空间向量与立体几何课件
本节内容：空间向量的夹角公式，用空间向量求立 体几何中异面直线的夹角.
后续内容：向量在数学、物理上的综合运用.
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从 “定性”推理转化为“定量”计算.
《空间向量的夹角》教学说明 重点难点
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
教学重点： 1)空间向量夹角公式及其坐标表示；
知识目标 :
掌握空间向量的夹角公式及其简单应用； 提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能.
能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力； 体验从 “定性” 推理到“定量” 计算的转化，提高 分析
问题、解决问题的能力.
情感目标：
激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位； 感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情 .
解 问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间
理
直角坐标系？
解
掌
握
巩 固 提 高
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例 题组练习二
题
讲 必做题：
解 1.设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0பைடு நூலகம்0,1)异 面
理
直线OA与BC夹角为θ，则θ的值为 （ ）
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例
题 讲
例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
解 理
B1E1 =
D1F1 =
1 4
A1B1
，求BE1与DF1所成角
解
的余弦值.
掌
握
D1
F1
C1
巩 固
A1
E1 B1
提 高
D
C
A
B
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
价
(2) 正确求得所对应点的坐标，空间向量
的坐标表示及其数量积；
(3) 代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值；
(4) 根据题意，转化为几何结论.
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例 题
题组练习一
讲 解
如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,
以问题为载体，学生活动为主线 探索、类比、猜想、发现并获得新知
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
情境：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D中，
B1E1 = D1F1 =
1 4 A1B1
,
求证DF1与BE1垂直.
D1
F1
C1
A1
B1
ED A
C B
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
例
题
讲 解
D1
F1
C1
理
A1
解
掌
握
D
E1 B1 C
① 几何法
巩
固A
B
提
高
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例 题 讲
z
D1
F1
C1
解
理
A1
解
E1 B1
① 几何法 ② 向量法
掌
D
握
巩
A
固
提 高
x
C
B
y
cos< DF ,BE > = 15 1 1 17
cos<
DF1,E1B>
2)选择恰当方法求两异面直线的夹角.
教学难点：
1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别；
2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出 点的坐标及向量的坐标.
关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量
的坐标,将几何问题转化为代数问题.
《空间向量的夹角》教学说明
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
问题1：如图，若将E点在AA1，A1B1上移动，若移 至A1B1的E1处，又将如何确定DF1与BE1的夹角?
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
平面内两个向量的夹角公式：
已知平面内两个非零向量，a (x1，y1)，b (x 2，y2)，
《空间向量的夹角》教学说明
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
教学方法：启发式讲解 互动式讨论 研究式探索 反馈式评价
学习方法：自主探索 观察发现 类比猜想 合作交流
教学手段：借助多媒体（几何画板、实物 投影、幻灯片等）辅助教学
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
解
掌 A.60º B.120º C.-60º D.240º
握
巩 2. 已 知 正 方 体 ABCD-
D1
《空间向量的夹角》教学说明
z
D1 F
C1
A1
E1 B1
E
D
A
x
Cy B
《空间向量的夹角》教学说明
教教方教教 材学法学学 分目手程评 析标段序价
《空间向量的夹角》教学说明 地位作用
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示,空间向量的数量积.
从而有
cos<a，b>= ab ab
x1x2 y1y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
求下列两个向量夹角的余弦值
（1）a (2，3，3)， b (1，0，0) ， （2）a (1，1，1)， b (1，0，1) .
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
cos<a，b>= a b
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化？
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
已知空间内两个非零向量， a (x1，y1，z1)， b (x2，y2，z2)， ab a b cos a，b ，
=
-
15 17
质 本疑 题： 的几空间何向结量论的：夹异角面与直异线面B直E1线与的DF夹1夹角角有的什余么
区别？弦如值何为转11化75 .为本题的几何结论?
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
问题3：利用向量法求两条异面直线夹角
小
的一般步骤是什么？
结
评
(1) 恰当的构建空间直角坐标系；
M 是 AB 的 中 点 , 求 对 角 线 DB1 与 CM 所
理
成角的余弦值.
解
掌
D1
C1
握
巩 固 提
① 几何法
A1
D
高
② 向量法
B1 C
A
B
M
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例 题 讲
例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角.
后续内容：向量在数学、物理上的综合运用.
用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从 “定性”推理转化为“定量”计算.
《空间向量的夹角》教学说明 重点难点
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
教学重点： 1)空间向量夹角公式及其坐标表示；
知识目标 :
掌握空间向量的夹角公式及其简单应用； 提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能.
能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力； 体验从 “定性” 推理到“定量” 计算的转化，提高 分析
问题、解决问题的能力.
情感目标：
激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位； 感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情 .
解 问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间
理
直角坐标系？
解
掌
握
巩 固 提 高
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例 题组练习二
题
讲 必做题：
解 1.设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0பைடு நூலகம்0,1)异 面
理
直线OA与BC夹角为θ，则θ的值为 （ ）
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例
题 讲
例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
解 理
B1E1 =
D1F1 =
1 4
A1B1
，求BE1与DF1所成角
解
的余弦值.
掌
握
D1
F1
C1
巩 固
A1
E1 B1
提 高
D
C
A
B
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
价
(2) 正确求得所对应点的坐标，空间向量
的坐标表示及其数量积；
(3) 代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值；
(4) 根据题意，转化为几何结论.
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例 题
题组练习一
讲 解
如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,
以问题为载体，学生活动为主线 探索、类比、猜想、发现并获得新知
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
情境：如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D中，
B1E1 = D1F1 =
1 4 A1B1
,
求证DF1与BE1垂直.
D1
F1
C1
A1
B1
ED A
C B
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
例
题
讲 解
D1
F1
C1
理
A1
解
掌
握
D
E1 B1 C
① 几何法
巩
固A
B
提
高
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例 题 讲
z
D1
F1
C1
解
理
A1
解
E1 B1
① 几何法 ② 向量法
掌
D
握
巩
A
固
提 高
x
C
B
y
cos< DF ,BE > = 15 1 1 17
cos<
DF1,E1B>
2)选择恰当方法求两异面直线的夹角.
教学难点：
1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别；
2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出 点的坐标及向量的坐标.
关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量
的坐标,将几何问题转化为代数问题.
《空间向量的夹角》教学说明
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
问题1：如图，若将E点在AA1，A1B1上移动，若移 至A1B1的E1处，又将如何确定DF1与BE1的夹角?
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
平面内两个向量的夹角公式：
已知平面内两个非零向量，a (x1，y1)，b (x 2，y2)，
《空间向量的夹角》教学说明
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
教学方法：启发式讲解 互动式讨论 研究式探索 反馈式评价
学习方法：自主探索 观察发现 类比猜想 合作交流
教学手段：借助多媒体（几何画板、实物 投影、幻灯片等）辅助教学
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
解
掌 A.60º B.120º C.-60º D.240º
握
巩 2. 已 知 正 方 体 ABCD-
D1
《空间向量的夹角》教学说明
z
D1 F
C1
A1
E1 B1
E
D
A
x
Cy B
《空间向量的夹角》教学说明
教教方教教 材学法学学 分目手程评 析标段序价
《空间向量的夹角》教学说明 地位作用
教材分析 教学目标 方法手段 教学程序 教学评价
知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示,空间向量的数量积.
从而有
cos<a，b>= ab ab
x1x2 y1y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
求下列两个向量夹角的余弦值
（1）a (2，3，3)， b (1，0，0) ， （2）a (1，1，1)， b (1，0，1) .
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
cos<a，b>= a b
x1x2 y1y2
ab
x12 y12 x22 y22
问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化？
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
已知空间内两个非零向量， a (x1，y1，z1)， b (x2，y2，z2)， ab a b cos a，b ，
=
-
15 17
质 本疑 题： 的几空间何向结量论的：夹异角面与直异线面B直E1线与的DF夹1夹角角有的什余么
区别？弦如值何为转11化75 .为本题的几何结论?
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
问题3：利用向量法求两条异面直线夹角
小
的一般步骤是什么？
结
评
(1) 恰当的构建空间直角坐标系；
M 是 AB 的 中 点 , 求 对 角 线 DB1 与 CM 所
理
成角的余弦值.
解
掌
D1
C1
握
巩 固 提
① 几何法
A1
D
高
② 向量法
B1 C
A
B
M
《空间向量的夹角》教学说明 教学程序
创设情境 建构数学 知识运用 小结作业
例 题 讲
例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角.
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人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
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1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
空间向量与立体几何PPT教学课件
3）射影
已知向量 AB＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量。
作点A在l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，
则 A1B1叫做向量 AB在轴l上的或在e方向上的正射影，
简称射影。 A1B1 AB cosa, e a e
B
e
A1
B1
l
A
注意：AB 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 AB 与l的方向的相对关系，大小代
第二章 《空间向量与立体几何》
一.空间向量的运算
b
OaA
B
b
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
终点坐标减 在空间直角坐标系中，已知 A起(x1点, y坐1 ,标z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
立体几何中的向量方法——坐标法
问题1：已知：△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC,
且EC,DB在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证：
平面ADE⊥平面ACE.
z
E
⑴怎样建立适当的空间直角坐标系？
空间向量与立体几何PPT课件
⑶∵已知点 A、B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件4北师大版选修2_1
(3)化简中常用的化简形式为A→B＋B→C＝A→C，A→B－A→C＝
C→B.
2.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD
的中点，化简A→C＋A→D－A→B.
解析： 如图所示， 因为点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点，
所以A→C＋A→D－A→B＝2A→N－2A→M
＝2M→N.
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干 向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的 向量．
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这 些向量的和为0.
(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在 空间中仍成立．
3．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12BD→′ ＝A→B＋12(B→A＋B→C＋BB→′) ＝A→B＋12(－A→B＋A→D＋AA→′) ＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
同理可证：A→M＝12(A→B＋A→D＋A→A′)， A→N＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
由此可知 O，P，M，N 四点重合． 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平 分.
[题后感悟] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
1．空间向量与平面向量的关系 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同 一平面内的两个向量．如图所示，已知空间向量 a，b，我们
可以在任意平面 α 内，以任意点 O 为起点，作向量O→A＝a， O→B＝b.
2．空间向量加法运算的理解
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向 量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进 行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量 的终点指向被减向量的终点．
C→B.
2.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD
的中点，化简A→C＋A→D－A→B.
解析： 如图所示， 因为点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点，
所以A→C＋A→D－A→B＝2A→N－2A→M
＝2M→N.
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干 向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的 向量．
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这 些向量的和为0.
(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在 空间中仍成立．
3．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12BD→′ ＝A→B＋12(B→A＋B→C＋BB→′) ＝A→B＋12(－A→B＋A→D＋AA→′) ＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
同理可证：A→M＝12(A→B＋A→D＋A→A′)， A→N＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
由此可知 O，P，M，N 四点重合． 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平 分.
[题后感悟] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
1．空间向量与平面向量的关系 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同 一平面内的两个向量．如图所示，已知空间向量 a，b，我们
可以在任意平面 α 内，以任意点 O 为起点，作向量O→A＝a， O→B＝b.
2．空间向量加法运算的理解
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向 量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进 行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量 的终点指向被减向量的终点．
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.4 二面角
θ=<n1,n2>或π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2>.
3.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α-l-β的大
小是(
)
A.45° B.90°
C.60°D.120°
解析:设锐二面角α-l-β的大小是θ,
|·|
1
1
则 cos θ=|||| =
= .
答案:B
2
)
2.在正四面体ABCD中,二面角A-BC-D的余弦值为(
1
A.2
1
B.3
3
C. 3
)
3
D. 2
解析:如图,设BC的中点为E,底面正三角形BCD的中心为O,则∠AEO就是二
面角A-BC-D的平面角.
3
3
1
在 Rt△AOE 中,AE= 2 AB,EO= 6 AB,则 cos∠AEO= = 3.
二面角B-AP-C的大小.
解:如图,过点B作BM⊥AC交AC于点M,过点M作MN⊥AP交AP于点N,连接
BN,由三垂线定理知BN⊥PA.
∴∠MNB为所求二面角的平面角.
设AB=BC=AC=PC=1,
3
2
∴BM= ,MN= ,
2
4
3
∴tan∠MNB= 2 = √6.故∠MNB=arctan√6,
2
4
APC的一个法向量.
·
∵cos<a,n>=||||=0,∴<a,n>=90°,
∴二面角A-PC-B为90°.
用法向量法求二面角的大小的优点是不需要确定二面角的平面角,缺点是
计算量大.若二面角两个半平面的法向量分别是n1,n2,设二面角的大小为θ,
3.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α-l-β的大
小是(
)
A.45° B.90°
C.60°D.120°
解析:设锐二面角α-l-β的大小是θ,
|·|
1
1
则 cos θ=|||| =
= .
答案:B
2
)
2.在正四面体ABCD中,二面角A-BC-D的余弦值为(
1
A.2
1
B.3
3
C. 3
)
3
D. 2
解析:如图,设BC的中点为E,底面正三角形BCD的中心为O,则∠AEO就是二
面角A-BC-D的平面角.
3
3
1
在 Rt△AOE 中,AE= 2 AB,EO= 6 AB,则 cos∠AEO= = 3.
二面角B-AP-C的大小.
解:如图,过点B作BM⊥AC交AC于点M,过点M作MN⊥AP交AP于点N,连接
BN,由三垂线定理知BN⊥PA.
∴∠MNB为所求二面角的平面角.
设AB=BC=AC=PC=1,
3
2
∴BM= ,MN= ,
2
4
3
∴tan∠MNB= 2 = √6.故∠MNB=arctan√6,
2
4
APC的一个法向量.
·
∵cos<a,n>=||||=0,∴<a,n>=90°,
∴二面角A-PC-B为90°.
用法向量法求二面角的大小的优点是不需要确定二面角的平面角,缺点是
计算量大.若二面角两个半平面的法向量分别是n1,n2,设二面角的大小为θ,
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
空间向量与立体几何》课件
抓住命题方向
必备知识方法
热点命题角度
阅卷老师叮咛
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→ → → → → (2)由题意知，BF，BC，BA 两两垂直，∵CD＝BA，FC＝BC－BF， → → → → －1BC－1BF → ∴OM· ＝ 2 CD · ＝0， BA 2
→ → → → －1BC－1BF → → OM· ＝ 2 FC · －BF) (BC 2
抓住命题方向
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热点命题角度
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3．利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a1∥ a，b1∥b，则a1与b1所成的锐角或直角叫a与b所成的角． |a· b| 向量求法：sin θ＝|cos φ|＝|a||b|； (2)直线和平面所成的角 设直线l的方向向量a，平面的法向量是u，直线与平面所成 |a· u| 角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝|a||u|；
1 1 n1＝1，2，－2.
同理可得 n2＝(0,1,1)． ∵n1·2＝0，∴平面 MDF⊥平面 EFCD. n
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→ ＝OF＋FB＋BM＝1DF－BF＋1BA 法二 (1)OM → → → 2 → → 2 → 1 → → → ＋1BA＝－1BD－1BF＋1BA → → → ＝2(DB＋BF)－BF 2 → 2 2 2 1 → → 1→ 1→ ＝－2(BC＋BA)－2BF＋2BA 1→ 1→ ＝－2BC－2BF. → → → ∴向量OM与向量BF，BC共面， 又 OM⊄平面 BCF，∴OM∥平面 BCF.
证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AC∩BD＝N，连接 NE. 则点 N、E 的坐标分别为
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
二轮复习通用版专题3第3讲立体几何与空间向量课件(72张)
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专题三 立体几何
高考二轮总复习 • 数学
设平面 ABD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AA→→BD＝＝－－xx＋＋z＝3y0＝，0， 取 y＝ 3，
则 n＝(3， 3，3)，
又因为
C(－1，0，0)，F0，
43，34，
所以C→F＝1，
43，34，
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专题三 立体几何
4 ．(2022·全国乙卷 ) 如图，四面体ABCD 中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E 为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在 BD 上 ， 当 △AFC 的 面 积 最 小 时 ， 求 CF 与 平 面 ABD所成的角的正弦值．
专题三 立体几何
高考二轮总复习 • 数学
所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原 点，建立空间直角坐标系，如图，
由(1)得 AE＝ 2，所以 AA1＝AB＝2，A1B ＝2 2，
所以 BC＝2， 则 A(0，2，0)，A1(0，2，2)，B(0，0，0)， C(2，0，0)， 所以 A1C 的中点 D(1，1，1)，
(1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．
专题三 立体几何
高考二轮总复习 • 数学
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【解析】 (1)过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别 交于点G、H.
∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝ 5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面几何知识易知，
则
VA
－
A1BC
＝
1 3
S△A1BC·h