第三章正弦交流电
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电工技术3正弦交流电路
j 30
A
求：
i1、 2 i
rad s
解： 2 f 2 1000 6280
i1 100 i 2 10
2 sin( 6280 t 60 ) A 2 sin( 6280 t 30 ) A
小结：正弦波的四种表示法
u
波形图
U
m
T
t
瞬时值
u U m sin t
第三章 正弦交流电路
3-1 正弦交流电路的基本概念 交流电的概念 如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变 化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或
电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做： u(t) = u(t + T )
u
t
T
u
t
T
正弦交流电路 如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电的优越性：
角频率 ：每秒正弦量转过的弧度 （一个周期的弧度为2 ）
2f 2 T
(单位：rad/s)
例
已知：f=50 Hz, 求 T和
解：T=1/f=1/50=0.02s=20ms
2 f 2 3 . 14 50 314 rad / s
二、幅值和有效值 瞬时值—正弦量任意瞬间的值（用i、u、e表示）
j 1 j 2
r1 r2
e
j( 1 2 )
A /B
r1 1 r2 2
r1 r2
(1 2 )
3.讨论 （1） e
j
A
求：
i1、 2 i
rad s
解： 2 f 2 1000 6280
i1 100 i 2 10
2 sin( 6280 t 60 ) A 2 sin( 6280 t 30 ) A
小结：正弦波的四种表示法
u
波形图
U
m
T
t
瞬时值
u U m sin t
第三章 正弦交流电路
3-1 正弦交流电路的基本概念 交流电的概念 如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变 化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或
电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做： u(t) = u(t + T )
u
t
T
u
t
T
正弦交流电路 如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电的优越性：
角频率 ：每秒正弦量转过的弧度 （一个周期的弧度为2 ）
2f 2 T
(单位：rad/s)
例
已知：f=50 Hz, 求 T和
解：T=1/f=1/50=0.02s=20ms
2 f 2 3 . 14 50 314 rad / s
二、幅值和有效值 瞬时值—正弦量任意瞬间的值（用i、u、e表示）
j 1 j 2
r1 r2
e
j( 1 2 )
A /B
r1 1 r2 2
r1 r2
(1 2 )
3.讨论 （1） e
j
电工学课件--第三章 正弦交流电路
U • o I= U =U 0 ∠ R
• •
u =Um sinω t u Um i = = sinω = Im sinω t t R R
U =I R
U =I R
•
•
可见： 可见：电压与电流同相位 ui
i
u
•
IU
•
I
•
U
+−
2．功率关系
ui
i
⑴ 瞬时功率
•
u
IU
p=ui=UmImsin2ωt =UI(1-cos2ωt)
角频率ω: 单位时间里正弦量变化的角度 称为角频率。单位是弧度/秒 （rad/s）. ω=2π/T=2πf 周期，频率，角频率从不同角度描 述了正弦量变化的快慢。三者只要知 道其中之一便可以求出另外两时值， 瞬时值中最大的称为最大值。Ｉm、 Ｕ m 、Ｅ m 分别表示电流、电压和电动 势的最大值. 表示交流电的大小常用有效值的概 念。
单位是乏尔（Var） 单位是乏尔（Var）
第四节 RLC串联交流电路 串联交流电路 一.电压与电流关系
i R u L C
uR uL
u =uR +uL +uC
U =UR+UL+UC
• • • •
uC
以电流为参考相量， 以电流为参考相量， 相量图为： 相量图为：
•
UL UL+UC
φ
• • • •
•
U I
•
U
φ UR
UL-UC
UR
UC
2 可见： 可见： U = UR +(UL −UC)2
U L −UC X L − XC = arctg = arctg UR R
第3章正弦交流电.ppt
I Im 2
i可写为： i= 2 I sin(t+)
同理: u= Um sin(t+) U Um 2
u可写为： u= 2 U sin(t+)
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交流电的表示法
一、解析式表示法 二、波形图表示法 三、相量图表示法
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3.3 正弦交流电的相量表示法
相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
所以它的振幅为Um=100（V）以t=5 10-3秒代入
正弦电压的解析式，得到 u 100sin 50 5103 100sin 70.7(V) 4
例3-1-2 求图示信号的T、f和
解：由图可知， T 16S
f
1 T
1 16 106
62.5
2f 2 62.5103 1.25 105 (rad / S)
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
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3.2 正弦电压、电流的有效值
周期电流有效值：让周期电流i和直流电流I分 别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的 时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该 直流电流I的值为周期电流i的有效值。
根据有效值的定义有： I 2RT 0Ti2 Rdt
周期电流的有效值为： I
1 T
0Ti 2 dt
a bLeabharlann (12)跳转到第一页
3.3.2 正弦量的相量表示法
将复数Im∠θi乘上因子1∠ωt，其模不变， 辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速 度ω逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于 I弦 i=mIs电mins流(inω(it。ω+t可θ+i见θ)，i 复)是正数相好I互m是∠对用θ应i正与的弦正关函弦系数电，表流可示用的复正数 Im∠θi来表示正弦电流i，记为：
第三章 正弦交流电路-1
一.电阻元件
i
根据欧姆定律，线性电阻上的电压与电流
成正比关系，即 i u R
图3-10
当电压和电流均用相量表示时，欧姆定律
的相量表示式为 第（23）页
•
•
I
U
R
u
R
电阻元件
上式表明，电阻元件上电压和电流的相位相同，
如图3-11所示。
设 i 2ISint
u 2USint 图3-11
电阻元件吸收的瞬时功率为
方法二: 运用矢量运算
Y I2m B
C I3m
10 50
I1m
A
5
0 60 30
X
i1 I1m OA矢量 i2 I2m OB矢量 i3 I3m OC矢量
根据矢量图
I3m 14.6
3 50 于是i3 14.6CoS(t 50)
+j
I3m
方法三.运用复数运算:
11.16
I1m 5e j30
只要有幅值与初相位两个要素就足以表示各电压 与电流之
间的关系，因此我们约定：用式(3-1)中的复常数 Ie ji 表
示正弦电流 i 2ISint i ，并用下列记法
•
I Ie ji I i
(3-2)
上式中I• m不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它
一个专有名称——相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量，
U
的正方向如图3-13(a)所示。
u,i
(b) 0
u
i
t
i ii
i
+ -- +
p- + + 储能 放能 储能 放能
根据楞次定律得出
u
eL
第3章 正弦交流稳态电路(1.2.3.4节)
φ 'i<0。对于同一电路中的多个相关的正弦量，只能选择一个共同的计时
零点确定各自的初相位。
3.相位差
相位差描述的是两个同频率正弦量之间的相位关系。 假设两个正弦电流
分别为
i1 i2
2 I1 sin(t 1 ) 2 I 2 sin(t 2 )
其中，设φ 1>φ 2，它们的波形如下图所示。 （两电流的相位差）
由于正弦量按周期性变化360°，所以正弦量的相量是旋转相量。 正弦电流i=Imsin(ω t+φ i)在任一时刻的值，等于对应的旋转相量该时 刻在虚轴上的投影，如图3．2-2所示。
将一个正弦量表示为相量或将一个相量表示成正弦量的过程称为相 量变换。由图3．2-2可知，该相量只表示了对应正弦量的两个特征量—
—幅值和初相位。故相量只是用于表示正弦量，并不等于正弦量。
相量在复平面上的图称为相量图。相量图可以形象地表示出各个相 量的大小和相位关系。
例3．2-1： 已知电流
i1 5 2 sin(t 30o ) A, i2 10 2 sin(t 60o ) A 试画出这
两个正弦量的相量和相量图。
2 是220V，而其幅值为
³220=311V。在我国，民用电网的供电电压为
220V，日本和美国的供电电压为110V，欧洲绝大多数国家的供电电压也为 引入有效值后，正弦电流和电压的表达式也可表示为 220V 。
i I m sin(t i ) u U m sin(t u )
弦量的初相位，计时零点在右为正，即φ i>0，如图3．1-2(a)所示初相位
为正。初相位的取值范围为|φ i|≤180°。
在电路中，初相位与计时零点的选择有关。对于同一正弦量，如果其 计时零点不同，其初相位也就不同，对于图3．1-2(a)中所示的正弦量，如 果按图3．1-2(b)所示坐标建立计时零点，则正弦量 的初相为负，即
电工学课件第3章-正弦交流电路
udt L
udt
L
udt
0
i0
L
udt
0
式中 i为0 t=0时电流的初始值。如果 ＝i0 0则：
1t
i udt L0
电感元件的磁场能量
把式
u
eL
L
di dt
两边乘以 i并积分得：
t uidt
0
t 0
Lidi
1 2
Li2
因此电感元件中存储的磁场能量为：
1 2
Li2
3.3.3 电容元件
70.7 I2m
52
122.7
Im
+1
30
3.3 电阻元件、电感元件和电容元件
电阻元件：消耗电能，转换为热能（电阻性） 电感元件：产生磁场，存储磁场能（电感性） 电容元件：产生电场，存储电场能（电容性）
在直流电路中（稳态），电感元件可视为短路， 电容元件（稳态）可视为开路。
在交流电路中，电感元件和电容元件中的电流均不 为零。
i
i Im sin t 2 O
ωt
则 u和 的i 相位差为：
t 1 t 2 1 2
当 1 时，2 比 u超前i 角，比 滞u后 角i。
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。
反相:相位相反，相位差为180°。
下面图中是三个正弦电流波形。 与i1 同i2 相， 与i1 反相i3 。
p
ui
U
m
Im
sin 2
t
U
mIm 2
1
cost
UI
1 cost
p≥0，总为正值，所以电阻元件消耗电能，转换为热能。
平均功率
平均功率是一个周期内瞬时功率的平均值：
第三章 正弦交流电
第三章 正弦交流电
1、正弦交流电的特征 2、正弦交流电的相量表示法 3、电阻、电容、电感的交流电路 4、阻抗和相量模型 5、阻抗的串联的并联 6、谐振电路
第1节、正弦交流电的特征
教学目的 ： 掌握交流电的有关概念、会写出正弦 流电的有关表达式 教学重点：正确写出正 弦交流电的表达式 教学过程： 一、有关基本概念 1、认识周期电压、电流、交流电
第1节、正弦交流电的特征
6）几种相位差情况 同相 ΔΦ=Φu－Φi=0 ，表i、u同相，在变化中 ΔΦ= ，表i 某时刻，同时达到相同的值，如同时达到最大值 或最小值。
第1节、正弦交流电的特征
反相 ΔΦ=Φu－Φi=±180°，表i、u相位相反， ΔΦ= i=±180°，表i 在某时刻某一量达到最大值时，另一个量达最小 值。
5、交流电的幅值和有效值 交流电的大小可用瞬时值、有效值、最大值表示。 1）瞬时值 因交流电是随时间变化的，在不同时刻的值是不 同的，交流电在某时刻的实际值称为瞬时值。 用i、u、e表示。 2）幅值 交流电变化过程中的最大瞬时值。 用 Im、Em、Um 表示
第1节、正弦交流电的特征
3）有效值 因为瞬时值是随时间变化的，而最大值只是特定 瞬间的数值，它们都不能确切地衡量周期性量在 能量转换方面的平均效果，因此工程上定义了一 个用于衡量平均做功能力的量值，即有效值。用I 个用于衡量平均做功能力的量值，即有效值。用I、 E、U表示。 规定：在一个周期里， 一个交流电流的做功能力与 一个直流电流的做功能力相等时，这个直流电流 的数值称为交流电流的有效值。
uB=100Sin（314t－120°）（V） =100Sin（314t－120°）（V
写出它们的有效值、初相、频率、周期和相位差。
第1节、正弦交流电的特征 3、已知某正弦电流的幅值为10A，初相为π/6， 、已知某正弦电流的幅值为10A，初相为π/6， 频率为50Hz，求t=0.01S时的电流值。 频率为50Hz，求t=0.01S时的电流值。
1、正弦交流电的特征 2、正弦交流电的相量表示法 3、电阻、电容、电感的交流电路 4、阻抗和相量模型 5、阻抗的串联的并联 6、谐振电路
第1节、正弦交流电的特征
教学目的 ： 掌握交流电的有关概念、会写出正弦 流电的有关表达式 教学重点：正确写出正 弦交流电的表达式 教学过程： 一、有关基本概念 1、认识周期电压、电流、交流电
第1节、正弦交流电的特征
6）几种相位差情况 同相 ΔΦ=Φu－Φi=0 ，表i、u同相，在变化中 ΔΦ= ，表i 某时刻，同时达到相同的值，如同时达到最大值 或最小值。
第1节、正弦交流电的特征
反相 ΔΦ=Φu－Φi=±180°，表i、u相位相反， ΔΦ= i=±180°，表i 在某时刻某一量达到最大值时，另一个量达最小 值。
5、交流电的幅值和有效值 交流电的大小可用瞬时值、有效值、最大值表示。 1）瞬时值 因交流电是随时间变化的，在不同时刻的值是不 同的，交流电在某时刻的实际值称为瞬时值。 用i、u、e表示。 2）幅值 交流电变化过程中的最大瞬时值。 用 Im、Em、Um 表示
第1节、正弦交流电的特征
3）有效值 因为瞬时值是随时间变化的，而最大值只是特定 瞬间的数值，它们都不能确切地衡量周期性量在 能量转换方面的平均效果，因此工程上定义了一 个用于衡量平均做功能力的量值，即有效值。用I 个用于衡量平均做功能力的量值，即有效值。用I、 E、U表示。 规定：在一个周期里， 一个交流电流的做功能力与 一个直流电流的做功能力相等时，这个直流电流 的数值称为交流电流的有效值。
uB=100Sin（314t－120°）（V） =100Sin（314t－120°）（V
写出它们的有效值、初相、频率、周期和相位差。
第1节、正弦交流电的特征 3、已知某正弦电流的幅值为10A，初相为π/6， 、已知某正弦电流的幅值为10A，初相为π/6， 频率为50Hz，求t=0.01S时的电流值。 频率为50Hz，求t=0.01S时的电流值。
正弦交流电路课件
θ
+1
22
j
ω
u
+1
Um
wt
ωt + u
u
有向线段与横轴的夹角为 ( w t + u ) 有向线段在纵轴上的投影为Um Sin ( w t + u ) 旋转的有向线段在纵轴上的投影是正弦电量： u = Um Sin ( w t + u )
23
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有
Ub
u1 40 2 sin w t 60 o U2 u2 30 2 sin w t - 30 o
b
U1
Ua U2
60 o a 30 o 23o
ua = u1 + u2
ua 50 2 sin w t 23 o Ub = U1 - U2 = 5097o ub 50 2 sin w t 97 o
wt
Um
u
u U m sin(wt )
有效值:
与交流热效应相等的直流 定义为交流电的有效值
10
热效应相当
有 效 值 概 念
T
0
i R dt I RT
2
2
交流
直流 （方均根值）
1 T 2 I i dt T 0
可得,
当
i I m sin w t 时，
Im I 2
用符号:
I
U
E
表示。
包含幅度与相位信息。
26
例1
有效值
i1 = 8 2 sin (w t + 60 i2 = 6 2 sin (w t -
) 30 o )
o
I1
初相位
60 o 30 o
+1
22
j
ω
u
+1
Um
wt
ωt + u
u
有向线段与横轴的夹角为 ( w t + u ) 有向线段在纵轴上的投影为Um Sin ( w t + u ) 旋转的有向线段在纵轴上的投影是正弦电量： u = Um Sin ( w t + u )
23
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有
Ub
u1 40 2 sin w t 60 o U2 u2 30 2 sin w t - 30 o
b
U1
Ua U2
60 o a 30 o 23o
ua = u1 + u2
ua 50 2 sin w t 23 o Ub = U1 - U2 = 5097o ub 50 2 sin w t 97 o
wt
Um
u
u U m sin(wt )
有效值:
与交流热效应相等的直流 定义为交流电的有效值
10
热效应相当
有 效 值 概 念
T
0
i R dt I RT
2
2
交流
直流 （方均根值）
1 T 2 I i dt T 0
可得,
当
i I m sin w t 时，
Im I 2
用符号:
I
U
E
表示。
包含幅度与相位信息。
26
例1
有效值
i1 = 8 2 sin (w t + 60 i2 = 6 2 sin (w t -
) 30 o )
o
I1
初相位
60 o 30 o
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2. 复数的四种形式 (1)复数的代数形式 (2) 复数的三角形式 (3) 复数的指数形式 (4) 复数的极坐标形式
A = a + jb
A = r cosθ + jr sin θ
A = re
jθ
A = r∠θ
例 3.5
写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。 解 A1的模 解 辐角
第3章 正弦交流电路 章
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 单一参数电路元件的交流电路 3.4 克希荷夫定律的相量形式 3.5 RCL无源二端网络电路分析 无源二端网络电路分析 3.6 正弦交流电网络的分析 3.7 正弦交流电路的功率与功率因数的提高
重要性和难点
重要性： 应用场合和范围。 难点： 1.正弦交流电中，增加了理想化元 件RCL，是电路更复杂。 2.由于正弦交流电电压和电流是时 间的函数，进行分析计算时，要具备 较高的数理基础。
+j a2 O a A
θ
a1 +1
3.2.1 复数及四则运算（一） 复数及四则运算（
1.复数 复数
A = a + jb
r= A = a 2 + b2 (θ ≤ 2π ) b θ = arctan a
＋j b P
r
θ
O a ＋1
a = r cos θ b = r sin θ
3.2.1 复数及四则运算（二） 复数及四则运算（
例
一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试 求它的解析式。
解 因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压的解析式为
u = 100 2 sin(ωt + 60°)V
3.1.3 相位、初相和相位差 相位、
相位： 相位：正弦量表达式中的角度 初相： 时的相位 初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差， 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。 值等于它们的初相之差。如
振幅 角频率 相位 初相位: 简称初相 初相位 简称初相 振幅、角频率和初相位称为正弦量的的三要素。 振幅、角频率和初相位称为正弦量的的三要素。 称为正弦量的的三要素
i Im
波形
θi O
θ 若零点在坐标原点左侧， i >0 θ 若零点在坐标原点右侧， i <0
ωt
3.1.1 周期频率与角频率
周期T 周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间 频率f 频率f：正弦量在单位时间内变化的次数 周期与频率的关系： 周期与频率的关系：
A 设1 = a1 + jb1 = r1 θ1 A2 = a2 + jb2 = r2 θ 2
O A1 ＋1 ＋j A1＋A2
A2 A1－A2
则 A1 ± A2 = (a1 ± a2 ) + j (b1 ± b2 )
图4.9 复数相加减矢量图
3.2.1 复数及四则运算（四） 复数及四则运算（
(2) 复数的乘除法
r1 = 42 + ( −3) 2 = 5
−3 θ1 = arctan = −36.9° 4
（在第四象限）
则A1的极坐标形式为 A1=5 -36.9° 2 2 A2的模 r2 = ( −3) + 4 = 5 辐角
−4 θ 2 = arctan = 126.9° 3
(在第二象限)
则A2的极坐标形式为
A2 = 5 / 126.9°
例 3.6
写出复数A=100 30°的三角形式和代数形式。 解 ： 三角形式A=100（cos30°+jsin30°） 代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50
3.2.1 复数及四则运算（三） 复数及四则运算（
3. 复数的四则运算 (1) 复数的加减法
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
+j Im O
ω θi
+1
i
Im
θi O
ωt
(a) 以角速度ω旋转的复数
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
正弦量
相量
i = I m sin(ωt + θ i ) = 2 I sin(ωt + θ i )
Im I= = 0.707 I m 2 Um U= = 0.707U m 2 U m = 220 2 = 311V
例
电容器的耐压值为 250V, 问能否用在220V 的单相交流电源上？
解： 因为 220V的单相交流电源为正弦电压, 其振幅值 为311 V, 大于其耐压值250V,电容可能被击穿, 所以不 能接在220 V的单相电源上。各种电器件和电气设备的 绝缘水平（耐压值）, 要按最大值考虑。
1 f = T
角频率ω 角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数 角频率与周期及频率的关系： 角频率与周期及频率的关系： 2π ω= = 2πf T
3.1.2 振幅与有效值
瞬时值： 瞬时值：正弦量任一瞬间的值 振幅： 振幅： 正弦量的最大值 有效值：让周期电流i和直流电流 有效值：让周期电流 和直流电流 分别通过两 和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R， 如果在相同的时间T内 个阻值相等的电阻 ， 如果在相同的时间 内 两个电阻消耗的能量相等， ，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流 I的值为周期电流 的有效值。 的值为周期电流i的有效值 的值为周期电流 的有效值。 注意：有效值电量必须大写， 注意：有效值电量必须大写，如：U、I 、
u = U m sin(ωt + θ u )
相位差为： 相位差为：
i = I m sin(ωt + θ i )
ϕ = (ωt + θ u ) − (ωt + θ i ) = θ u − θ i
由于正弦交流电具有周期性， 由于正弦交流电具有周期性，故要求 −180 ≤ ϕ ≤1，u 与 i 同相。 ϕ > 0 ，u 超前 i，或 i 滞后 u。 ϕ = ±π ，u 与 i 反相。 π ϕ = ± ，u 与 i 正交。
2
u、i u i i
u、 i
u
O (a) u、 i u 与 i 同相 u i
ωt
O (b) u、i u i u 超前 i
ωt
O (c) u 与 i 反相
ωt
O (d) u 与 i 正交
ωt
两种正弦信号的相位关系
同 相 位
i2
ϕ2 ϕ1
i1
i2
ϕ1 = ϕ2 t i 与 i 同相位 2 1
∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 > 0
& = I e jθ i = I ∠θ Im m m i
并称其为相量。 并称其为相量。
旋转矢量；
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 在纵轴上的投影值来表示。 在纵轴上的投影值来表示。
u = U m sin(ω t + ϕ )
ω
ϕ
Um
ωt
ϕ
矢量长度 =
3.1 正弦交流电的基本概念
随时间按正弦规律变化的电压、 随时间按正弦规律变化的电压、电流 称为正弦电压和正弦电流。表达式为： 称为正弦电压和正弦电流。表达式为：
u = U m sin(ωt + θ u )
i = I m sin(ωt + θ i )
以正弦电流为例
i = I m sin(ωt + θ i )
Q = I RT
2
Q = ∫ i R dt
2 0
T
I RT = ∫ i 2 R dt
2 0
T
1 T 2 I= ∫0 i dt T 1 T 2 U= ∫0 u dt T
正弦量的有效值
1 I= T
∫
T
0
I sin ωtdt =
2 m 2
2 Im T
∫
T
0
1 − cos 2ωt dt 2
2 2 T Im T Im = ( ∫ dt − ∫ cos 2ωtdt ) = (T − 0) 0 0 2T 2T
(2) I=-5sin(314t+30°) =5sin(314t+30°+180°) =5sin(314t+210°)A 所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相 θi=210°。
例 3.2（一） （
已知选定参考方向下正弦量的波形图 如下图所示, 试写出正弦量的解析式。 解：
有效值
1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的 数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。 2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所 产生的热量和直流I通过同一电阻R在相同时间 内所产生的热量相等，则这个直流电流I的数 值叫做交流I的有效值
有效值
一个周期内直流电通过电 阻R所产生的热量为： 交流电通过同样的电阻R， 在一个周期内所产生热量： 根据定义，这两个电流所 产生的热量应相等，即
ϕui = θ u − θ i = −125° − 45° = −170° 表明电压u滞后于电流i 170°。
例 3.4
i i1 π 2 0 i i2 π 3π 2 i2 2π i1
ωt
0
π 2
π
3π 2
2π
ωt
θ1＝θ2
(a)
(b)
i i1
i i2
i1
i2
0
π 2
π
3π 2π 2
ωt
0
π 2
π
3π 2
2π
ωt
3π 4
(c)
(d)
图4.6 例 4.5 图
解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明 i1滞后于i2 90°。 (b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。 (c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。
A = a + jb
A = r cosθ + jr sin θ
A = re
jθ
A = r∠θ
例 3.5
写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。 解 A1的模 解 辐角
第3章 正弦交流电路 章
3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 单一参数电路元件的交流电路 3.4 克希荷夫定律的相量形式 3.5 RCL无源二端网络电路分析 无源二端网络电路分析 3.6 正弦交流电网络的分析 3.7 正弦交流电路的功率与功率因数的提高
重要性和难点
重要性： 应用场合和范围。 难点： 1.正弦交流电中，增加了理想化元 件RCL，是电路更复杂。 2.由于正弦交流电电压和电流是时 间的函数，进行分析计算时，要具备 较高的数理基础。
+j a2 O a A
θ
a1 +1
3.2.1 复数及四则运算（一） 复数及四则运算（
1.复数 复数
A = a + jb
r= A = a 2 + b2 (θ ≤ 2π ) b θ = arctan a
＋j b P
r
θ
O a ＋1
a = r cos θ b = r sin θ
3.2.1 复数及四则运算（二） 复数及四则运算（
例
一正弦电压的初相为60°, 有效值为100V, 试 求它的解析式。
解 因为U=100V, 所以其最大值为 100 2V 则电压的解析式为
u = 100 2 sin(ωt + 60°)V
3.1.3 相位、初相和相位差 相位、
相位： 相位：正弦量表达式中的角度 初相： 时的相位 初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差， 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。 值等于它们的初相之差。如
振幅 角频率 相位 初相位: 简称初相 初相位 简称初相 振幅、角频率和初相位称为正弦量的的三要素。 振幅、角频率和初相位称为正弦量的的三要素。 称为正弦量的的三要素
i Im
波形
θi O
θ 若零点在坐标原点左侧， i >0 θ 若零点在坐标原点右侧， i <0
ωt
3.1.1 周期频率与角频率
周期T 周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间 频率f 频率f：正弦量在单位时间内变化的次数 周期与频率的关系： 周期与频率的关系：
A 设1 = a1 + jb1 = r1 θ1 A2 = a2 + jb2 = r2 θ 2
O A1 ＋1 ＋j A1＋A2
A2 A1－A2
则 A1 ± A2 = (a1 ± a2 ) + j (b1 ± b2 )
图4.9 复数相加减矢量图
3.2.1 复数及四则运算（四） 复数及四则运算（
(2) 复数的乘除法
r1 = 42 + ( −3) 2 = 5
−3 θ1 = arctan = −36.9° 4
（在第四象限）
则A1的极坐标形式为 A1=5 -36.9° 2 2 A2的模 r2 = ( −3) + 4 = 5 辐角
−4 θ 2 = arctan = 126.9° 3
(在第二象限)
则A2的极坐标形式为
A2 = 5 / 126.9°
例 3.6
写出复数A=100 30°的三角形式和代数形式。 解 ： 三角形式A=100（cos30°+jsin30°） 代数形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50
3.2.1 复数及四则运算（三） 复数及四则运算（
3. 复数的四则运算 (1) 复数的加减法
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
+j Im O
ω θi
+1
i
Im
θi O
ωt
(a) 以角速度ω旋转的复数
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
正弦量
相量
i = I m sin(ωt + θ i ) = 2 I sin(ωt + θ i )
Im I= = 0.707 I m 2 Um U= = 0.707U m 2 U m = 220 2 = 311V
例
电容器的耐压值为 250V, 问能否用在220V 的单相交流电源上？
解： 因为 220V的单相交流电源为正弦电压, 其振幅值 为311 V, 大于其耐压值250V,电容可能被击穿, 所以不 能接在220 V的单相电源上。各种电器件和电气设备的 绝缘水平（耐压值）, 要按最大值考虑。
1 f = T
角频率ω 角频率ω：正弦量单位时间内变化的弧度数 角频率与周期及频率的关系： 角频率与周期及频率的关系： 2π ω= = 2πf T
3.1.2 振幅与有效值
瞬时值： 瞬时值：正弦量任一瞬间的值 振幅： 振幅： 正弦量的最大值 有效值：让周期电流i和直流电流 有效值：让周期电流 和直流电流 分别通过两 和直流电流I分别通过两 个阻值相等的电阻R， 如果在相同的时间T内 个阻值相等的电阻 ， 如果在相同的时间 内 两个电阻消耗的能量相等， ，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流 I的值为周期电流 的有效值。 的值为周期电流i的有效值 的值为周期电流 的有效值。 注意：有效值电量必须大写， 注意：有效值电量必须大写，如：U、I 、
u = U m sin(ωt + θ u )
相位差为： 相位差为：
i = I m sin(ωt + θ i )
ϕ = (ωt + θ u ) − (ωt + θ i ) = θ u − θ i
由于正弦交流电具有周期性， 由于正弦交流电具有周期性，故要求 −180 ≤ ϕ ≤1，u 与 i 同相。 ϕ > 0 ，u 超前 i，或 i 滞后 u。 ϕ = ±π ，u 与 i 反相。 π ϕ = ± ，u 与 i 正交。
2
u、i u i i
u、 i
u
O (a) u、 i u 与 i 同相 u i
ωt
O (b) u、i u i u 超前 i
ωt
O (c) u 与 i 反相
ωt
O (d) u 与 i 正交
ωt
两种正弦信号的相位关系
同 相 位
i2
ϕ2 ϕ1
i1
i2
ϕ1 = ϕ2 t i 与 i 同相位 2 1
∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 > 0
& = I e jθ i = I ∠θ Im m m i
并称其为相量。 并称其为相量。
旋转矢量；
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 在纵轴上的投影值来表示。 在纵轴上的投影值来表示。
u = U m sin(ω t + ϕ )
ω
ϕ
Um
ωt
ϕ
矢量长度 =
3.1 正弦交流电的基本概念
随时间按正弦规律变化的电压、 随时间按正弦规律变化的电压、电流 称为正弦电压和正弦电流。表达式为： 称为正弦电压和正弦电流。表达式为：
u = U m sin(ωt + θ u )
i = I m sin(ωt + θ i )
以正弦电流为例
i = I m sin(ωt + θ i )
Q = I RT
2
Q = ∫ i R dt
2 0
T
I RT = ∫ i 2 R dt
2 0
T
1 T 2 I= ∫0 i dt T 1 T 2 U= ∫0 u dt T
正弦量的有效值
1 I= T
∫
T
0
I sin ωtdt =
2 m 2
2 Im T
∫
T
0
1 − cos 2ωt dt 2
2 2 T Im T Im = ( ∫ dt − ∫ cos 2ωtdt ) = (T − 0) 0 0 2T 2T
(2) I=-5sin(314t+30°) =5sin(314t+30°+180°) =5sin(314t+210°)A 所以电流的振幅值Im=5A, 角频率ω=314rad/s, 初相 θi=210°。
例 3.2（一） （
已知选定参考方向下正弦量的波形图 如下图所示, 试写出正弦量的解析式。 解：
有效值
1、测量交流电压，交流电流的仪表所指示的 数字，电气设备铭牌上的额定值都指的有效值。 2、定义交流电流I通过电阻R在一个周期内所 产生的热量和直流I通过同一电阻R在相同时间 内所产生的热量相等，则这个直流电流I的数 值叫做交流I的有效值
有效值
一个周期内直流电通过电 阻R所产生的热量为： 交流电通过同样的电阻R， 在一个周期内所产生热量： 根据定义，这两个电流所 产生的热量应相等，即
ϕui = θ u − θ i = −125° − 45° = −170° 表明电压u滞后于电流i 170°。
例 3.4
i i1 π 2 0 i i2 π 3π 2 i2 2π i1
ωt
0
π 2
π
3π 2
2π
ωt
θ1＝θ2
(a)
(b)
i i1
i i2
i1
i2
0
π 2
π
3π 2π 2
ωt
0
π 2
π
3π 2
2π
ωt
3π 4
(c)
(d)
图4.6 例 4.5 图
解 (a) 由图知θ1=0, θ2=90°, φ12=θ1-θ2=-90°, 表明 i1滞后于i2 90°。 (b) 由图知θ1=θ2, φ12=θ1-θ2=0, 表明二者同相。 (c) 由图知θ1-θ2=π, 表明二者反相。