高中数学第一章推理与证明2综合法与分析法课件北师大版选修2_2
2 a＋b2， 2
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. 2 因为 a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 所以 a ＋b ≥ (a＋b)成立． 2
2 2
[一点通] 分析法是“执果索因”， 一步步寻找结论成立 的充分条件．它是从求证的结论出发，逆着分析，由未知想 需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需 保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达 式是“要证„„，只需证„„”．
法二：∵a，b 为正数， 1 1 ∴a＋b≥2 ab＞0，a＋b≥2
1 1 ∴(a＋b)a＋b≥4，
1 ab＞0，
又 a＋b＝1， 1 1 ∴a＋b≥4.
法三：∵a，b 为正数， 1 1 a＋b a＋b ∴a＋b＝ a ＋ b b a ＝1＋a＋b＋1 ≥2＋2 ab b· a ＝ 4，
§ 2
理解教材 新知
知识点一
知识点二 考点一 考点二
第 一 章
综 合 法 与 分 析 法
把握热点 考向 应用创新 演练
考点三
§ 2
综合法与分析法
综
合
法
阅读下面的例题． 例：若实数 a，b 满足 a＋b＝2，证明：2a＋2b≥4.
证明：因为 a＋b＝2，所以 2a＋2b≥2 2a· 2b＝2 2a＋b＝2 22 ＝4， 故 2a＋2b≥4 成立．
综合法的应用
[例 1] 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，
1 1 求证：a＋b≥4. [思路点拨] 由已知条件出发， 结合基本不等式， 即可得出 结论．
[精解详析] 法一：∵a，b 为正数，且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab， 1 ∴ ab≤ ， 2 1 1 a＋b 1 ∴a＋b＝ ab ＝ab≥4.
3．求证： 3＋ 6< 4＋ 5.
证明：欲证不等式 3＋ 6< 4＋ 5成立， 只需证 3＋2 18＋6<4＋2 20＋5 成立， 即证 18< 20成立， 即＋ 5.
当且仅当 a＝b 时，取“＝”号．
[一点通]
从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由
因导果，其逐步推理，实际上是寻找每一步的必要条件，如何找 到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键．
1 1．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＋b 1 3 ＋ ＝ ，试证明 A，B，C 成等差数列． b＋c a＋b＋c
分 析 法
你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？尤其是福尔摩斯 在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论 成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一 个明显的证据．
问题 1：他的推理如何入手？
提示：从结论成立入手．
问题 2：他又是如何分析的？
提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．
问题 3：这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗？
提示：可以．
分析法
结论 出发， (1)含义： 从求证的_____ 一步一步地探索保证前一个结 充分条件 ，直到归结为这个命题的_____ 条件 ，或者归结为 论成立的_________ 定义、公理、定理 等．这种证明问题的思维方法称为分析法． _________________
[例 2] 当 a＋b>0 时，求证： 2 a ＋b ≥ (a＋b)． 2
2 2
[思路点拨] 条件和结论的联系不明确， 考虑用分析法证明， 将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式．
[精解详析] 要证 只需证( a ＋b )
2 2 2 2 2
2 a ＋b ≥ (a＋b)， 2
2 2
≥
即 ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4， 从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. 因为 f(x)＝log2(x＋2)是增函数， 所以 log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2 即 log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)． 故 f(a)＋f(c)>2f(b).
分析法的应用
2．已知函数 f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c 是两两不相等的正数，且 a，b，c 成等比数列，试判断 f(a)＋f(c)与 2f(b)的大小关系， 并证明你的结论．
解：f(a)＋f(c)>2f(b)． 证明如下：因为 a，b，c 是两两不相等的正数， 所以 a＋c>2 ac. 因为 b2＝ac，所以 ac＋2(a＋c)>b2＋4b，
1 1 3 证明：∵ ＋ ＝ ， a＋b b＋c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ∴ ＋ ＝3， a＋b b＋c c a ∴ ＋ ＝1， a＋b b＋c
∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， ∴b2＝a2＋c2－ac. 在△ABC 中，由余弦定理，得 a2＋c2－b2 ac 1 cos B＝ ＝ ＝ ， 2ac 2ac 2 ∵0° <B<180° ，∴B＝60° . ∴A＋C＝2B＝120° ， ∴A，B，C 成等差数列．
(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”． (3)模式：若用 Q 表示要证明的结论，则分析法可以用如下的 框图来表示： Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→得到一个明显成立的条件
1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通 过逐步推理寻找问题成 立的必要条件．它的证明格式为：因为 ×××，所以×××，所以××ׄ„所以×××成立． 2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐 步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的 证明格式：要证×××，只需证×××，只需证××ׄ„因为 ×××成立，所以×××成立．
问题 1：本题利用什么公式？
提示：基本不等式．
问题 2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
综合法
条件 出发，利用定义、公理、定理及运 (1)含义：从命题的_____ 演绎 推理，一步一步地接近要证明的_____ 结论 ，直到 算法则，通过_____
完成命题的证明的思维方法，称为综合法． (2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”． (3)模式：综合法可以用以下的框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q 其中 P 为条件，Q 为结论.
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高中数学 第一章 推理与证明整合课件 北师大版选修2-2
∵ PD⊥AC,PD⊥BD,AC∩BD=D,∴ PD⊥平面 ABC.
-8-
本章整合
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题 2】 求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积 比正方形的面积大. 证明:设圆和正方形的周长均为 l,则 圆的面积为 π 立, 即证 成立. 因此,如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积比正方 形的面积大.
2π 3
4π 3
+
+(4x-z2-2π)=-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]-4π+12≥0.
因为-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0, 所以-4π+12≥0, 即 4π≤12,这与基本事实 4π>12 矛盾. 故 a,b,c 中至少有一个小于零.
-10-
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专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题 1】 如图,已知两直线 l∩m=O,l⫋ α,m⫋ α,l⊈ β,m⊈ β,α∩β=a.求 证:l 与 m 中至少有一条与 β 相交.
思路分析:结论中以“至少”形式出现,直接证明较困难,可考虑用反证 法.
-11-
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知识网络
专题探究
专题四
专题二 分析法与综合法
分析法与综合法各有其特点.有些具体的证明题,用分析法或综合法都 可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种. 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据 条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的结构特点去转化 条件,得到中间结论 P.若由 Q 可以推出 P 成立,就可以证明结论成立.
2021学年高中数学第一章推理与证明1.2综合法与分析法1.2.2分析法课件北师大版选修2_2
1
2
= 0, 只需证明a=-b.因为
函数 f(x+1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称,
即 x=− − 1 与x=− 关于y 轴对称,
2
2
-
所以 − − 1 = − , 所以a=-b.
2
2
1
故 + 为偶函数.
2
题型一
题型二
题型三
题型四
证法二:要证明 +
只需证明 - +
时,不等式对任何实数 x 是否都成立?若都成立,请给出证明;若不都
成立,请求出 c 的取值范围,使不等式对任何实数 x 都成立.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:不都成立.
设 μ=x +c,则 μ≥c,
2
2 +1+
2 +
=
+1
,
2 + 1 +
1+ +1 1+
故
−
=
−
2 +
题型一
题型二
题型三
题型四
证明:∵a>b>0,
(-)2
+
(-)2
∴要证明 8 < 2 − < 8 ,
(-)2
(-)2
即证明
< ( − )2 <
.
4
4
-
-
只需证明
< − <
.
2
2
+
+
只需证明
<1<
,
北师大版高中数学选修2-2课件第一章《推理与证明》分析法
只需证明 (a b)(a b)2 0 ，
只需证明 (a b) 0且(a b)2 0 。 由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保
证上式成立。这样就证明了命题的结论。
5
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为 止，这种证明的方法叫做分析法．
x 只需证明对任意的 x1> 2 >3，有
f (x1 ) f (x2 ) (2x12 12x1 16)(2x22 12x2 16)
2 x12
2
x
2 2
(12x1
12 x2
)
2(x1 x2 )(x1 x2 ) 12(x1 x2 )
2(x1 x2 )(x1 x2 6) 0
8
x x ∵ x1> 2 >3 ∴ x1- 2 >0，且
x1+ x2 >6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数 f (x) 2x2 12x 16
在区间（3，+∞）上是增加的。
例4、如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证AF⊥SC
9
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
S
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以.AF⊥SC成立
10
用P表示已知条件,定义,定理, 公理等,用Q表示要证的结论,则 上述过程可用框图表示为:
高中数学第一章推理与证明1.2综合法与分析法课件北师大选修2_2
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练
1
已知
a,b,c
都是正数,求证:21������
+
1 2������
+
1 2������
≥
1 ������+������
+
1 ������+������
+
������+1 ������.
证明:因为√������������ ≤ ������+2������,所以√1������������ ≥ ������+2������.
“×”.
(1)综合法是由因导果的顺推证法. ( √ ) (2)分析法是执果索因的逆推证法. ( √ ) (3) 分析法的推理过程要比综合法优越. ( × ) (4)所有证明的题目均可使用分析法证明. ( × )
(5)欲证√2 − √3 < √6 − √7成立,只需证(√2 − √3)2<(√6 − √7)2 成立即可. ( × )
探究三
规范解答
(2)∵由(1)知A=60°,且A+B+C=180°, ∴B+C=120°. 又 sin B+sin C=√3, ∴sin B+sin (120°-B)=√3,
即 sin B+(sin 120°cos B-cos 120°sin B)=√3.
∴32sin B+√23cos B=√3,即 sin (B+30°)=1. ∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°. ∴B+30°=90°,即B=60°. ∴A=B=C=60°.因此△ABC为等边三角形.
【数学】1.2.2 分析法 课件(北师大版选修2-2)
特点： 执果索因 即：
要证结果Q，只需证条件P
例2、求证： 8 7 5 10 证明：要证明
8 7 5 10
只需证明
即
( 8 7 ) ( 5 10)
2
2
8 7 2 56 5 10 2 50
56 50 即 56>50，这显然成立。
只需证明
这样就证明了
(a b)(a 2 2ab b 2 ) 0 ， 只需证明
只需证明 (a b)(a b) 2 0 ， 只需证明 (a b) 0且(a b) 2 0 。 由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它 保证上式成立。这样就证明了命题的结论。
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止，这种证明的方法叫做分析法． 这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
3 7 2 5 成立。
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
3.综合法和分析法是两种互逆的思维 模式，在证明某些较复杂的问题时，常 采用分析综合法，用综合法拓展条件， 用分析法转化结论，找出已知与结论的 连结点.
1 b (a b c) 2
练习．求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5 都是正数， 所以为了证明 3 7 2 5
只需证明 ( 3 7) (2 5)
2
2
【数学】1.1.2 类比推理 课件(北师大版选修2-2)
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
3
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
6
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
单位元
a+0=a
通过例1，练习1你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
11
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出 空间中四面体性质的猜想．
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
高中数学第一章推理与证明1.2综合法与分析法1.2.2分析法课件北师大版选修2_2
2 2
(������
+
������)
2
,
即证明 a2+b2≥12 (������2 + ������2 + 2������������), 即证明a2+b2≥2ab.
∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立,∴
������2 + ������2 ≥
2 2
(������
+
������)成立.
综上所述,不等式得证.
+
������ 2������+������
恒成立.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型三 综合法与分析法的综合应用
【例 3】 已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数 f(x+1)与 f(x)的图像
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
∵ ������ ≥ ������ > 0, ∴ 只需 ������������ − 1≥0,即 cμ≥1.
∴μ≥1������ , 也就是x2+c≥1������,
(������-������)2
∴ 8������ < 2 − ������������ < 8������ .
M 目标导航 UBIAODAOHANG
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
第一章 推理与证明 综合法与分析法课件2 北师大版选修2-2课件
例3.已知数列{an}的通项 an 0(n∈N*), 它的前n项的和记为 Sn ,数列{Sn2}是首项
为3,公差为1的等差数列.
(1)求 an 与 Sn 的解析式; (2)试比较Sn与 3nan (n∈N*),的大小.
求证： a b a b ba
例3 .
已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθ cosθ= sin2β
求证:
1 1
+
tan tan
2α 2α
=
2(11-+ttaann2β 2β).
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E,
CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF
综合法和分析法
复习
1.推 理
合情推理
（或然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
演绎推理 （必然性推理）
三段论 （一般到特殊）
两种推理的作用?
合情推理为演绎推理确定了目标和方向
演绎推理为合情推理提供了前提且对猜想作出判决和证明
否定猜想? 举反例 猜想需要推理
肯定猜想? b a>0,b>0
直接证明
1.综合法
从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为 依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.
其推证过程为：
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
… Qn Q
特点：
从“已知”看“可知”，逐步推向“未知” （由因导果）
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成立的条件， 逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止.
高中数学第一章推理与证明1.2.1综合法课件北师大版选修2_2
【解析】 (1)正确.由综合法的定义可知该说法正确. (2)正确.综合法的逻辑依据是三段论. (3)正确.综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际 上是寻找它的必要条件.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
综合法的证明步骤 1.分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、 定理等. 2.转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程. 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.
[再练一题] 3.将上例条件不变，求证：1x＋1y≥4.
【证明】 法一：因为 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝1， 所以 x＋y≥2 xy，当且仅当 x＝y 时，取“＝”， 所以 xy≤12，即 xy≤14， 所以1x＋1y＝x＋xyy＝x1y≥4.
证明三角等式的主要依据 1.三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. 2.和、差、倍角的三角函数公式. 3.三角形中的三角函数及三角形内角和定理. 4.正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.
【数学】1.2.1 综合法 课件(北师大版选修2-2)
所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等 为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为 止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
b b 4ac b b 4ac b x1 x2 , 2a 2a a
2 2
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a 2 2 b (b 4ac) 4ac c 2 . 2 4a 4a a
2 2
例3：已知：x,y,z为互不相等的实数，且
所以 因此
cosB>0
B 90
小结：
综合法的定义和特点
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理 等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论 为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)
综合法的特点是：从已知看可知，逐步推向 未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要 条件。
。
f ( x) sin( 2 x
) 的一个周期。 4
例2：（韦达定理）已知 x1和 x2是一元二次方程
ax bx c 0(a 0, b 4ac 0)
2 2
的两个根。求证：
b c x1 x 2 , x1 x 2 a a
。
b b 2 4ac b b 2 4ac x , x2 ; 证明：由题意可知：1 2a 2a
2 2 2
yz x y zx x y z 1. x y zx yz
zx zx , 所以 yz
练习1、已知a>0,b>0,求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2