微积分练习题二

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微积分复习题集带参考答案(二)

微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

微积分下册练习题(配套于李庶民主编的《简明微积分》(下册))

（4） � ��2 − �� 2 �� = __________________
0
2、求下列函数在给定点处的导数或者导数值。
0 �� 0 �� 0 �� 0
(−1)��
��
�� （5） � 2 sin �� _____________________ （6） � 4 __________________________ 2 �� + 2 1 1 （7） � (−1)�� _______________________ （8） � �� _________________________ �� 3 +1
(−1)�� (−1)�� （1） � ________________________ （2） � __________________________ ��2 �� （3） �
��=1 ��=1 ��=1 ��=0 ��=1
1 +∞
（4）�� = � （1） � �
1 +∞
3、判断下列反常积分的敛散性。 1 ��_____________ �� 2

《微积分II》(第一层次)第二学期期中练习题

《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题一1. 求直线11212x y z -+==绕z 轴旋转一周的曲面的方程 .2. 求曲线22222z x yx y x⎧=+⎪⎨+=⎪⎩在点 ( 1 , -1 , 2 ) 处的切线方程 .3. 设由(,)0F y x z -= 确定(2)(,),z z x y F C=∈，求2z x y∂∂∂ .4. 求函数sin()x u x e y z =+-在点( 1 , 1 , 1 ) 处沿(1,2,2)l =-的方向导数 . 5. 已知2u xy z =-，求u 在点(9,12,10)M -梯度()grad u M . 6. 求曲面22z x y =+的切平面，使其通过直线11112x y z -+== .7. 证明曲面3(0)xyz a a =>上任何一点处的切平面与坐标面所围成的四面体的体积等于一个常数 .8. 求函数22233z x xy y x y =++-++的极值 .9. 设∑为由22,2z x y z =+=所围曲面，求∑的内接长方体体积的最大值 . 10. 求sin(),:,0,02Dy x dxdy D x y x y π-+===⎰⎰所围区域 .11. 求222222(),:2,4.Dx y dxdy D x y x x y x ++≥+≤⎰⎰12. 计算Dxd σ⎰⎰，其中D 为第一象限内221x y +=与x 轴，y 轴所围的闭区域 .13. 计算三重积分222222x y z dxdydz abcΩ--⎰⎰⎰(1-)，其中Ω为椭球体：2222221x y z abc++≤.14. 求曲环面：(cos )cos ,(cos )sin ,sin (0)x b a y b a z a a b ψϕψϕψ=+=+=<≤所界的物体体积 .15. 计算222()Cx y z dS ++⎰，其中C 为螺旋线：cos ,sin ,(02)x a t y a t z bt t π===≤≤的部分 .16. 计算曲线积分[()][()]x xAmBy e my dx y e m dy ϕϕ'-+-⎰，式中()y ϕ与()y ϕ'为连续函数，Am B 为连接点1122(,)(,)A x y B x y 和的任意逐段光滑曲线，但与线段A B 围成的面积为A 的平面区域D Am B =.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题二1. 求以2222x y y z ⎧+=⎨=⎩为准线，以(2,0,0)为顶点的锥面的直角坐标方程.2. 设由(,)0x z F y y =确定(1)(,),z z x y F C =∈，求 x z z y x y∂∂+∂∂ 3. 求函数23u xy z =在点( 1 , 2, -1 ) 处沿22l i j k =-+的方向导数 .4. 求椭球面2222321x y z ++=上某点处的切平面π的方程，使平面π过已知直线6321:212x y z L ---==-. 5. 求椭球面2222221x y z abc++=的切平面（,,0x y z ≥），使其与三个坐标平面所围的立体的体积最小，并求最小值.6. 求曲面21z xy -=上到原点最近的点.7. 求22,:2.Ddxdy D x y y +≤⎰⎰8. 设函数()f x 连续，满足()2Df t f dxdy =+⎰⎰，这里D 为222x y t +≤，求()f x .9. 求 401limsin()t txt dx xy dy t→+⎰⎰ .10. 计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω是球体222x y z z ++≤.11. 计算曲线积分. 1. 222zdl x yΓ+⎰，其中Γ的参数方程是：3cos ,3sin ,3(02)x t y t z t t π===≤≤.2.(e +)(e cos 7)xxsiny 8y dx y x dy Γ+-⎰,其中Γ为由点(2,0)A 沿22(4)9x y -+=到点(6,0)B 的一段 .12. 计算曲面积分（2×10分=20分）.1. 求222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为2222(12)x y z z z ++=≤≤ .2. 设∑为上半球面z =的上侧，计算3326zx dydz zy dzdx z dxdy ∑++⎰⎰.《微积分II 》（第一层次）第二学期期中练习题三1. 求直线11:111x y z L --==-在平面π：210x y z -+-=上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.2. 函数),(y x f z =由方程04)(2222=++-+z y x z y x 确定，求z 在点)1,2,2(-P 处的全微分dz .3. 设函数),(y x z z =由方程0),(=++xz y yz x F 所确定，其中F 可微，计算并化简yz yxz x ∂∂+∂∂.4. 求函数y xy y x z --+=232的极值.5. 已知 2222332u x y z x y =+++-，求u 在点(1,1,2)M 的梯度()gradu M .6. 求函数2a r c t a n (2)u x y z =++在点(0,1,0)A 处沿空间曲线22230240x y z x x y ⎧++-=⎨--=⎩在(2,0,B 的切向量的方向导数.7. 试求一平面π,使它通过空间曲线23(1)y xz y ⎧=Γ⎨=-⎩：在1y =处的切线,且与曲面22:4x y z ∑+=相切.8. 设常数0a >，平面π通过点(4,5,3)M a a a -，且在三个坐标轴上的截距相等. 在平面π位于第一卦限部分求一点000(,,)P x y z ，使得函数(,,)u x y z =在P 点处取最小值.9. 已知曲面Σ2=，设0000(,,)P x y z 为曲面Σ上的一点.1. 求曲面Σ在点0000(,,)P x y z 的切平面方程；2. 求该切平面在各个坐标轴上的截距之和.（10分） 10. 计算二重积分 1arcsin 3arcsin sin yydy xdx π-⎰⎰.11. 计算二重积分(,)Df x y d x d y ⎰⎰其中0,12,(,)0,y x x f x y ≤≤≤≤=⎩其他，而积分区域{(,)2,02}D x y y x =≤≤≤≤12. 计算 Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线 2y x =及直线2y x =-所围成的区域.13.计算三重积分 2Vz dxdydz ⎰⎰⎰，其中V 是椭球体2222221x y z abc++≤. （10分）14. 计算 22()Cx y ds +⎰，其中C 为曲线 (cos sin ),(sin cos ),(02)x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤.15. 判断曲线积分2222Cx y x y dx dy x yx y-++++⎰是否与路径无关？当C 为曲线2cos ,sin (02)x t y t t π==≤≤，并且沿t 增加的方向时，计算该曲线积分.（10分）16. 计算曲面积分 222()x y z dS ∑++⎰⎰，其中Σ为曲面2222x y z a ++=.。

微积分练习

一、填空题（每空1分，共15分）1. 通过x 轴且过点(4, -3, -1)的平面方程是 .2. 设函数22),(y x y x y x f -=-+，则),(y x f ＝，),(y x df ＝ .3.=+→222)0,0(),(limyx xyy x ,=+→22)0,0(),(limyx xy y x .4.σd D⎰⎰1= , 其中}.10|),{(22≤+≤=y x y x D σd y x D⎰⎰+)(= , 其中}.21,30|),{(≤≤≤≤=y x y x D5. 几何级数,0,0,11≠≠∑∞=-q a aqn n ，当|q| 时，级数收敛，且收敛时其和为；当|q| 时，级数发散.6. 级数∑∞=+112n n n 的敛散性是 .7. 方程0'=+yy x 的通解为；满足初始条件4)3(=y 的特解为 . 8. 方程xxec ec y 321+=-是二阶常系数齐次线性微分方程的通解.9. n 阶微分方程的通解中含个任意常数. 二、判断题（每小题2分，共10分）1. 若函数),(y x f 在有界区域D 上连续，σ为D 面积，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使得.),(),(σηξσ⎰⎰=Df d y x f ( )2. 若二元函数),(y x f 在区域D 上的二个偏导数),('y x f x , ),('y x f y 都存在，则),(y x f在该区域D 上可微. ( )3. 若级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n nv都发散，则∑∞=+1)(n n n v u 必发散. ( )4. 若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，),2,,1( =n v n 为有界数列，则n n n v u ∑∞=1收敛 . ( ) 5. 方程222'x xe xy y -=+的通解是2)(2xe C x y -+=，C 为任意常数.( )三、计算题（每小题5分，共45分） 1. 设xy z arctan=, 求dz.2. 计算由曲面0,0,1,0,1===+=++=y x y x z y x z 所围成的立体的体积.3. 设函数xyzeu =，求.3zy x u ∂∂∂∂ 4 . 设,,sin ,cos xe v x u v u z ===, 求dz.5. 求由方程2sin xy xey y=+所确定的隐函数y=f(x)的导数.6. 计算σ⎰⎰Dxyd , 其中D 是圆环4122≤+≤y x 在第一象限的部分.7. 解方程yxxy dxdy 22=-.8. 求方程x y y +='''满足初始条件0)0(',0)0(==y y 的特解.9. 求方程22'2''x y y y =+-的通解.四、(10分) 讨论级数∑∞=+-1)1()1(n nn n 的敛散性, 若收敛, 是条件收敛还是绝对收敛.五、(10分) 设某产品的生产函数5.03.0LKQ =为, 其中Q 为产量, K 为资金, L 为劳动, 且K 与L 受条件限制6K+2L=384. 求资金与劳动各投入多少时, 可使产出Q 最大? 六、证明题（每小题5分，共45分） 1.dx y x f dy y y⎰⎰+-1112),(=dy y x f dx x⎰⎰-11102),(+.),(1121dy y x f dx x ⎰⎰-2. .02sinlim 2=∞→nn n π答案一、1. y-3z=0; 2. xy , ydx+xdy; 3. 0, 不存在; 4. π, 9; 5. <1,qa -1, 1≥; 6. 发散;7. C y x =+22, 2522=+y x ; 8. 03'2''=--y y y ; 9. n. 二、错; 错; 错; 对; 对.三、1. dy yx x dx yx y dz 2222+++-=; 2.65;3. )13(222++xyz z y x exyz; 4. xx x e x e x e sin sin cos cos ⋅-⋅;5.xyxey e y dxdy yy2cos 2-+-=; 6.815; 7. Cx x y +=32;8. 122---=x xe y x; 9. xe x C x C x y )sin cos ()1(21212+++=.四、条件收敛. 五、K=24, L=120.微积分试题一、填空：（10分，每空1分）1．函数z y =的定义域为。

微积分B2练习2+答案

练习卷一、选择题1、微分方程(ln )0y y dx xdy -+=的类型是( )．A ．可分离变量方程B ．一阶线性齐次方程C ．一阶线性非齐次方程D ．齐次方程 2、方程222240x y z -+=表示的曲面是（）． A ．单叶双曲面B ．双叶双曲面C ．椭圆抛物面D ．锥面3、函数z =sin(x 2+y )在点(0,0)处（）．A ．无定义B ．无极限C ．有极限，但不连续D ．连续 4、函数2222z x y x y =+-在点(1,1)处的全微分 (1,1)dz 等于（）． A . 0 B . dx dy + C . 22dx dy + D . 22dx dy - 5、更换积分次序12201(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰等于（）． A ．120(,)yy dy f x y dx -⎰⎰B ．220(,)yydy f x y dx -⎰⎰C ．12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰D ．1201(,)ydy f x y dx -⎰⎰6、设曲线L为下半圆y =22()Lx y ds +⎰＝（）．A ．0B ．2πC ．π-D ．π 二、填空题1、在xOy 面内过原点，且与直线215321x y z -+-==-垂直的直线方程为． 2、设函数(,,)()z u x y z xy =，则点(1,2,1)处的u u u xyz∂∂∂++=∂∂∂ ． 3、曲面163222=++z y x 在点)3,2,1(--处的切平面方程是． 4、22222(,arctan )x y xyf x y dxdy x+≤+⎰⎰化为极坐标下的二次积分为．5、设f 可微，L 是光滑有向闭曲线取正向，则22()()Lf x y xdx ydy ++=⎰ ．6、判别级数∑∞=⋅1!2n nnnn 的敛散性．三、解答题1、求微分方程2(23)0y dx xy dy -+=的通解．2、设方程2223x y z xyz ++=确定了隐函数(,)z z x y =，求,z z x y∂∂∂∂．3、求函数22(,)(2)=++x f x y e x y y 的极值．4、求二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 由曲线2y x =与直线y x =所围成．5、求曲线积分43224(4)(65)Lx xy dx x y y dy ++-⎰，其中L 为35(1)sin12x ye e π-+-=上由点(2,1)A --至点(3,0)B 的一段弧．6、验证2sin 2sin33cos3cos 2x ydx y xdy -在整个xOy 平面内是某一函数u (x , y )的全微分，并求这样的一个函数u (x , y )．7、求幂级数∑∞=-12)1(n nnx 的收敛域．8、设函数f (t )在[0,)+∞上连续，且满足方程：222299()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰，又f (0)=1，求f (t )．、选择题：1、A ；2、D ；3、D ；4、A ；5、A ；6、D ．、填空题：1、230x y z==； 2、32ln 2+； 3、323160+-+=x y z ；4、2cos 2202(,)d f r rdr πθπθθ-⎰⎰； 5、0； 6、收敛．、解答题：1、解：将方程化为223dx x dy y y-=，方程是一阶非齐次线性微分方程，其中223(),()P y x Q y y y=-=，根据其通解公式有： 2223()dydy yy x ee dy C y---⎰⎰=+⎰2ln 2ln 23()y y e e dy C y -=+⎰=243()y dy C y =+⎰231()y C y=-+1Cy y =-． 2、解：两边分别对x , y 求偏导数，由2233z z x zyz xy x x ∂∂+=+∂∂，得3223z yz xx z xy∂-=∂-，由2233z z y zxz xy y y ∂∂+=+∂∂，得3223z xz y y z xy∂-=∂-． 3、解：由方程组得222(2241)0(22)0x x xyf e x y y f e y ⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩得驻点1(,1)2-，又由1(,1)202xx f e -=>，1(,1)0,2xy f -=1(,1)22yy f e -=，所以2240xx yy xy f f f e ⋅-=>，由判断极值的充分条件知，在点1(,1)2-处函数取得极小值，1(,1)22ef -=-．4、解：用区域D 的草图，边界2,y x y x ==与的交点(0,0),(1,1), 由2{(,)|,01}D x y x y x x =≤≤≤≤，22111222222400011[]()22xx x x Dx ydxdy x dx ydy x dx y x x x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰146571001111121()[]225723535x x dx x x =-=-=⋅=⎰． 5、解：432244,65,P x xy Q x y y =+=-212,P Qxy y x∂∂==∂∂ 曲线积分与路径无关，选取A(-2,-1)到C(3,-1)到B(3,0)，43224(4)(65)Lx xy dx x y y dy ++-⎰342421(4)(545)x x dx y y dy --=-+-⎰⎰52335021154[2][]6253x x y y --=-+-=． 6、解：在整个xOy 平面内，2sin 2sin3,3cos3cos 2,P x y Q y x ==-具有一阶连续偏导数，且6sin 2cos3,Q Px y x y∂∂==∂∂ 故所给表达式为某一函数u (x , y )的全微分，取(x 0,y 0)=(0,0)，则有(,)(0,0)(,)2sin 2sin33cos3cos20(3cos3cos2)x y xyu x y x ydx y xdy dx y x dy =-=+-⎰⎰⎰0[s i n 3c o s 2]c o s 2si n 3yy x x y =-=-． 7、解：令t =x -1, 级数变为∑∞=12n n n nt ．21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2．当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n, 收敛．因此级数∑∞=12n nnnt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3)．8、解：222339900011()()2()33t t t t f t e d f d e f d πππθρρρπρρρ=+=+⎰⎰⎰，2299()1823()31818()t t f t te f t t te tf t ππππππ'=+⋅⋅=+，即 29()18()18t f t tf t te πππ'-=为一阶线性非齐次微分方程，222218189999()[18][18]tdttdtt t t t f t e te e dt C e te e dt C ππππππππ--⎰⎰=⋅+=⋅+⎰⎰22992[18](9)t t e tdt C e t C ππππ=+=+⎰，而由f (0)=1，得C =1，所以292()(91)t f t e t ππ=+．。

微积分II(甲)多元函数积分学练习

微积分II （甲）多元函数积分学练习题一、二重积分１.计算二重积分22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域．２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.４．计算二重积分2,{(,)1,02}Dy xd D x y x y σ-=≤≤≤⎰⎰５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{}22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．二、三重积分 11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )，求Ω的质量m ．三、曲线积分19．计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。

2019版 2微积分练习题(下) 第二章答案

dx f (x, y)dy
1
1
x
13
33
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
1
1
3
y
1y
12
练习题 7
班级
学号
姓名
1. 把下列二重积分化为累次积分.
(1) f (x, y)d ，其中 D 是由 y x ，
D
x 2 及 x 轴所围成的闭区域；
解：原式＝ 2 x f (x, y)dydx . 00
2. 交换下列二次积分的积分次序(要求画出积分区域的图形)：
1
y
(1) dy f (x, y)dx ；
0
y
1x
解：原式＝ dx f (x, y)dy . 0 x2
1x
2 2x
(3) dx f (x, y)dy + dx f (x, y)dy .
00
1
0
1 2 y
解：原式＝ dy f (x, y)dx .
积函数关于 x 轴、 y 轴不对称，所以该式不
成立.
2．计算二重积分：
(| x | y)dxdy ， D : x y 1；
D
解：积分区域 D 关于 x 轴、 y 轴都对称， y 关于
y 是奇函数， ydxdy 0
D
1 1x
x dxdy 2 xdxdy 2 dx xdy
D
D1
0 x1
2
2
cos
原式=
2
0
f ( cos , sin )dd
2
2．利用极坐标计算下列各题：
(1) e x2 y2 dxdy ， D : x 2 y 2 4 ； D
解：设 x r cos , y r sin .则

微积分II(甲)多元函数积分学练习解答

微积分II （甲）多元函数积分学练习题解答１.计算二重积分22d D x yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域．解：222121x xDx xyd dx dy y σ=⎰⎰⎰⎰ ()231124x x dx =-=⎰ ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．解：202yy Dxyd dy xydx σ=⎰⎰⎰⎰2234003338322y dy y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰ ３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.解：21021)9x I dx ==⎰⎰４．计算二重积分2,{(,)Dy xd D x y x σ-=≤⎰⎰ 解： 12D D D =⋃（1D 是所有阴影部分面积）12222DD D y x d y x d y x d σσσ-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2211222101x xdx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰11424111146(22)2215x dx x x dx --=+-+=⎰⎰．５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．解：32233220cos cos =cos cos =4DDDr r rdrd r drd d r dr d r dr ππσθθθθθθθθ=⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．2解：Ｉ＝2sin 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．解：Ｉ＝2cos 402(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 解设所求体积为V ，则有=V ()221Dxy d σ--⎰⎰，其中 (){}22,1D x y xy =+≤，于是=V ()()22211D Dxy d r rdrd σθ--=-⎰⎰⎰⎰=()212012d r rdr ππθ-=⎰⎰.9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积．解设所求体积为V ，则有=V ()⎰⎰--Dd y xσ226，其中 (){}x y x y x D -≤≤≤≤=10,10,，于是=V ()⎰⎰--Dd y xσ226=()112206x dx xy dy ---⎰⎰()1323011766136x x x x dx ⎡⎤=--+--=⎢⎥⎣⎦⎰10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．解设该薄板所在区域为D ，则该均质薄板的面积为 0sin 2S xdx π==⎰，又有 sin 00x Dxd dx xdy πσπ==⎰⎰⎰⎰，及sin 04x Dyd dx y dy ππσ==⎰⎰⎰⎰，由均质平面薄片的质量中心公式可得所求质量中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛8,2ππ．二、三重积分11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．解xydV Ω⎰⎰⎰111x dx dy xydz -=⎰⎰⎰=1100x dx xydy -⎰⎰()120111224x x dx =-=⎰． 12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体．解 ()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311()111300011x x y dx dy dz x y z ---=+++⎰⎰⎰ =()1121318821x dx x dy x y -⎡⎤-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1013115ln 2218828x dx x ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成．解 Ω在z xoy =平面上的投影区域为22{(,)1}x y x y +≤ 可用柱面坐标计算：221211122200012401224(1).21r r d r dr zdz r dr z r r dr πθπππΩ⎛⎫== ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域．解球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+的交线为2222243x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 从中解得两曲面交线为,1=z 223x y +=，Ω在xOy 面上的投影区域为:D ,30≤≤r πθ20≤≤，利用柱面坐标，对投影区域D 内任一点),,(θr 有2243r z r -≤≤，所以I 23r DzdV rdrd θΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2203r d zdz πθ=⋅⎰⎰⎰π413=． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．解()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=++θϕρϕρd d d dV z y xsin 42222140004sin 5d d d ππθϕϕρρπ==⎰⎰⎰16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．解在球面坐标系中, :Ω,20a r ≤≤,40πϕ≤≤πθ20≤≤，故所求体积V ⎰⎰⎰Ω=dV 224sin d d d ππθϕρϕρ=⎰⎰⎰340)2sin 3d ππϕϕ=⋅⎰.)12(343a -=π 17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．解在球面坐标下计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕρϕρd d d dV V sin 222cos 24sin a d d d ππϕθϕϕρρ=⎰⎰⎰3334082cos sin 3a d a ππϕϕϕπ==⎰．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )，求Ω的质量m ．解据题意得，密度函数为,),,(22y x K z y x +=ρ所以.),,(22⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+==dV y x K dV z y x m ρ利用柱面坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为},1),({22≤+=y x y x D故222212122001()r Dr m Kr rdrd dz K r drd dzK d r dr dzπθθθ-Ω-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1220162(1)15KK r r dr ππ=+=⎰．三、曲线积分19．计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。

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微积分练习题二
一. 填空题
1. 若0→x 时，x kx 2~)1ln(+，则k=
2. =+++-+∞→40
210
2302)146()44()12(lim x x x x x x 3. 若)(x f 为偶函数，且)(x f 可导，则=)0('f ，=)]'0([f .
4. 曲线2x y =在点(2, 4)处的切线方程为 .
5. 若)(x f 在点x 处可微，则=-∆→∆)(lim 0dy y x ，=∆-∆→∆x
dy y x 0lim . 6. 设某厂每月生产产品的固定成本为1000(元)，生产x 单位产品的可变成本为x x 1001.02+(元)，则边
际成本为，其经济意义是
7. 设某产品的需求函数为Q=400-100P ，则P=1时的需求价格弹性为，其经济意义是
8. 若曲线c bx ax x y +++=23有一拐点(1, -1)，且在x=0处有极大值，则a= , b= , c= .
9. 如果对任意的),(b a x ∈，均有)(')('x g x f =，则在(a, b)内)(x f 与)(x g 的关系是
二. 是非题 (对的打“√”,错的打“×”号)
1. 曲线y=|x|在x=0处有切线，故在x=0处可导。

（）
2. x
e x
f 1)(=，当0→x 时，是无穷大量。

（）
3. 方程013=++x x 在区间(-1, 1)内有且仅有一个实根。

（）
4. 对任何实数1x ，2x ，都有.|||sin sin |1212x x x x -≤- （）
三. 计算题 1. 求.21lim 323232⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n 2. 求.1323lim 2x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→ 3. 求由方程02cos ln =-+x x y e xy 所确定的隐函数的导数
dx dy . 4. 求x x y cos )
(sin =的导数. 5. 设⎩⎨⎧>+≤=,
0),1ln(,0,2)(x x x x x f 求)('x f . 四. 设某厂生产x 件产品的成本为240120025000)(x x x C +
+=(元), 问: (1) 生产多少件产品，可使平
均成本最小？(2) 若每件产品以500元销售，则生产多少件产品，可获利最大？
五.列表讨论函数1
2)(2
-=x x x f 的单调区间，极值，凸性，拐点，并求渐近线。

六. 证明题
(1) 设)(x f 在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且,1)2
1(,0)1()0(===f f f 又.)()(x x f x g -= 证明：
至少存在一点)1,0(∈ξ，使得.0)('=ξg
(2) 设函数f(x)处处可导，且有1)0('=f ，并对任何实数x 和h ，恒有f(x+h)=f(x)+f(h)+2hx, 试证12)('+=x x f .。