法和技巧作些简单介绍。
一、一次方程（组）解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数的系数。
任何一个一元一次方程最终都可以化为ax b =的形式。
解方程的根据是方程的同解原理。
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫同解方程。
1． 方程两边都加上（减去）同一个数（或同一个整式），所得的方程与原方程是同解方程。
2． 方程两边都乘以（除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。
例1．解下列个方程（1）()()()()11323327322337x x x x ---=---（2）()14335190.50.125x x x +++=+ （3）3421424904532x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+-=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭例2．是否存在这样的a 值，使当1b =时，关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无数多个解？例3．关于x 的方程1x ax =+同时有一个正数解和一个负数解，求a 的值。
例4．关于x 、y 的两个方程组2227ax by x y -=⎧⎨-=⎩和359311ax by x y -=⎧⎨-=⎩具有相同的解，求a 、b 的值。
例5．已知()()()()()()22219992000200101999200020012000x y y z x z x y y z z x -+---=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩求z y -的值。
二、二元一次不定方程如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程（组）叫做不定方程（组）。
例如，二元一次方程3215x y +=是不定方程；三元一次方程组11426x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩是不定方程。
不定方程（组）的解是不确定的。
一般不定方程总有无数穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解三种都有可能：有无穷组解，或有限组解，或无解。
七年级数学竞赛同步辅导讲义-下学期专用doc
七年级数学竞赛同步辅导讲义下册专用教育教材研发中心编第一讲整数的一种分类内容提要1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。
即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。
－9＝5（－2）＋1。
）2．显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。
3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。
例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数）m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。
m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。
4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。
举例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。
②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。
③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。
余数的乘方，包括一切正整数次幂。
如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。
初一数学奥赛基础知识讲义
七年级奥赛数学基础知识讲义第二讲 和绝对值有关问题一、 绝对值意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 点到原点距离叫做数a 绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数绝对值是它本身；②负数绝对值是它相反数；③零绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
二、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般有理数计算。
脱去绝对值符号时，必须先确定绝对值符号内各个数正负性，再根据绝对值代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合数学思想，由a 、b 、c 在数轴上对应位置判断绝对值符号内数符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂不等关系借助数轴直观、轻松找到了x 、y 、z 三个数大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题意识。
例3．（分类讨论思想）已知甲数绝对值是乙数绝对值3倍，且在数轴上表示这两数点位于原点两侧，两点之间距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数点位于原点同侧呢？0)()(=--+-+=--+++y x z y z x yx z y z x201020081861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 分析：从题目中寻找关键解题信息，“数轴上表示这两数点位于原点两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
初中数学(初一)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)
初一数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数|，则必有|或|．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例题与求解【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江苏省竞赛试题) 解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．⑵若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )A．4B．8C．12D．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A．1个B．3 个C．5个D．6 个(“希望杯”邀请赛试题) 8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49－=_________．A．0B．2 007C．2 008D．2 010(“五羊杯”竞赛试题) 6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是()A．，都是质数B．，都是合数C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现(江西省竞赛试题) 7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴6个数中任意两个都互质；⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x ＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。
初中数学竞赛辅导资料课件.doc
初中数学竞赛辅导资料一元一次方程解的讨论甲内容提要1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x=ab ； 当a=0且b ≠0时，无解；当a=0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3, 求方程ax=b(a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b乙例题例1 a 取什么值时，方程a(a －2)x=4(a －2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a ≠0且a ≠2 时，方程有唯一的解，x=a 4 ②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a ≠0且a ≠2时，方程的解是x=a4,∴只要a 与4同号， 即当a>0且a ≠2时，方程的解是正数。
例2 k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k －2（x －2）的解是整数？②（1－x ）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k ＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k －6，当k ≠0时x=k k 6 =1－k6， 只要k 能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x 就是整数当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
初一数学竞赛系列讲座全套
初一数学竞赛讲座(三)数字、数位及数谜问题一、一、知识要点1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成：122321*********a a a a a n n n n +⨯+⨯++⨯+⨯---其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0.对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n -2、正整数指数幂的末两位数字(1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，那么m n 的末位数字就是a n 的末位数字。
(2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，那么m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。
3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。
这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑〞、“猜〞的方法求解，是一种有趣的数学游戏。
二、二、例题精讲例1、有一个四位数，其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。
分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。
解：设所求的四位数为a ⨯103+b ⨯102+c ⨯10+d ，依题意得：(a ⨯103+b ⨯102+c ⨯10+d)+( d ⨯103+c ⨯102+b ⨯10+a)=9988∴ (a+d) ⨯103+(b+c) ⨯102+(b+c) ⨯10+ (a+d)=9988比拟等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7故所求的四位数为1997评注：将整数用十进位数码表示，有助于将条件转化为等式，从而解决问题。
例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，假设最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，那么称N 为“新生数〞，试求所有的三位“新生数〞。
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第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B （B ≠0）所得的商A /B 是整数，那么叫做A 被B 整除． 0能被所有非零的整数整除．一些数的整除特征 除 数能被整除的数的特征 2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除 8或125末三位数能被8或125整除 3或9各位上的数字和被3或9整除（如771，54324） 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整除（如143，1859，1287，908270等）7，11，13 从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除．（如1001，22743，17567，21281等）能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除．如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1 已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除．求x ，y解：x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y =6．∵328＋92x ＝567，∴x =3．1234能被12整除，求x．例2 己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8．当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8．∴x＝8．例3 求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数．解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263．三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296．987能被3整除，那么a=_______________．2若四位数ax能被11整除，那么x＝__________．3若五位数123435m能被25整除．4当m=_________时，59610能被7整除．5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________．7能被4整除的最大四位数是_____，能被8整除的最小四位数是______．88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________，8__________，9_________，11__________．9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个．10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？1234能被15整除，试求A的值．11己知五位数A12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数．第二讲倍数约数一、内容提要1．两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B/A），那么A叫做B 的倍数，B叫做A的约数．例如3/15，15是3的倍数，3是15的约数．2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除．0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数．如0是7的倍数，7是0的约数．3．整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……．4．整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A．例如6的约数是±1，±2，±3，±6．5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数．6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．7．在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除．二、例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32．解：列表如下：正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计2 1，2 2 31，3 2 2×3 1，2，3，6422 1，2，4 3 32 1，3，32 3 22×3 1，2，3，4，6，12623 1，2，4，84 331，3，32，334 22×321，2，3，4，6，9，12，18，36924 1，2，4，8，165 341，3，32，33，345其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数，m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)例如：求360的正约数的个数．解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）．例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6．最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]=360．例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N．解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数．∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6．经检验1和2不合题意，∴N＝6，3．例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1．解：∵[10，9，8]=360，∴所以所求的数是359．三、练习1．12的正约数有_________，16的所有约数是_________________2．分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________3．用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数．4．一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________5．能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6．己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________7．写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数．答____8．一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9．一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？第三讲 质数 合数一、内容提要1．正整数的一种分类：1⎧⎪⎨⎪⎩质数合数质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）．合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数．2． 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数，② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3．任何合数都可以分解为几个质数的积．能写成几个质数的积的正整数就是合数．二、例题例1 两个质数的和等于奇数a （a ≥5）．求这两个数．解：∵两个质数的和等于奇数， ∴必有一个是2，所求的两个质数是2和a －2．例2 己知两个整数的积等于质数m ， 求这两个数．解：∵质数m 只含两个正约数1和m ，又∵（－1）（－m ）=m ，∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m ．例3 己知三个质数a ，b ，c 它们的积等于30，求适合条件的a ，b ，c 的值．解：分解质因数：30＝2×3×5．适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a ．应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a ，b ，c ，d 它们的积等于210，即abcd =2×3×5×7那么适合条件的a ，b ，c ，d 值共有24组，试把它写出来．例4 试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数．解：（本题答案不是唯一的）设N 是不大于5的所有质数的积，即N ＝2×3×5那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，N ＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数．本题可推广到n 个．令N 等于不大于n +1的所有质数的积，那么N ＋2，N ＋3，N ＋4，……N ＋（n +1）就是所求的合数．三、练习1．小于100的质数共 个，它们是 ．2．己知质数P 与奇数Q 的和是11，则P ＝ ，Q ＝ ．3．己知两个素数的差是41，那么它们分别是 ．4．如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是 ．如果两个整数的积等于73，那么它们是 ．如果两个质数的积等于15，则它们是 ．5．两个质数x 和y ，己知xy=91，那么x = ，y = ，或x = ，y= ．6． 三个质数a ，b ，c 它们的积等于1990．那么 _______________a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩7．能整除311＋513的最小质数是 ．8．己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99，AB ＝M ．求M 及B A ＋AB 的值． 9．试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数．10．具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11．求适合下列三个条件的最小整数：① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数．12．某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是 ．13．一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是 ．第四讲零的特性一、内容提要（一）、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数．零是自然数，是整数，是偶数．1．零是表示具有相反意义的量的基准数．例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元．2．零是判定正、负数的界限．若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0 ⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数b<0 ⇔b是负数c≥0 ⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d≤0 ⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)e≠0 ⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3．在一切非负数中有一个最小值是0．例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0．记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）．4．在一切非正数中有一个最大值是0．例如－|x|≤0，当x＝0时，－| x |值最大，是0，（∵x≠0时都是负数），－（x－2）2≤0，当x＝2时，－（x－2）2的值最大，是0．(二)、零具有独特的运算性质1．乘方：零的正整数次幂都是零．2．除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数．从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0．3．乘法：零乘以任何数都得零．即a×0＝0，反过来如果ab=0，那么a、b中至少有一个是0．要使等式xy=0成立，必须且只需x=0或y=0．4．加法：互为相反数的两个数相加得零．反过来也成立．即a、b互为相反数⇔a+b=0。