高等数学练习册

高等数学（下）练习册专业班级：___________________________________________姓名：___________________________________________学号：___________________________________________西南科技大学城市学院数学教研室编第七、八章 向量、空间解析几何、多元微分法一、填空题1、从点)7,1,2(-A 沿向量k j i a 1298-+=的方向取一段长34||=AB ，则点B （_______）.2、已知两个力)3,2,1(1=F ，)4,3,2(2--=F ，则合力F 的大小||F =________，合力F 的方向为___________________．3、设向量b a A +=2，b a k B +=，其中1||=a ，2||=b ，且b a ⊥，若B A ⊥，则k =_____．4、已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，则ABC ∆得面积是________．5、已知平面π过点)21,3(-且过直线12354zy x =+=-，则平面π的方程为_____________． 二、选择题1、方程0242222=++-++z y x z y x 表示的曲面是（ ）A 、球面B 、椭球面C 、柱面D 、锥面2、若直线l ：37423zy x =-+=-+，平面π：3224=--z y x ，则l 与π（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交而不垂直D 、l 在平面π内3、设直线l 为⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x 平面π为0224=-+-z y x ，则（ ）A 、l ∥πB 、l ⊂πC 、l ⊥πD 、l π但l 与π不垂直4、已知向量)1,1,2(-=a ，)1,3,1(-=b ，求a ，b 所确定的平面方程为（ ）A 、02=+-z y xB 、03=-+z y xC 、01632=---z y xD 、a ，b 不共面无法确定平面5、球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影方程是（ ）A 、082222=--+x y xB 、082222=--+z z yC 、922=+y x D 、⎩⎨⎧==--+0082222z x y x 三、设)4,1,1(=a ，)2,2,1(-=b ，求b 在a 方向上的投影向量．四、当k 为何值时，平面092=--+z ky x（1）过点)6,4,5(--，（2）与平面03342=-++z y x 垂直．五、求过点)1,1,1(且与平面1π：7=+-z y x 和2π：051223=+-+z y x 垂直的平面方程．六、求直线241312-=-=-z y x 与平面62=++z y x 的交点坐标与夹角．七、求下列各极限1、x xy y x )sin(lim 00→→ 2、x y x xy 110)]sin(1[lim +→→ 3、11lim )0,0(),(-+→xy xy y x4、yx y x xy +→→+++100)1(lim 5、)sin()cos(1lim 222200y x y x y x ++-→→ 6、22lim y x yx y x +++∞→+∞→八、求下列偏导数1、22ln y x z +=，求y x z z ,． 2、uvv u s 22+=，求u s∂∂．3、xxy u )1(+=，求,xu∂∂yu ∂∂． 4、yx z 2tan =，求xz∂∂．5、xy y x z arctan )(22+=，求x z ∂∂，y z∂∂． 6、⎰-=xy t dt e z 02，求x z ∂∂．九、求下列高阶偏导数1、)(sin 2by ax z +=，求yx z∂∂∂2． 2、yx xye z +=，求yx z∂∂∂2．3、22244y x y x z -+=，求x z ∂∂，yz∂∂，y x z ∂∂∂2．4、zyx u =，求x u ∂∂，y u ∂∂，z u∂∂．十、设函数yx z u arctan=，求证：22x u ∂∂+22y u ∂∂+022=∂∂z u十一、求下列函数的全微分1、)ln(222z y x u ++=，求du ． 2、)cot(xy z =，求dz ．3、设),(22y x xyf z =，),(v u f 可微，求dz ． 4、22y x y z +=，求dz ． 5、yxxy z +=，求dz ．十二、设)(u xf xy z +=，xyu =，)(u f 可微，求证：xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂．十三、设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z ，求dx dy．十四、已知3=+-xy z e x，求在点)0,1,2(的全微分．第八章 微分法的应用一、填空题 1、曲线2,1,1t z tt y t t x =+=+=在1=t 处的切线方程是___________________，法平面方程是_________________________．2、若曲线32,,t z t y t x ===上一点P ，过该点的切线平行于平面42=++z y x ，则该点的坐标为_______________．3、曲面3a xyz =上任意一点的切平面与3个坐标平面围成的四面体体积是_____________． 4、函数xyz xy x u ++=在点)1,2,1(-处沿从点)1,2,1(-指向点)1,4,2(方向的方向导数是_________．5、设)ln(222z y x u ++=，则在点)2,2,1(-M 处的梯度grad u 是_______．二、选择题1、球面∑：14222=++z y x 上点)3,2,1(M 处的法线方程是（ ）A 、B 、C 、D 、2、若22),(y y x y x f +=，则),(y x f 在点)2,1(P 处的梯度grad f 是（ ）A 、)2,4(B 、)5,4(C 、)5,3(D 、)2,3(3、设直线l ：⎩⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上而平面π与曲面22y x z +=相切与点)5,2,1(-，则b a ,的值是（ ）A 、2,5-=-=b aB 、2,5==b aC 、2,5=-=b aD 、2,5-==b a4、已知22)(4),(y x y x y x f ---=，则),(y x f 在驻点)2,2(-取得（ ）A 、极大值B 、极小值C 、不取得极值D 、是否取得极值无法确定 5、设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,)(),(2222232222y x y x y x y x y x f ，则),(y x f 在点)0,0(A 、可微B 、偏导数存在但不可微C 、偏导数不存在D 、不连续三、求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面与法线方程．四、试证：曲面a z y x =++)0(>a 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a ．五、给定曲线Γ：t z t y t x sin 6,cos 6,===，求证：存在一个定向量a ，使Γ的切向量成定角．六、求函数的极值1、求122+-+++=y x y xy x z 的极值．2、求由方程010422222=--+-++z y x z y x 所确定函数),(y x f z =的极值．七、求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点)1,1,1(处的切线方程和法平面方程．八、设y x z arctan=，而v u y v u x -=+=,，求证：22vu v u v z u z +-=∂∂+∂∂九、求下列条件极值1、用拉格朗日法求xyz z y x f =),,(在条件1=++z y x 下的极值．2、在xoy 平面上求一点使它到,0,0==y x 及0162=-+y x 三平面的距离平方和最小．3、求内接于半径为a 的球有最大体积的正方体．十、求曲面2222=++++yz xz z y x 的最高、最低点的坐标．第九章 重积分一、填空题1、若D 是由1||||≤+y x 所确定的区域，则⎰⎰+Dy x d e σ=__________. 2、若D 是由圆周122=+y x 及坐标轴在第一象限围成的闭区域，利用极坐标计算⎰⎰++--Dd yx y x σ222211=_____________． 3、若22224:ππ≤+≤y x D ，则⎰⎰+Ddxdy y x 22sin=_____________．4、若:Ω由1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成，则⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz=___________． 5、利用三重积分计算平面1=++czb y a x )0,0,0(>>>c b a 和坐标面围成的几何体体积是______________．二、选择题1、若1D ：)0,0(122≥≥≤+y x y x ，D ：122≤+y x ，则=1I ⎰⎰--Dd y x σ221，=2I⎰⎰--12214D d y x σ的大小关系是（ ）A 、21I I >B 、21I I <C 、21I I =D 、21,I I 不相等2、设),(y x f 为连续函数，则⎰⎰1020),(xdy y x f dx =（ ）A 、⎰⎰1020),(ydx y x f dy B 、⎰⎰21),(ydx y x f dy C 、⎰⎰2121),(ydx y x f dy D 、⎰⎰2210),(y dx y x f dy3、设D 是平面上以)1,1(A ，)1,1(-B 和)1,1(--C 为顶点的三角形，1D 是它的第一象限部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (=（ ）A 、⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x B 、⎰⎰12D xydxdyC 、⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy D 、04、若Ω是由曲面z y x 222=+，及平面2=z 所围成的闭区域，则⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22=（ ） A 、π4 B 、π2 C 、π D 、π3165、三、画出平面区域，并计算二重积分 1、⎰⎰-Dd y x σ)(22，D ：π≤≤≤≤x x y 0,sin 0． 2、⎰⎰+Dd y x σ)(22，D 由)0(3,,>=+==a a y a x y x y 共同围成．四、先交换积分顺序再计算：⎰⎰+11321xdy yxy dx ．五、求由曲面22y x z +=，及2226y x z --=所围成的立体体积．六、求⎰⎰--Dd y x R σ222，其中D 由Rx y x =+22围成．七、利用极坐标计算下列二重积分 1、⎰⎰Dd xyσarctan，其中D 是由圆周422=+y x ，122=+y x 及直线x y y ==,0围成的第一象限区域． 2、⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及x 轴，y 轴所围成的第一象限闭区域．八、把下列积分化为极坐标系下的形式并计算积分 1、⎰⎰-+ax a dy y x dx 02222 2、⎰⎰-+220222)(x x dy y x dx九、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下的面积．十、求由2x y =及1=y 所围成的均匀薄片(面密度为ρ)对x 轴的转动惯量．十一、化下列三重积分为三次积分 1、⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(，其中Ω是由平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体．2、⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(，其中Ω是由曲面22y xz +=，2x y =及平面0,1==z y 所围成的闭区域．十二、计算下列三重积分 1、⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22，其中Ω是由锥面)(425222y x z +=及平面5=z 所围成． 2、⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由锥面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域．3、设Ω是由H z z y x ≤≤≤+0,222所确定的闭区域，求⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(十三、利用球坐标计算下列三重积分 1、设物体的体密度=ρ222z y x ++，物体Ω由z z y x 2222=++及0≥y 围成，求Ω的质量． 2、⎰⎰⎰Ω++dv z y x)(222，其中Ω是半球1222≤++z y x ，且0≥z ．3、⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由222z y x ≤+及2222)(a a z y x ≤-++所确定．十四、计算三重积分⎰⎰⎰Ωxydv ，其中Ω为柱面122=+y x及平面0,0,0,1====y x z z 所围成的第一卦限的区域．十五、⎰⎰⎰Ω+dv y x)(22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的闭区域．十六、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积．第十章 曲线积分和曲面积分一、填空题1、若L 为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段，则⎰+Lds y x )(=________．2、设L 是单位圆122=+y x ，则线积分⎰+Ly x ds e22=________．3、设L 为椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则⎰++Lds y x xy )432(22=______． 4、设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限的部分，则⎰-Lydx xdy 2=_______．5、设S 为半球面)0(1222≥=++x z y x ，则⎰⎰++SdS z y x )(=________．二、选择题1、若L 是从点)1,2,3(A ，到点)0,0,0(B 的直线段AB ，则⎰-+Lydz x dy zy dx x 2233=（ ）A 、487 B 、487- C 、235 D 、235-2、计算椭圆的周长))0(1(2222>>=+b a by a x ，用第一型线积分的式子正确的是（ ）A 、⎰-+aa dsb y a x 22)2()2( B 、⎰-+b b dx dxdy2)(1C 、⎰-+aads dx dy 2)(1 D 、⎰+π202222sin cos dt t b t a3、设L 为122=+y x 的正向，则⎰-Lydx xdy =（ ）A 、0B 、πC 、π2D 、π44、用线积分计算平面图形的面积的公式是(其中L 平面图形的边界)（ ）A 、⎰-L ydx xdy 21 B 、⎰-Lxdy ydx 21 C 、⎰-Lydx xdy D 、⎰-Lxdy ydx5、下列式子是某一二元函数),(y x u 在全平面上的全微分的是（ ）A 、ydy xdx -B 、dy y x xdx y x y )(2)(22222+-+ C 、ydy y ydx x 2cos 3cos 33sin sin 4-D 、dy y xy y x dx y xy x )51215()354(4322433+-+-+三、计算下列线积分1、⎰Lxds ，L 为直线x y =及抛物线2x y =围成的边界．2、⎰+Lds y x 22，其中L 为ax y x =+22．3、⎰Γzds ，其中空间曲线)10(,sin ,cos :≤≤===Γt t z t t y t t x ．4、⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周222a y x =+在直线x y =及x 轴在第一象限内的边界．四、1、计算线积分⎰+-Lydz dy dx ，L 为闭折线ABCA ，这里)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(C B A ．2、求⎰+-Lxdy dx y a )2(，L 是摆线)0)(cos 1(),sin (>-=-=a t a y t t a x 的第一拱，其方向是t 增加的方向．3、计算⎰Ldx y 2，其中错误！不能通过编辑域代码创建对象．是上半圆弧222a y x =+)0(≥y 逆时针方向．五、利用格林公式计算下列积分1、⎰+++-Ldy x y dx x y x x y )sin ()cos (222，其中L 是上半圆域222a y x ≤+)0(≥y 的边界，逆时针方向．2、⎰++-Ly x xdy ydx 221，其中L 为122=+y x 按逆时针方向．六、计算下列各题1、求变力)2,3(x y x y F -+=沿椭圆4422=+y x 正向一周所做的功．2、⎰+-Lyx xdy ydx 22，L ：2)1(22=+-y x 取逆时针方向．七、证明：22yx ydyxdx ++在半平面0>y 内是二元函数的全微分，并求出这个二元函数．八、计算下列曲面积分1、⎰⎰∑++dSyxz)342(，其中)0,,(1432:≥=++∑zyxzyx．2、⎰⎰∑++-dSzyxx)222(2，其中)0,,(622:≥=++∑zyxzyx．九、计算下列各题1、⎰⎰∑dxdyz2，其中∑是上半球面2222azyx=++的上侧．2、⎰⎰∑++dxdyzdzdxydydzx222，其中∑是2222Rzyx=++在第一卦限部分的上侧．十、利用高斯公式计算下列曲面积分 1、⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑是曲面22y x z +=与1=z 所围成立体表面外侧． 2、⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2222，其中∑是上半球面2222a z y x =++且0≥z 表面外侧．十一、计算曲线积分⎰Lyds 和⎰Lydx ，其中L 为上半圆周222a y x =+顺时针方向的半圆弧．十二、计算下列对坐标的曲线积分1、⎰-Ldx y x )(22，其中L 是由抛物线2x y =上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧．2、⎰+Lxdy ydx ，其中L 是圆周t R y t R x sin ,cos ==对应0=t 到2π=t 的一段弧．第十一章 无穷级数一、填空题1、级数∑∞=+-112)1(n p nn其中p 为常数，若级数绝对收敛，则p 的取值范围是_____________．2、级数∑∞=+111n na (0>a 为常数)，则当a 取值范围是_____________时级数收敛． 3、若级数∑∞=1n nu收敛，那么∑∞=100100n nu_____________(收敛或发散)．4、级数∑∞=--113)1(n nn 的收敛性是________________．5、级数∑∞=--115)1(n nn n x n 的收敛区间是__________________． 二、选择题1、下列说法正确的是（ ）A 、若0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=1n n u 收敛B 、k 为任意常数，∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 有相同的收敛性C 、若级数∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=+1)32(n n n v u 发散D 、若级数∑∞=1n n u 收敛，那么∑∞=12n nu 也收敛 2、下列级数中，收敛的是（ ）A 、∑∞=11n nn n B 、∑∞=++1)2(1n n n n C 、∑∞=123n n n n D 、∑∞=+-1)3)(1(4n n n 3、下列级数中条件收敛而非绝对收敛的级数是（ ）A 、∑∞=+-1)1()1(n n n n B 、∑∞=--1)13()1(n n n C 、∑∞=-12)1(n n n D 、∑∞=-1sin)1(n nn n ππ4、幂级数∑∞=-1)1(n nn x n 的收敛域是（ ） A 、)1,1(- B 、]1,1(- C 、)1,1[- D 、]1,1[-5、下列幂级数中，收敛半径21=R 的是（ ） A 、+⋅++⨯+⨯nnn x x x 3323122 B 、 +⋅⋅⋅⋅++⨯+)2(6424222n x x x n C 、 +++++nn x n x x 125222222 D 、 ++++n nx x x 22 三、判断下列级数的敛散性1、∑∞=-22)1(32tan n n 2、∑∞=15!)2(n n n n n3、∑∞=+-1)1413(n nn n 4、∑∞=23)(ln 1n n四、判断下列级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛1、∑∞=+-1)1ln()1(n n n 2、∑∞=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1)12(31)2(42)1(n n n n3、∑∞=15 sin2!nnnnnnπ4、∑∞=-1!2)1(nnnn五、求下列幂级数的收敛区间1、∑∞=+ 03n nnnx2、∑∞=--115)1(nnnnxn3、∑∞=11nnxn4、)0(11>≥+∑∞=baxbannnn七、利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数1、∑∞=-11n n nx2、∑∞=1441n nxn3、∑∞=13!3n nx n n 4、∑∞=--121)1(n n n x n八、将下列函数展开成x 的幂级数，并指出展开式成立的区间1、65522+--x x x 2、x x x -+1)(3823、)1ln()1(x x ++第十二、 微分方程一、填空题1、方程0=-'y y x 满足4|2==x y 的解为y =___________________．2、微分方程21x xydx dy +=的通解y =___________________． 3、方程yx ey -='2满足条件0|0==x y 的特解为y =___________________．4、微分方程2211x y y --='的通解y =___________________．5、微分方程023=+'-''y y y 的通解y =___________________． 二、选择题1、微分方程0ln =-'y y y x 的通解为(其中C 为常数) （ ）A 、x Ce y =B 、Cx e y =C 、21C e C y x +=D 、21C x C e y +=2、微分方程y y x y ln sin ='，在初始条件e y x ==2|π下的特解是（ ）A 、2tanx C e y = B 、2tan x Ce y = C 、2tan x e y = D 、xey tan =3、若微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P 是全微分方程，则必有（ ）A 、y P x Q ∂∂=∂∂ B 、y Q x P ∂∂=∂∂ C 、x Q y P ∂∂-=∂∂ D 、yQx P ∂∂-=∂∂ 4、微分方程02=-'+''y y y 的的通解形式为（ ）A 、x x e C e C y 221+=-B 、x x eC e C y 221-+= C 、x x e C e C y 221+=D 、x x e C e C y 221--+=5、微分方程为xe y y y -=+'+''3的特解形式为（ ）A 、x ae y -*=B 、x e b ax y -*+=)(C 、x e c bx ax y -*++=)(2D 、x e y -*=三、求下列微分方程的通解1、0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x2、0)()(22=-++dy y x y dx x xy 3、)0(22>-+='x y x y y x4、)ln (ln x y y dxdyx-=四、求下列微分方程的通解1、xxe y y x =+' 2、02)(3=--xdy dx x y3、x ey x y dx dy 3+= 4、0sin )1(cos =++-ydy e ydx x五、求下列微分方程的通解1、0)2(=-+dy y xe dx e yy2、dy dx dy dx y x +=-+))((3、03='-''y y4、096=+'-''y y y5、0136=+'+''y y y6、0294=+'+''y y y ，15)0(,0)0(='=y y7、x xe y y y =+'+''28、1252+='+''x y y六、设函数)(x y y =满足微分方程xe y y y 223=+'-''，其图形在点)1,0(处的切线与曲线12+-=x x y 在该点切线重合，求)(x y y =．七、求一曲线方程，设曲线过原点，且其上任一点),(y x 处的切线斜率为y x +2．八、设曲线积分⎰-+L dy x x xf dx x yf ])(2[)(2在右半平面)0(>x 内与积分路径无关，其中)(x f 可导，且1)1(=f ．求)(x f ．模拟测试题（一）一、试解下列各题1、计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域．2、计算曲线积分(2)()L a y dx a y dy ---⎰，其中L 是(sin )cos x a t t y a a t=-⎧⎨=-⎩从0t =至2t π=的弧段．3、设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明：1z z x y∂∂+=∂∂．二、解下列各题1、求曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)的切平面方程．2、设3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y xy x y f x y x y x y ⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩，求(0,0)x f ，(0,0)y f ．3、求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值．三、计算22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是锥面z =在01z ≤≤的那一部分．四、判别级数1n n π∞=的敛散性．五、求微分方程2(1)()0x dy xy x dx ++=的通解．六、计算曲线积分22(23)(2)Lx y x y dx x y xy dy +-+-+⎰，其中L 是圆周222x y x +=的逆时针方向．模拟试题（二）一、试解下列各题1、设2ln z u v =，而x u y =，32v x y =-，求z x ∂∂．2、判别级数1n ∞=3、判别级数1sin()(ln 3)n n na ∞=∑是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、求微分方程3420y y y '''-+=的通解．二、试解下列各题1、函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=所确定，求,x y z z ．2、求曲线21xyz x y =⎧⎨=⎩在点(1,1,1)处的切线和法平面方程．3、计算二重积分22D x d y σ⎰⎰，D 是由直线2,2,1x y xy ===所围成的区域．4、求微分方程1y dy xe dx +=的通解．三、利用高斯公式计算222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是曲面22z x y =+，与1z =所围成的表面外测．四、计算曲线积分222(cos )(sin )L y x x y x dx y x dy -+++⎰，其中L 是上半圆周域222x y a +≤，0y ≥的边界，取逆时针方向．五、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体的体积．。