自动控制原理(Ⅱ)2014秋自控第五章4.2.5-第五章
自动控制原理 第五章(第四和五次)
6
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)
Im
K=100
P=0; R=-2;
Z=0-(-2)=2 闭环系统在 s 右半平面有两个 极点，系统不稳定
-1
+∞
ω=0
Re
闭环传递函数在复平面右半平面有Z个极点
Z PR
R(>0)为Nyquist曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数; R(<0)为Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点的圈数;
➢只要在这个闭合曲线 内没有F(s)的零点，系 统即为稳定的。
+∞ Im ∞
O Re
-∞
3
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
➢对于真有理分式，s等于无穷
大的时候，|G(s)H(s)|=0，在
+∞ Im
G(s)H(s)曲线中对应坐标原点。
∞
➢我们只需考察S在虚轴上取值
O
的情况
Re
➢ s j 在复平面上的
自动控制原理
(2)开环传递函数含ν 个积分环节 ν型系统
Ga (S )
K S (TS 1)
Im
-1
0
(a)ν=1,从 0 点逆时针
0 Re
补画半径为无穷大的1/4圆。
0
P=0, N=0，Z=0，
所以，闭环系统稳定。
22
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
Im
0 -1 0
＝0
曲线G，( j就)是HN( jyq)uist曲线
-∞
4
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理第五章
自动控制原理第五章为了实现各种复杂的控制任务，首先要将被控制对象和控制装置按照一定的方式连接起来，组成一个有机的整体，这就是自动控制系统。
在自动控制系统中，被控对象的输出量即被控量是要求严格加以控制的物理量，它可以要求保持为某一恒定值，例如温度、压力或飞行轨迹等;而控制装置则是对被控对象施加控制作用的相关机构的总体，它可以采用不同的原理和方式对被控对象进行控制，但最基本的一种是基于反馈控制原理的反馈控制系统。
折叠反馈控制系统在反馈控制系统中，控制装置对被控装置施加的控制作用，是取自被控量的反馈信息，用来不断修正被控量和控制量之间的偏差从而实现对被控量进行控制的任务，这就是反馈控制的原理。
下面是一个标准的反馈模型:开方:公式:X(n+1)=Xn+(A/Xn^2-Xn)1/3设A=5，开3次方5介于1^3至2^3之间(1的3次方=1，2的3次方=8)X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。
例如我们取2.0。
按照公式:第一步:X1={2.0+[5/(2.0^2-2.0)]1/3=1.7}。
即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，输入值大于输出值，负反馈2-0.25=1.75，取2位数字，即1.7。
第二步:X2={1.7+[5/(1.7^2-1.7)]1/3=1.71}.。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，输入值小于输出值正反馈1.7+0.01=1.71。
取3位数字，比前面多取一位数字。
第三步:X3={1.71+[5/(1.71^2-1.71)]1/3=1.709} 输入值大于输出值，负反馈第四步:X4={1.709+[5/(1.709^2-1.709)]1/3=1.7099} 输入值小于输出值正反馈这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动减小;第二步，第四步输入值偏小，输出值自动增大。
自动控制原理第五章
第一节
频率特性
一、频率特性的一般概念
二、频率特性的解析表示和频率特性曲线的绘制
三、频率特性的几点说明
一、频率特性的一般概念
1、频率特性的定义
若输入为:
r ( t) Ar si n ( ω 1) t
r(t)
G(s)
c(t)
t 则系统的稳态输出为: Cs s( t) A c si n ( ω 2 ) 特点：输出信号的稳态值频率不变、但幅值和相位发生一定的变化。选择量 化关系反映系统输出对不同频率正弦输入信号的复现能力，从而达到反映系 统特性的目的。
幅频特性： 相频特性： 频率特性：
A(ω )
Ac Ar
频率特性中，自变量频率取值范围 零至无穷，称全频特性。 全频特性将是系统性能分析的依据。
( ω ) 2 1
j G ( j ω) A ( ω) e (ω) G ( j ω) jG (j ω) e
2、频率特性的求取
1
Im
Ts 1
Im
ω
- Ts 1
ω
-1 1
Re ω=∞
1 Ts 1
Re ω=0
ω=0
-Ts 1
ω=∞
分析以下两个对应环节Nyquist曲线的区别？
( Ts 1 ) , ( Ts 1 ) ; 1 1 , ( Ts 1 ) ( Ts 1 )
不稳定环节Bode 曲线的绘制规律?
关注典型环节特征： Nyquist曲线所在象限； Bode曲线相频和幅频渐近线的绘制及对应关系； 不稳定环节特征（两种曲线联系分析）。
比例、积分、微分环节的Nyquist曲线和Bode曲线
ω=∞
Im
L(ω)=20LgA(ω) dB
自动控制原理第五章 频域分析
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
频域分析法
频率特性的概念 频率特性的极坐标图（乃氏图） 奈奎斯特稳定判据及稳定裕度 频率特性的对数坐标图（伯德图） 开环频率特性分析系统的性能 闭环频率特性分析系统的性能
基本思想：
通过开环频率特性的图形对系统进行分析。
数学模型——频率特性。
主要优点：
频率特性的极坐标图
基本概念
• 如图5.1(a)中 G( j1 )曲线所示。由这条曲线形成的图 像就是频率特性的极坐标图，又称为G( j1 ) 的幅相 频率特性。 • 如果G(jω1)以直角坐标形式表示，即 G( j1 ) R(1 ) jI (1 ) • 因此，习惯上把图5.1(b)的G(jω)曲线也叫做G(jω) 的极坐标图。
该电路的频率特性
频率特性的定义：
基于频率 的系统输入和输出之间的关系。
与传递函数的关系：G(j ) G( s) s j
设传递函数G(s)可表示成极点形式
Y ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) n U ( s) s a1s n 1 an 1s an
2
图5.3
积分环节频率特性极坐标图
（3）微分环节 纯微分环节的传递函数： G(s)=s 频率特性： G( j ) j e
j
2
幅频特性： A( )
相频特性： ( )
2
极坐标图如下图所示。
图5.4
微分环节频率特性极坐标图
（4）一阶惯性环节
1 Ts 1 1 T 频率特性： ( j ) 1 G j 2 2 1 jT 1 T 1 2T 2 1 幅频特性： ( ) M 1 2T 2
自动控制原理第五章4
令
R C =τ1 1 1
R2C2 =τ2
且设分母多项式分解为两个一次式，时间常数取 为T1 、T2 ，则上式可写成
(τ1s +1 τ2s +1 )( ) Gc (s) = (T s +1 T2s +1 )( ) 1
式中，τ1τ2 =TT2 ；并假设，T >τ1 >τ2 >T2 1 1 那么，式中前一部分为滞后校正，后一部分为超 前校正，其零、极点分布如图18所示。
·极坐标图
Gc ( jω ) =
α ⋅ 1 + ω 2τ 2
1 + ω 2τ 2α 2
⋅ ∠(tg −1ωτ − tg −1αωτ )
Gc ( j 0) = α
G c ( jω ) = 1
最大超前角发生在处 ω = ω m
(1 − α ) 2 1 − α sin ϕ m = = (1 + α ) / 2 1 + α
1−sin ϕm α= 1+sin ϕm
图13 超前网络的Bode图
从图13可知：当ω →0时Lc(ω) →0；当ω →∞ 1 时Lc(ω) →－20lg a；而当 ω =ωm = 时，
ατ
Lc (ω) = 20lg Gc ( jωm) = −10lgα
超前校正装置是一个高通滤波器。
超前校正
开环频率特性的对数坐标图 如右
2
2
串入PD控制器后系统的开环传递函数：
ωn (KP + KDs) G(s) = Gc (s)G0 (s) = s(s + 2 n ) ζω
图7 微分作用的波形图
微分控制对系统的影响可通过系统单位阶跃响 应的作用来说明。设系统仅有比例控制的单位阶 跃响应如图7（a）所示，相应的误差信号及其误 差对时间的导数分别示于图7（b）和（c）。从图 （a）可看出，仅有比例控制时系统阶跃响应有相 当大的超调量和较强烈的振荡。 微分控制反映误差的变化率，只有当误差随时 间变化时，微分作用才会对系统起作用，而对无 变化或缓慢变化的对象不起作用，因此微分控制 在任何情况下不能单独地与被控对象串联使用， 而只能构成PD或PID控制。 另外，微分控制有放大噪声信号的缺点。
自动控制原理第五章课后习题答案(免费)[1]
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自动控制原理第五章课后习题答案（免费）5－１设单位反馈系统的开环传递函数为对系统进行串联校正，满足开环增益 及 解:① 首先确定开环增益K,00()12lim v s K SG S k →===② 未校正系统开环传函为:012()(1)G s s s =+M a g n i t u d e (d B )1010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 70.5 dB (at 200 rad/sec) , P m = 16.5 deg (at 3.39 rad/sec)Frequency (rad/sec)③ 绘制未校正系统的开环对数频率特性,得到幅穿频率 3.4c ω=,对应相位角'0()164,16c G j ωγ∠=-∴=,采用超前校正装置,最大相角 0(180())4016630m c G j ϕγωγ=-+∠+=-+=④ 11sin ,31m αϕαα--=∴=+ 0()(1)KG s s s =+40γ=︒112K s -=⑤ 在已绘图上找出10lg 10lg3 4.77α-=-=-的频率 4.4m ω=弧度/秒 令c m ωω=⑥0.128/,0.385/m T s T s ωα=⇒==∴=校正装置的传函为:110.385()110.128Ts s G s Ts s α++==++校正后的开环传函为:012(10.39)()()()(1)(10.13)c s G s G s G s s s s +==++ 校正后1801374340γ=-=>,满足指标要求.-100-50050100M a g n i t u d e (d B )101010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 99.2 dB (at 1.82e+003 rad/sec) , P m = 42.4 deg (at 4.53 rad/sec)Frequency (rad/sec)5－２设单位反馈系统的开环传递函数为要求 设计串联迟后校正装置。
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
自动控制原理第五章频域分析法
振荡环节的幅相特性 振荡环节的对数幅频渐进特性
七、二阶微分环节
G(s)sn
2
2sn
1
G (j) j n 22 j n 1 1 n 2 2 j2 n
n0,01
2
G(j) (12)2422
n2
n2
G( j) arctg n 2
1
2 n
G(ju)
1
(1u2)242u2
G(j u)arc2tgu
1u2
若 u1 G (ju) arctg2u 90
1u2
振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）
u0
0.9
0.8
0.6
u 1
0.4
振荡环节的幅频、相频特性曲线
0.05
0.2 0.5 0.7
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
G(
j)
1
j
e2
相频特性是一常值 2
积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线
对数频率特性
三、微分环节
传递函数 G(s) s
j
幅相特性 G( j) e 2
相频特性是一常值 2
微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线
四、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
G(s) 1 Ts1
G(j) 1 1 ejta1nT Tj1 (T)21
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
rn12 2 ( 1/ 20 .7)0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
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2019年11月13日星期三10时21分44秒
西南石油大学 自动化 罗敏
1
第五章 线性系统的频域分析法
正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量 称为频率响应。
系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率 特性。
主要通过闭环系统中的开环频率特性的图形对系统
进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
频率响应法用频域法设计控制系统，可以兼顾动 态、稳态和噪声抑制三方面要求。
…
Gn ( j) An ()e jn () () 1() 2 () n ()
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第五章 线性系统的频域分析法
3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线 近似表示。 4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而得 到对数频率特性或传递函数。
1 j
A() 1 1
() 1 arg tan
1 j 1 2 2
1 j
频率特性的定义：
线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零 初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的傅 氏变换之比。
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第五章 线性系统的频域分析法
Xe j0 X
() --相角频率特性
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第五章 线性系统的频域分析法
例题中输入信号的复数表示为： U1me j0
例题中输出信号的复数表示为：U1m
1
1 j
j 1
e 1 j
它们之比为：G( j) 1 A()e j() A()()
频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。
G( j) P() jQ() P() A() cos() Q() A()sin()
A() P()2 Q()2 () arctan Q()
P()
二、频率特性与传递函数的关系
G( j) G(s)
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，曲线如下:
结论
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5 ω=1
ω=2
ω=2.5 ω=4
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第五章 线性系统的频域分析法
（4）频率特性主要是用于线性定常系统，频率特性与 输入正弦信号的幅值与相位无关。
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第五章 线性系统的频域分析法
三、频率特性的几种图示方法
1. 幅相频率特性曲线
它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐 标图。又称Nyquist曲线。
系统的频率特性可表示为： G( j) A()e j()
sin(t arctan ) U1m
1
1 j
sin(t 1 ) 1 j
上式表明：
对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同 频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输 入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
Ye j Y e j A()e j() A() --幅值频率特性
频率响应法也适用于含滞后环节系统和部分非线 性控制系统的分析。
具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。
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2
第五章 线性系统的频域分析法
求解
观察
线性微分方程
时间响应
性能指标
傅
氏 变
拉氏变换
拉氏反变换
换
估算 估算
传递函数
S=jω 频率特性 计算
频率响应
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对某一固定频率ω1
G( j1) A(1)e j(1)
在极坐标系中画出该向量。
ω从-∞→+∞变换时 G( j向) 量的端点在极坐标 系中随之变化形成的曲线，称为Nyquist曲线。
实频特性是ω的偶函数，虚频特性是ω的奇函数。为什么？
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第五章 线性系统的频域分析法
G( j) G1( j)G2 ( j)Gn ( j)
G1( j) A1()e j1() G2 ( j) A2 ()e j2 ()
L() 20lg A() 20lg A1() 20lg A2 () 20lg An () L1() L2 () Ln ()
第五章 线性系统的频域分析法 5-1 频率特性
频率特性是控制系统在频域中的一种数学模型，应 用频率特性研究线性系统的经典方法称为频率分析 法。
系统频率特性可简单迅速地判断某些环节或参数对 系统性能的影响，指出系统改进方向。
频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动态模 型的系统来说，很有用处。
U
2
(s)
1
s
1
U1m s2 2
其拉氏反变换为：
u2
U1m 1 22
t
e
U1m sin(t arctan ) 1 2 2
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第五章 线性系统的频域分析法
其稳态响应为：
u1 U1m sin t
lim
t
u2
U1m
1 2 2
A() G( j) () G( j)
s j
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第五章 线性系统的频域分析法
（1）任何信号都可以分解为叠加的谐波信号；
（2）频率特性是一种图解方法，根据开环频率特性判 断闭环频率特性；
（3）对于某些无法求解的微分方程或传函，可通过实 验测出其频率特性，进而求传函；
2. 对数频率特性曲线（Bode图） 半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。
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第五章 线性系统的频域分析法
•对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似 幅频特性曲线图。
采用对数坐标图的优点：
1）将低频段展开，将高频段压缩。
2）当系统由多个环
一、频率特性的定义
例：如图所示电气网络的传递函数为
R
U2 (s) 1 Cs 1 1
i
u1
C
u2
U1(s) R 1 Cs RCs 1 s 1
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t
其拉氏变换为：
U1(s)
U1m s2 2
输出拉氏变换为：