河南省郑州市第一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(PDF版)
x 50
100 x 550(x N )
51 x 550
........7 分
（2）设工厂获得的利润为 L 元，
当订购 500 个时， L (62 500 40) 500 6000 元； 50
........ 9 分
当订购 1000 个时， L (51 40) 1000 11000 元
........2 分
g(x)
(1)x 2
,∵
1
x
0
,∴1
g(x)
2
，集合
B
[1,2] ．
........4 分
A B 2．
........5 分
（2）∵ C B B ,C B
........6 分
当 C 时, a 2a 1 即 a 1 ；
18．（本题满分 12 分）计算：
（lg 3)2 lg 9 1 (lg 27 lg 8 lg 1000 )
（1）
lg 0.3 lg1.2
1
（2） (0.0081) 4
[3 (
5) 0] [810.25
(
27)
1 1
3] 2
10
(0.027)
1 3
6
8
高一 数学试题 第 3页（共 4 页）
........7 分
2a 1 a
当 C 时， a 1
，1 a 3 2
2a 1 2
........8 分
综上所述，
a
,
3 2
1 8．（本题满分 12 分） 计算：
3
3
（1）原式 (lg 3 1)2 (lg 32 lg 23 lg10 2 )
是（ ）
A． 2，1
B． 1, 0
C． 0,1
D． 1, 2
8．三个数 a 70.3, b 0.37 , c ln 0.3 大小的顺序是（ ）
A． a b c B． a c b
C． b a c
D． c a b
9．若
x
R, n
N*
（1）设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 P 元，写出函数 P f (x) 的表达式；
（2）当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1000 个， 利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
21．（本题满分 12 分）已知二次函数 f (x) 有两个零点 0 和-2，且 f (x) 最小值是-1，函 数 g(x) 与 f (x) 的图象关于原点对称. （1）求 f (x) 和 g(x) 的解析式； （2）若 h(x) f (x) g(x) 在区间[－1,1]上是增函数，求实数 的取值范围．
5．已知函数
f
(x)
x 2
(4a
3)x
3a, x
0 (a
0且a
1) 在 R
上单调递减，则 a
的
loga (x 1) 1, x 0
取值范围是（ ）
A．[ 3 ,1) 4
B．（0，3 ] 4
C． [ 1 ，3 ] 34
高一 数学试题 第 1页（共 4 页）
D． (0, 1] 3
，规定：
H
n x
x(x
1)( x
2) ( x
n
1)
，例如：
H
4 4
(4) (3) (2) (1)
24 ，则
f
(x)
x
H5 x2
的奇偶性为（
）
A．是奇函数不是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数
B．是偶函数不是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
10．已知 f (x) 是奇函数并且是 R 上的单调函数，若函数 y f (2x2 1) f ( x) 只有
A． y x
B． y lg x
C． y 2x
3．函数 y xa x (a 1) 的图象的大致形状是( ) x
D． y 1 x
A．
B．
C．
4．函数 f (x) 3loga (x 2) 1 的图像一定经过点（
D． ）
A． (3,1)
B． (2,1)
C． (3,0)
D． (2,0)
（3）方程
f
(|
2x
1|)
k( |
2 2x 1|
3)
0
有四个不同的实数解，求实数
k
的取值范围．
高一 数学试题 第 4页（共 4 页）
2016—2017 学年上期中考
19 届 高一数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1-5.DDBAC 6-10.ABABC 11-12.DB
①当 1 时， h(x) 4x 满足在区间[-1,1]上是增函数； ........7 分
②当
1时，
h(x)
图像的对称轴是
x
1 1
，则
1 1
1,
又 1, 解得 1
........9 分
③当
1 时，有
1 1
1,
又
故原不等式为：
f
x 3
f
1 x
f
4
即， f x(x 3) f 4
........8 分
又 f (x) 在 0, 上为增函数，故原不等式等价于：
x 3 0
1
0
x
x(x 3) 4
........10 分
得 x 0,1 ........12 分
D．函数 g(x)
f
(x) a 有且仅有 3
3
个零点时
a
4
.
4
5
高一 数学试题 第 2页（共 4 页）
12．
已知函数
f
(x)(x R)
满足
f
(x)
2
f
(x) ，若函数
y
x 1
与
y
f
(x)
图像
x
的交点为 (x1, y1), (x2, y2 ), , (xm, ym), 则 x1 y1 x2 y2 xm ym =（ ）
6．若 f (x)
1
,则 f x 的定义域为（ ）
log 1 (2x 1)
2
A．
1 2
,1
B．
1 2
,1
C．
1 2
,
D． 1,
7．已知实数 a ， b 满足 2a 3 ， 3b 2 ，则函数 f x a x x b 的零点所在的区间
20．（本小题满分 12 分）（1）当 0 x 100 时， P 60
当100 x 550时， P 60 0.02(x 100) 62 x 50
当 x 550 时， P 51
........6 分
60 0 x 100
所以 P
f
(x)
62
A．0
B． m
C． 2m
D． 4m
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知集合 0,1 ， 2,3 ， x x ab a b,a ,b ，则集合
的真子集的个数是
．
14．若函数
y
ax 2
ax 1 2ax
)
(
3)
3(
1 3
)
]
1 2
10 0.3
2
........3 分
10
3(1
2
)
1 2
3
8
3 33
3
1 9．（本题满分 12 分）（1）令 x y 0 ，则 f 1 0 ；
........6 分 ........3 分
（2） f (2) 1 ，令 x 4, y 2 ， f (2) f (4) f (2) ，即 f (4) 2 ........6 分
2016—2017 学年上期中考 19 届 高一数学试题
说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。 第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共 80 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． 7
14． 0,3
15． (5 ,1)
16．
8
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
17．（本题满分 10 分）（1） log2 (x 1) 0 ,即 x 1 1 ，解得 x 2 ,
（0,8）
∴其定义域为集合 A [2,) ；
........10 分 ........3 分
(1 lg 3)( 3 lg 3 3lg2 2
3) 2
3
(lg 3 1)(lg 3 2 lg 2 1) 2
河南省郑州市第一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
河南省郑州市第一中学 2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1.若全集U 1,2,3,4,5,6 ,M1,4 ,N 2,3，则集合5,6等于（)A. M NB. MNC.C U MC U ND. C U MC U N【答案】D【解析】试题分析：元素5’6既不是M 的元素，也不罡N 的元素，故选m考点：集合交集、并集和补集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步 .第二步常常是 解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零 .元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含 关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目 .2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数A. y xB. y Ig x【答案】D 【解析】试题分析：函数y 10lgx 的定义域为 xB 选项值域为R ,C 选项定义域为 R ，故D 选项符合. 考点：定义域和值域.C.y2xD.y1肩0和值域为 y 0 .A 选项定义域和值域都是 R ,y 10lgx 的定义域和值域相同的是（xD. 2,0【答案】A【解折】试題分折：当*3时，才⑶ "「所以通数过点G —l ）・考点：对数函数过定点•2x 4a 3 x 3a x 05.已知函数f x（ a 0且a 1 ）在R 上单调递减,log a x 11,x 0值范【解析】x试题分析：f x a 1 l x l除A ,故选B. 考点：函数图象. f 1 a 1，排除c, D 选项；f 11,0，排4.函数 x 3log a x 21的图象一定经过点（A.3, 1 B2, 1C.3,0则a 的取xa3.函数y 十 a 1的图象的大致形状是（x【答案】B围是（）xA. 31 B . 0 1 C. -3D4'4 3'4【答案】C【解析】.0,3试题分析：由于函数在R上单调递增，所以4a 32a 1 ，解得a3a 11 33,4考点：函数的单调性D. 1,【答案】A【解析】2i1试题分析：需满足被开方数大于零，所以0 2x 1 1,x 1,12考点：定义域7.已知实数a,b满足2a 3,3b 2，则函数f x a x x b的零点所在区间是(A. 2, 1 B1,0 C0,1 D1,26.若f x，则f X的定义域为(【答案】B【解析】试题分析=由2°- 33^ - 2 ,得应三1。
2016-2017郑州一中高一上学期数学期中考试卷
郑州一中2016—2017学年上期期中考试高一数学第I 卷（选择题、填空题，共80分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．若全集 123456U ，，，，，， 14M ，， 23N ，，则集合 56，等于（）A ．M NB ．M NC ．U U C M C N D ． U U C M C N 2．下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y 的定义域和值域相同的是（）A ．y xB ．lg y xC ．2x y D．y3．函数 1xxa y a x的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．4．函数 3log 21a f x x 的图象一定经过点（）A ． 3,1B ．2,1 C ． 3,0D ．2,05．已知函数 2433,0log 11,0ax a x a x fx x x（0a 且1a ）在R 上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．3,14B ．30,4C ．13,34D ．10,36．若f x，则 f x 的定义域为（）A ．1,12．1,12C ．1,2D ． 1,7．已知实数a 、b 满足23a ，32b ，则函数 x f x a x b 的零点所在的区间是（）A ． 2,1B ． 1,0C ． 0,1D ． 1,28．三个数0.37a ，70.3b ，ln 0.3c 大小的顺序是（）A ．a b cB ．a c bC ．b a cD ．c a b9．若x R ，n N ，规定： 121nxH x x x x n ，例如： 44432124H ，则 52x f x x H 的奇偶性为（）A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数10．已知 f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数 221y f x f x 只有一个零点，则实数 的值是（）A ．14B ．18C ．78D ．3811．已知符号 x 表示不超过x 的最大整数，函数0x f x x x，则以下结论正确的是（）A ．函数 f x 的值域为 0,1B ．函数 f x 没有零点C ．函数 f x 是 0, 上的减函数D ．函数 g x f x a 恰好有3个零点时3445a12．已知函数 R f x x 满足 2f x f x ，若函数1x y x与 y f x 图象的交点为 1122,,,,,,m m x y x y x y ，则1122m m x y x y x y （）A ．0B ．mC ．2mD ．4m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合 0,1A ， 2,3B ，,A,B M x x ab a b a b ，则集合M 的真子集的个数是_________．14．若函数2123ax y ax ax的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．15．函数212log 451y x x 的单调递增区间为_________．16．已知函数 22241f x mx m x ， g x mx ，若对于任意实数x ， f x 与 g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是_________．第II 卷（解答题共70分）三、解答题：本题共6小题，共70分．17．（本题满分10分）已知函数f x A ，函数1102xg x x的值域为集合B ．⑴求A B ；⑵若集合 ,21C a a ，且C B B ，求实数a 的取值范围．18．⑵11201130.25435270.0081381100.0276819．（本题满分12分）若 f x 是定义在 0, 上的增函数，且x f f x f y y⑴求 1f 的值；⑵若 21f ，解不等式 132f x f x20．（本小题满分12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．⑴设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数 P f x 的表达式；⑵当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价—成本）21．（本题满分12分）已知二次函数 f x 有两个零点0和-2，且 f x 最小值是-1，函数 g x 与f x 的图象关于原点对称⑴求 f x 和 g x 的解析式；⑵若 h x f x g x 在区间 1,1 上是增函数，求实数 的取值范围．22．（本题满分12分）已知函数 2210,1g x ax ax b a b ，在区间 2,3上有最大值4，最小值1，设 g x f x x．⑴求a ，b 的值；⑵不等式 220x x f k 在 1,1x 是恒成立，求实数k 的取值范围；⑶方程2213021xx f k有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．郑州一中2016—2017学年上期期中考试高一数学参考答案一． 选择题1-6．DDBACB 7-12．BABCDB 二． 填空题13．7 14． 0,315．5,1816．0,8三． 解答题17．⑴ 1,A , 1,2B , 1,2A B ⑵由题意可知C B当C 时，即21a a ，1a ；当C 时，即1212a a ，解得31,2a综上，实数a 的取值范围为3,2．18．⑴32⑵8319．⑴ 10f⑵ 4422f f f，故 42f原式可化为34f x x f 又因为 f x 为 0, 上的增函数，故 343010x x x x，解得 0,1x ．20．⑴*60100620.02100550,51550x f x x x x N x，， ，⑵500x 时，利润为6000元1000x 时，利润为11000元．21．⑴2f x x x 2g x x x⑵ 2122h x f x g x x x ①当1 时， 4h x x②当1 时， h x 为以11x为对称轴的含参一元二次函数i 当1 时，开口向下，只需111 ，解得1 ，故1ii 当1 时，开口向上，只需111，解得10 ，故10综上，实数 的取值范围为 ,0 ．22．⑴ 222111g x ax ax b a x b a①当0a 时， g x 在 2,3上单调递增故 396424411g a a a b g a a b，解得10a b ②当0a 时， g x 在 2,3上单调递减故 396124414g a a a b g a a b ，解得13a b11,0b a b⑵ 220x x f k212122x x k，令12x t 1,12t，即221k t t 在1,12t恒成立221t t tmin 0t ，故0k ．⑶令210x t则原式看成为 223120t k t k 有四个实数解21x t 在 0,1x 有两个实数解记 22312t t k t k ，则要求t 在 0,1内有两个实数解才可保证原式有四个实数解即 2230122+341200001k k k△，解得1429k故实数k 的取值范围为14,29．。
河南省郑州市第一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(PDF版)
A． y x
B． y lg x
C． y 2x
3．函数 y xa x (a 1) 的图象的大致形状是( ) x
D． y 1 x
A．
B．
C．
4．函数 f (x) 3loga (x 2) 1 的图像一定经过点（
D． ）
A． (3,1)
B． (2,1)
C． (3,0)
D． (2,0)
第 II 卷 （解答题 共 70 分） 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。
17．（本题满分 10 分）已知函数 f (x) log2 (x 1) 的定义域为集合 A ， 函数 g(x) = ( 1 )x (1 x 0) 的值域为集合 B ．
2 （1）求 A B ；
（2）若集合 C a, 2a 1，且 C B B ，求实数 a 的取值范围．
一个零点，则实数 的值是（ ）
1
A．
4
1
B．
8
C． 7 8
D． 3 8
11．已知符号 x表示不超过 x 的最大整数，函数 f (x) x (x 0) ，则以下结论正确
x
的是（ ）
A．函数 f (x) 的值域为 0,1
B．函数 f (x) 没有零点
C．函数 f (x) 是 (0,) 上的减函数
2016—2017 学年上期中考 19 届 高一数学试题
说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。 第Ⅰ卷 （选择题、填空题，共 80 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
河南省郑州市第一中学2017届高三上学期期中考试数学文试题
郑州一中2016－2017学年上期中考17届 高三数学（文）试题命题人：杨丹 审题人：王明星说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分．考试时 间120分钟．2.将试题卷中题目的答案填(涂)在答题卷 (答题卡)的相应位置.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题： 本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}|24xA x =≤，集合 {}|lg(1)B x y x ==-，则 A B 等于( )A.(1,2)B. (1,2]C. [1,2)D. [1,2] 2. 在复平面内，复数2332ii-+对应的点的坐标为( ) A.(0,1)- B.13(0,)9-C.12(,1)13-D.1213(,)99- 3. 已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p 的值为( )A.2B.4C.2-D.4-4. 已知等差数列{n a }，62a =，则此数列的前11项的和11S =( ) A.44 B.33 C.22 D.115. 已知函数()21,0,cos ,0x x f x x x .⎧+>=⎨≤⎩则下列结论正确的是( )A.()f x 是偶函数B.()f x 在(),-∞+∞上是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)+∞-,16. 平面向量与a b 的夹角为()602,012==+ ，，，则a b a b 等于( )A.B. C.127. 已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8. 若不等式组0,220,x y x y x m-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是面积为169的三角形，则m 的值为( )A.12B.23C.23-D.569. 已知函数x b x a x x f 223)1(31)(+--=，其中}4,3,2,1{∈a ，}3,2,1{∈b ，则函数)(x f 在R 上是增函数的概率为( )A.41B.21C.32D.3410．设2log 31()3a =，5log 41()3b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c a b >>B.a b c >>C.c b a >>D.a c b >>11.已知直线2x =22221x y a b -=的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离,则此双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.2 D.3 12. 如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A.[)1,+∞B.⎡⎣C.[]0,1D.⎡⎣第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分．13. 将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ．14. 阅读左下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________.15. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如上右图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为__________.16. 已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为__________.三、解答题：本大题共6小题. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为D C B ,,）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60，B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30方向，仰角为 30．D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向.（Ⅰ）求C B ,两救援中心间的距离； （Ⅱ）D 救援中心与着陆点A 间的距离.18. （本小题满分12分）郑州一中研究性学习小组对本校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名 学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图1的频率分布直方图．（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5.0以下的人 数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视 力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调 查，得到如表1中数据，根据表1及表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前 提下认为视力与学习成绩有关系?D附表2：（参考公式： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ， 其中)n a b c d =+++19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2PA AB AC===，BC = （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）如果N 是棱AB 上的点，且三棱锥BMC N -为31，求AN NB的值.20.（本小题满分12分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数),(ln )(R ∈++=b a x bx ax f 在1=x 处的切线方程为0198=-+y x . （Ⅰ）求b a ,；（Ⅱ）如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题做答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求||AB 的最小值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x m x x =---+. （Ⅰ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.郑州一中2016－2017学年上期中考 17届 高三数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷 （选择题，共60分）第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分． 13．13 14．13815．1.6 16. {}1,3,67--- 三、解答题： 本大题共6小题. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解：（Ⅰ）由题意知AB PA AC PA ⊥⊥,，则PAB PAC ∆∆,均为直角三角形……1分在PAC Rt ∆中，︒=∠=60,1PCA PA ，解得33=AC …………………………2分 在PAB Rt ∆中，︒=∠=30,1PBA PA ，解得3=AB …………………………3分又︒=∠90CAB ，33022=+=BC AC BC 万米. …………………………5分 （Ⅱ）103sin sin =∠=∠ACB ACD ，101cos -=∠ACD ，…………………………7分又︒=∠30CAD ，所以102133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .……………………9分在ADC ∆中，由正弦定理，ACDADADC AC ∠=∠sin sin …………………………10分 1339sin sin +=∠∠⋅=ADC ACD AC AD 万米…………………………12分18. 解：（Ⅰ）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 因为后四组的频数成等差数列， 所以后四组频数依次为 27,24,21,18则后四组频率依次为 0.27,0.24,0.21,0.18 …………………2分视力在5.0以下的频率为3727242182++++=人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为 821000820100⨯=人． ………………… 4分 设100名学生视力的中位数为x ，则有(0.150.35 1.35)0.2( 4.6)(0.240.2)0.5x ++⨯+-⨯÷=4.7x ≈ ………………… 6分（Ⅱ） 22100(4216348)200 3.509 3.8415050762457k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ …………………10分 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩没有关系． ……12分19. 解：（Ⅰ）连结AC ．因为在ABC ∆中，2AB AC ==，BC = 所以 222AC AB BC +=，所以 AC AB ⊥．因为ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，所以AC CD ⊥． 又因为 PA ⊥底面ABCD ，且⊂CD 底面ABCD ，所以 PA CD ⊥． 因为 A PA AC = ， 所以 CD ⊥平面PAC ．--------------------------- 6分（Ⅱ）设x ABBN=， 因为PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，所以ABCD P ABCD M ABC M BNC M BMC N V xV x xV V V -----====42 312)222(314=⨯⨯⨯⨯=∴-x V BMC N ，解得21=x ，所以1=NBAN. ……………………12分 20. 解：（Ⅰ）设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，……………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩……………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．……………………………………5分 （Ⅱ）设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………6分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x = 因为()220044y x =--，所以AB =………………………9分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为4⎦．……………………………12分21. 解：（Ⅰ）)0(1)()(2'>++-=x xb x a x f 由题，⎪⎩⎪⎨⎧-=++-==+=811)1()1( 491)1(2'b a f b a f 解得⎪⎩⎪⎨⎧==129b a ……………4分 （Ⅱ）当29=a 时，x x x f ln )1(29)(++=，其定义域为),0(+∞ 22)1(2)2)(12(1)1(29)(+--=++-='x x x x x x x f ，令0)(='x f 得211=x ，22=x 因为当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ；当221<<x 时，0)(<'x f 所以函数)(x f 在)21,0(上递增，在)2,21(上递减，在),2(+∞上递增且)(x f 的极大值为2ln 3)21(-=f ，极小值为2ln 23)2(+=f又当+→0x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f 因为函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，所以函数)(x f y =的图象与直线k y =仅有一个交点. 所以2ln 3->k 或2ln 23+<k ……………12分 22. 解：（Ⅰ）由θθρcos 4sin 2=，得2(sin )4cos ρθρθ= 所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =.……………………5分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入24y x =，得04cos 4sin 22=--ααt t . 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1224cost t α+=，1224t t α=-， 当2πα=时，||AB 的最小值为4. ……………………10分23. 解：（Ⅰ）当5m =时，36(1)()2(11)43(1)x x f x x x x x + <-⎧⎪=-+ -≤≤⎨⎪- >⎩，……………3分由()2f x >易得不等式的解集为4{|0}3x x -<<；……………5分 （Ⅱ）由二次函数2223(1)2y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，因为31(1)()3(11)31(1)x m x f x x m x x m x ++ <-⎧⎪=--+ -≤≤⎨⎪-+- >⎩在1x =-处取得最大值2m -，………7分所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥.……………10分。
2016-2017学年河南省郑州一中高三(上)入学数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集U＝R，集合P＝{x|lnx2≤1}，Q＝{y|y＝sin x+tan x，x∈[0，]}，则P ∪Q为（）A．（﹣，）B．[﹣，]C．（0，]D．（0，] 2．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3+2i，则z1•z2＝（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i3．（5分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10B．16C．20D．244．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣35．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2B．1.6C．1.8D．2.46．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数与的图象关于直线x＝a对称，则a可能是（）A．B．C．D．8．（5分）见如图程序框图，若输入a＝110011，则输出结果是（）A．51B．49C．47D．459．（5分）已知函数f（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x+2，则关于x的不等式f （3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）10．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]11．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10B．13C．16D．1912．（5分）已知函数f（x）＝x﹣存在单调递减区间，且y＝f（x）的图象在x＝0处的切线l与曲线y＝e x相切，符合情况的切线l（）A．有3条B．有2条C．有1条D．不存在二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知a＝sin xdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为．14．（5分）F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且＝（+），＝（+），则||+||．15．（5分）过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度．16．（5分）设数列{a n}是首项为0的递增数列，f n（x）＝|sin（x﹣a n）|，x∈[a n，a n+1]，n∈N*，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）＝b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知f（x）＝sin x•cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）＝1，求的取值范围．18．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB＝∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；（Ⅱ）若AD＝AB＝2BC，∠A1AB＝60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B 的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（，其中n＝a+b+c+d）20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP 上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•＝0，＝2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2＝1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝h（x）的“类对称点”．当a＝4时，试问y＝f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵lnx2≤1＝lne，∴0＜x2≤e，∴﹣≤x＜0或0＜x≤，∴P＝[﹣，0）∪（0，]，∵y＝sin x+tan x，在[0，]为增函数，∴y∈[0，]，∴Q＝[0，]，∴P∪Q＝[﹣，]，故选：B．2．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2+3i，所以z1•z2＝（3+2i）（2+3i）＝13i．故选：D．3．【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，∵要求入座的每人左右均有空位，∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可∴不同的坐法种数为A52＝20，故选：C．4．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3＝a1+2d，a4＝a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2＝a1（a1+3d），解得：a1＝﹣4d．所以＝＝2，故选：A．5．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（）2x＝12.6，解得：x＝1.6．故选：B．6．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣＝0，∴e＝或e＝﹣（舍去）．故选：D．7．【解答】解：由题意，设两个函数关于x＝a对称，则函数关于x＝a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．8．【解答】解：第一次执行循环体后，t＝1，b＝1，i＝2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t＝1，b＝3，i＝3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t＝1，b＝19，i＝6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t＝1，b＝51，i＝7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．9．【解答】解：设g（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）＝2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+＝﹣g（x）；g′（x）＝2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A．10．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z＝﹣mx+y得y＝mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z＝﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y＝0的斜率大，比2x﹣y+6＝0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．11．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，设双曲线x2﹣＝1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B．12．【解答】解：函数f（x）＝x﹣的导数为f′（x）＝1﹣，依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；②a＞0时，f′（x）＞0即a＞，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．易知，曲线y＝f（x）在x＝0处的切线l的方程为y＝（1﹣）x﹣1．假设l与曲线y＝e x相切，设切点为（x0，y0），即有＝1﹣＝（1﹣）x0﹣1，消去a得，设h（x）＝e x x﹣e x﹣1，则h′（x）＝e x x，令h′（x）＞0，则x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则，而a＞0时，，与矛盾，所以不存在．故选：D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：a＝sin xdx＝﹣cos x＝﹣（cosπ﹣cos0）＝2．二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为：，故答案为：﹣80．14．【解答】解：椭圆＝1的a＝6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝12，＝（+），可得B为AF1的中点，＝（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|＝|AF2|，|OC|＝|AF1|，即有||+||＝（|AF1|+|AF2|）＝a＝6，故答案为：6．15．【解答】解：由题意，球心在正四面体中心，设AB＝a，则截面BCD与球心的距离d＝a﹣R，过点B、C、D的截面圆半径r＝a，所以（a）2＝R2﹣（a﹣R）2，得a＝R．故答案为：R．16．【解答】解：∵a1＝0，当n＝1时，f1（x）＝|sin（x﹣a1）|＝|sin x|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）＝b总有两个不同的根，∴a2＝π∴f1（x）＝sin x，x∈[0，π]，a2＝π又f2（x）＝|sin（x﹣a2）|＝|sin（x﹣π）|＝|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）＝b总有两个不同的根，∴a3＝3π…（5分）又f3（x）＝|sin（x﹣a3）|＝|sin（x﹣3π）|＝|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）＝b总有两个不同的根，∴a4＝6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n＝nπ，∴a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝0+π+…+（n﹣1）π＝∴故答案为：三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（I）由三角函数公式化简可得：f（x）＝sin2x+（1+cos2x）＝+sin（2x+），由可得∴函数f（x）的单调递增区间为；（II）∵f（C）＝+sin（2x+）＝1，∴sin（2x+）＝，∴或，k∈Z，∴结合三角形内角的范围可，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴由正弦定理得＝＝＝＝+∈（，2），∴．18．【解答】（Ⅰ）通过条件可知＝、∠DAB＝∠DAA1，利用＝即得A1B⊥AD；（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，由题意知DO⊥平面ABB1A1．因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．设AD＝AB＝2BC＝2a，由∠A 1AB＝60°可知|0B|＝a，，所以＝a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），B1（0，a，0），D（0，0，a），所以＝＝（﹣a，a，0）．由可得C（a，a，a），所以＝（a，a，﹣a），设平面DCC1D1的一个法向量为＝（x0，y0，z0），由•＝•＝0，得，取y0＝1，则x0＝，z0＝，所以＝（，1，）．又平面ABB1A1的法向量为＝D（0，0，a），所以＝＝＝，故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．19．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：计算观测值，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；其中；；；；；；所以X的分布列为：由于X～B（5，），则；．（12分）20．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y＝kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2＝1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，△＝16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）＝8（2k2﹣b2+1）＝8k2＞0，可得k≠0，∴，＝＝＝，∴为所求．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴…（1分）∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…（2分）所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…（3分）（Ⅱ）解法一：当a＝4时，所以在点P处的切线方程为…（4分）若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…（5分）①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）＝0，…（7分）要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，…（8分）∴，即．…（9分）②当x＞x 0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…（10分）∴．…（11分）所以y＝f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（12分）（Ⅱ）解法二：猜想y＝f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（4分）下面加以证明：当时，…（5分）①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令…（7分）∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…（9分）②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…（10分）综上知y＝f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（12分）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E＝∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC＝90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD＝AE：AC，∴AB•AC＝AD•AE．又AB＝BC，∴BC•AC＝AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2＝AF•BF，∵AF＝2，CF＝2，∴（2）2＝2BF，解得BF＝4．∴AB＝BF﹣AF＝2．∵∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC＝AC：BC，∴AC＝＝．∴cos∠ACD＝，∴sin∠ACD＝＝sin∠AEB，∴AE＝＝[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|＝2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1＝0，圆心到直线l的距离＝，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x＝0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥＝1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．。
2016-2017学年河南省郑州一中高三(上)入学数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集U＝R，集合P＝{x|lnx2≤1}，Q＝{y|y＝sin x+tan x，x∈[0，]}，则P ∪Q为（）A．（﹣，）B．[﹣，]C．（0，]D．（0，] 2．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3+2i，则z1•z2＝（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i3．（5分）已知向量，满足||＝2，||＝1，（+）•＝0，那么向量，的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°4．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣35．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2B．1.6C．1.8D．2.46．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数与的图象关于直线x＝a对称，则a可能是（）A．B．C．D．8．（5分）见如图程序框图，若输入a＝110011，则输出结果是（）A．51B．49C．47D．459．（5分）已知函数f（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x+2，则关于x的不等式f （3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）10．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]11．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10B．13C．16D．1912．（5分）定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）＝2，则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，2）C．（0，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，cos C＝，则sin A＝．14．（5分）F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且＝（+），＝（+），则||+||．15．（5分）过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度．16．（5分）已知函数f（x）＝，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知f（x）＝sin x•cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）＝1，求的取值范围．18．（12分）在三棱锥D﹣ABC，AB＝BC＝CD＝DA＝8，∠ADC＝∠ABC＝120°，M、O 分别为棱BC，AC的中点，DM＝4．（1）求证：平面ABC⊥平面MDO；（2）求点M到平面ABD的距离．19．（12分）襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP 上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•＝0，＝2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2＝1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．21．（12分）已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵lnx2≤1＝lne，∴0＜x2≤e，∴﹣≤x＜0或0＜x≤，∴P＝[﹣，0）∪（0，]，∵y＝sin x+tan x，在[0，]为增函数，∴y∈[0，]，∴Q＝[0，]，∴P∪Q＝[﹣，]，故选：B．2．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2+3i，所以z1•z2＝（3+2i）（2+3i）＝13i．故选：D．3．【解答】解：设向量，的夹角为θ，由||＝2，||＝1，（+）•＝0，得，即2×1×cosθ＝﹣1，∴cos．∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．故选：D．4．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3＝a1+2d，a4＝a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2＝a1（a1+3d），解得：a1＝﹣4d．所以＝＝2，故选：A．5．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（）2x＝12.6，解得：x＝1.6．故选：B．6．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣＝0，∴e＝或e＝﹣（舍去）．故选：D．7．【解答】解：由题意，设两个函数关于x＝a对称，则函数关于x＝a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．8．【解答】解：第一次执行循环体后，t＝1，b＝1，i＝2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t＝1，b＝3，i＝3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t＝1，b＝19，i＝6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t＝1，b＝51，i＝7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．9．【解答】解：设g（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）＝2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+＝﹣g（x）；g′（x）＝2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A．10．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z＝﹣mx+y得y＝mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z＝﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y＝0的斜率大，比2x﹣y+6＝0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．11．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，设双曲线x2﹣＝1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B．12．【解答】设g（x）＝，则g'（x）＝，∵f（x）＞f′（x），∴g'（x）＜0，即函数g（x）单调递减．∵f（0）＝2，∴g（0）＝f（0）＝2，则不等式等价于g（x）＜g（0），∵函数g（x）单调递减．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝22+32﹣2×2×3×＝9，解得c＝3．∴△ABC是等腰三角形．∴cos C＝＝sin，cos＝＝．∴sin A＝2sin cos＝，故答案为：．14．【解答】解：椭圆＝1的a＝6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝12，＝（+），可得B为AF1的中点，＝（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|＝|AF2|，|OC|＝|AF1|，即有||+||＝（|AF1|+|AF2|）＝a＝6，故答案为：6．15．【解答】解：由题意，球心在正四面体中心，设AB＝a，则截面BCD与球心的距离d＝a﹣R，过点B、C、D的截面圆半径r＝a，所以（a）2＝R2﹣（a﹣R）2，得a＝R．故答案为：R．16．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）＝的图象如下：∵x＞m时，f（x）＝x2﹣2mx+4m＝（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（I）由三角函数公式化简可得：f（x）＝sin2x+（1+cos2x）＝+sin（2x+），由可得∴函数f（x）的单调递增区间为；（II）∵f（C）＝+sin（2x+）＝1，∴sin（2x+）＝，∴或，k∈Z，∴结合三角形内角的范围可，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴由正弦定理得＝＝＝＝+∈（，2），∴．18．【解答】解：（I）证明：由题意：OM＝OD＝4，∵，∴∠DOM＝90°，即OD⊥OM．又∵在△ACD中，AD＝CD，O为AC的中点，∴OD⊥AC．∵OM∩AC＝O，∴OD⊥平面ABC，又∵OD⊂平面MDO，∴平面ABC⊥平面MDO．…（6分）（Ⅱ）由（I）知OD⊥平面ABC，OD＝4△ABM的面积为．又∵在Rt△BOD中，OB＝OD＝4，得，AB＝AD＝8，∴．∵V M﹣ABD＝V D﹣MAB，即∴，∴点M到平面ABD的距离为．…（12分）19．【解答】（1）设初赛成绩的中位数为x，则：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x﹣70）＝0.5…（4分）解得x＝81，所以初赛成绩的中位数为81；…（6分）（2）该校学生的初赛分数在[110，130）有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…（10分）故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P＝…（12分）20．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y＝kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2＝1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，△＝16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）＝8（2k2﹣b2+1）＝8k2＞0，可得k≠0，∴，＝＝＝，∴为所求．21．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝a（x﹣lnx）+，得f′（x）＝a（1﹣）+＝＝（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a＝2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a＝1，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝x﹣lnx﹣1＝x﹣lnx+．令g（x）＝x﹣lnx，h（x）＝．则F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）＝1，当且仅当x＝1时取等号；又，设φ（x）＝﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）＝1，φ（2）＝﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）＝1，h（2）＝，因此h（x）≥h（2）＝，当且仅当x＝2取等号，∴f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）＝，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E＝∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC＝90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD＝AE：AC，∴AB•AC＝AD•AE．又AB＝BC，∴BC•AC＝AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2＝AF•BF，∵AF＝2，CF＝2，∴（2）2＝2BF，解得BF＝4．∴AB＝BF﹣AF＝2．∵∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC＝AC：BC，∴AC＝＝．∴cos∠ACD＝，∴sin∠ACD＝＝sin∠AEB，∴AE＝＝[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|＝2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1＝0，圆心到直线l的距离＝，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x＝0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥＝1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．。
河南省郑州市七校联考2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
河南省郑州市七校联考2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若全集={1,2,3,4,5,6}{2,3}{1,3}U ，M=，N=，则集合{4,5,6}等于（ ） A ．M N B ．MN C ．(C M)(C N)U U D ．(C M)(C N)U U【答案】C考点：集合交集、并集和补集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.下列幂函数中过点（0,0），（1,1）的偶函数是（ ）A ． 12y x = B ． 4y x = C ．2y x -= D ．13y x = 【答案】B 【解析】试题分析：A 是非奇非偶函数，C 不过()0,0，D 是奇函数，故选B. 考点：幂函数.3.下列函数中，在区间(,0)-∞上是增函数的是（ ） A ．111y x =-- B ． |1|y x =- C ． 248y x x =-+ D ．1y x =-【答案】A 【解析】试题分析：B ，C ，D 在(,0)-∞上为减函数，故选A. 考点：函数的单调性.4.函数45(a 0,a 1)x y a -=+>≠的图象必经过定点（ ）A ．(0,5)B ． (4,5) C.(3,4) D ．(4,6) 【答案】D 【解析】试题分析：当4x =时，6y =，故函数图象过(4,6). 考点：指数函数. 5.函数1xy -=的定义域为（ ） A ．(,1]-∞ B ．11(,)(,1]22-∞-- C. (,2]-∞ D ．11(,)(,1]22-∞-- 【答案】D考点：定义域.6.三个数3123113,,log 22a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．b a c << C. c a b << D ．c b a << 【答案】D 【解析】试题分析：31231131,01,log 022a b c ⎛⎫=><=<=< ⎪⎝⎭，所以a b c >>.考点：比较大小.7.方程3log 3x x +=的解所在区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C. (3,)+∞ D．(2,3) 【答案】D 【解析】试题分析：令()3log 3f x x x =+-，()()20,30f f <>，所以零点在区间(2,3). 考点：二分法.8.设01a <<，在同一直角坐标系中，函数x y a -=与log (x)a y =-的图象是（ ）A ．B ． C.D ．【答案】B考点：函数图象与性质.9.已知(x)f 是定义在[]1,1-上的增函数，且(x 1)(13x)f f -<-，则x 的取值范围（ ） A ．12x ≤B ．102x ≤< C.12x < D ．102x <≤ 【答案】B 【解析】试题分析：根据函数的定义域和单调性，有1111131113x x x x-≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得102x ≤<.考点：函数的单调性.10.设(x)f 为奇函数，且在(,0)-∞内是减函数，(2)0f =，则(x)0f x<的解集为（ ） A ．(2,0)(2,)-+∞ B ．(,2)(0,2)-∞ C. (,2)(2,)-∞+∞ D ．(2,0)(0,2)-【答案】C【解析】试题分析：画函数图象如下图所示，由图可知，(),x f x异号的解集为(,2)(2,)-∞+∞.考点：函数的奇偶性与单调性.11.若1(x)1(4)x22xa xf ax⎧≥⎪=⎨<-+⎪⎩函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A．(1,)+∞ B．[1,8) C. (4,8) D．[4,8)【答案】D考点：分段函数图象与性质.【思路点晴】本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是指数函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于一.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在R身上单调递增.12.定义运算为：,a ,(a b)a ab b ≤⎧*=⎨>⎩（b ），如121*=，则函数(x)|221|x x f -=*-的值域为（ ）A ．[0,1]B ．[0,1) C.[0,)+∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：新定义函数运算结果是去,a b 中较小值.取出2,2x x -的最小值如下图所示，然后再向下平移一个单位，再关于x 轴对称翻折，得到函数()f x 的图象，由图可知，函数()f x 值域为[0,1).考点：分段函数值域.【思路点晴】本题考查新定义函数，考查图象平移变换，考查图象对称变换.题目所以新定义,,()a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩（）表示的意思就是选取两个数中较小的一个.如果两个数为函数式，则去两段函数图象中较小的一段.我们通过画出2,2xx-的图象，取较小函数值的部分，就可以得到22x x -⋅的图象，再根据图象平移和对称变化，得到函数()f x 的图象，由图象看出值域.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设集合{}(x,y)|x 37A y =+=，集合{}(x,y)|1B x y =-=-，则A B = ．【答案】{(1,2)}考点：集合交集. 14.已知14x x-+=，则 22x x --= ．【答案】83± 【解析】 试题分析：14x x-+=两边平方得2214x x -+=，所以()2114212x x--=-=，所以123x x --=±，所以()()221183x x x x x x ----=+-=±.考点：指数运算.15.已知函数2(x)2f x ax b =-+是定义在[2b,3b 1]--区间上的偶函数，则函数(x)f 的值域 为 ． 【答案】[1,5]考点：函数的奇偶性与值域.【思路点晴】本题考查函数的奇偶性以及值域.如果函数为奇函数或者偶函数，那么它的定义域一定关于原点对称，本题定义域是[]2,31b b --，所以2310,1b b b -+-==.二次函数是偶函数，那么它的对称轴为y 轴，即0x a ==，由此求得函数的解析式()21f x x =+.函数在0x =处取得最小值为1，在定义域端点取得最大值为5.16.若2(a 2)(a 1)x 2(a 2)x 40--+--<对一切x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】6(,2]5【解析】试题分析：当1a =时，原不等式化为240x --<不恒成立.当2a =时，原不等式化为40-<恒成立.当1a ≠且2a ≠时，()()()()()21204216120a a a a a --<⎧⎪⎨∆=-+--<⎪⎩，解得6,25a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上，a 的范围是6(,2]5.考点：一元二次不等式.【思路点晴】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.由于不等式最高次项为二次，所以首先考虑二次项系数是否为零，分别令1,2a a ==，验证后可得2a =成立.当1a ≠且2a ≠时，不等式为一元二次不等式，要小于零恒成立，则需要开口向下且判别式小于零，由此列出不等式组，解这个不等式组，求可以求得a 的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）设集合{x |2a 1x a 3}A =-≤≤+，集合{x |x 15}B x =<->或． （1）当2a =-时，求AB ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[)5,1--；（2）()(](),43,45,-∞-⋃⋃+∞.试题解析：（1）当2a =-时，{x |5x 1},B {x |x 15}A x =-≤≤=<->或{}51x x A B =-≤<-（2）若AB =A ，分两种情况讨论：A =∅，213a a ->+，则5a >2132134,312153a a a a a A a a a -≤+⎧-≤+≤⎧⎧≠Φ⎨⎨⎨+<-->>⎩⎩⎩或或 综上，a 的取值范围是{a |434}a a ≥><-或 考点：子集、集合交集. 18.（本小题满分12分） 计算：（1）2381lg 500lglg 64log 3log 452+-+⋅； （2）111010.25342730.0081[3()][81(3)]88------⨯⨯+. 【答案】（1）4；（2）3. 【解析】试题分析：（1）原式8lg 500822245⎛⎫=⨯÷+=+= ⎪⎝⎭；（2）原式101133=-=. 试题解析：（1）8500645341lg lg lg loglg232+-+5258lg 23lg lg lg 2=++--+4=考点：指数和对数运算. 19.（本小题满分12分）已知22(x)(x )21x x a a f R ⋅+-=∈+，若(x)f 满足(x)(x)f f -=-. （1）求实数a 的值；（2）证明(x)f 是R 上的单调增函数（定义法）. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由于函数为奇函数，故()2200,12a f a -===；（2）由（1）得()2121x x f x -=+，任取定义域内两个数12x x <，计算得()()120f x f x -<，所以函数增函数. 试题解析： （1）22(x)(x R),21x xa a f +-=∈+且满足，f (-x)=-f(x) (x)f ∴为奇函数；22222121x x x x a a a a --+-+-∴=++2(22)(2)222(21)2121x x x x x x xx a a a a a a a --+-+-+-∴=-+++201a a a ∴-=∴=考点：函数的奇偶性与单调性. 20.（本小题满分12分）设(x)f 为定义R 在的偶函数，当0x 2≤≤时，32xy =；当2x >时，(x)y f =的图像是顶点在(3,4)p ，且过点(2,3)A 的抛物线的一部分. （1）求函数(x)f 的解析式；（2）在下面的直角坐标系中直接画出函数(x)f 的图像，写出函数(x)f 的单调区间（无需证明）.【答案】（1）()()()2234,23,2023,02234,2x xx xf xx xx x⎧-++<-⎪⎪--≤<⎪=⎨⎪≤≤⎪⎪--+>⎩；（2）图象见解析，(x)f的单调递增区间为(,3),(0,3)-∞-，单调递减区间为(3,0),(3,)-+∞.试题解析：（1）由题意，当x2>时设24+f(x)=a(a-3)带入点(1,3)A得a=-124,(x2)∴+>f(x)=-(x-3)320,(x)2x f x ∴-≤<=当时x 2-x>2<-当时，此时2(x)4f -=+-(-x-3)所有2(x)4,(x 2)f =+<-(-x+3)224,x 23,202f(x)3,0224,x 2x x x x ⎧+<-⎪⎪--≤<⎪=⎨⎪≤≤⎪⎪+>⎩(-x+3)-(x-3) 图略有图可知：(x)f 的单调递增区间为(,3),(0,3)-∞-单调递减区间为(3,0),(3,)-+∞考点：函数的单调性与奇偶性，函数图象.21.（本小题满分12分）某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：（1）写出价格(x)f 关于时间x 的函数关系式；（x 表示投放市场的第(x N)x ∈天）；（2）销售量(x)g 与时间x 的函数关系：1109(x)(1x 100,x N)33g x =-+≤≤∈，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？ 【答案】（1）122,140,4()152,2x x x N f x x x x N ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩且41100,且；（2）第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）.【解析】试题分析：（1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数的解析式；（2）价格乘以销售量等于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值.试题解析：（1）由题意，设(x)kx b(1x40,x)f N=+≤≤∈且4231,2232304k bk bk b+=⎧==⎨+=⎩则得1(x)22,(1x40,x)4f x N∴=+≤≤∈且同样设N≤≤∈f(x)=mx+n(41x100,且x)60221,529072m nm bm n+=⎧=-=⎨+=⎩则得1(x)52,()2f x N∴=-+≤≤∈41x100,且x122,1x40,x4(x)152,2x Nfx N⎧+≤≤∈⎪⎪∴=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩且41x100,且x考点：函数应用问题.【方法点晴】对函数应用问题的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．应用问题首要问题是阅读问题，将实际问题转化为函数问题来求最优解.22.（本小题满分12分）已知(x)log ,(x)log (2x t 2),(a 0,a 1,t R)a a f x g ==+->≠∈．（1）当4t =，[1,2]x ∈时(x)g(x)f(x)F =-有最小值为2，求a 的值；（2）当01a <<，[1,2]x ∈时，有(x)g(x)f ≥恒成立，求实数t 的取值范围.（备注：函数1y x x =+在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增） 【答案】（1）4a =；（2）[)1,+∞.试题解析：(1)24(x 1)4(x)g(x)f(x)log ,[1,2]x a t F x +==-=∈时，设24(x 1)1(x)4(x 2),[1,2]h x x x +==++∈由于1[1,2]x x ∈y=x+在单调递增，(x)h ∴在[1,2]上是增函数，min max (1)16,(x)(2)18h h h ∴====h(x)18min 01log 2,321()a a a <<===>当时，F(x)则舍16min log 2,4a a ===当a>1时，F(x)则综上4a =(2)当∈a0<a<1,x [1,2]时，f(x)g(x)≥恒成立即222log 01,x x t a a a +-≥<<∈log 在x [1,2]时恒成立22x t +-∈在x [1,2]时恒成立22t x ∴≥-设2(x)222u x =-=-2117)48=-+[1,2][1x ∈max u(x)(1)1u ∴==∴实数t 的取值范围是[1,)+∞考点：函数的单调性与最值，恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的单调性，考查函数值域的求法，考查恒成立问题分离参数法.第一问的已知条件是最小值，而函数()F x 表达式中含有对数，且对数的底数范围是不知道的，所以我们要对底数进行分类讨论.第二问是恒成立问题，首先化简，将参数t 分离出来，观察发现右边函数表达式类似二次函数，就用二次函数配方法结合对称轴来求最值.。
郑州市一中高一上学期期中考试数学试卷及答案解析
郑州市一中高一上学期期中考试数 学考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分,共60分） 1. 下列表述正确的是【 】（A ）{}∅=0 （B ）(){}{}2,12,1= （C ）{}∅=∅ （D ）∈0N2. 设集合{}6,4,2,1=A ,{}5,3,2=B ,则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是【 】（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）13. 已知幂函数()x f y =的图象过点()3,3,则()2log 2f 的值为【 】 （A ）21 （B ）21- （C ）1 （D ）1- 4. 方程x x ln 42-=的解所在的区间是【 】（A ）()1,0 （B ）()2,1 （C ）()3,2 （D ）()4,35. 若3.0213121,3log ,2log ⎪⎭⎫ ⎝⎛===c b a ,则【 】（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）a c b << （D ）c a b <<6. 函数xxy +-=22log 2的图象关于【 】 （A ）原点对称 （B ）直线x y -=对称 （C ）y 轴对称 （D ）直线x y =对称7. 函数()x f y =的定义域和值域都是()0,∞-,那么()x f y -=的图象一定位于【 】 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限8. 已知()()⎩⎨⎧≤+>+=10,)5(10,3x x f f x x x f ,则()5f 的值是【 】（A ）24 （B ）21 （C ）18 （D ）16 9. 函数x x y ln =的大致图象是【 】（A ） （B ）（C ） （D ）10. 若函数()x f 为偶函数,()x g 为奇函数,且满足()()123++=-x x x g x f ,则()()22g f +等于【 】（A ）3- （B ）3 （C ）5 （D ）5-11. 对于给定的正数k ,定义函数()()()()⎩⎨⎧>≤=kx f k kx f x f x f k ,,,若对函数()222++-=x x x f 定义域内的任意x ,恒有()()x f x f k =,则【 】（A ）k 的最小值为1 （B ）k 的最大值为1 （C ）k 的最小值为22 （D ）k 的最大值为2212. 定义在R 上的函数()x f 满足: ①()00=f ; ②()()11=-+x f x f ; ③()x f x f 213=⎪⎭⎫ ⎝⎛,且0≤1x ≤2x ≤1,()1x f ≤()2x f ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛8131f f 【 】 （A ）1 （B ）43 （C ）31 （D ）21第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分） 13. 函数()()4lg 32++-=x xx x f 的定义域为__________.14. 函数()()a ax x x f 3log 221+-=在区间[)+∞,2上是减函数,则a 的取值范围是_________.15. =-+--+347246625__________.16. 已知函数()x xx f -+=11ln,则关于a 的不等式()a f a f -<⎪⎭⎫ ⎝⎛+121的解集是__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）计算:（1）3312264232366141⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--;（2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅2log 3210log 21543727334log 327log .已知集合{}042=+=x x x A ,(){}R a a x a x x B ∈=-+++=,011222. （Ⅰ）用列举法表示集合A ;（Ⅱ）若,B A B = 求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）设0>a ,()x x eaa e x f +=是R 上的偶函数.（Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）用定义法证明函数()x f 在()+∞,0上是增函数.（Ⅰ）对于任意的∈x R ,都有()()x x f x f 421212=-+-,求函数()x f 的解析式;（Ⅱ）已知()x g 是奇函数,()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+xy y x g y g x g 1,若21,1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++ab b a g ab a b a g ,求()a g 和()b g 的值.21.（本题满分12分） 已知函数()xx x f 212-=. （Ⅰ）若()2=x f ,求x 的值;（Ⅱ）若()t mf ≥()t f t 22-对于[]3,2∈t 恒成立,求实数m 的取值范围.已知实数0<a ,函数()x x x a x f -+++-=1112. （Ⅰ）设x x t -++=11,求t 的取值范围; （Ⅱ）将()x f 表示为t 的函数()t h ;（Ⅲ）若函数()x f 的最大值为()a g ,求()a g 的解析式.郑州市高一上学期期中考试数 学 解析版考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分,共60分） 1. 下列表述正确的是【 】（A ）{}∅=0 （B ）(){}{}2,12,1= （C ）{}∅=∅ （D ）∈0N 答案 【 D 】2. 设集合{}6,4,2,1=A ,{}5,3,2=B ,则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是【 】（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 答案 【 B 】解析 ∵{}6,4,2,1=A ,{}5,3,2=B ,∴{}2=B A .∴图中阴影部分表示的集合为C B （B A ）{}5,3=,其真子集的个数为31-22=. 3. 已知幂函数()x f y =的图象过点()3,3,则()2log 2f 的值为【 】 （A ）21 （B ）21- （C ）1 （D ）1- 答案 【 A 】解析 ∵幂函数()x f y =的图象过点()3,3∴21333==α,∴21=α,∴()21x x f =,∴()212log 2log 2122==f .4. 方程x x ln 42-=的解所在的区间是【 】（A ）()1,0 （B ）()2,1 （C ）()3,2 （D ）()4,3 答案 【 B 】解析 ∵x x ln 42-=,∴04ln 2=-+x x .设()4ln 2-+=x x x f ,则函数()x f 的零点所在的区间即为方程x x ln 42-=的解所在的区间. ∵()()02ln 2,031>=<-=f f ∴函数()x f 的零点所在的区间为()2,1. ∴方程x x ln 42-=的解所在的区间是()2,1.5. 若3.0213121,3log ,2log ⎪⎭⎫ ⎝⎛===c b a ,则【 】 （A ）c b a << （B ）b c a << （C ）a c b << （D ）c a b << 答案 【 D 】解析 ∵3log 2log 2log 1log 21213131>>>,∴0<<a b .∵12121003.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛<,∴10<<c . ∴c a b <<. 6. 函数xxy +-=22log 2的图象关于【 】 （A ）原点对称 （B ）直线x y -=对称 （C ）y 轴对称 （D ）直线x y =对称 答案 【 A 】解析 由题意可知:022>+-x x ,即022<+-x x ,解之得:22<<-x . ∴函数x xy +-=22log 2的定义域为()2,2-,关于原点对称.∵()()x f x xx x x f -=+--=-+=-22log 22log 22∴函数xxy +-=22log 2为定义在()2,2-上的奇函数.∴其图象关于原点对称.7. 函数()x f y =的定义域和值域都是()0,∞-,那么()x f y -=的图象一定位于【 】 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案 【 D 】解析 函数()x f y =的图象与函数()x f y -=的图象关于y 轴对称.结合题意可知,函数()x f y =的图象在第三象限,所以函数()x f y -=的图象一定位于第四象限.8. 已知()()⎩⎨⎧≤+>+=10,)5(10,3x x f f x x x f ,则()5f 的值是【 】（A ）24 （B ）21 （C ）18 （D ）16 答案 【 A 】解析 由题意可知:()()()())15(10,)10(5f f f f f f ==. ∵()1815=f ,∴()()211810==f f ,∴()()24215==f f . 9. 函数x x y ln =的大致图象是【 】（A ） （B ）（C ） （D ）答案 【 C 】解析 由题意可知,函数x x y ln =的定义域为()()+∞∞-,00, .∵()()x f x x x f -=-=-ln ,∴函数x x y ln =为奇函数,其图象关于原点对称,故排除（B ）选项.当10<<x 时,0ln <=x x y ;当1=x 时,0=y ;当1>x 时,0ln >=x x y . ∴【 C 】选项符合题意.10. 若函数()x f 为偶函数,()x g 为奇函数,且满足()()123++=-x x x g x f ,则()()22g f +等于【 】（A ）3- （B ）3 （C ）5 （D ）5- 答案 【 A 】解析 ∵函数()x f 为偶函数,()x g 为奇函数 ∴()()()()x g x g x f x f -=--=,. ∵()()123++=-x x x g x f∴()()123++-=---x x x g x f ,∴()()123++-=+x x x g x f . ∴()()()31481222223-=++-=+-+-=+g f .11. 对于给定的正数k ,定义函数()()()()⎩⎨⎧>≤=kx f k kx f x f x f k ,,,若对函数()222++-=x x x f 定义域内的任意x ,恒有()()x f x f k =,则【 】（A ）k 的最小值为1 （B ）k 的最大值为1 （C ）k 的最小值为22 （D ）k 的最大值为22 答案 【 C 】解析 由题意可知:22++-x x ≥0,解之得:1-≤x ≤2. ∴函数()222++-=x x x f 定义域为[]2,1-.∵对于任意的[]2,1-∈x ,()()x f x f k =恒成立 ∴222++-x x ≤k 在[]2,1-∈x 上恒成立.设()492122222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-==x x x x g ,只需()max x g ≤k 即可.∵[]2,1-∈x ,∴()22822212349max====⎪⎭⎫ ⎝⎛=g x g ,∴k ≥22.∴k 有最小值,最小值为22.12. 定义在R 上的函数()x f 满足: ①()00=f ; ②()()11=-+x f x f ; ③()x f x f 213=⎪⎭⎫ ⎝⎛,且0≤1x ≤2x ≤1,()1x f ≤()2x f ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛8131f f 【 】 （A ）1 （B ）43 （C ）31 （D ）21答案 【 B 】解析 当0=x 时,()()110=+f f ,∵()00=f ,∴()11=f ,∴()2112131==⎪⎭⎫ ⎝⎛f f .当21=x 时,12121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ,∴2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f . ∵当0≤1x ≤2x ≤1时,()1x f ≤()2x f ,212131=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ∴当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31x 时,()21=x f .∵()x f x f 213=⎪⎭⎫ ⎝⎛,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛832181f f ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,3183,∴2183=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴4181=⎪⎭⎫ ⎝⎛f . ∴4341218131=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f . 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分） 13. 函数()()4lg 32++-=x xx x f 的定义域为__________.答案 ()3,4-解析 由题意可知:⎩⎨⎧>+>-0403x x ,解之得:34<<-x .∴该函数的定义域为()3,4-.14. 函数()()a ax x x f 3log 221+-=在区间[)+∞,2上是减函数,则a 的取值范围是_________.答案 (]4,4-解析 设()a ax x x g 32+-=,其图象开口向上,对称轴为直线2a x =. ∵函数()()a ax x x f 3log 221+-=在区间[)+∞,2上是减函数∴函数()x g 在区间[)+∞,2上是增函数.∴()⎪⎩⎪⎨⎧>≤0222g a ,即⎩⎨⎧>+-≤03244a a a ,解之得:a <-4≤4.∴a 的取值范围是(]4,4-. 15.=-+--+347246625__________.答案 22解析 347246625-+--+()()()22322232322232322232222=-++-+=-+--+=-+--+=16. 已知函数()xxx f -+=11ln,则关于a 的不等式()a f a f -<⎪⎭⎫⎝⎛+121的解集是__________. 答案 ⎪⎭⎫⎝⎛41,0解析 由题意可知:011>+-xx,解之得:11<<-x . ∴函数()x f 的定义域为()1,1-. ∵()12111---=-+=x x x x g 在()1,1-上为增函数 ∴函数()x f 在()1,1-上也是增函数.∵()a f a f -<⎪⎭⎫⎝⎛+121∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+<-<-<+<-a a a a 1211111211,解之得:410<<a .∴不等式()a f a f -<⎪⎭⎫ ⎝⎛+121的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）计算:（1）3312264232366141⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--;（2）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅2log 3210log 21543727334log 327log .解:（1）原式()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--463423616231232163625616=-+++=;（2）原式()415log 412310log 3log 55413-=⨯-=--⋅=-.18.（本题满分12分）已知集合{}042=+=x x x A ,(){}R a a x a x x B ∈=-+++=,011222. （Ⅰ）用列举法表示集合A ;（Ⅱ）若,B A B = 求实数a 的取值范围. 解:（Ⅰ）{}{}0,4042-==+=x x x A ; （Ⅱ）∵,B A B = ∴A B ⊆.当∅=B 时,()[]()0141222<--+=∆a a ,解之得:1-<a ;当∅≠B 时,{}4-=B 或{}0=B 或{}0,4-=B :若{}4-=B 或{}0=B ,则()[]()0141222=--+=∆a a ,解之得:1-=a ,此时{}0=B ;若{}0,4-=B ,由根与系数的关系定理可得:()⎩⎨⎧=--=+-014122a a ,解之得:1=a .综上所述,实数a 的取值范围为(]{}11, -∞-. 19.（本题满分12分）设0>a ,()x x eaa e x f +=是R 上的偶函数.（Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）用定义法证明函数()x f 在()+∞,0上是增函数.解:（Ⅰ）∵()x f 是R 上的偶函数∴()()x f x f =-,∴x x x x e a a e e a a e +=+--,x x xx ea a e ae ae +=+1,解之得:1±=a .∵0>a ,∴1=a ;（Ⅱ）证明:由（Ⅰ）可知:()xx e e x f 1+=. 任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有()()()()()212121212122111111121x x xx x x x x x x x x x xe e e e e ee e e e e e xf x f ++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-. ∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x <∴0,01,0212121>>-<-++x x x x x x e e e e ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数()x f 在()+∞,0上是增函数. 20.（本题满分12分）（Ⅰ）对于任意的∈x R ,都有()()x x f x f 421212=-+-,求函数()x f 的解析式;（Ⅱ）已知()x g 是奇函数,()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+xy y x g y g x g 1,若21,1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++ab b a g ab a b a g ,求()a g 和()b g 的值.解:（Ⅰ）设t x =-12,则21+=t x . ∵()()x x f x f 421212=-+-∴()()222+=-+t t f t f ①,∴()()222+-=+-t t f t f ② ∴②-⨯2①得:()322+-=t t f . ∴()322+-=x x f ; （Ⅱ）∵()x g 是奇函数,∴()()x g x g -=-.∵()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+xy y x g y g x g 1,21,1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++ab b a g ab a b a g ∴()()1=+b g a g ,()()()()2=-=-+b g a g b g a g .解方程组()()()()⎩⎨⎧=-=+21b g a g b g a g 得:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2123b g a g .21.（本题满分12分） 已知函数()xx x f 212-=. （Ⅰ）若()2=x f ,求x 的值;（Ⅱ）若()t mf ≥()t f t 22-对于[]3,2∈t 恒成立,求实数m 的取值范围.解:（Ⅰ）当x ≤0时,()022212212=-=-=-=-x x xxx x x f ; 当0>x 时,()x x x x x f 212212-=-=.∵()2=x f ,∴2212=-x x ,解之得:212+=x ,0212<-=x 舍去.∴()21log 2+=x ;（Ⅱ）∵()t mf ≥()t f t 22-对于[]3,2∈t 恒成立∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-ttm 212≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--t t t 222122对于[]3,2∈t 恒成立. ∵[]3,2∈t ,∴0212>-t t∴m ≥()()14121212121212222224--=--=--+-=---t t tt t t t 对于[]3,2∈t 恒成立,只需m ≥max )14(--t 即可.∵[]3,2∈t ,∴()1714142max -=--=--t ∴m ≥17-.∴实数m 的取值范围为[)+∞-,17. 22.（本题满分12分）已知实数0<a ,函数()x x x a x f -+++-=1112. （Ⅰ）设x x t -++=11,求t 的取值范围; （Ⅱ）将()x f 表示为t 的函数()t h ;（Ⅲ）若函数()x f 的最大值为()a g ,求()a g 的解析式.解:（Ⅰ）∵x x t -++=11,∴⎩⎨⎧≥-≥+0101x x ,解之得:1-≤x ≤1.∴[]1,1-∈x . ∵()22212211x xx t -+=-++=,[]1,1-∈x ,∴[]4,22∈t .∵0>t ,∴[]2,2∈t ;（Ⅱ）由（Ⅰ）知:22122x t -+=,∴121122-=-t x . ∴()a t at t h -+=221; （Ⅲ）函数()a t at t h -+=221（0<a ）的图象开口向下,对称轴为直线at 1-=.∵[]2,2∈t∴当a 12-<,即021<<-a 时,函数()t h 在[]2,2∈t 上为增函数,∴()()22+==a h a g ;当2≤a 1-≤2,即22-≤a ≤21-时,()a a a h a g 211--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=; 当21<-a,即22-<a 时,函数()t h 在[]2,2∈t 上为减函数,∴()()22==h a g .∴()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤≤---<<-+=22,22122,21021,2a a a a a a a g .。
2016-2017郑州高一上学期数学期中考试卷
郑州十一中2016-2017学年上期期中考试高一数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合 |12A x x ， |03B x x ，则A B （ ）A ． 13 ，B ． 10 ，C ． 02，D ． 23，2．已知幂函数 f x kx 的图像经过点22，，则k （）A ．12B ．1 C ．32D ．2 3的结果为（ ）A 1D ．52x4．函数122x y 的图象由函数12xy的图象经过怎样的平移得到（ ）A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．函数21y x 在 125x ，，时，其值域是（ ）A ． 1022，，B ． 2 ， C ．122，，D ． 0 ， 6．设12322log 12x e x f x x x ，，≥，则 2f f 的值为（ ）A ．0B ．1 C ．2 D ．3 7．三个数20.3a ，2log 0.3b ，0.32c 之间的大小关系是（ ）A ．b a c B ．a c b C ．a b c D ．b c a 8．若lg a ，lg b 是方程22410x x 的两个根，则2lg a b的值等于（ ）A ．2B ．12C ．4D ．149．已知函数 y f x x 是偶函数，且 31f ，则 3f （ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．函数 0.52log 1x f x x 零点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知 641log 1aa x a x f x x x ，，，≥，是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．665，B ．665，C ． 16， D ． 6 ，12．若不等式2log 0a x x ≤在102x，内恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．1116a ≤B ．1116aC ．1016a ≤D ．1016a二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．已知 0.450.45log 2log 1x x ，则实数x 的取值范围是__________．14．已知函数y a是奇函数，则a __________． 15．对于实数a ，b 定义运算“ ”：22.a ab a b a b b ab a b ，≤，，设 211f x x x ，且关于x 的方程f x m m R 恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则m 的取值范围是__________．16．下列四个结论中，其中正确结论的序号为__________．①如果两个函数都是增函数，那么这两函数的积运算所得函数为增函数；②奇函数 f x 在 0 ，上是增函数，则 f x 在R 上为增函数；③既是奇函数又是偶函数的函数只有一个；④若函数 f x 的最小值是a ，最大值是b ，则 f x 的值域为 a b ，．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）求下列各式的值：⑴1030.7583161255⑵4839log 3log 3log 2log 2 18．（12分）已知 f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时， 12log 1f x x ．⑴求 0f ， 1f ；⑵求函数 f x 的解析式．19．（12分）函数 222f x x x 在闭区间 1t t t ，R 上的最小值记为 g t ．⑴试写出 g t 的函数表达式；⑵求 g t 的最小值．20．（12分）医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线（OA 为线段，AB 为某二次函数图象的一部分，O 为原点）．⑴写出服药后y 与t 之间的函数关系式 y f t ；⑵据进一步测定：每毫升血液中含量不少于微克时对治疗有效，求服药后一次治疗的有效时间是多少？21．（12分）已知定义在区间 0 ，上的函数 f x 满足 1122x f f x f x x，且当1x 时， 0f x ．⑴求 1f 的值；⑵证明： f x 为减函数；⑶若 31f ，求 f x 在 29，上的最小值．22．（12分）已知函数 x x f x e e ，（x R ，e 为自然对数的底数）．⑴判断并证明函数 f x 的奇偶性及单调性；⑵是否存在实数t ，使不等式 220f x t f x t ≥对一切x R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．郑州十一中2016-2017学年上期期中考试高一数学参考答案一． 选择题1-6．ACCCAC 7-12．AACCAA 二． 填空题13．2,14．115．10,416．②三． 解答题17．⑴192⑵5418．⑴ 00,11f f⑵ 1212log 10log 10x x f x x x19．⑴ 2210101221t t g t t t t t⑵ min 1g t 20．⑴ 240115154tt f t t t⑵当01t 时，449t ，故119t ；当15t 时，214549t ，解得191133t t 或，故1113t ；综上，11193t ，11132399 故服药后一次治疗的有效时间为329个小时．21．⑴ 10f⑵略⑶ min 92f x f22．⑴证明略⑵ f x 为增函数和奇函数根据 220f x t f x t 时x R 恒成立，则 22f x t f t x 因此22t x x t ，即22x x t t x R 对恒成立等价于22min 12t x，所以2102t，即12t即存在实数12t ，使不等式 220f x t f x t 对一切x 恒成立．。
数学---河南省郑州市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试试题(文)(解析版)
河南省郑州市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在ABC ∆中，π2,4===a b A ，则角B =（ ） A ．π6 B ．π6或5π6 C ．π3 D ．5π62.“0x <”是“11x<”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件3.已知数列 {}n a 中，()12111,4,22,*-+===+≥∈n n n a a a a a n n N ,当298n a =时，序号n =（ ）A ．100B ．99C ．96D ．101 4.命题“0,*∀∈∃∈x n R N ，使得20n x >”的否定形式是（ ）A ．0,*∀∈∃∈x n R N ,使得20n x ≤B ．,*∀∈∀∈x n R N 使得,2n x ≤C. 00,*∃∈∃∈x n R N ,使得 200n x ≤ D ．0,*∃∈∀∈x n R N ,使得20n x ≤5.《莱茵德纸草书》 是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题： 把个面包分成份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的倍，则最少的那份面包个数为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ． 1 6.已知等比数列的前n 项和n S ，且203021,49S S ==,则10S 为（ ） A ．7 B ．9 C.63 D ．7或63 7.设,a b 是非零实数，若，则一定有（ ） A ．11a b < B ．2a ab > C.2211ab a b > D ．11a b a b->- 8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足,对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）12057{}()n n a a R ∈a b >201620170,0S S ><A ．1006B ．1007 C.1008 D ．10099.已知变量满足430140x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y -的取值范围是（ ）A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]2,0- C.60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,1--10.设，对于使成立的所有常数M 中， 我们把M 的最大值1-叫做的下确界．若,a b 为正实数，且1a b +=，则122a b +的下确界为（ ） A ．5 B ．4 C.92D ．311.在中,角、、所对的边分别为、、，若()π,1cos cos ,23=-==A b C c A b ,则的面积为（ ）AB．C.3D12.设{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()2f x x p x q=++的图象经过两点，且存在正整数n ，使得1n n αβ<<<+成立，则（ ）A ．()(){}1min ,14f n f n +>B ．()(){}1min ,14f n f n +< C.()(){}1min ,14f n f n += D ．()(){}1min ,14f n f n +≥二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知不等式()()22454130m m x m x +---+>对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是__________.14.已知两个等差数列 {}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n S nT n =+，则55a b =__________.15.在中,角、、所对的边分别为、、，且2,3,4a b c ===，则s i n 2sin CA= _________.16.已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若使得,x y x R ∈22x x M -≥22x x -ABC ∆A B C a b c ABC ∆()(),0,,0αβABC ∆A B C a b c n N *∃∈成立，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知命题对任意的恒成立；命题关于的不等式有实数解．若命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，等差数列{}n b 中，公差为d ，且满足11243133,,a b a b a b ====. （1）求数列{}n a 和{}n b 通项公式；（2）记()1nn n n c b a =-+，求数列{}n c 的前项和.19.（本小题满分12分）某人上午时， 乘摩托艇以匀速从港出发3362n S k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭25:04p x ax a --+≥x R ∈:q x 220x x a ++<p q ∨p q ∧n n S 7()/840vkm h v ≤≤A到距的港去， 然后乘汽车以匀速自港向距的市驶去．应该在同一天下午至点到达市． 设乘坐汽车、 摩托艇去目的地所需要的时间分别是.（1）作图表示满足上述条件的,x y 范围；（2）如果已知所需的经费（元），那么分别是多少时p 最小？此时需花费多少元？20.（本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、,()cos25cos 2B A C -+=.（1）求角的值； （2）若 1cos 7A =,的面积为求边上的中线长.21.（本小题满分12分）某城市响应城市绿化的号召， 计划建一个如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙， 长度为 另外两边使100km B ()/30100wkm h w ≤≤B 300km C 49C ,xh yh ()()1003528p x y =+-+-,v w ABC ∆A B C a b c B ABC ∆BC BC ,AB AC用某种新型材料围成，已知单位均为米）． （1）求 ,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？ 最短长度是多少？22.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， 已知. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列12212n n n n n a a b a a ++++=+-,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.参考答案一、选择题120,,(,BAC AB x AC y x y ∠==={}n a n n S 32411,6234S S S a =++=1.A2.B【解析】试题分析：由11x <，得111100x x x x x ---=<⇒>，解得0x <或1x >，所以“2x >或0x <”是“11x<”的充分不必要条件，故选B.3.A【解析】试题分析：由121,4a a ==，则213d a a =-=，且()1122,*-+=+≥∈n n n a a a n n N ，则数列{}2n a 表示首项为1，公差为3的等差数列，所以1(1)1(1)332n a a n d n n =+-=+-⨯=-，令32298n -=，解得100n =，故选A.4.D5.C【解析】试题分析：设五个人所分得的面包为2,,,,2(0)a d a d a a d a d d --++>， 则有(2)()()(2)5120a d a d a a d a d a -+-+++++==，所以24a =，由27(2)a a d a d a d a d ++++=++-，解得337(23)a d a d +=-，所以2411d a =，解得11d =，所以最少的一份为224222a d -=-=，故选C. 6.A7.C【解析】试题分析：因为,a b 是非零实数，，所以0a b ->，所以2222110a b ab a b a b --=>，所以2211ab a b>，故选C. 8.D【解析】试题分析：由等差数列的求和公式及性质，可得120162016100810092016()1008()02a a S a a +==+>，所以100810090a a +>，同理可得12017201710092017()201702a a S a +==<，所以10090a <，所以100810090,0,0a a d ><<，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则1009k =，故选D. 9.A【解析】试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设目标函数z x y =-，当z x y =-过点137(,)55A 时，目标函数取得最大值，此时最大值为max 1376555z =-=；当z x y =-过点(1,3)B 时，目标函数取得最小值，此时最小值为min 132z =-=-，所以x y -的取值范围是62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选A.10.C11.Da b>12.B【解析】试题分析：因为()2f x x px q =++的图象经过两点，所以()2()()f x x px q x x αβ=++=--，所以()()2()(),1(1)(1)f n n pn q n n f n n n αβαβ=++=--+=+-+-，所以min{(),(1)}f n f n +=14≤==，故选B.二、填空题 13.[)1,1914.914【解析】试题分析：根据等差数列的性质，由1919591919599()299229()3911422a a a a a Sb b b b b T ++⨯=====++⨯+.()(),0,,0αβ15.-116.2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：因为3nn a =，所以3(13)3(31)132n n n S --==-，所以13322n n S ++=，因为3,362n n N S k n *⎛⎫∈+≥- ⎪⎝⎭，所以136362433322n n n n n n k S +---≥==+，因为112(1)424104333n n n n n n +++----=，所以数列24{}3nn -前3项单调递减，从第3项起单调递减，所以当3n =时，数列24{}3n n -有最大值227，所以实数 k 的取值范围2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.三、解答题 17.（1）p 真q 假，则51,11a a a -≤≤⎧∴=⎨≥⎩.（2）若p 假q 真，则51,51a a a a <->⎧∴<-⎨<⎩或,综上,a 的取值范围是{}|51a a a <-=或.18.试题解析：（1）由已知得：2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d=+⎧⎨=+⎩，解得2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ( 舍) ，所以2d =，所以3,21n n n a b n ==+. （2）由题意得,所以,当 n 为偶数时,得()1313331322n n n S n n +-=+=+--,当 n 为奇数时,得 ,所以1133,2237,22n n n n n S n n ++⎧+-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为正偶数为正奇数 . 19.试题解析：（1）依题意得100300,,840,30100,y x v w v w ==≤≤≤≤525310,22x y ∴≤≤≤≤ ①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和应在至 14个小时之间，即914x y ≤+≤ ② 因此，满足①②的点(),x y 的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）()()100352813132p x y x y =+-+-=-- ，上式表示斜率为32-的直线， 当动直线13132p x y =--通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A 时，p 值最小．由1410x y x +=⎧⎨=⎩得，即当时，最小．()()()11213nnn n n n c b a n =-+=-++ ()()()12312...3579..121333...3n n n n S c c c n -=+++=-+-+++-++++++()()1313371211322n n n S n n n +-=--++=---x y +9104x y =⎧⎨=⎩10,4x y ==p此时，的最小值为 93元．20.试题解析：（1）由条件知 ，即 ，解得 1cos 2B =或cos 3B =-（舍去）又， 3B π∴=. （2）由于. ① 又由正弦定理得， sin sin 33bc A ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又π1sin sin 5732214⎫⎛+=+=∴= ⎪⎝⎭A A A b c ， ② 由①②知，7,5b c ==，由余弦定理得，边上的中线21. （2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +最小，由（1）知，()23000x y xy =+-，由于，当且仅当x y =时，等号成立． 所以，所以，故当边长均为 100米时，所用材料长度最短为 200米．22.试题解析：（1）由题意可得 1111366,1,12S d S a d ⨯+===∴=, 25,30,v w p ==22cos 15cos 2B B -+=22cos 5cos 30B B +-=0B π<<11cos ,sin sin 35772A A S bc A bc =∴===∴=8,a BC ==AD ==22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()()()()2222300044x y x y x y xy x y ++=+-≥+-=200x y +≤,AB AC所以()1111,222n n n n S n n S n +-+=+=∴=, 所以当2n ≥时,1n n n a S S n -=-=, 当1n =时也成立，所以n a n =.。