新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课件：1.3+第2课时+补集及综合运用
知识点2 补集
思考2：怎样理解补集？ 提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则 不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给 定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选 全集的不同，得到的补集也是不同的．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 补集的基本运算
例 1 (1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝ {1,4,6}，则集合B＝______{_2_,3_,_5_,7_}______.
(2) 已 知 全 集 U ＝ {x|x≤5} ， 集 合 A ＝ {x| － 3≤x<5} ， 则 ∁UA ＝ ____{_x_|x_<_－__3_，__或__x_＝__5_}______.
所以满足题意的实数 a 的取值范围是{a|a≥98或 a＝0}．
误区警示
忽视空集的特殊性 例 4 已 知 A ＝ {x∈R|x< － 2 或 x>3} ， B ＝ {x∈R|a≤x≤2a － 1} ， 若
A∪B＝A，则实数a的取值范围为____{_a_|_a_<_1_或__a_>_3_}______. [错解] ∵A∪B＝A，∴B⊆A， 从而有aa>≤32，a－1 或2aa≤－21a<－－12， 解得 a>3. 故实数 a 的取值范围是 a>3.
集合B有以下三种情况： ①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，∴a<－4或a>4；
②当 B 是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4 或 a＝4.
Байду номын сангаас
若 a＝－4，则 B＝{2} A；若 a＝4，则 B＝{－2}⊆A；
③当 B＝{－2,4}时，－2,4 是方程 x2＋ax＋a2－12＝0 的两根，∴
基础自测
1．已知集合A＝{x|x<－5或x>7}，则∁RA＝( B )
A．{x|－5<x<7}
B．{x|－5≤x≤7}
C．{x|x<－5}∪{x|x>7}
D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}
[解析] ∵A＝{x|x<－5或x>7}，∴∁RA＝{x|－5≤x≤7}，故选B．
2．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A
＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝( A )
A．{2,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4}
D．{2,3,4,5}
[解析] ∵∁UA＝{2,5}，∴(∁UA)∪B＝{2,5}∪{2,4}＝{2,4,5}．
3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝
[方法点拨] ∅有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A∩∅＝ ∅；(2)对于任意集合A，皆有A∪∅＝A，因此，如果A∩B＝∅，就要考虑集 合A或B可能是∅，如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是∅.
学科素养
“正难则反”思想的应用 “正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以 从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用
第一章
集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及综合运用
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 全集 1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就
称这个集合为___全__集___. 2．记法：通常记作U. 思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的
题型三 与补集相关的参数值的求解
例 3 已知集合A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅， 求实数a的取值范围．
[分析] 由于集合A包含两个不等式，若直接利用交集不为空集求 解，则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手．
[解析] 因为 A＝{y|y>a2＋1 或 y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先 考虑当 A∩B＝∅时 a 的取值范围，在数轴上表示集合 A，B，如图所示．
－a＝－2＋4 a2－12＝－2×4
，∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A 时，a 的取值集合为{a|a<－4 或 a＝－2 或 a≥4}．
∴B∪A≠A 的实数 a 的取值集合为{a|－4≤a<4 且 a≠－2}．
[归纳提升] 补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路， 今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可 能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功 能，这是转化思想的一种体现．
【对点练习】❸ 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则 实数a的取值范围为_____{_a_|a_≥__98_或___a_＝__0_}____.
[解析] 假设集合 A 中含有 2 个元素，即 ax2＋3x＋2＝0 有两个不相 等的实数根，则aΔ≠＝09，－8a>0， 解得 a<98且 a≠0，则此时实数 a 的取值 范围是{a|a<98且 a≠0}．在全集 U＝R 中，集合{a|a<98且 a≠0}的补集是 {a|a≥98或 a＝0}．
由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}．
[归纳提升] 求集合的补集的方法 1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． 2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集． 3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时 需注意端点问题．
【对点练习】❶ (1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则
[分析] (1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义 求出集合B，也可借助Venn图求解．
(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
[解析] (1)∵A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}． (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
[错因分析] 由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有 A∪∅＝A，所以错解忽略了B＝∅时的情况．
[正解] ∵A∪B＝A，∴B⊆A．
①当 B≠∅时，有aa>≤32，a－1 或2aa≤－21a<－－1，2， 解得 a>3. ②当 B＝∅时，由 a>2a－1，得 a<1. 综上可知，实数 a 的取值范围是{a|a<1 或 a>3}，故填{a|a<1 或 a>3}．
∁UA＝( B) A．∅
B．{2}
C．{5}
D．{2,5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a
＝_____.
2
[解析] (1)由题意知集合 A＝{x∈N|x≥ 5}，则∁UA＝{x∈N|2≤x＜ 5}＝{2}，故选 B．
(2)∵A∪(∁UA)＝U，且 A∩(∁UA)＝∅， ∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2.
[解析] 全集 U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA＝
{4,5，…}，则∁UB＝{3,4,5，…}，则∁UA ∁UB．
5 ． 已 知 全 集 U ， 集 合 A ＝ {1,3,5,7,9} ， ∁UA ＝ {2,4,6,8} ， ∁UB ＝
{1,4,6,8,9}，求集合B．
{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝( A ) A．{－1}
B．{0,1}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,3}
[解析] ∵∁UA＝{－1,3}，∴(∁UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}， 故选A．
4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA与∁UB的 关系是___∁_U_A___∁_UB_____.
[解析] 解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}． 又∵∁UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}． 解法二：借助韦恩图，如图所示，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}． ∵∁UB＝{1,4,6,8,9}，B＝{2,3,5,7}．
由aa≤ 2＋21，≥4， 得aa≤ ≥2，3或a≤－ 3， 故 a≤－ 3或 3≤a≤2. 即 A∩B＝∅时，a 的取值范围为 a≤－ 3或 3≤a≤2， 故 A∩B≠∅时，a 的取值范围为 a>2 或－ 3<a< 3.
[归纳提升] 当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑 运用补集思想．其解题步骤为：(1)否定已知条件，考虑反面问题；(2)求 解反面问题对应的参数范围；(3)取反面问题对应的参数范围的补集．
则A∪(∁UB)＝_____{_1_,2_,_3_}_____；
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝( B )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}
[解析] (1)∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1,2,3}． (2)∵U ＝ R ， B ＝ {x|x ＞ 1} ， ∴∁UB ＝ {x|x≤1} ． 又 A ＝ {x|x ＞ 0} ， ∴A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}．
如图，
由图可得∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}． 如图，
高中数学(新人教A版)必修第一册：集合的基本运算【精品课件】
的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
（三）交集
【做一做】
【探究2】
已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，
则A∩B＝(
)
A．{0,2}
C．{0}
B．{1,2}
D．{－2，－1,0,1,2}
交集的性质：
[答案]
A
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；
③A∩∅＝∅； ④若A⊆B，则A∩B＝A；
（四）集合的交并运算
【巩固练习1】
(1) 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(
A．{－1,2,3}
B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3}
D．{1，－2，－3}
(2) 若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.
⑤(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.
（四）集合的交并运算
1.集合的并集运算
例1.
（1）设集合M＝{x| 2 ＋2x＝0，x∈R}，N＝{x| 2 －2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(
A.{0}
B.{0,2} C.{－2,0} D.{－2,0,2}
（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，求A∪B。
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算（第2课时）
教材分析
本小节内容选自：
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一课时
课时内容
集合的并集、交集运算
集合的补集、综合运算
所在位置
教材第10页
2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册教师用书：第1章 1.3 1.3.1 空间直角坐标系
1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系学习目标核心素养1.了解空间直角坐标系的建立过程．2．掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定．(重点)3．掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升学生直观想象的核心素养．2．通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象和数学建模的核心素养.(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？1．空间直角坐标系空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O 为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标轴x轴、y轴、z轴坐标原点点O 坐标向量 i ，j ，k坐标平面 Oxy 平面、Oyz 平面和Oxz 平面右手直角 坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，如果中指指向z 轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系空间直角坐标系中A 点坐标在空间直角坐标系中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k ，则(x ，y ，z )叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标．记作A (x ，y ，z )，其中x 叫点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，则(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系中的坐标，简记作a ＝(x ，y ，z )1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中x 轴上点的横坐标x ＝0，竖坐标z ＝0.( ) (2)空间直角坐标系中xOz 平面上点的坐标满足z ＝0.( )(3)关于坐标平面yOz 对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．( )[提示] (1)× (2)× (3)√2．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系O -xyz 的坐标向量，并且AB →＝－i ＋j －k ，则B 点的坐标为( )A ．(－1,1，－1)B ．(－i ，j ，－k )C ．(1，－1，－1)D ．不确定D [向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．]3．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，则AC 1→＝________，AC 1→的坐标是________．AA 1→＋AB →＋AD → (1,1,1) [若以{AB →，AD →，AA 1→}为基底，∵AC 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1C 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →∴AC 1→的坐标为(1,1,1)．]求空间点的坐标11111N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标．[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [解] (1)显然D (0,0,0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3， 所以A (3,0,0)．同理，可得C (0,4,0)，D 1(0,0,5)．因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，所以B (3,4,0)．同理，可得A 1(3,0,5)，C 1(0,4,5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3,4,5)．(2)由(1)知C (0,4,0)，C 1(0,4,5)，则C 1C 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，52.坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x 轴上 (x,0,0) xOy 平面上 (x ，y,0) y 轴上 (0，y,0) yOz 平面上 (0，y ，z ) z 轴上 (0,0，z ) xOz 平面上(x,0，z )坐标原点 (0,0,0)[跟进训练]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E ，F 的坐标分别为________．[答案] E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1求对称点的坐标(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标．[思路探究]求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．[解] (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)．1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P (a ，b ，c )的几种特殊的对称点的坐标如下：对称轴或对称中心对称点坐标 P (a ，b ，c )x 轴 (a ，－b ，－c ) y 轴 (－a ，b ，－c ) z 轴(－a ，－b ，c ) xOy 平面 (a ，b ，－c ) yOz 平面 (－a ，b ，c ) xOz 平面 (a ，－b ，c ) 坐标原点(－a ，－b ，－c )111222标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[跟进训练]2．点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是________，关于z 轴的对称点是________，关于M (1,2,1)的对称点是________．(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是(－3，－2，－1)，关于z 轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P (－3,2，－1)关于M (1,2,1)的对称点为(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧x －32＝1y ＋22＝2z －12＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2z ＝3.故点P (－3,2，－1)关于点M (1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]空间向量的坐标表示1．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？[提示] 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以DC →，DA →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．2．若AB →＝(a ，b ，c )，则BA →的坐标是多少？[提示] BA →＝(－a ，－b ，－c )．【例3】 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．[思路探究] 以点C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN ，BA 1→，A 1B →分别用CA →，CB →，CC 1→表示出来，再写出它们的坐标．[解] 法一：由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C -xyz ，如图所示．∴BN →＝AN →－AB →＝12CC 1→＋CA →－CB →＝CA →－CB →＋12CC 1→，∴BN →的坐标为(1，－1,1)， 而BA 1→＝CA 1→－CB →＝CA →－CB →＋CC 1→， ∴BA 1→的坐标为(1，－1,2)．又∵A 1B →＝－BA 1→，∴A 1B →的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B (0,1,0)，A (1,0,0)，A 1(1,0,2)，N (1,0,1)， ∴BN →＝(1，－1,1)，BA 1→＝(1，－1,2)，A 1B →＝(－1,1，－2)．[变条件]本例中，若把条件“AA 1＝2”改为“AA 1＝1”，结果怎样？ [解] 建系方式与例题相同，建系，BN →＝CA →－CB →＋12CC 1→，因为{CA →，CB →，CC 1→}为单位正交基底，∴BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12.又BA 1→＝CA →－CB →＋CC 1→，∴BA 1→＝(1，－1,1)． 所以A 1B →＝－BA 1→＝(－1,1，－1)．用坐标表示空间向量的步骤[跟进训练]3.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．[解] (1)由题图知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0，0,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，(2)因为E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点， 由中点坐标公式，得E (2,2,1)，F (0,1,0)．所以EF →＝(－2，－1，－1)，B 1F →＝(－2，－1，－2)，A 1E →＝(0,2，－1)．1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R ，其它为零；在谁的平面上，谁属于R ，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．”2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．1．设点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是( )A ．(1,1，－1)B ．(－1，－1，－1)C ．(－1，－1,1)D ．(1，－1,1)B [由条件知，P 1(1,1，－1)，P 1关于z 轴的对称点为(－1，－1，－1)．] 2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，15C ．(3,2,5)D ．(3,2，－5)C [AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k ，∴向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3,2,5)．]3．已知点A (1,2,2)，B (1，－3,1)，则AB 的中点M 的坐标为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，32 [AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12，2－32，2＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，32.] 4.已知P A ⊥正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且AB ＝AP ＝1，分别以DA →，AB →，AP →为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求MN →，DC →的坐标．[解] 设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3，则DC →＝AB →＝e 2，MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2) ＝－12e 1＋12e 3，∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，DC →＝(0,1,0)．。
函数的最大值、最小值【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件
第 函三 数章 的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【 必新修教第材 一】册人优教 秀A版p（ pt2课01件9） 高中数 学必修 第一册 课件(共 88张PP T) 第 函三 数章 的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【 必新修教第材 一】册人优教 秀A版p（ pt2课01件9） 高中数 学必修 第一册 课件(共 88张PP T)
第三章 3.2.1 第2课时函数的最大值、最小值-【 新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 88张PP T) 第三章 3.2.1 第2课时函数的最大值、最小值-【 新教材 】人教 A版（2 019） 高中数 学必修 第一册 课件(共 88张PP T)
第 函三 数章 的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【 必新修教第材 一】册人优教 秀A版p（ pt2课01件9） 高中数 学必修 第一册 课件(共 88张PP T) 第 函三 数章 的最大3.值2.、1 最第小2值课【时新函教数材的】最人大教值A、版最高小中值数-学【 必新修教第材 一】册人优教 秀A版p（ pt2课01件9） 高中数 学必修 第一册 课件(共 88张PP T)
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新教材高中数学第三章第2课时直线与椭圆的位置关系pptx课件新人教A版选择性必修第一册
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是(
)
A．相离 B．相切
C．相交
D．无法确定
答案：C
y = x + 1， 解析：联立ቐx2 + y2 = 1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，
2
Δ＝22＋12＝16>0， ∴直线与椭圆相交．
3．直线x＋2y＝m与椭圆x42＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(
解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以 m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)∪ 5， + ∞ ．
易错警示
易错原因
纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致 注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此
错，错误答案为[1，＋∞)． 类问题时，一定要排除圆的情况．
y = kx + m，
联立ቐ x2
a2
+
y2 b2
=
1， 消去y得一个关于x的一元二次方程
位置关系 相交 相切 相离
解的个数 __两__解 __一__解 __无__解
Δ的取值 Δ__>__0 Δ__＝__0 Δ__<__0
状元随笔
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4
1 + k2
2
＝4k2－2＞0，解
得k＜－ 22或k＞ 22，所以k的取值范围为
−∞， −
2 2
∪
2 2Βιβλιοθήκη ，+∞
.
题型 3 直线与椭圆的相交弦问题
22人教A版新教材数学必修第一册课件--补集
∁ = {|＜ − } .
把 = {| − 2＜＜4} ， (∁ ) ∩ = ⌀ 表示在同一数轴上，
如图，
由数轴可得， − ≤ −2 ，
即 ≥ 2，
所以实数 的取值范围是 ≥ 2 .
解题感悟
由集合的补集求解参数的问题
（1）如果所给集合是有限集，那么由补集求参数问题时，可利用补集的定
义并结合相关知识求解.
（2）如果所给集合是无限集，那么在求解与交集、并集、补集运算有关的
参数问题时，一般利用数轴求解.
1. 设全集 = ，集合 = {|＞1} ， = {|＞} ，且 (∁ ) ∪ = ，
3. [2020四川棠湖中学实验学校高一期中] 设全集 = ，集合 =
{| − 1＜＜3} ， = {| ≤ −2或 ≥ 1} ，则 ∩ (∁ ) = ( A
A. {| − 1＜＜1}
B. {| − 2＜＜3}
C. {| − 2 ≤ ＜3}
D. {| ≤ −2或＞ − 1}
求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助
数轴求解.
1. 已知全集 = {|＜10, ∈ ∗ } ， = {2,4,5,8} ， = {1,3,5,8} ，求
∁ ( ∪ ) ， ∁ ( ∩ ) ， (∁ ) ∩ (∁ ) ， (∁ ) ∪ (∁ ) .
≤ 2} ，求 ∩ ， (∁ ) ∪ ， ∩ (∁ ) .
[答案] 如图，
由图可得 ∁ = {| ≤ −2或3 ≤ ≤ 4}．
如图，
由图可得 ∁ = {|＜ − 3或2＜ ≤ 4} .
2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：3-1-1 第2课时 函数的定义域与值域
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 函数相等 [填一填]
1．条件：① 定义域 相同；② 对应关系 完全一致． 2．结论：两个函数相等．
[答一答] 1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？
对应关系和值域相同呢？
提示：观察下表：
函数
定义域 对应关系 值域
②f(x)＝
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝ x＋1· 1－x，g(x)＝ 1－x2；
④f(x)＝ x＋32，g(x)＝x＋3；
⑤ 汽 车 匀 速 运 动 时 ， 路 程 与 时 间 的 函 数 关 系 f(t) ＝
80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其 中 表 示 相 等 函 数 的 是 ____③__⑤______( 填 上 所 有 正 确 的 序
[变式训练 2] 求下列函数的定义域：
(1)y＝
1－x＋x＋1 5；(2)y＝1－
3 1－x.
解：(1)由已知得x1＋－5x≠≥00，， 解得 x≤1 且 x≠－5. 所求定义域为{x|x≤1 且 x≠－5}．
(2)由已知得11－－x≥1－0，x≠0， 解得 x≤1 且 x≠0. 所求定义域为{x|x≤1 且 x≠0}．
f1(x)＝x f2(x)＝2x f3(x)＝x2 f4(x)＝x2
R R [0,2] [－1,2]
x→x x→2x x→x2 x→x2
R R [0,4] [0,4]
对于 f1(x)和 f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同， 故不是同一函数；
对于 f3(x)和 f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同， 故不是同一函数．
2021学年新教材数学人教A版必修第一册课件：1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等 腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AC=2a,∠ABC=90°,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:建立空间直角坐标系,如图,取A(0,0,a),则易得B(0,0,0),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量方法证明线面垂直 例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱 AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
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素养形成
当堂检测
探究一
探究二
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素养形成
当堂检测
探究一
探究三
素养形成
当堂检测
应用空间向量解答探索性(存在性)问题 立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个: (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位 置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论; (2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、 面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且 符合该限定的范围,则存在,否则不存在.
“×”.
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相
交.( )
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1-3集合的基本运算第2课时补集课件新人教A版必修第一册
解 如图，50 名学生为全体人数，所以赞成 A 的人数为 50×35＝30，赞 成 B 的人数为 30＋3＝33.设对 A，B 都赞成的学生人数为 x，则对 A，B 都不 赞成的学生人数为3x＋1，赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30－x，赞成 B 而不赞 成 A 的人数为 33－x，所以由题意得(30－x)＋(33－x)＋x＋3x＋1＝50，即 64 －23x＝50，x＝21.所以对 A，B 都赞成的学生有 21 人，对 A，B 都不赞成的学 生有 8 人．
解 解法一：根据题意作出 Venn 图如图所示．
由图可知 A＝{1,3,9}， B＝{2,3,5,8}．
解法二：∵(∁UB)∩A＝{1,9}， (∁UA)∩(∁UB)＝{4，6,7}， ∴∁UB＝{1,4,6,7,9}． 又 U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴B＝{2,3,5,8}． ∵(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}， ∴A＝{1,3,9}．
解析 如图，在数轴上表示出集合 M，可知∁UM＝{x|0≤x≤2}．
2．已知集合 A＝{x|x 是菱形或矩形}，B＝{x|x 是矩形}，则∁AB＝( ) A．{x|x 是菱形} B．{x|x 是内角都不是直角的菱形} C．{x|x 是正方形} D．{x|x 是邻边都不相等的矩形}
答案 B 解析 由集合 A＝{x|x 是菱形或矩形}，B＝{x|x 是矩形}，则∁AB＝{x|x 是内角都不是直角的菱形}．
则∁UA＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3 或 2<x≤4}． 所以 A∩B＝{x|－2<x≤2}； (∁UA)∪B＝{x|x≤2 或 3≤x≤4}； A∩(∁UB)＝{x|2U＝{x|x＜10，x∈N*}，A⊆ U，B⊆ U，(∁UB)∩A＝{1,9}，A∩B ＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,7}，求集合 A，B.
新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念(第2课时)集合的表示课件新人教A版必修第一册
集合表示方法的综合应用 [探究问题] 下面三个集合： ①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们各自的含义是什么？ (2)它们是不是相同的集合？
提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的 x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
A．{(－2,2)} B．{－2,2}
C．{－2}
D．{2}
2．用描述法表示函数y＝3x＋1
C [该集合是点集，故可表示
图象上的所有点的是( )
为{ (x，y)|y＝3x＋1} ，选C.]
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
3．用描述法表示不等式4x－ 5<7的解集为________．
用列举法表示集合的 3 个步骤 1求出集合的元素； 2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3用花括号括起来. 提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合， 一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{2，3， 5，－1}.
1．用列举法表示下列集合： (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A； (2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M； (3)方程组2x－x＋y＝y＝18， 的解组成的集合B； (4)15的正约数组成的集合N.
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所 以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2 ＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集 合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物 线y＝x2＋1上的点}．
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.