初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题11 设元的技巧
初一数学培优专题讲义(供参考)
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
极速提分法第设元技巧在一元一次方程中的应用+练习课件+2023-2024学年华东师大版数学七年级下册
−
−
.解得x＝3，
＝6(km).
3＋6＝9(km).
答：从A地到B地有9 km.
方法二
设平路长为y km，则根据往返所走的坡路长度不变，可得
12
−
＝4
则坡路长4×
−
−
.解得y＝6，
＝3(km).
3＋6＝9(km).
答：从A地到B地有9 km.
应用2设元的方法
巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的
数.试求原五位数.
【解】设原五位数去掉个位数后的四位数为x，则原五位数
可表示为10x＋4.
根据题意，得(10x＋4)＋6 120＝4×10 000＋x.
解得x＝3 764.
所以10x＋4＝37 644.
答：原五位数是37 644.
方法4 辅助设元法
方法1 直接设元法
2.[新情境社会热点]为了进一步落实“双减”政策，某校积极
开展社团活动，原国际象棋社团有学生64人，羽毛球社团
有学生56人，现有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团
后，国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半，有多少
名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
【解】设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团，根据
喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是
甲区的1.2倍(每架次无人机喷洒时间相同)，喷洒任务完成
后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒
亩，求派往甲区的每架次无人机平均喷洒多少亩.
【解】(2)设派往甲区的每架次无人机平均喷洒y亩，派往
初一数学培优专栏讲义
初一数学基础知识讲义第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图：数二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：1)1(+=--x x 201020081861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
七年级数学培优辅导十一
第十一讲 立体图形与平面图形※ 知识纵横§4.1 生活中的立体图形1、常见立体图形（1）柱体：棱柱、圆柱；（2）锥体：棱锥、圆锥；（3）球体；（4）台体：棱台、圆台. 2、生活中立体图形的异同3、立体图形的表面积和体积（1）圆柱、棱柱：h S V 底=；（2）圆锥、棱锥：h S V 底＝31；（3）球体：24r S π=表面，334r V π=. 4、多面体：每个面都是平面的立体图形叫多面体. 5、欧拉公式：对于多面体有：面数+顶点数-棱数＝2 §4.2 画立体图形 1、视图法从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，描绘三张所看到的图，叫视图. 从正面看到的图形称为正视图；从上面看到的图形称为俯视图；从侧面看到的图形称为侧视图，依方向不同有左视图、右视图. 2、视图对物体特征的描绘正视图：上下、左右（长、高）；俯视图：前后、左右（长、宽）；侧视图：上下、前后（宽、高）. 3、画立体图形的注意事项正、俯视图长对正，正、左视图高平齐，侧、俯视图宽相等. 4、由视图到立体图形（1）给合视图对物体特征的描绘来判断物体的长宽高、上下左右前后关系； （2）以俯视图为基础，结合正视图和侧视图分别判断各位置的情况，从而确定物体. §4.3 立体图形的表面展开图1、沿立体图形的一些棱将它剪开，并将其展开得到的平面图形叫立体图形的表面展开图. 注意：（1）同一个立体图形，按不同的棱剪开，可得到不同的表面展开图；（2）表面展开图的基本平面图形的个数与立体图形的面数是相同的 （3）不同的立体图形的表面展开图是不一样的；（4）不是所有的立体图形都能展成平面图形. 2、判断立体图形表面展开图的方法（1）抓住各立体图形的特征：形状、面数；（2）确定底面，沿不同的方向折叠，不重合、不空缺，形成封闭立体图形. §4.4 平面图形1、平面图形：就是在一个平面内组成的图形，大多为二维图形.2、基本的平面图形圆：由曲线围成的封闭图形；多边形：由线段围成的封闭图形.按照组成多边形的边数，多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形……另外，多边形也可分为凹多边形与凸边形.注意：（1）在同一平面,且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形；（2）初中阶段我们主要研究凸边形（整个图形只总在过任一条边的直线的一侧）. 3、三角形与多边形的关系三角形是最简单的多边形，所有的多边形都可看作是由三角形组成的，任意一个多边形都可分割成若干个三角形.分法不同，分得的三角形的个数也不同.例如：过n边形的一顶点，连接不相邻的顶点，可将多边形分割成)2(-n 个三角形.过n 边形的一边上任意一点(顶点除外)，连接不相邻的顶点，可将多边形分割成)1(-n个三角形. 过n 边形内任意一点，连接多边形各个顶点，可将多边形分割成n三角形. 4、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.多边形对角线的条数：过n边形的一个顶点可以作条对角线；n 多边形一共有条对角线. 5、多边形的内角和公式：n 边形的内角和为.※典例剖析【例1】指出下列图形的名称：（1） （2） （3） （4）（5） （6）（7）） （8） （9） （10） （11） （12） 其中柱体有： ； 锥体有： ；棱柱有： ；棱锥有： ； 【例2】（1）五边形的内角和是 ，对角线条数是 条；(2)小明在计算一个多边形的内角和时少算了一个内角，得到的答案为2750°，你知道这个多边形的边数吗？小明少算的那个角的度数是多少度？4651-2【例3】画出下列立体图形的三视图.【例4】用若干个小立方块搭的几何体的主视图和俯视图如图所示. 你能说出搭成这样的几何体需要多少个小正方体？请画出它的一种左视图，并指出此时需要多少个小正方体？主视图俯视图※培优训练1、一个多面体有12条棱，6个顶点，则这个多面体是面体．2、用刀切一个正方体，截面形状状可能是.3、右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这个几何体中小正方体的个数是.4、如图，其中是正方体的表面展开图的是（）.A B C D4、如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为1的面与其对面上的数字之积是（）.A、-2．B、0．C、4．D、6．5、一个四边形切一刀后变成（）.A、四边形B、五边形C、四边形或五边形D、三角形或四边形或五边形6、如下图左边的平面图形，可折成的正方体是（）7、如图一是标有1、2、3、4、5、6数字的正方体的三种不同的摆法，这三个正方体左面的数字之和是；主视图左视图俯视图312 23 4163后面的数字之和是；下面的数字之和是 .※能力拓展题组一：1、桌面上放着一个长方体和一个圆柱，如下图左，其左视图是（）2、如图一是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字，请按要求回答问题.（1）如果1在多面体的底部，那么在上面；（2）如果3在前面，6在上面，那么在右面；（3）如果6在右面，5在后面，那么在上面.3、已知右图是一个正方体的表面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面，则“祝”表示正方体的面；“你”表示正方体的面；“前”表示正方体的面.题组二：1、现有一个用正方体小木块搭建成的图形，它的三视图如右图所示，请你观察它由块小木块组成.2、桌上摆有一些大小相同的正方体木块，俯视图、左视图如右图所示，摆出这样的图形最少需要块正方体木块；最多需要块正方体木块.3、桌上摆有一些大小相同的正方体木块，主视图、左视图如右图所示，摆出这样的图形最少需要块正方体木块；最多需要块正方体木块.4、如图是用大小相等的正方体搭成的一个立体图形的三视图，请根据三视图回答下列问题.（1）该立体图形由个正方体构成；（2）若只看俯视图和左视图，则立方体最少可以有个正方体；（3）若只看俯视图和正视图，最多有个正方体；（4）若只看正视图和左视图，最多有个正方体.题组三：1、一个长方体的长、宽、高分别为9cm、6cm、5cm，先从这个长方体上尽可能大地切下一个正方体，再从剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次的剩余部分上尽可能大地切下一个正方体，那么经过三次切割后剩余部分的体积为3cm.2、一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它摆成如图的形状，然后把它露出的表面都染上颜色，那么被他染上颜色的面积有平方米.3、如图是由五个相邻的正方形组成一个长方形，要把它剪拼成一个正方形，应该怎样剪拼？请用125364程前你祝似锦左视图左视图正视图左视图俯视图虚线画出剪开的位置，并画出拼出的图形.。
初一数学竞赛辅导讲义
初一数学竞赛辅导讲义一次方程(组)与二元一次不定方程本讲就解一次方程（组）与二元一次不定方程的基本方法和技巧作些简单介绍。
一、一次方程（组）解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数的系数。
任何一个一元一次方程最终都可以化为ax b =的形式。
解方程的根据是方程的同解原理。
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫同解方程。
1． 方程两边都加上（减去）同一个数（或同一个整式），所得的方程与原方程是同解方程。
2． 方程两边都乘以（除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。
例1．解下列个方程（1）()()()()11323327322337x x x x ---=---（2）()14335190.50.125x x x +++=+ （3）3421424904532x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+-=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭例2．是否存在这样的a 值，使当1b =时，关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无数多个解？例3．关于x 的方程1x ax =+同时有一个正数解和一个负数解，求a 的值。
例4．关于x 、y 的两个方程组2227ax by x y -=⎧⎨-=⎩和359311ax by x y -=⎧⎨-=⎩具有相同的解，求a 、b 的值。
例5．已知()()()()()()22219992000200101999200020012000x y y z x z x y y z z x -+---=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩求z y -的值。
二、二元一次不定方程如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程（组）叫做不定方程（组）。
例如，二元一次方程3215x y +=是不定方程；三元一次方程组11426x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩是不定方程。
不定方程（组）的解是不确定的。
一般不定方程总有无数穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解三种都有可能：有无穷组解，或有限组解，或无解。
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题11 设元的技巧_答案[精品]
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专题11 设元的技巧例1 248提示设该书有页，则可列方程()6369290399=+⨯+⨯-x ，解得=248页.例2 B 提示设9月份每件冬装的出厂价为元，9月份销售冬装m 件，则%825.025.08.115.0=-⨯xmxm m x . 例3设总票数为a 张，六月份零售票应按每张元定价，则ax a a a 61156438524+=+，解得=19.2元. 例4 (1)应收水费()()48105.128610462=-⨯+-⨯+⨯元.(2)设三月份用水量为3xm ，则四月份用水量为(15-) m 3.若≤6,15-≤10时，则()[]446154622=--+⨯+x x ，解得，=2(舍去);若≤6,15->10时，则()[]441015844622=--+⨯+⨯+x x ，解得 =4; 若>6，由题意知<10，则15一 <10,则()()[]441546264-62=--+⨯+-⨯⨯b x x ，无解. 所以三月份用水43m ，四月份用水113m .例5 42圈 提示：设A ，B ，C 三个微型机器人的速度分别为u ，v 和w ，圆形轨道周长是S ，则Su －v ＝2,S u －w ＝2.5,即S 2＝u －v ,S 2.5＝u －w .∴w －v ＝S 2－S 2.5＝S 10…..①.又有10w 10v ＝32……②．解①和②，得v ＝S 5……③，代入S 2＝u －v 中，得u ＝7S 10,7S 10×60＝42S ． 故第一分钟时，A 围绕这个圆形轨道运动了42圈．例6 (1)设牧场原有草量为a ，每天生长出的草量为b ，每头牛每天吃草量为c ，16头牛天吃完草，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6b ＝24×6c ①a ＋8b ＝21×8c ②a ＋bx ＝16cx ③． ②一①得b ＝12c ④，③一②得(－8)b ＝（16－168）c ⑤，将④代人⑤得（一8）•12c ＝(16－168)c ，解得＝18.(2)设至多放牧y 头牛，牧草才永远吃不完，则有cy ≤b ，即每天吃的草不能多于生长的草，y ≤b c＝12．A 级1. 992. 142 857 提示：设abcde ＝，则3(100 000＋) ＝l 0＋1，解得＝42 857．故这个六位数为142 857.3. 800 提示：设该商品的原定价为元，由题意有：9.510－150＝7.510＋50，解得＝1000. 故该商品每件的进价为1000×7.510＋50＝800元． 4. 30. 40 43 提示：(1)注意，到15千米时刚好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了．(2)设所行路程为公里，则2.40×(－15)＋28.00＝ 95.20.5．C 6．B7．B 提示：设分别有男、女同学，y 人，则15y ＝6(＋y )，＝32y ．则男同学完成每人应植树6(＋y )÷＝10棵．8. D9．设所切下的合金重量为千克，重6千克，4千克的合金含银的百分数分别为a ，b (a ≠b )，bx ＋(b －x )a 6＝ax ＋(4－x )b 4，解得＝2.4．10．(1)设单价为8元的课外书为本，由8＋12(105－)＝1500－418，解得＝44.5（不合题意），所以陈老师肯定弄错了．(2)设单价为8元的课外书为y 本，笔记本的单价为a 元，则8y ＋(105－y )×12＝1500－418－a ,即178＋a ＝4y ，178＋a 应被4整除，a ＝2，4，6，8，经讨论a ＝2或6．B 级1. 1 6 提示：设吴姓住户订有种报纸，报纸F 在这幢楼里有y 家订户，其中，y 为≥1，y ≤6的整数，由题意得2＋2＋4＋3＋5＋＝1＋4＋2＋2＋2＋y ，解得＝1，y ＝6．2. 1：4提示：设原计划贿买钢笔支，圆珠笔y 支，圆珠笔的价格为元，由题意得（2＋y ）×(1＋50%)＝2y ＋，解得y ＝ 4..3. 1004. 307 692 提示：设“神舟十号”＝A ，“飞天”＝B ，则3×(100A ＋B )＝10000B ＋A ，得23A ＝ 769B ．又(23，769)＝1，故B ＝23n ，A ＝769n ，n 为自然数且2≤n ≤4．经讨论n ＝4可行，从而A ＝3076，B ＝92．5．C 提示：设A 港到B 港路程为S ，静水速度和水流速度 分别为V 船，V 水．则SV 船＋V 水＝6……①，S V 船―V 水＝8……②，则6(V 船＋V 水)＝8（V 船―V 水），得V 船＝7V 水．把V 水＝17V 船代入①中'得S V 船＋17V 船＝6，故S V 船＝667. 6．C7. 143 提示：设C ，D 的边长为，则E ，F ，B 的边长分别为＋1，＋2，2－1，由题意得(＋1)＋(＋2)＝＋（2－1），解得＝4．也可用＋3表示出B 的边长，则＋3＝2－1，更易求得＝4.8．设自行车行驶了 m 后，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废，因此，前轮胎还可行驶(5000－)m ．后轮胎还可行驶(3 000－)m.当前后轮胎互换后，还可行驶，并有(5000－)×35＝(3000－)×53．解此方程，有（53一35）＝2000，解得＝1875．这就是说，当自行车行驶了1875m 后，互换前后轮胎，这样还可行驶（5000－1875）×35＝1875 m ．故最多可行驶3750 m. 9．设流水的速度为米3／分，池塘原有水y 米3，每台A 型抽水机抽水效率为米3／分，三台A 型抽水机需t 分钟把池塘中水抽完，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋60x ＝60z ①y ＋20x ＝40z ②y ＋tx ＝ 3tz ③． ②一①,得－＝2－…..④③一②,得(20－t )＝(40－3t )……⑤，④代入⑤得t ＝12分钟．。
七年级数学阶段拔尖专训10 巧妙设元方法归纳
程，即“间接设元”所设的不是所求的.
3. 如图是电脑屏幕上出现的一个长方形色块图，它由6个不
同颜色的正方形组成，已知中间最小的正方形的边长为
1，那么这个长方形色块图的周长为(
A. 52
B. 48
C. 44
D. 50
1
2
3
4
5
6
7
)
【点拨】
如图所示，
1
2
3
4
5
6
7
【解】设一头牛一天吃草量为 a ，草每天长出的量为 b .
根据原有的草量不变可知70×24 a －24 b ＝30×60 a －
60 b ，
即b＝ a.
设 x 头牛96天能把草地上的草吃完.
根据原有的草量不变可知，
96 ax －96 b ＝30×60 a －60 b ，
将b＝
03 便捷操作
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直接设元法
【高分秘籍】“直接设元”就是题目要求什么量，就设什么
根据题意，得 － ＋
＝2，
解得 s ＝10.所以2 s ＝20.
答：甲、乙两地之间的距离是20千米.
1
2
3
4
5
6
7
整体设元法
【高分秘籍】有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果
七年级数学下思维探究-怎样设元(有答案)
七年级数学下思维探究-怎样设元（有答案）李善兰（- ），晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多型概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如《方圆阐幽》、《对数探》、《弧矢启密》等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献．7．怎样设元解读标荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型．在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有：1．直接设元即问什么设什么．2．间接设元即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．3．辅助设元有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．4．整体设元若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数．问题解决例1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为，那么这个长方形色块图的面积为_____________．试一试要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．例2 植树节时，某班平均每人植树棵．如果只由女同学完成，每人应植树棵；如果只由男同学完成，每人应植树（）棵．A．B．．D．试一试略例 3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张元，共售出团体票数的；零售票每张元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？试一试票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．例4 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁年，年期满后由开发商以比原商铺标价高的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的．方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，年后每年可获得的租金为商铺标价的，但要缴纳租金的作为管理费用．（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么年后两人获得的收益将相差万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？试一试在阅读理解的基础上通过设元解决问题．例某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？分析与解未知量有以下几个：检票开始时，等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟检票的人数；队伍每分钟增加的人数，只有指明这些量，才能表示等量关系．设检票开始时，等候检票的队伍有人，每个检票口每分钟检票人，队伍每分钟增加人，则，，消去，得，．故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是：（分钟）．纪念大师例6 瑞士数学家欧拉（．，- ）是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了本（篇）书籍和论．著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师．”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影，下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题．有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多．问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？分析根据设未知数和思路的不同，可得多种解法．解法1 设有个儿子，则最后一个儿子分得克朗，倒数第二个儿子先得到克朗，又得到“余下的”，即留给最后一个儿子的是余下的，故这个“余下的”也是最后一个儿子钱数的．由最后两个儿子分得钱数相等，得方程，解得．所以这位父亲共有个儿子，每人分得财产（克朗），留下（克朗）财产．解法2 设每个孩子分得的财产是，总的财产是，则根据题意，第一个孩子分得的财产是：，第二个孩子分得的财产是：，第三个孩子分得的财产是：，依此类推，可以看出，老大与老二（老二与老三，老三与老四等都一样）的差额是．根据题意，这个差数应当是，于是得出一元一次方程：．解之，得，于是．经过验证，每个孩子确实都分得元，即第二、三、四……个方程都满足（个）．所以这位父亲有个孩子，他共有财产克朗，每人分到克朗．数学冲浪知识技能广场1．古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有个数，把其中每个相加，其和分别为，，，，则这四个数分别是____________．2．一个六位数的倍等于，则这个六位数等于_____________．3．个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出，若报出的数如图所示，则报的人心里想的数是______________．4．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过元，不享受优惠；②一次性购书超过元但不超过元，一律打九折；③一次性购书超过元，一律打八折．如果小明一次性购书付款元，那么小明所购书的原价一定为（）元．A．B．．或D．或．一服装标价元，若以折销售，仍可获利，则这服装的进价是（）．A．元B．元．元D．元6．某种产品是由种原料千克、种原料千克混合而成，其中种原料每千克元，种原料每千克元，后调价，种原料价格上涨，种原料价格减少，经核算产品价格可保持不变，则的值是（）．A．B．．D．7．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共本，单价分别为元和元，买书前我领了元，现在还余元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于的整数，笔记本的单价可能为多少元？8．燃蜡时间问题（英国）在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持个小时，另一支可维持小时．雾散后，店主吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的倍，问蜡烛点燃了多长时间？9．体育化用品商店购进篮球和排球共个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润元．篮球排球进价/（元/个）售价/（元/个）（1）购进篮球和排球各多少个？（2）销售个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？思维方法天地10．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球个，每投进一个球得分，得分的部分情况如表所示：已知该班学生中，至少得分的人的平均得分为分，得分不到分的人的平均得分为分，那么该班学生有_____________人．11．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需小时，从乙地到甲地逆流行驶需小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需___________小时．12．下边算式中，每个汉字代表个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神” ，那么被乘数是___________．13．从两块分别重千克和千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（）．A．千克B．千克．千克D．千克14．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是（）A．B．．D．1．某商品原价为元，春节促销，降低，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（）A．B．．D．16．将下表的方格中的个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的个数宇之和都相等．问：表中左上角的数字是多少？17．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一免费温馨提示：若选用方式一，每月固定交费元，当主动打出电话月累计时间不超过分，不再额外交费；当超过分，超过部分每分加收元．设一个月内使用移动电话主叫的时间为分（为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（1）用含有的式填写下表：（2）当为何值时，两种计费方式的费用相等；（3）当时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．18．为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水吨，又从城区流入库池的污水按每小时吨的固定流量增加．如果同时开动台机组需小时处理完污水，同时开动台机组需工小时处理完污水．若要求在小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组？应用探究乐园19．某农民在农贸市场卖鸡．甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完．问该农民一共卖了多少只鸡？20．如图，长方形、、的长与宽的比相同，长方形与的面积比是，长方形的周长是，求长方形的面积．̳7．怎样设元问题解决例1 设、的边长为，则、、的边长分别为，，，由题意得：，解得．例2 B设男、女同学分别有、人，则，，则只由男同学完成每人应植树．例3 设总票数为张，六月份零售票应按每张元定价，由题意得，解得（元）．例4 （1）设商铺标价为万元，则按方案一购买，则可获投资收益，投资收益率为．按方案二购买，则可获投资利益．投资收益率为．投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．（2）设甲投资了万元，由题意得，解得，甲投资了万元，乙投资了万元．数学冲浪1．，，，设四个数的和为2．3．提示：设报的人心里想的数是，报的人心里想的数应是．于是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，由，得．4．．A6．7．（1）设单价为元的外书为本，由，得（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．（2）设单价为元的外书为本，笔记本的单价为元，则，即，应被整除，，，，，经讨论或．8．设蜡烛点燃了小时，蜡烛的长度为厘米，由，得小时．9．（1）个，个（2）个10．设共有人，由，得．11．12．设“神舟五号” ，“飞天” ，则，，，故，，为自然数，，得，从而，．13．B 设切下的每一块合金重克，千克、千克的合金含铜的百分比分别为、，则，整理得．故．14．设初一年级学生人数为，男生人数为，可求得初三年级男生人数为，所求比为：．1．16．17．（1）当时，方式一：；当时，方式一：；方式二：．（2）当时，，当两种计费方式的费用相等时，的值在取得．列方程，解得．当主叫时间为分钟，两种计费方式的费用相等．（3）方式二．18．设台机组每小时处理污水吨，要在小时内处理污水，需开台机组，则由①、②得．代入③，得．19．设该农民一共卖了只鸡，则，解得．20．设，，则，，可得，，，由，得，长方形的面积为．̳7．怎样设元问题解决例1 设、的边长为，则、、的边长分别为，，，由题意得：，解得．例2 B设男、女同学分别有、人，则，，则只由男同学完成每人应植树．例3 设总票数为张，六月份零售票应按每张元定价，由题意得，解得（元）．例4 （1）设商铺标价为万元，则按方案一购买，则可获投资收益，投资收益率为．按方案二购买，则可获投资利益．投资收益率为．投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．（2）设甲投资了万元，由题意得，解得，甲投资了万元，乙投资了万元．数学冲浪1．，，，设四个数的和为2．3．提示：设报的人心里想的数是，报的人心里想的数应是．于是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，由，得．4．．A6．7．（1）设单价为元的外书为本，由，得（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．（2）设单价为元的外书为本，笔记本的单价为元，则，即，应被整除，，，，，经讨论或．8．设蜡烛点燃了小时，蜡烛的长度为厘米，由，得小时．9．（1）个，个（2）个10．设共有人，由，得．11．12．设“神舟五号” ，“飞天” ，则，，，故，，为自然数，，得，从而，．13．B 设切下的每一块合金重克，千克、千克的合金含铜的百分比分别为、，则，整理得．故．14．设初一年级学生人数为，男生人数为，可求得初三年级男生人数为，所求比为：．1．16．17．（1）当时，方式一：；当时，方式一：；方式二：．（2）当时，，当两种计费方式的费用相等时，的值在取得．列方程，解得．当主叫时间为分钟，两种计费方式的费用相等．（3）方式二．18．设台机组每小时处理污水吨，要在小时内处理污水，需开台机组，则由①、②得．代入③，得．19．设该农民一共卖了只鸡，则，解得．20．设，，则，，可得，，，由，得，长方形的面积为．。
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专题11设元的技巧阅读与思考应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一．应用题联系实际，反映现实生活中的数量关系，通过解应用题可以培养运用数学知识去分析和解决问题的能力．列方程解应用题，一般有审题、设元、布列方程、解方程、作答等几个步骤．恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，常见的设元技巧有：1．直接设元题目要求什么量，就设什么量为未知数，或有几个要求的量，而设其中的某一个量为未知数．2．间接设元即所没的不是所求的，适当地选择与题目要求的未知数有关的某个量为未知数，则易找出符合题意的数量关系，从而列出方程．3．辅助设元有些应用题中隐含一些未知的常量，这些量对于求解无直接联系，但如果不指明这些量的存在，则难求其解，因而需把这些未知的常量设为参数，作为桥梁帮助思考，这就是辅助设元．4．整体设元有些应用题未知量太多而已知关系又少，如果在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，这样就减少了设元的个数，这就是整体设元．例题与求解【例1】某编辑用0~9这10个数字给一本书的各页标上页码，若共写了636个数字，则该书有____页.解题思路：依题意可知该书页码的数字组成有三种：一个数字、两个数字、三个数字.一共有636个数字，可设直接未知数，列方程求解．找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系是列方程解应用题又一关键．寻找相等关系常用方法有：①从关键词中寻找相等关系；②利用基本公式寻找相等关系；③利用不变量寻找相等关系；④对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），形成一种相等关系．行程问题、工程问题、劳力分配问题、浓度问题、数字问题等是列方程解应用题的基本类型，此外，还有趣味问题（如年龄、时钟等）、经济问题（如银行存款、销售利润等），尽管形式多变，但是解题实质未变，需要我们用数学观点，理清数量关系，恰当设未知数，准确列方程．【例2】某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润（每件冬装的利润＝出厂价一成本）是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变），销售件数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长( )。
A. 2% B．8% C. 40. 0% D．62%（江苏省竞赛试题）解题思路：设出与总额相关的量：出厂价、销售件数．解决以实际生活为情景的应用题时，需要具备一定的优化意识和估算决策能力.【例3】某音乐厅决定月初在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的32，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的53；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？（北京市东城区中考试题）解题思路：票款与票数、票价有关，故既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数． 与商品利润相关的基本知识：①利润率＝进货价利润×100%；②利润＝售出价一进货价；③售出价＝利润＋进货价＝进贷价×(1＋利润率)．【例4】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表．价 目 表每月用水量 单 价 不超过6m 3的部分 2元/m 3 超过3m 3不超出10m 3的部分4元/m 3 超出10m 3的部分8元/m 3注：水费按月结算．若某居民1月份用水8 m 3，则应收水费2×6＋4×(8－6) ＝20（元）． (1)若该户居民2月份用水12. 5 m 3，则应收水费______元．(2)若该户居民3，4月份共用水15 m 3（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该居民3，4月份各用水多少立方米？（江苏省扬州市中考试题）解题思路：第(1)问须分段计费；第(2)问设3月份用水量为x m 3，则4月份用水量为)15(x m 3，分两种情况进行讨论．【例5】A ，B ，C 三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时同地出发后，A 在2秒钟时追上B ，2.5秒钟时追上C ，当C 追上B 时，C 和B 的运动路程之比是3：2，问第1分钟时，A 围绕这个圆形轨道运动了多少圈？（“华罗庚金杯”竞赛试题）解题思路：要充分运用问题中的等量关系，需设出A ，B ，C 三个微型机器人的速度、圆形轨道长等多个未知数．【例6】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草. 设每头牛每天吃草的量是相等的，问：(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？（全国数学通讯赛试题）解题思路：此题可采取设定多个间接未知数的解决方法.能力训练A 组1．光明中学七年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐书的本数之比为4：3，一班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐书______本．（北京市“迎春杯”竞赛试题）2．一个六位数abcde 1的3倍等于1abcde ，则这个六位数为________．（黑龙江省竞赛试题）3．某种电器产品，每件若以原定价的9.5折销售，可获利150元，若以原定价的7.5折销售，则亏损50元．该种商品每件的进价为________元．（“希望杯”竞赛试题）4. 某出租汽车的车费是这样计算的：路程在4公里以内（含4公里）为10.40元；达到4公里以后，每增加1公里加1. 60元；达到15公里后，每增加1公里加2.40元．增加不足1公里时按四舍五人计算．则乘坐15公里该种出租车应交车费____元．某乘客乘坐该种出租车交了车费95.20元，则这个乘客乘该出租车行驶的路程为________公里．（精确到两位小数）（“希望杯”邀请赛试题）5．甲、乙两种茶叶，以y x :（重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每千克50元，乙种茶叶的价格每千克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶x:等于( ).的价格不变，则yA．1:1B．4:5C．5:4 D. 6:5（北京市竞赛试题）6．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米．按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分接每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0. 88元，那么，4月份这用户应交煤气费( )．A．60元B．66元C．75元 D. 78元（全国初中数学联赛试题）7．植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树( )棵．A.9 B．10 C．12 D．14（四川省竞赛试题）8．某服装商贩同时卖出两套服装，每套均卖168元，以成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，则这次出售中商贩( )．A．不赚不赔B．赚37.2元C．赚14元D．赔14元9．从两块重量分别为6千克和4千克且含银的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块分别和另一块切剩的合金放在一起，熔炼后，两块合金的含银的百分数相同，求所切下的合金的重量是多少？10.陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元，”王老师算了一下，说：“你肯定弄错了．”(1)王老师为什么说他弄错了？试用方程的知识加以解释；(2)陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应是小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？（四川省资阳市中考试题）B级1．一幢楼房内住有6家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵、钱、孙、李、周分别订了其中2，2，4，3,5种报纸．而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，那么吴姓住户订有____种报纸，报纸F在这幢楼里有____家订户．（“祖冲之杯”邀请赛试题）2．某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量是颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为_______ .（天津市竞赛试题）3．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要_______天．（“希望杯”邀请赛试题）4．右边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”－o ，那么被乘数是________________.神舟十号飞天神飞天神舟五号5．一艘轮船从A 港到B 港顺水航行，需6小时，从B 港到A 港逆水需8小时，若在静水条件下，从A 港到B 港需( )小时．A ．7B ．217C ．766D ．216（五城市联赛试题）6．某商品连续两次提价10%，又提价5%，要恢复原价，至少应降价x %（x 为整数），则x ＝( )． A ．20 B ．21 C ．22 D. 237．如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为多少？（山东省济南市中考试题）8．自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3 000km 就要报废，安装在前轮上，则行驶5 000km 才报废．为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？（《时代学习报》数学文化节试题）9．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A 型抽水机，1小时后正好能把池塘中的水抽宪，若用两台A 型抽水机20分钟正好把池塘中水抽完。
问若用三台A 型抽水机同时抽水，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？（江苏省竞赛试题）。