大一高数下 基本概念33页PPT
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大一高数课件第八章8-1-1多元函数的基本概念
故f(x,y) 在 (0,0点) 极限不存在 .
确定极限不存在的方法：
（1） 令 P( x, y)沿 y kx 趋向于 P0( x0, y0)，若极限值与k 有 关，则可断言极限不存在；
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y)存在，但两者不相
x x0 y y0
等，此时也可断言 f ( x, y)在点 P0( x0, y0)处极限不存在．
等都是二元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一般地，li求 mf(P)时，如f果 (P)是初等函
PP0
数，且 P0 是f(P)的定义域的内f点 (P)， 在则 点P0处连续，于 lim是f(P) f(P0).
PP0
例７ 解
求 lim xy11. x0 xy
解
3 x
x2 y2
y2 0
1 2
x
x2 y2
y2
4
所求定义域为
D {x ,( y ) |2 x 2 y 2 4 ,x y 2 }.是有界闭区域
例如 zlnx (y) 的定义域
y
D (x ,y )x y 0
当 x取遍 D上一切点时，得一个空间点集
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称为二元函数的 图形.
二元函数的图形 通常是一张曲面.
例如, zsinxy 图形如右图.
例如, x2y2z2a2
左图球面. D{x (,y)x2y2a2}.
单值分支: z a2x2y2 za2x2y2.
z
o
y
《高等数学基本概念》课件
高阶导数是函数的一阶导数的导数，表示函 数在某一点的更精细的变化情况。
高阶导数的应用
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的 形状等问题中有着重要的应用。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量，表示函数在该点附近的变化趋势。
微分的性质
微分具有一些重要的性质，如线性性质、微分与积分的关系等，这些性质在解决实际问题中有着广泛 的应用。
详细描述
重积分是指对一个函数在某个区域上的积分，它可以用 来计算体积、表面积等几何量。曲面积分则是对一个函 数在曲面上的积分，可以用来计算曲面面积和其他相关 量。在计算重积分和曲面积分时，需要掌握相应的计算 方法和技巧，如分割法、近似法等。
06 常微分方程
常微分方程的定义与性质
总结词
理解常微分方程的基本定义和性质是 解决常微分方程的基础。
详细描述
在多元函数中，极值问题可以分为无约束极值和约束 极值两类。无约束极值是指在给定区域内寻找函数的 最大值和最小值，而约束极值则是在某些约束条件下 寻找函数的最大值和最小值。在解决极值问题时，需 要掌握相应的求解方法和技巧，如梯度法、拉格朗日 乘数法等。
重积分与曲面积分
总结词
重积分和曲面积分是多变量微积分中的重要概念，它 们在计算体积、表面积和其他复杂几何形状的量时非 常有用。
科学研究
在各个科学领域，高等数学都发挥着 重要的作用，为科学研究提供了强大 的数学支持。
高等数学与初等数学的区别
01 高等数学涉及的概念更加抽象和复杂，需要更高 的思维能力和理解能力。
02 高等数学的应用范围更广，可以解决更为复杂和 广泛的实际问题。
03 高等数学对数学语言的运用更加丰富和深入，需 要更高的数学素养和表达能力。
高阶导数的应用
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的 形状等问题中有着重要的应用。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量，表示函数在该点附近的变化趋势。
微分的性质
微分具有一些重要的性质，如线性性质、微分与积分的关系等，这些性质在解决实际问题中有着广泛 的应用。
详细描述
重积分是指对一个函数在某个区域上的积分，它可以用 来计算体积、表面积等几何量。曲面积分则是对一个函 数在曲面上的积分，可以用来计算曲面面积和其他相关 量。在计算重积分和曲面积分时，需要掌握相应的计算 方法和技巧，如分割法、近似法等。
06 常微分方程
常微分方程的定义与性质
总结词
理解常微分方程的基本定义和性质是 解决常微分方程的基础。
详细描述
在多元函数中，极值问题可以分为无约束极值和约束 极值两类。无约束极值是指在给定区域内寻找函数的 最大值和最小值，而约束极值则是在某些约束条件下 寻找函数的最大值和最小值。在解决极值问题时，需 要掌握相应的求解方法和技巧，如梯度法、拉格朗日 乘数法等。
重积分与曲面积分
总结词
重积分和曲面积分是多变量微积分中的重要概念，它 们在计算体积、表面积和其他复杂几何形状的量时非 常有用。
科学研究
在各个科学领域，高等数学都发挥着 重要的作用，为科学研究提供了强大 的数学支持。
高等数学与初等数学的区别
01 高等数学涉及的概念更加抽象和复杂，需要更高 的思维能力和理解能力。
02 高等数学的应用范围更广，可以解决更为复杂和 广泛的实际问题。
03 高等数学对数学语言的运用更加丰富和深入，需 要更高的数学素养和表达能力。
高等数学完整详细PPT教案
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C {x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, {x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
第6页/共259页
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a
a ;
bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
第7页/共259页
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集， 如果对于每个数x D, 变量 y按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
2 t2
,5(t
2
1)
(t 2
2 1)2
；
3、(4,6)；
七、 y ln 1 x ,(1,1). 1 x
2、1,1； 4. (0, 2] .
第31页/共259页
第32页/共259页
一、基本初等函数
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
第33页/共259页
2
2
2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限
次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可
用一个式子表示的函数,称为初等函数.
第47页/共259页
例1
设
e x , f (x)
C {x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, {x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
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5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a
a ;
bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
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二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集， 如果对于每个数x D, 变量 y按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
2 t2
,5(t
2
1)
(t 2
2 1)2
；
3、(4,6)；
七、 y ln 1 x ,(1,1). 1 x
2、1,1； 4. (0, 2] .
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一、基本初等函数
1.幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
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2
2
2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限
次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可
用一个式子表示的函数,称为初等函数.
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例1
设
e x , f (x)
高数知识点总结PPT课件
时,为右导数 时,为左导数
可微
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第
二
章
导数 与 微分
• 应用:
(1) 利用导数定义解决的问题 求分段函数在分界点处的导数 由导数定义证明一些命题
(2) 用导数定义求极限 (3) 求曲线的切线与法线 (4) 微分在近似计算与误差估计中的应用
第10页/共33页
第
二
章
导数 与 微分
二、导数和微分的求法
第
一
章
函数 与 极限
一、函数
1. 特性 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 2. 反函数 3. 复合函数 4. 初等函数
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第
一
章
函数 与 极限
二、 极限
1. 极限定义的等价形式
(以 x x0为例 )
" "
(即 f ( x) A为无穷小)
有
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第
一
章
函数 与 极限
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的Байду номын сангаас质; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2, 2
arcsin x ~ x,
ex 1 ~ x,
(1 x) 1 ~ x.
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第
一
章
函数 与 极限
4. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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3. 有关中值问题的解题方 法 利用逆向思维，设辅助函数. 一
般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在,多 用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数. (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函 数，可考虑用柯西中值定理 .
大一高数知识点PPT课件
在三个坐标轴上的分向量： a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
.
16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
.
6
M 1 P x 2 x 1 , PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
.
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
.
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
由图分析可知
a a x y ||a a ||c co o向 量 的ss
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
.
16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
.
6
M 1 P x 2 x 1 , PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
.
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
.
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
由图分析可知
a a x y ||a a ||c co o向 量 的ss
《高等数学下》课件
教学目标
1 掌握高等数学下各个重要知识点的概念和性质。 2 培养解决实际问题的数学建模和分析能力。 3 提高逻辑思维和分析问题的能力。
课程安排和考核
1
课程安排
每周3学时
2
考核方式
闭卷考试：60%；实践项目：40%
3
考核内容
课堂作业、实验报告、小组项目等
学习策略
理论与实践相结合
通过理论学习和实际应用相结合的方式，提高学生对数学知识的理解和运用能力。
积极参与课堂讨论
鼓励学生积极参与课堂讨论，提问和解答问题，加深对数学概念和问题的理解。
多样化的学习资源
为学生提供多样化的学习资源，如教材、习题集、在线教学平台等，帮助学生更好地掌握课 程内容。
课程资源
教材与参考书
《高等数学下》教材、相关参考 书籍
在线学习平台
学校提供的在线学习平台，包括 课程资料、习题库、讨论区等。
主要包括多元函数微分学、重积分与曲线积分、无 穷级数等内容，是进一步学习与应用高等数学的关 键。
高等数学下的主要内容
多元函数微分学
学习多元函数的概念、极限、连续性、偏导数等重要概念和性质。
重积分与曲线积分
掌握重积分和曲线积分的基本定义和计算方法，理解曲线积分在工程、物理等领域的应用。
无穷级数
深入了解级数的概念、收敛性、敛散判别法等基本概念，学习级数计算和应用技巧。
《高等数学下》PPT课件
本课件是关于《高等数学下》课程的完整介绍和内容概要。通过本课件，您 将了解到该课程的教学目标、课程安排和考核、学习策略以及课程资源等重 要信息。
课程介绍
课程背景
《高等数学下》是继《高等数学上》之后的一门高 等数学课程，是深化和扩展大学生的数学基础能力 的重要课程之一。
大一高数下知识点总结ppt
大一高数下知识点总结ppt一、前言大一高数下学期是一门重要的数学基础课程，涵盖了较为复杂的数学知识和技巧。
为了帮助同学们更好地掌握和理解这门课程，本文将通过PPT的形式，对大一高数下知识点进行总结和梳理，以期提供一个清晰的学习框架。
二、函数与极限1. 函数与映射- 函数的定义和性质- 常见函数的种类及其图像2. 极限与连续- 极限的概念和性质- 极限运算法则- 连续函数的定义和判定方法三、导数与微分1. 导数的定义- 导数的几何意义- 导数的计算方法2. 导数的应用- 函数的极值与最值- 函数的单调性分析3. 高阶导数和微分- 高阶导数的定义和计算 - 微分的概念和应用四、不定积分与定积分1. 不定积分- 基本积分表及其应用 - 积分法与换元积分法2. 定积分- 定积分的定义和性质- 牛顿-莱布尼茨公式的应用3. 微积分基本定理- 函数的原函数与定积分- 第一、第二类换元积分法五、常微分方程1. 基本概念- 常微分方程的定义和分类 - 隐式解和显式解2. 一阶常微分方程- 可分离变量方程- 齐次方程和一阶线性方程3. 高阶常微分方程- 常系数线性齐次方程- 非齐次方程的特解与通解六、级数1. 级数的基本概念- 数列与数列的和的关系 - 级数的收敛与发散判定2. 常见级数- 几何级数与等比级数- 幂级数和泰勒级数七、空间解析几何1. 空间直线和平面- 直线的方程及其位置关系 - 平面的方程及其位置关系2. 空间曲线和曲面- 曲线的参数方程及其性质- 曲面的方程及其分类八、三重积分与曲线积分1. 三重积分- 三重积分的概念和计算方法- 三重积分的应用2. 曲线积分- 第一类曲线积分和第二类曲线积分 - 曲线积分的计算和应用九、多元函数微分学1. 多元函数的极限- 多元函数的极限定义和性质- 多元函数的连续与间断点2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义与计算- 多元函数的全微分3. 多元函数的极值与最值- 多元函数的极值判定条件- 多元函数的最值计算十、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念- 向量的定义和运算规则- 向量的数量积和向量积2. 空间中直线和平面的表示- 直线的参数方程和标准方程- 平面的点法式方程和一般方程3. 空间向量的应用- 向量的共线与垂直判定- 向量在物理和几何问题中的应用十一、泰勒展开与多元函数的极值1. 泰勒展开与带余项- 泰勒级数与泰勒多项式- 带余项的泰勒展开公式2. 多元函数的极值与最值- 多元函数的偏导数求极值- 使用梯度判定多元函数的极值结语以上就是本PPT对大一高数下知识点的总结，希望同学们通过学习和掌握这些知识，能够在高等数学的学习中更加得心应手，获得优异的成绩。
高等数学下册课件PPT。重大的内部教材哦.ppt
，(2)式总成立.特别当 y 0 时(2)式也应成立，
这时 x ，所以(2)式成为
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f (x x, y) f (x, y) Agx ( x )
上式两边各除以x ，再令x 0 而极限，就
得
lim f (x x, y) f (x, y) A
x0
x
z
从而，偏导数 存在，而且等于A.同样可证
x
z =B.所以三式成立.证毕.
y
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定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
z 、z 在(x,y)连续，则函数在该点可微分. x y
证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定 义的函数(对于偏导数也如此)，所以假定偏导 数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某 一邻域内必然存在的意思.设点(x x, y y)为 这邻域内任意一点，考察函数的全增量
PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 L ( yn xn )2
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二、多元函数概念
例题 定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于 每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确 定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数 (或点P的函数),记为
z f (x, y)或z f (P)
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f (P2 ) f (P) f (P1) 性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元 函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它 在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上 的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意 给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的
这时 x ，所以(2)式成为
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f (x x, y) f (x, y) Agx ( x )
上式两边各除以x ，再令x 0 而极限，就
得
lim f (x x, y) f (x, y) A
x0
x
z
从而，偏导数 存在，而且等于A.同样可证
x
z =B.所以三式成立.证毕.
y
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定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
z 、z 在(x,y)连续，则函数在该点可微分. x y
证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定 义的函数(对于偏导数也如此)，所以假定偏导 数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某 一邻域内必然存在的意思.设点(x x, y y)为 这邻域内任意一点，考察函数的全增量
PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 L ( yn xn )2
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二、多元函数概念
例题 定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于 每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确 定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数 (或点P的函数),记为
z f (x, y)或z f (P)
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f (P2 ) f (P) f (P1) 性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元 函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它 在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上 的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意 给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的