六年级奥数最详细全面-数论教师版

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数论

数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.

本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.

专题回顾

【例 1】一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数．

【分析】现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手．

5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可

能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这

样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989．

【例 2】

已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC

是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________.

【分析】 本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以

B 不能为偶数，且同时B

C 是一个完全平方数，则符合条件的数仅为16、36，当1B =时，满足AB 是一个质数的数有11，31，41，61，71，时，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合；

当3B =，满足AB 是一个质数的数有13，23，43，53，

73，83，此时同时保证CA 是一个质数与一个不为

1的完全平方数之积，只有8368符合．

【例 1】 2001个连续的自然数之和为a b c d ???，若a 、b 、c 、d 都分解质因数

专题精讲

是质数，则a b c d +++的最小值是多少？

【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语

言．设这2001个连续自然数中最小的一个是A ，则最大的一个是2000A +(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是：

()()()20002001100020011000323292

A A A A ++=+?=+???，则()1000A +是质数，所以A 的最小值是9．a b c d +++的最小值是：

1009323291064+++=.

［拓展］ 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______．

［分析］ 设这101个自然数中最小的数为a ，则101个连续自然

数的和为：

a +(a +1)+(a +2)+……+(a +100)

=(a +a +100)×101÷2=(a +50)×101

因为101是质数，所以a +50必须是3个质数的

乘积，要使和最小．

经检验a +50=66=2×3×11最小，所以和最小为

66×101=6666．

［铺垫］ 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其

中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？

［分析］ 因为□△□△□△=□△10101?，所以在题述等式的两边

同时约去□△即得△□×□〇×☆△=10101．作质因数分

解得10101371337

=???，由此可知该数分解为3个两位数乘

积的方法仅有211337

??．注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出

现，所以△□=13，□〇=37，☆△=21．即〇=7，△=1，□=3，☆=2，所求的四位数是7132．

【例 2】N为自然数，且1

N+与690都有大

N+、……、9

N+，2

于l的公约数．N的最小值为_______．

【分析】69023523

=???，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，

如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多

有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍

数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍

数，即与690没有大于l的公约数．

所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2

个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，

则1

N+、9

N+是偶数，剩下的4

N+、5

N+、7

N+、3

个数中2

N+是3的倍数（5个偶数当中只有

N+、8

N+一个是5的倍

N+、6

N+是3的倍数），还有4

5

数，一个是23的倍数.

剩下的可以用中国剩余定理求解，5

N+是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另

一个是5的倍数，显然524

N+=是最小解，所以N的

最小值为19．

【例 3】 已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数

是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?

【分析】 设甲乙两个数为4x ，4y ，

(x 和y 都不等于1或72),则x ，y 两数互质，于是4x ，4y 的最小公倍数为4xy ，所以

288724xy ==，327223=?，由于x ，y 互质，所以2或3不可能在x ，y 的因子中都出现，所以x ，y 一个是8一个是9，所以两数的乘积等于44441152y x xy ?=?=，和为()4448968x y +=?+=.

【例 4】 有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到

15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：⑴说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果约数、倍数

告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．【分析】⑴首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对．不然，其中说的不对的编号乘以2

后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相

邻的两位同学说的不对”不符合．因此，这个数能

被2，3，4，5，6，7都整除．

其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，

3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学

说的也对．从而可以断定说的不对的编号只能

是8和9．

⑵这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数，

由于上述十二个数的最小公倍数是60060，

因为60060是一个五位数，而十二个数的其他

公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就

是60060．

［拓展］一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几？

［分析］最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数和是9，由于9是1个奇数，所以这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数．于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不

含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．

【例 5】 两数乘积为2800，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是___________、___________．

【分析】 422800257=??，由于其中一数的约数个数比另一数的约

数个数多1，所以这两个数中有一个数的约数为奇数个，这个数为完全平方数．故这个数只能为22、42、25、2225?或4225?．经检验，只有两数分别为42和2

57?时符合条件，所以这两个数分别是16和175．

［铺垫］ 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？ ［分析］ 91933=?=?，

所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次

方，

或者两个不同质数的平方的乘积，

前者在三位数中只有256符合条件，后者中符合

条件有100、196、484、676、225、441,

所以符合条件的有7个. 约数个数定理：

设自然数n 的质因子分解式如312123n a a a a n p p p p L .

那么n 的约数个数为()()()()()1231111n

d n a a a a =++++L

自然数的约数和为

【例 6】 两个整数A 、B 的最大公约数是C ，最小公倍数是D ，并且已知C 不等于1，也不等于A 或B ，187C D +=，

那么A B +等于多少？

【分析】 最大公约数C ，当然是最小公倍数D 的约数，因此C 是

187的约数，1871117=?，C 不等于1，只能是11C =或者

17C =．

如果11C =，那么18711176D =-=．A 和B 都是176的约数，A 和B 不能是11，只能是22，

44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C 不能是11．现在考虑17C =，那么18717170D =-=，A 和B 是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A 和B 分别是34和85，3485119A B +=+=．

【例 7】 已知A 是一个有12个约数的合数，8A 、10A 有24个约

数，12A 有40个约数，求15A 有多少个约数？

【分析】 设235a b c

A d =???，d 中不含有2、3、5因子，

那么A 的约数个数有()()()11112a b c N +++=L L L L ①(其中

N 为d 的约数个数)

8A 的约数个数为()()()41124a b c N +++=，与①比较得到

421a a +=+,于是2a =， 10A

的约数个数为()()()()()21241224a b c N b c N +++=++=，与①比较2312c

c +=+，于是1c =， 12A

的约数个数为()()()()32110240a b c N b N +++=+=，与①比较得到221b b +=+，于是0b =，

将a 、b 、c 代入①得到2N =，15A 的约数个数为

()()()12236a b c N +++=.

［铺垫］已知偶数A 不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A 的约数的个数.

［分析］ 将A 分解，2A B =，其中B 是奇数，它的约数的个数为

()1112N +=，(其中N 为B 的约数个数)，则4A 的约数个数为()1324N +=.

【例 8】 要使129m n ?这个积是56的倍数，并要使m n +最小，则

___,___m n ==．

【分析】 分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表

示．关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学的知识点：质因数的唯一分解式：

()3121231,212......,...,n b b b b n n n a p p p p p p p b b b =????为质因数，为自然数

则2212923m n m m n +?=?是555623=?的倍数，

则得到()25,25m m n m n ≥??+≥?为整数，使m n +最小，则31m n =??=?

．

【例 9】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的

数共有多少个？

【分析】 完全平方数，所有质因数必成对出现．

327223266=?=??，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，

2313119222008232322048??=<

［铺垫］有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最

小值为_____．

［分析］考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧．设

中间数是x,则它们的和为5x, 中间三数的和为3x．5x

是平方数，设22

31535

==??是立方数，

x a a

=?,则25x a=．22

x a

55

所以2a至少含有3和5的质因数各2个, 2a至少是225,

中间的数至少是1125．最小数的最小值为1123．

【例10】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已

知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都

是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少

人？(请写出最现实的答案)

【分析】五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为2A，一

二年级的学生人数为2B，则()()

=+-，而1533317

153A B A B

=??，

所以，()

-可能为153和1；17和9；51和3，由这

A B

A B

+与()

三个答案得到的A和B的值分别为：77和76，13和

4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不

符合现实，所以27

A=，24

B=为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为576

人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为

++=人.

7295766761981

［铺垫］能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？

［分析］ 假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，

那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.

【例11】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称

这个数为“智慧数”，比如16=2253-,16就是一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智

慧数”是_______．

【分析】 22a b -=()()a b a b +-．因为()a b +与()a b -同奇同偶，

所以“智慧数”是奇数或是4的倍数．

对于任何大于1的奇数21n +(1n ≥)，当1a n =+，b n =时，

都有22a b -=22(1)n n +-=21n +．

即任何大于1的奇数都是“智慧数”．

对于任何大于4的4的倍数4n (2n ≥)，当1a n =+，1

b n =-时，都有22a b -=22

(1)(1)n n +--=4n ．

即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”．除

了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整除

的偶数，“智慧数”约占全部正整数的

34．3200326714÷≈，为26724668÷=，加上1和4这两个非“智慧数”，在1～2672中共有非“智慧

数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672－

670=2002(个)．所以第2003个“智慧数”是

2673．

【例12】 （2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它

们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）． 【分析】

（法一）设这两个数分别是a 和14a +，则2a 与()214a +两个数的末两位相同，即2a 与()228196a a ++的末两位相同，所以()28196a +是100的倍数，a 个位只能是3或8．先设

103a k =+，则28196280280a k +=+，当4k =，9时满足条件，但9k =时较大的两位数大于100不合题意．再设108a k =+，可求得1k =，6时满足条件．

所以一共有(43,57)、(18,32)、(68,82)三组答案． （法二）()()()()22

141414287a a a a a a a +-=+++-=+,()287a +是100

的倍数，所以()7a +是

25的倍数，符合条件的a 只有18、43、68． 1． 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自

然数的平方和等于365，则这两个连续自然数为_______，这三个连续自然数为_______．

【分析】 22

1314365+=， 所以这两个连续自然数为13、14，

222

101112365++=101112巩固精练

2．

有n 个自然数相加：123n aaa ++++=L (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么n =__________．

【分析】 (1)1232n n n aaa +++++==L ，(1)221112337n n aaa a a +==??=???，由于a 是个一位数，

n 与1n +是两个相邻的整数，只有当6a =，36n =时满

足题意，所以所求的n 为36．

3． 已知A 有12个约数，9A 有24个约数，15A 有36个约数，5A

有多少个约数？

【分析】 设35a b A B =，有()()1112a b N ++=个约数，(N 为B 的约数个数)，

于是9A 有()()3124a b N ++=个约数，所以1a =，15A 有()3236b N +=个约数，由此求得0b =，6N =，所以5A 有()()12424a b N N ++==个约数.

4． A 、B 两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约

数是18．已知A 有12个约数，B 有8个约数，那么A B +=______．

【分析】 121823=?，A 、B 至少含有两个3和一个2．因为A 有12

个约数，121122634=?=?=?，

所以A 可能是1523?、3223?或2323?，B 有8个约数，81824=?=?，所以1323B =?，于是A 只能是3223?，故3213

2323126A B +=?+?=．

5． 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，

要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那么最少要分几组?

【分析】 本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个

数的最大公约数为1，即互质，相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．将题目中的数字质因数分解如下：26213=?，33311=?，34217=?，3557=?，2

6337=?，85517=?，91713=?，1431113=?．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．