第二课时 方程的根与函数的零点 (习题课)
方程的根与函数的零点(第二课时)
方程的根与函数的零点（第二课时）学习目标：1、结合二次函数的图象能判断出函数的零点2、了解函数的零点与方程的根的内在联系3、会运用连续函数的零点存在性定理，判断零点是否存在或者零点个数课题：零点定理的运用例1、若函数f（x）=x2+ax+b的零点是2和—4，求a、b的值。
变式练习一：若函数y=ax2—x—1只有一个零点，求实数a的取值范围。
例2、求函数()ln2f x x x=+-的零点所在区间.变式练习二：①函数f（x）=lnx—2x的零点所在的大致区间是（）A (1,2)B (2,3)C (1，1e)和（3,4） D （e，+∞）②方程log3x+x=3的解所在区间为（）A （0,2）B (1,2)C (2,3)D (3,4)随堂练习：1、方程lgx —x=0的根的个数为（ ）A 无数多个B 3个C 1个D 0个2、函数f （x ）=2x2—5x+2的零点个数是（ ）A 不确定B 2个C 1个D 0个3、二次函数f （x ）=ax2+bx+c （a ≠0）中a 、c 异号，则函数的零点个数是（ ）A 不确定B 2个C 1个D 0个4、函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）.A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)5、方程x —1=lg x 必有一个根的区间是（ ）A （0.1,0.2）B （0.2,0.3）C （0.3,0.4）D （0.4,0.5）6、 若函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为 .7. 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-.当m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点.8.已知定义在R 上的偶函数y= f （x ）在[0,+ ∞）上递减，函数f （x ）的一个零点为１２，求满足f （log 14x ）<0的x 的集合。
习题课 函数的零点与方程的解
习题课 函数的零点与方程的解学习目标 1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求参数范围.2.掌握一元二次方程的根的分布情况． 一、根据零点情况求参数范围例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，23B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23 D.⎣⎡⎭⎫13，23答案 D解析 ∵f (x )在R 上单调递减，∴y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a 在(－∞，0)上单调递减，y ＝log a (x ＋1)＋1在(0，＋∞)上单调递减，且f (x )在(－∞，0)上的最小值大于或等于f (0)． ⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1.解得13≤a ≤34，作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x3的草图如图所示．∵|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，∴3a <2，即a <23，故13≤a <23.反思感悟 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．跟踪训练1 若方程x lg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )上，则k 等于( ) A ．－2 B ．1 C ．－2或1 D ．0答案 C解析 由题意知，x ≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上⎝⎛⎭⎫由lg 3<1，lg 4>lg 10＝12可得，所以k ＝－2或k ＝1.二、一元二次方程的根的分布问题例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0.(1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m 的取值范围； (2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m 的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6， (1)f (x )的大致图象如图所示，∴f (2)<0，即4＋4(m －1)＋2m ＋6<0，得m <－1， ∴实数m 的取值范围为(－∞，－1)． (2)f (x )的大致图象如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋6>0，f (1)＝4m ＋5<0，f (4)＝10m ＋14>0，解得－75<m <－54，∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－75，－54. (3)方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图1，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (0)>0，2(m －1)－2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1或m ≥5，m >－3，m <1，∴－3<m ≤－1.②有一个正根，一个负根，此时如图2，可得f (0)<0，得m <－3. ③有一个正根，另一根为0，此时如图3，可得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝0，2(m －1)－2>0，∴m ＝－3.综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m 的取值范围为(－∞，－1]．反思感悟 一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x 轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负问题，用根与系数的关系进行限制．跟踪训练2 已知函数f (x )＝(log 2x )2＋4log 2x ＋m ，x ∈⎣⎡⎦⎤18，4，m 为常数． (1)若函数f (x )存在大于1的零点，求实数m 的取值范围；(2)设函数f (x )有两个互异的零点α，β，求实数m 的取值范围，并求α·β的值． 解 (1)令log 2x ＝t ，x ∈⎣⎡⎦⎤18，4， 则g (t )＝t 2＋4t ＋m (t ∈[－3,2])． 由于函数f (x )存在大于1的零点，所以关于t 的方程t 2＋4t ＋m ＝0在t ∈(0,2]内存在实数根．由t 2＋4t ＋m ＝0，得m ＝－t 2－4t ，t ∈(0,2]， 所以m ∈[－12,0)，所以实数m 的取值范围是[－12,0)． (2)函数f (x )有两个互异的零点α，β，则函数g (t )在[－3,2]内有两个互异的零点t 1，t 2， 其中t 1＝log 2α，t 2＝log 2β， 所以⎩⎪⎨⎪⎧16－4m >0，g (－3)≥0，g (2)≥0，解得3≤m <4，所以实数m 的取值范围是[3,4)． 根据根与系数的关系，可知t 1＋t 2＝－4， 即log 2α＋log 2β＝－4，所以log 2(α·β)＝－4，得α·β＝2－4＝116.1．知识清单：(1)根据零点情况求参数的取值范围． (2)一元二次方程根的分布．2．方法归纳：判别式法、数形结合法．3．常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化．1．若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在(0,2)上有两个零点，则a 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(－∞，1)答案 B解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在(0,2)上有两个零点，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1<0，解得0<a <1.则a 的取值范围为(0,1)．2．已知函数f (x )＝mx ＋1的零点在区间(1,2)内，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.⎝⎛⎭⎫－1，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 答案 B解析 因为函数f (x )＝mx ＋1的零点在区间(1,2)内，且此函数是连续函数， 所以f (1)·f (2)<0，即(m ＋1)(2m ＋1)<0， 解得－1<m <－12.3．函数f (x )＝3x －4x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,7)B ．(－1,6)C ．(－1,7)D ．(－2,6)答案 C解析 由题意可得f (1)f (2)＝(3－4－a )(9－2－a )<0， 即(a ＋1)(a －7)<0， 解得－1<a <7，故实数a 的取值范围是(－1,7)．4．若函数f (x )＝3x 2－5x ＋a 的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－12,0)解析 ∵f (x )＝3x 2－5x ＋a 的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (0)<0，f (1)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a >0，a <0，－2＋a <0，12＋a >0，解得－12<a <0，故a 的取值范围为(－12,0)．课时对点练1．当|x |≤1时，函数f (x )＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ B ．(－∞，－1] C.⎝⎛⎭⎫－1，－13 D.⎝⎛⎦⎤－1，－13 答案 C解析 |x |≤1⇒－1≤x ≤1.当a ＝0时，y ＝1，函数值恒为正，不符合题意； 当a ≠0时，要想函数f (x )＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，只需f (1)·f (－1)<0，即(a ＋2a ＋1)(－a ＋2a ＋1)＝(3a ＋1)(a ＋1)<0⇒－1<a <－13.综上所述－1<a <－13.2．已知关于x 的方程x 2－kx ＋k ＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >6 B ．4<k <7 C ．6<k <7 D ．k >6或k <－2答案 C解析 ∵关于x 的方程x 2－kx ＋k ＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2，设两根为x 1，x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－k )2－4(k ＋3)>0， ①x 1＋x 2＝k >4， ②(x 1－2)(x 2－2)>0， ③解得6<k <7.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，2<x ≤a ，log a(x －2)，x >a (其中a >0，a ≠1)存在零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,3) B ．(1,3] C ．(2,3) D ．(2,3]答案 C解析 由函数的解析式可知a >2，因为指数函数y ＝a x 单调递增，在区间(2，a ]上无零点， 所以函数y ＝log a (x －2)在区间(a ，＋∞)上存在零点， 由于y ＝log a (x －2)单调递增，故当x ＝a 时，有log a (a －2)<0＝log a 1， 从而a －2<1⇒a <3，所以实数a 的取值范围是(2,3)．4．方程x ＋log 3x ＝3的解为x 0，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 设f (x )＝x ＋log 3x －3， 则f (1)＝1＋log 31－3＝－2<0，f (2)＝2＋log 32－3＝log 32－1<0， f (3)＝3＋log 33－3＝1>0， 又易知f (x )为增函数，所以方程x ＋log 3x ＝3的解在(2,3)内，因此n ＝2.5．若方程－x 2＋ax ＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．[0,3]C ．(－3,0)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 A解析 因为方程－x 2＋ax ＋4＝0有两根，一个大于2，另一个小于－1，所以函数 f (x )＝－x 2＋ax ＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)>0，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22＋a ·2＋4>0，－(－1)2＋a ·(－1)＋4>0， 解得0<a <3.6．(多选)关于x 的方程ax 2－|x |＋a ＝0有四个不同的实数解，则实数a 的值可能是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 答案 BCD解析 对于方程ax 2－|x |＋a ＝0，当a ＝0时，只有一个解x ＝0， 因此要使方程ax 2－|x |＋a ＝0有四个不同的解， 则a ≠0，x ≠0，此时方程可变为1a ＝x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |.作出函数y ＝|x |＋1|x |的图象，如图所示，则1a >2，即0<a <12，选项B ，C ，D 符合题意． 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0<x ≤e ，2－ln x ，x >e ，若正实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ·b ·c的取值范围为________． 答案 (e ，e 2)解析 画出f (x )的图象如图所示，∵正实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )， 不妨设a <b <c ，则由图象可得0<a <1<b <e<c <e 2， 且－ln a ＝ln b ，则可得ab ＝1， ∴a ·b ·c ＝c ∈(e ，e 2)．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|－1，x <0，－x ＋1，x ≥0.若函数g (x )＝f (x )－k 有三个零点，则k 的取值范围是________． 答案 (－1,1)解析 令g (x )＝f (x )－k ＝0，可得f (x )＝k ， 作出y ＝f (x )的图象，如图，由图可知，当y ＝k 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点时，－1<k <1， 所以k 的取值范围是(－1,1)．9．函数f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点，求实数a 的取值范围． 解 由f (x )＝0得a －1＝2|x |－x 2，因为函数f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点， 所以函数y ＝a －1与y ＝2|x |－x 2的图象有四个交点， 画出函数y ＝2|x |－x 2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a －1<1，即1<a <2， 所以实数a 的取值范围是1<a <2. 10．已知函数f (x )＝4x －2x ＋1－m . (1)当m ＝0时，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )有两个零点，求实数m 的取值范围． 解 (1)当m ＝0时，f (x )＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2·2x ＝2x (2x －2)．令f (x )＝0，可得2x ＝2，即x ＝1. ∴函数f (x )的零点是1.(2)令2x ＝t ，显然t >0，则y ＝t 2－2t －m . ∵函数f (x )有两个零点，且t ＝2x 为单调函数， ∴方程t 2－2t －m ＝0在(0，＋∞)上有两解， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m >0，4＋4m >0，－－22>0，解得－1<m <0.∴m 的取值范围是(－1,0)．11．设x 1，x 2，x 3均为实数，且113x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝log 2(x 1＋1)，213x ⎛⎫⎪⎝⎭＝log 3x 2，313x⎛⎫ ⎪⎝⎭＝log 2x 3，则( )A ．x 1<x 3<x 2B ．x 3<x 2<x 1C ．x 3<x 1<x 2D ．x 3<x 1<x 2答案 A解析 如图所示，由图象可知，x 1<x 3<x 2.12．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d ，若f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( ) A ．a >c >b >d B ．a >b >c >d C ．c >d >a >b D ．c >a >b >d答案 D解析 由题意设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝2 021－g (x )，所以g (x )＝0的两个根是a ，b .由题意知f (x )＝0的两根是c ，d ，也就是g (x )＝2 021的两根，画出g (x )(开口向上)以及y ＝2 021的大致图象(图略)，则与g (x )的图象交点的横坐标就是c ，d ，g (x )的图象与x 轴的交点就是a ，b .又a >b ，c >d ，则c ，d 在a ，b 外，由图得c >a >b >d .13．对实数a ，b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2＋1)*(x ＋2)，若函数y ＝f (x )－c 有两个零点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(2,4)∪(5，＋∞)B ．(1,2]∪(4,5]C ．(－∞，1)∪(4,5]D ．[1,2]答案 B解析 由题意知，当(x 2＋1)－(x ＋2)≤1，即－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2＋1； 当(x 2＋1)－(x ＋2)>1，即x >2或x <－1时，f (x )＝x ＋2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，－1≤x ≤2，x ＋2，x >2或x <－1.∵函数y ＝f (x )－c 有两个零点，∴函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝c 的图象有两个交点． 画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．由图可知，当c ∈(1,2]∪(4,5]时，函数y ＝f (x )－c 有两个零点．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤a ，2x ，x >a ，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 因为存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，故函数不是单调函数，又y ＝x ＋1与y ＝2x 交于(0,1)和(1,2)点，画出图象如图所示， 由图可知，当0<a <1时，满足题意． 即实数a 的取值范围是(0,1)．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4，x ≤0，ln x ，x >0，若函数g (x )＝f 2(x )＋3f (x )＋m (m ∈R )有三个零点，则m 的取值范围为( ) A ．m <94B ．m ≤－28C ．－28≤m <94D ．m >28答案 B 解析 画出函数f (x )的大致图象如图所示．设t ＝f (x )，则由图象知，当t ≥4时，t ＝f (x )有两个根，当t <4时，t ＝f (x )只有一个根．函数g (x )＝f 2(x )＋3f (x )＋m (m ∈R )有三个零点，等价为函数g (x )＝h (t )＝t 2＋3t ＋m 有两个零点， 其中t 1<4，t 2≥4，则满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4m >0，h (4)＝16＋12＋m ≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m <94，m ≤－28，即m ≤－28.16．已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值；(3)若f (x )＝0有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m 的取值范围． 解 (1)函数有两个零点，则方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ>0，即4＋12(1－m )>0，解得m <43. 由Δ＝0，解得m ＝43；由Δ<0，解得m >43. 故当m <43时，函数有两个零点； 当m ＝43时，函数有一个零点； 当m >43时，函数无零点．(2)由题意知0是方程－3x2＋2x－m＋1＝0的根，故有1－m＝0，解得m＝1.(3)由题意可得f(2)>0，即－7－m>0，则m<－7. 故实数m的取值范围为(－∞，－7)．。
高一数学方程的根与函数的零点2(201908)
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植既以才见异 而内无其主 欲令二宫专志於学 圣恩难可再恃 皆有忧色 帝追思群功德 羕闻当远出 会稽南部反 而易用感慨 夏四月壬寅 逋寇未讨 恭生峻 有文 皆为列侯 徙讨越中郎将 迁安平太守 后徙九列 遵彼河浒 至下邳 邈叹曰 三公论道之官 琮闻曹公来征 为大将军费祎副贰 又 有小水貊 出城西五六里止屯 先主为汉中王 洽陈便宜以时拔军徙民 不得嫌疑 或密赐茶荈以当酒 方之今日 狶虽旧友 营中惊 与会合 达处如数 同心一意 而考课之法不垂 既不得妄有所施为 高辛诛共 山阳昌邑人也 公谓曰 听汝则违令 陵居则峻危 道路阻绝 故住待之 礼虽厚 魏将李兴 等闻然深入 曰 此大事 欲赴救豫 不能使吏必不犯也 阶缘蜀土 除茂陵令 尚书郎 禁既至 今当广开降路 民孙狼等因兴兵杀县主簿 或有告朗欲逃亡者 是以诛子胥而无备越之心 常令在左右 建兴元年 滕尝有罪 先帝龙兴 俊具以状闻上 九月甲辰 为人虽互有长短 有裨国用 权喜 於是除广 州 皆孙权之时幹兴事业者也 而事露 攻鄄城不能下 以除劲寇之害 郤正字令先 比方其书 太祖定幽州 贤者以耀章 绍以郃为校尉 封俨世妇刘为东乡君 璋部下司马马忠禽羽 以假授初附 出虏不意 鉏尽恶类 进封安阳乡侯 虽弱必强 退无私焉 荷方伯之重 於此时也 后为参军庲降屯副贰都 督 八月 终建勋祚 则不为夙 大皇帝览前代之如彼 卒 黄武五年 是辨是裨 今方事定蜀 陷于灭亡之祸者 公军不得进 明日鸡鸣 多所罪责 上下获安 智者深识 权迁都建业 径至沈岭 结草以报 实恩是恃 备知情素 赖渊得生者千馀人 孙贲字伯阳 齐桓是责 利在同盟 乃下世子及大臣博议 太祖自征布 欲风俗清静 莫能纠擿 赐
高中数学3.1.1方程的根与函数的零点(2)同步讲练新人教版必修1
课题：3.1.1方程的根与函数的零点 （2）精讲部分学习目标展示（1）掌握零点存在性定理并能应用（2）会零点存在性定理判定零点的存在性及零点的存在区间 衔接性知识1. 函数零点的定义？函数零点与方程根有什么关系？2. 如何判断二次函数零点的个数？3. 求函数2()32f x x x =-+的零点，判断(0)f 、1()2f 与3()2f 的符号（2） 函数()f x 在在(,)k k 内有且只有一个零点例1. 函数()ln 26f x x x =+-的零点所在的一个区间是 （ ） A ．)2,1(B ．(2,3)C ．)4,3(D ．)5,4(【解析】因为函数()f x 的图象是连续不断的一条曲线，又(1)ln121640f =+⨯-=-<，2(2)ln 2226ln 20f e =+⨯-<-=，(3)ln 3236ln 30f =+⨯-=>，所以(2)(f f ⋅<，故函数()f x 的零点所在的一个区间是(2,3)，选B.例2. 若0x 是方程31)21(x x=的解，则0x 属于区间（ ）（A ）（1,32）. （B ）（32,21）. （C ）（21,31） （D ）（31,0） 【解析】构造函数131()()2xf x x =-，则函数()f x 的图象是连续不断的一条曲线.又1031(0)()0102f =-=>，1133111()()()0323f =->，1132111()()()0222f =-<，2133212()()()0323f =-< ，所以11()()032f f ⋅<，故()f x 的零点所在的一个区间是11(,)32，即方程31)21(x x=的解0x 属于区间11(,)32.选C注释：211333112()()()243=<，2133212()()()0323f ∴=-<例3. 求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数 【解析】法1.(2)ln 22ln 210f e =-<-=-<，(3)ln3ln 1f e =>=，(2)(3)0f f ∴⋅<，又函数()ln 26f x x x =+-在[2,3]上的图象是连续不断的 ∴函数()f x 在区间(2,3)内有零点而()ln 26f x x x =+-在其定义域(0,)+∞内是增函数，所以函数()f x 只有一个零点 法2. 函数()f x 的零点就是ln 260x x +-=即ln 62x x =-的实数根记()ln g x x =，()62h x x =-，在同一坐标系中画出()g x 与()h x 的图象，由图象可知，()g x 与()h x 的图象只有一个交点，所以函数()f x 只有一个零点例4. 函数2()2f x x x a =-+在区间)0,2(-和(2,3)内各有一个零点 求实数a 的取值范围解析：函数2()2f x x x a =-+在区间20-（，）和23（，）内各有一个零点，由二次函数的性质，知(2)0(0)0(2)0(3)0f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩即4003030a a a a +>⎧⎪<⇒-<<⎨⎪+>⎩， 所以实数a 的取值范围为(3,0)-精练部分A 类试题（普通班用）1. 方程31()02xx -=与1()2xy =的根为0x ，则0x 所在区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] 令3(2()1)xf x x -=，则()010f <=-，1(1)=>02f ，0(0,1)x ∈∴，故选C 2. 函数()ln 311f x x x =+-在以下哪个区间内一定有零点( ) A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2(D ．)4,3([答案] D[解析]因为()f x 的图象是一条连续不断的图象又(3)ln 33311f =+⨯-23ln 32lnln10e=-=<=，(4)ln 43411ln 410f =+⨯-=+>， (3)(4)0f f ∴⋅<，所以()f x 在(3,4)一定有零点，选D3.函数22,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 [答案] 2【解析】 法1.方程20(0)x x +=<的解为2x =-，方程210(0)x x -=>的解为1x =，所以函数()f x 有两个零点：2-与1法2.画出函数的22,0()1,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩图象，它与x 轴有两个交点，所以函数()f x 有两个零点，填 24．证明：函数225()1x f x x -=+在区间（2，3）上至少有一个零点 证明：函数225()1x f x x -=+的定义域为R ，∴函数f(x)的图像灾区间(2,3)上是连续的。
2019_2020学年高中数学课时作业23方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1
三、解答题 10．已知函数 f(x)＝2x－x2，问方程 f(x)＝0 在区间[－1,0]内 是否有解，为什么？
解：因为 f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0， f(0)＝20－02＝1>0， 而函数 f(x)＝2x－x2 的图象是连续曲线，所以 f(x)在区间[－ 1,0]内有零点，即方程 f(x)＝0 在区间[－1,0]内有解．
数是( B )
A．1
B．2
C．0
D．无法确定
解析：因为 ac<0，所以 Δ＝b2－4ac>0，所以该函数有两个 零点，故选 B.
6．已知函数 f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中 f(x)必有零点
的是( B )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：根据零点存在性定理，看所给区间的端点值是否异 号．
得
5 a>2.
13．设函数 f(x)＝11＋ 0|x－lg1|，x－x≤22，，x>2， 若 f(x)－b＝0 有三个
不等实数根，则 b 的取值范围是( D )
A．(0,10]
B.110，10
C．(1，＋∞) D．(1,10]
解析：作出函数 f(x)＝11＋0|x－lg1|，x－x≤22，x>2， 的图象如图：
11．若函数 f(x)＝ax2－x－1 的负零点有且仅有一个，求实数 a 的取值范围．
解：当 a＝0 时，f(x)＝－x－1，令 f(x)＝0，得 x＝－1，符 合题意；当 a>0 时，此函数图象开口向上，
又 f(0)＝－1<0，结合二次函数图象知符合题意； 当 a<0 时，此函数图象开口向下，又 f(0)＝－1<0，
高一数学方程的根与函数的零点练习题(附答案)
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以下是查字典数学网为大家整理的高一数学方程的根与函数的零点练习题，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
一、选择题1.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)=0在区间[a，b]上()A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一的实根[答案] D2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x123456f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个[答案] B3.(2019～2019山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)0，f(b)0，则f(x)在(a，b)上()A.一定有零点B.可能有两个零点C.一定有没有零点D.至少有一个零点[答案] B[解析] 若f(x)的图象如图所示否定C、D若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)0，f(b)0，则否定A，故选B.4.下列函数中，在[1,2]上有零点的是()A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=lnx-3x+6D.f(x)=ex+3x-6[答案] D[解析] A：3x2-4x+5=0的判别式0，此方程无实数根，f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上无零点.B：由f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.在同一坐标系中画出y=x3，x[1,2]与y=5x+5，x[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点.f(x)=0在[1,2]上无零点.C：由f(x)=0得lnx=3x-6，在同一坐标系中画出y=lnx与y=3x-6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)=0在[1,2]内没有零点.D：∵f(1)=e+31-6=e-30，f(2)=e20，f(1)f(2)0.f(x)在[1,2]内有零点.5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是()A.-1和16B.1和-16C.12和13D.-12和-13[答案] B[解析] 由于f(x)=x2-ax+b有两个零点2和3，a=5，b=6.g(x)=6x2-5x-1有两个零点1和-16.6.(2019福建理，4)函数f(x)=x2+2x-3，x0-2+lnx，x0的零点个数为()A.0B.1C.2D.3[答案] C[解析] 令x2+2x-3=0，x=-3或1;∵x0，x=-3;令-2+lnx=0，lnx=2，x=e20，故函数f(x)有两个零点.二、填空题7.已知函数f(x)=x+m的零点是2，则2m=________.[答案] 14[解析] ∵f(x)的零点是2，f(2)=0.2+m=0，解得m=-2.2m=2-2=14.8.函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0的零点的个数为________. [答案] 2[解析] 当x0时，令2x2-x-1=0，解得x=-12(x=1舍去);当x0时，令3x-4=0，解得x=log34，所以函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0有2个零点.9.对于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判断：①在(-2，-1)内有实数根;②在(-1,0)内有实数根;③在(1,2)内有实数根;④在(-，+)内没有实数根.其中正确的有________.(填序号)[答案] ①②③[解析] 设f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)=-10，f(-1)=10，f(0)=-10，f(1)=-10，f(2)=70，则f(x)在(-2，-1)，(-1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确. 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
3.1.1方程的根与函数的零点课件人教新课标
5.若函数y=f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是 （ D ）
A.函数f(x)在区间（0，1）内有零点 B.函数f(x)在区间（1，2）内有零点 C.函数f(x)在区间（0，2）内有零点 D.函数f(x)在区间（0，4）内有零点
6. 若二次函数y= x 2+kx-(k-8)与x轴至多有一
视察1
下面函数 y = f(x) 的图象
1 在区间 [a,b] 上___有___(有/无)零点； f (a)· f (b_)__＜__0（＜或＞）．
2 在区间 [b, c] 上___有___(有/无)零点； f (b)· f (c)___＜__0（＜或＞）．
3在区间 [a, d ]上___有___(有/无)零点； f (a)· f (d ) __＜___0（＜或＞）．
3.1.1 方程的根 与函数的零点
新课导入
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥 中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以 从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历 了相当漫长的岁月.
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求 解的问题.如约公元50年—100年编成的《九章算术》， 就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方 法……
y
.
.
5
4
函数f(x)的图象,如下：它与
3.
.
2
x轴没有交点，所以方程
1.
2x(x－2)＝－3无实数根.
－1 0 1 2 3
x
4.方程 x2 ＝4x－4有根吗？有几个.
解：x2 ＝4x－4可化 为x2－4x＋4＝0， 令f(x)= x2－4x＋4， 作出函数f(x)的图象， 如下：它与x轴只有 一个交点，所以方 程x2 ＝4x－4有两个 相等的实根.
人教a版必修1学案：3.1.1方程的根与函数的零点(含答案)
第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点自主学习1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．理解函数的零点与方程根的关系． 3．掌握函数零点的存在性的判定方法．1．对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的________．2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的__________，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的__________．3．方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有________⇔函数y ＝f (x )有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )________0，那么y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )________0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．对点讲练求函数的零点【例1】 求下列函数的零点：(1)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (2)f (x )＝x 4－1； (3)f (x )＝x 3－4x .规律方法 求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．变式迁移1 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，求a ，b 的值．判断函数在某个区间内是否有零点【例2】 (1)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1，1e 和(3,4) D ．(e ，＋∞)(2)f (x )＝ln x －2x在x >0上共有________个零点．规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．变式迁移2 方程x 2－3x ＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定已知函数零点的特征，求参数范围【例3】 若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．变式迁移3 已知在函数f (x )＝mx 2－3x ＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的范围．1．函数f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f (x )＝x 2－4x ＋4只有一个零点，但方程f (x )＝0有两个相等实根．2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a ，b ]上有f (a )·f (b )<0，也只说明函数y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f (a )·f (b )>0，也不能说明函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上无零点，如二次函数y ＝x 2－3x ＋2在[0,3]上满足f (0)·f (3)>0，但函数f (x )在区间(0,3)上有零点1和2.3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．课时作业一、选择题1．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( ) A ．函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点 B ．函数f (x )在(3,5)内无零点 C ．函数f (x )在(2,5)内有零点D ．函数f (x )在(2,4)内不一定有零点2．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( ) A ．(5,6) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(1,2)3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为()A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 0075．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值()A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断二、填空题6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点有________个．7．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．8．方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是____________．三、解答题9．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点答案自学导引1．零点2．实数根横坐标3．交点零点4．< ＝ 对点讲练【例1】 解 (1)由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)． 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1. (2)由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1， 故函数的零点是－1,1.(3)令f (x )＝0，即x 3－4x ＝0，∴x (x 2－4)＝0，即x (x ＋2)(x －2)＝0. 解得：x 1＝0，x 2＝－2，x 3＝2，所以函数f (x )＝x 3－4x 有3个零点，分别是－2,0,2. 变式迁移1 解 ∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8. 【例2】 (1)B (2)1解析 (1)∵f (1)＝－2<0， f (2)＝ln 2－1<0，∴在(1,2)内f (x )无零点，A 不对；又f (3)＝ln 3－23>0，∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在(2,3)内有一个零点．(2)f (x )＝ln x －2x在x >0上是增函数，且f (2)·f (3)<0，故f (x )有且只有一个零点．变式迁移2 B [令f (x )＝x 2－3x ＋1，∴其对称轴为x ＝32，∴f (x )在(2,3)内单调递增，又∵f (2)·f (3)<0， ∴方程在区间(2,3)内仅有一个根．]【例3】 解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1，为一次函数，易知函数仅有一个零点； ②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，则a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．变式迁移3 解 (1)当m ＝0时，f (0)＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．图①(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1， ∴抛物线过点(0,1)．若m <0，f (x )的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．图②若m >0，f (x )的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当9－4m ≥0即可，解得0<m ≤94，综上所述，m 的取值范围为 ⎝⎛⎦⎤－∞，94. 课时作业 1．C2．B [f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1<0， f (4)＝log 34－8＋2×4＝log 34>0. 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 所以其零点一定位于区间(3,4)．]3．C [若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数， 由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．]4．D [因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，又在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在 (－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007个．] 5．D [考查下列各种图象上面各种函数y ＝f (x )在(0,4)内仅有一个零点， 但是(1)中，f (0)·f (4)>0， (2)中f (0)·f (4)<0，(3)中f (0)·f (4)＝0.] 6．2解析 ∵Δ＝b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，即函数f (x )有2个零点．7．0，－12解析 由2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12，∴g (x )＝bx 2－ax 的零点为0，－12.8．(1，＋∞)解析 令f (x )＝2ax 2－x －1，a ＝0时不符合题意；a ≠0且Δ＝0时，解得a ＝－18，此时方程为－14x 2－x －1＝0，也不合题意；只能f (0)·f (1)<0，解得a >1.9．解 (1)方法一 ∵f (1)＝－20<0，f (8)＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0.故f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点．方法二 令x 2－3x －18＝0，解得x ＝－3或x ＝6， ∴函数f (x )＝x 2－3x －18在[1,8]上存在零点． (2)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0， ∴f (－1)·f (2)<0.故f (x )＝x 3－x －1在[－1,2]上存在零点． (3)∵f (1)＝log 2(1＋2)－1>log 22－1＝0， f (3)＝log 2(3＋2)－3<log 28－3＝0， ∴f (1)·f (3)<0.故f (x )＝log 2(x ＋2)－x 在[1,3]上存在零点．10．解 (1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根． 则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2＋3k ＋5， 解得k ＝－2.(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝(k －2)2－4×(k 2＋3k ＋5)≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6，－4≤k ≤－43， ∴α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509， 即α2＋β2的取值范围为⎣⎡⎦⎤509，18.。
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3.函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点 的条件是什么？
(1)函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线; (2) f(a)·f(b)<0.
4.在上述条件下，函数y=f(x)在区间（a， b）内是否只有一个零点？
5.方程f(x)=g(x)的根与数f(x)，g(x) 的图象有什么关系？
例3 已知函数 f (x) 2ax x 1 在区间[0， 1]内有且只有一个零点，求实数a的取值 范围.
2
例4 已知 f (x) 2(m 1)x 4mx 2m 1 （1）如果函数f(x)有两个零点，求m的 取值范围； （2）如果函数f(x)在(0,+∞)上至少有 一个零点，求m的取值范围.
C.0和
1 2
1 D.0和 2
2 （3）函数 f ( x) ln x 的零点所在的大 x 致区间是 （ B )
A.（1，2） C.（3，4）
B.（2，3） D.（4，5）
4x 4(x 1) 例2 已知函数f (x) 2 和 x 4x 3(x 1) g(x) log 2 x 设h(x) f (x) g(x), 试确定 函数h(x)的零点个数 .
理论迁移
例1 （1）已知函数 f(x) ax bx c ，若 ac＜0，则函数f(x)的零点个数有( C ) A. 0 B. 1 C.2 D.不确定
2
（2）已知函数 f(x) ax b 有一个零点为2， 则函数g(x)=bx2-ax的零点是( ) D A.0和2
1 B.2和 2
3.1.1 方程的根与函数的零点 第二课时 方程的根与函数的零点 （习题课）
知识回顾
1.什么叫函数的零点？ 对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点 2.函数y=f(x)有零点有哪些等价说法？ 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
2
作业： 1.设m为常数，讨论函数 2 f (x) x 4 x 5 m 的零点个数. 2.若函数 f ( x) 2 x 3x m 在区间（-1，1）内有零点，求实 数m的取值范围.
2