高中数学 必修四 第二章 平面向量章末归纳总结课件 新人教A版必修4
已知非零向量 a，b，且|a|＝|b|＝|a＋b|.求： (1)a，b 的夹角； (2)b，a－b 的夹角． [解析] 设O→A＝a，O→B＝b，以 OA 与 OB 的邻边作平行四边 形 OACB，如下图，由|a|＝|b|＝|a＋b|知，▱OACB 是菱形，且△OAC 与△OBC 都是正三角形，则
解法 2：设点 O 为平面内任一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
O→P＝t，则A→P＝O→P－O→A＝t－A． 同理，B→P＝t－b，C→P＝t－c．
∴AP2＋BP2＋CP2＝A→P2＋B→P2＋C→P2＝(t－a)2＋(t－b)2＋(t－ c)2＝3(t－a＋3b＋c)2＋a2＋b2＋c2－a＋b3＋c2.
|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22＝ 9e21＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角 θ 满足 cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量 a 与 b 的夹角为 120°.
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求 a＝2e1＋e2 或 b＝－3e1＋2e2 的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝ －32＋22，这是因为 e1 与 e2 不是互相垂直的单位向量， 所以(2,1)或(－3,2)不是 a 或 b 的坐标，要将其转化成模的平方． (2)求数量积 e1·e2 时极易漏掉 cosθ， 应为 e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ 为 e1 与 e2 的夹角)． (3)若应用三角形法则或平行四边形法则求向量模时极易找错 向量间的夹角．注意找两向量夹角时两向量必须有共同起点．
[点拨] 运用了向量共线的坐标表达式．a＝(x1，y1)与b＝ (x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.本题还可用向量a与b共线⇔|a·b|＝ |a|·|b|，同学们不妨试一下．
专角为 60°的两个单位向量，求向量 a＝2e1＋e2 与 b＝－3e1＋2e2 的夹角．
[探究] 求向量的夹角，我们很容易想到运用夹角公式 cosθ ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
[解析] a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6e21＋4e1·e2－3e1·e2＋2e22＝－6＋e1·e2＋2 ＝－4＋|e1||e2|cos60°＝－72， |a|＝2e1＋e2＝ 2e1＋e22＝ 4e21＋e22＋4e1·e2 ＝ 5＋4cos60°＝ 7，
[注：cos(θ－45°)＝45，cosθ＝ 102]
[解析] 设 t 小时后，台风中心移动到 Q 处，此时城市开始受 到台风的侵袭，
∠OPQ＝θ－45°， ∵O→Q＝O→P＋P→Q， ∴O→Q2＝(O→P＋P→Q)2， ＝O→P2＋P→Q2＋2O→P·P→Q， ∴O→Q2＝O→P2＋P→Q2＋2|O→P|
的形式． [解析] 设线段 BC 的中点为 D，则O→B＋2 O→C＝O→D.
∴O→P＝O→D＋λ(
→ AB →
→
＋
AC →
)，
|AB|cosB |AC|cosC
∴O→P－O→D＝D→P＝λ(
→ AB →
→
＋
AC →
)．
|AB|cosB |AC|cosC
∴D→P·B→C＝λ(
→→ AB·BC →
＋
∵a2＋b2＋c2－a2＋b32＋c2是常数， ∴当 t＝a＋3b＋c时，AP2＋BP2＋CP2 最小，此时 P 为△ABC 的重心．
专题四 数形结合思想 数形结合思想：向量本身既具有大小，又具有方向，可以 用几何法表示，而向量又有良好的运算性质——坐标运算，可把 向量与数联系起来，这样向量具备了“数”与“形”的两方面 特征．处理两直线平行、垂直、三点共线等问题是几何问题， 但可通过向量的坐标运算这种代数手段实现证明，还可利用向 量的数量积处理线段的长度、角度等问题．
已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围． [解题提示] 向量模的范围可以转化为向量不等式或者利用 数量积形式处理．
[解析] 解法 1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即|a－b|的取值范围是[1,7]． 解法 2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ＝25－24cosθ， θ 为两向量 a、b 的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
→→ AC·BC →
)
|AB|cosB |AC|cosC
＝λ(|A→B||B→→C|cosπ－B＋|A→C→||B→C|cosC)＝0，
|AB|cosB
|AC|cosC
∴DP⊥BC，∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的外心，故选 B．
[答案] B
专题三 向量的长度(模)与距离的问题 向量的模，即向量的大小，用来表示向量的有向线段的长度， 向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法 解决几何问题的一个交汇点，一般地，求向量的模主要利用公式|a|2 ＝a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和 运 算 性 质 进 行 展 开 、 合 并 ， 使 问 题 得 以 解 决 ， 或 利 用 公 式 |a| ＝ x2＋y2，将它转化为实数问题，使问题得以解决．
专题五 平面向量的综合应用 1．平面向量的综合应用主要涉及在平面几何、解析几何 与物理中的应用，重点是在平面几何中的应用． 2．解决此类问题的关键是分析问题将问题转化为向量问 题，利用向量的有关运算去解决问题．
在某海滨城市 O 附近海面有 一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O(如图所示)的东偏南 θ(θ∈(0，π2)]方向 300 km 的海南 P 处，并以 20 km 的速度向西偏 北 45°方向移动．当前半径为 60 km，并以 10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城 市开始受到台风的侵袭？
[点评] 用向量观点解题，关键在于找到好的切入点，如 果题中的速度(既有大小，又有方向)、距离都可以用向量很好 地表达．根据台风中心与城市间的距离不超过台风侵袭的半径 来建立向量不等式，再根据模长公式，求出时间．
[解析] 解法 1：设A→B＝a，A→C＝b，AP＝t，
则B→P＝A→P－A→B＝t－a，C→P＝A→P－A→C＝t－b．
∴A→P2＋B→P2＋C→P2＝t2＋(t－a)2＋(t－b)2 ＝3t2－2(a＋b)·t＋a2＋b2＝3(t－a＋3 b)2＋23(a2＋b2)－23a·b． ∵23(a2＋b2)－23a·b 为常数， ∴当 t＝a＋3 b，即A→P＝a＋3 b，点 P 为△ABC 的重心时，AP2 ＋BP2＋CP2 最小．
[点拨] 运用向量不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意等号 成立的条件；解法2将模平方，这是处理向量的模的问题的基 本方法，也是最常用的方法，并且平方之后往往涉及到数量积 的运算．
CP2 最小．
如下图所示，在△ABC 内求一点 P 使 AP2＋BP2＋
[解题提示] 本题可根据平面向量基本定理，用基底表示A→P2， B→P2，C→P2，进而转化为二次函数求最值．
已知 O 为平面上的一定点，A，B，C 是平面上不
共线的三个动点，点
P
满
足
→ OP
＝
O→B＋O→C 2
＋
λ(
→ AB →
＋
|AB|cosB
→
AC →
)，λ∈(0，＋∞)，则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
|AC|cosC
A．重心
B．外心
C．垂心
D．内心
[解题提示] 本题的关键在于式子变形后，转化为数量积
第二章 平面向量
第二章 章末归纳总结
1 知识结构 2 专题突破
知识结构
专题突破
专题一 有关向量的共线问题
已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若 ka＋2b 与 2a－4b 平 行，求实数 k 的值．
[探究] 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握两向 量共线的条件．
[解析] ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，ka＋2b 与 2a－4b 平行， ∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得 k＝－1.
(1)∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝120°， ∴a，b 的夹角为 120°. (2)∵∠AOB＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°. ∴B→A＝a－b， ∴O→B，B→A的夹角为 180°－30°＝150°， 即 b，a－b 的夹角为 150°.
[点评] 本题以a，b为邻边作平行四边形，由于这两条邻 边的长度相等，故图形为菱形；又对角线CO的长度与平行四 边形的边长相等，就构造出来两个正三角形，位应注意b，a－ b的夹角不是30°，而是150°.
→ |PQ|cos[
180°－(θ－45°)]
＝O→P2＋P→Q2－2|O→P||P→Q|cos(θ－45°)＝
3002＋(20t)2－2×300×20t×45＝100(4t2－96t＋900)．
依题意得O→Q2≤(60＋10t)2，解之得 12≤t≤24，从而 12 小时
后该城市开始受到台风的侵袭．
合集下载
高中数学人教A版(课件)必修四 第二章 平面向量 2.2.1
→ 因为 tan∠CAB＝|B→C|＝ 3，所以∠CAB＝60°.
|AB| 因此，船实际航行的速度大小为 10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角 为 60°.
上一页
返回首页
下一页
[探究共研型]
向量加法的多边形法则 探究 1 在△ABC 中，若A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，那么 a＋b＋c＝0 一定成 立吗？ 【提示】 一定成立，因为在△ABC 中，由向量加法的三角形法则A→B＋B→C ＝A→C，所以A→B＋B→C＋C→A＝0，那么 a＋b＋c＝0.
上一页
返回首页
下一页
向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义： 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法 法则运算的目的． 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可 以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则： 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加 法的结合律调整向量相加的顺序．
阅读教材 P80～P81“例 1”以上内容，完成下列问题． 1．向量加法的定义 定义：求_____两__个__向__量__和______的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量 a，规定0＋a＝a＋_0_＝__a_．
上一页
返回首页
下一页
2．向量求和的法则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，
(3)若正方形 ABCD 的边长为 1，A→B＝a，A→D＝b，A→C＝c.试作出向量 a＋b
＋c，并求出其模的大小．
上一页
返回首页
下一页
【精彩点拨】 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图．
【自主解答】 (1)由向量加法的三角形法则可得： A→E＋E→B＋B→C＝A→B＋B→C＝A→C.故选 B． (2)由向量求和的三角形法则可知 a＋d＝D→A，c＋b＝C→B.
|AB| 因此，船实际航行的速度大小为 10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角 为 60°.
上一页
返回首页
下一页
[探究共研型]
向量加法的多边形法则 探究 1 在△ABC 中，若A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，那么 a＋b＋c＝0 一定成 立吗？ 【提示】 一定成立，因为在△ABC 中，由向量加法的三角形法则A→B＋B→C ＝A→C，所以A→B＋B→C＋C→A＝0，那么 a＋b＋c＝0.
上一页
返回首页
下一页
向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义： 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法 法则运算的目的． 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可 以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则： 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加 法的结合律调整向量相加的顺序．
阅读教材 P80～P81“例 1”以上内容，完成下列问题． 1．向量加法的定义 定义：求_____两__个__向__量__和______的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量 a，规定0＋a＝a＋_0_＝__a_．
上一页
返回首页
下一页
2．向量求和的法则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，
(3)若正方形 ABCD 的边长为 1，A→B＝a，A→D＝b，A→C＝c.试作出向量 a＋b
＋c，并求出其模的大小．
上一页
返回首页
下一页
【精彩点拨】 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图．
【自主解答】 (1)由向量加法的三角形法则可得： A→E＋E→B＋B→C＝A→B＋B→C＝A→C.故选 B． (2)由向量求和的三角形法则可知 a＋d＝D→A，c＋b＝C→B.
2018-2019学年人教A版必修4第二章平面向量本章整合课件(35张)
1 + 3
1=2 3.
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
解法二 :设 a=(x1,y1),b=(x2,y 2).
∵|a|=|b|= 1, 2 2 2 2 ∴������1 + ������1 = ������2 + ������2 =1. ∵3a- 2b=(3x1- 2x2,3y 1-2y 2), ∴|3a- 2b|= (3������1 -2������2 )2 + (3������1 -2������2 )2 =3. ∴x1x2+y 1y2= 3. ∴|3a+b|= (3������1 + ������2 )2 + (3������1 + ������2 )2
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
例 2 若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b= 0,则| a+b-c|的取值范围为
( ) A.[1, 3] B.[0, 3] D.[0, 2+1] C.[ 2-1, 2+1]
解析:∵a· b=0,且|a|=|b|=1,∴|a+b|= 2. ∴|a+b|+|c|= 2+1,|a+b|-|c|= 2-1, ∵|a+b|-|c|≤|a+b-c|≤|a+b|+|c|, ∴ 2-1≤|a+b-c|≤ 2+1, 即|a+b-c|∈[ 2-1, 2+1],故选 C. 答案:C
与 BA 相交于 E.求
证明 :∵O,E,D 三点共线 ,
∴向量������������ 与向量������������ 共线 ,则存在实数 λ1,使得������������ =λ1������������ ,而
1=2 3.
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
解法二 :设 a=(x1,y1),b=(x2,y 2).
∵|a|=|b|= 1, 2 2 2 2 ∴������1 + ������1 = ������2 + ������2 =1. ∵3a- 2b=(3x1- 2x2,3y 1-2y 2), ∴|3a- 2b|= (3������1 -2������2 )2 + (3������1 -2������2 )2 =3. ∴x1x2+y 1y2= 3. ∴|3a+b|= (3������1 + ������2 )2 + (3������1 + ������2 )2
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
例 2 若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b= 0,则| a+b-c|的取值范围为
( ) A.[1, 3] B.[0, 3] D.[0, 2+1] C.[ 2-1, 2+1]
解析:∵a· b=0,且|a|=|b|=1,∴|a+b|= 2. ∴|a+b|+|c|= 2+1,|a+b|-|c|= 2-1, ∵|a+b|-|c|≤|a+b-c|≤|a+b|+|c|, ∴ 2-1≤|a+b-c|≤ 2+1, 即|a+b-c|∈[ 2-1, 2+1],故选 C. 答案:C
与 BA 相交于 E.求
证明 :∵O,E,D 三点共线 ,
∴向量������������ 与向量������������ 共线 ,则存在实数 λ1,使得������������ =λ1������������ ,而
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高一数学人教A版必修4课件：第二章 平面向量
第二章 平面向量章末复习课内容索引0102理网络明结构探题型提能力0304理网络·明结构探题型·提能力题型一 数形结合思想在向量中的运用解析 建立如图所示的直角坐标系.答案 C反思与感悟 数形结合是求解数学问题最常用的方法之一，其大致有以下两条途径：(1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究图形的几何性质.(2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在不少章节都有广泛的应用.答案 C题型二 基底思想在解题中的应用则易知OM⊥BC.答案 反思与感悟 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示.这样，几何问题就转化为代数问题.题型三 向量坐标法在平面几何中的运用例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，因为BB′、CC′为AC、AB边的中线，反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这种解题方法具有普遍性.解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知-2呈重点、现规律1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.。
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
2019-2020年新版高中数学人教A版必修4课件：第二章平面向量 2.4.2
D 典例透析 IANLI TOUXI
名师点拨已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). a∥b⇔x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0. a⊥b⇔x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0. 这两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:共线纵横交错
积相等,垂直横横纵纵积相反.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
(1)a·b=a1b1+a2b2;
(2)a⊥b⇔a1b1+a2b2=0;
(3)a·a=|a|2⇔|a|= ������12 + ������22;
(4)cos θ= |������������·||������������|⇔cos θ=
������1������1+������2������2 ;
解析:∵a⊥(a-b), ∴a·(a-b)=0, ∴a2-a·b=5-(x-4)=0,解得x=9.
答案:A 反思有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量积为0来解决.本 题也可先求出a-b的坐标,再代入a·(a-b)=0,解得x.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
数量积的坐标运算
【例1】 已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b). 分析:先求出a·b,a2,b2,再对(3a-b)·(a-2b)展开求解;或先将3a-b,a2b的坐标求出,再进行运算.
高中数学 第二章 平面向量本章回顾课件 新人教A版必修4
λ＝1， λm＝－2，
∴m＝－2，
∴当 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
方法二：假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝ (1,0)，j＝(0,1)，
∴A→B＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， B→C＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)， 由A、B、C三点共线，即A→B∥B→C， 故1·m－1·(－2)＝0，解得m＝－2， ∴当m＝－2时，A、B、C三点共线．
【解】 解法 1：∵ka＋2b 与 2a－4b 平行，则存在唯一实 数 λ，使 ka＋2b＝λ(2a－4b)．
∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ∴(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)．
∴k2－k＋6＝ 4＝14－λ，4λ，
3．用向量求解垂直和夹角问题 【例 4】 非零向量(a＋b)与(2a－b)互相垂直，且(a－2b) 与(2a＋b)互相垂直，求向量 a 与 b 的夹角的余弦值．
【解】 ∵(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，
∴aa＋－b2b··2a2－a＋bb＝＝0，0.
∴22aa22＋ －a3·ab·－ b－b22＝b20＝，0.
∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)， ∴|3a－2b|＝ 3x1－2x22＋3y1－2y22＝3. ∴x1x2＋y1y2＝13. ∴|3a＋b|＝ 3x1＋x22＋3y1＋y22 ＝ 9x21＋9y21＋x22＋y22＋6x1x2＋y1y2 ＝ 9＋1＋6×13＝2 3.
规律技巧 向量的模，即向量的大小，用来表示向量的有 向线段的长度.向量的模不仅是研究向量的一个重要的量，而且 是利用向量方法解决几何问题的一个“交汇”点.因此，我们必 须熟练掌握求向量的模的基本方法.一般的，求向量的模主要是 利用公式|a|2＝a2 将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积 的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，如例 题.或利用公式|a|＝ x2＋y2将它转化为实数问题，“以旧带 新”，使问题得以解决，解决向量的模的问题关键是在灵活运 用化归与转化的思想方法，将复杂问题转化为简单问题，不熟 悉的问题转化为熟悉的问题.
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
人教A版数学必修四第二章平面向量单元复习课件ppt
D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
知识梳理 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
人教A版高中数学必修四平面向量小结课件
B4
1 4
D
F
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
A
E
C
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
思考提升
2017全国卷2
已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平
面ABC内一点，求PA (PB PC)的最小值.
y
A 3
2
C
BO
x
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
巩固升华
平面向量
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
课前小练
在RtABC中，C , BC 2,求AB BC
2
y
A
C O
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
B
x
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
典例探究1
在平行四边形 ABCD中，AD 1，BAD ,
3
E为CD的中点，若 AC BE 1,求 AB
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
测测试试成成绩绩分分析析汇汇总总
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
1 4
D
F
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
A
E
C
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
思考提升
2017全国卷2
已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平
面ABC内一点，求PA (PB PC)的最小值.
y
A 3
2
C
BO
x
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
巩固升华
平面向量
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
课前小练
在RtABC中，C , BC 2,求AB BC
2
y
A
C O
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
B
x
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
典例探究1
在平行四边形 ABCD中，AD 1，BAD ,
3
E为CD的中点，若 AC BE 1,求 AB
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
测测试试成成绩绩分分析析汇汇总总
*
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)
人教A版高中数学必修四第二章平面向 量小结 课件( 共20张P PT)