初等几何研究课后题答案
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初等几何研究试题答案(5)
求证：
AO1┴O2 O3
I F
O3 H
A O2 M B G
C
O
E
D
证明：如上图所示
取 AC 中点 M，连结 MO2、CE、AE、HC ∵ BH=AB BC=CE
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongD 1
E
· O 2 B C
证明：
连接 CD EA=EC ∠2=∠EAC 又 CD=BD ∠B=∠DCB 又 ∠2=∠B (外角=内对角） △ACE∽△BCD ∠BCD=∠AEC 又∠BDC+∠CDA=180° ∠AEC+∠CDA=180° A、D、C、E 四点共圆 ∠1=∠2 （同弦所对的圆周角） ∠1=∠B
+ = + + +
∴SQ⊥PR 3、凸四边形 ABCD 的每条对角线皆平分它的面积， 求证:ABCD 是平行四边形。
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongB
F O E D C
证明：设 AC 和 BD 相交于点 O，作 AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F， 连接 AF，CE ∵对角线 BD 平分四边形 ABCD 的面积 ∴S△ABD＝S△CBD ∴AE=CF 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴AE∥CF ∴四边形 AECF 为平行四边形 ∴AO=CO 同理可得 BO=DO ∴四边形 ABCD 是平行四边形
12. 给定正方形 ABCD ， P,Q 分别为 AB,BC 上的点，满足 BP=BQ,自 B 作 BH⊥PC 于 H， 求证：∠DHC=90°。 证明：如图 BH 交 AD 于 F ∵BH⊥PC ∴∠PBH=∠BCP
初等几何研究试题答案(李长明版)
初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。
初等几何研究答案
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。
3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。
4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。
11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。
初等几何研究试题答案(3)李长明版
三、关于比例相似形⒈从 ABCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E 、F 、G 、H,求证： (ⅰ)EFGH 是 ; (ⅱ) EFGH ∽ ABCD.证明：（ⅰ） ∵AE ⊥BD DH ⊥AC∴A 、D 、E 、H 四点共圆（视角相等） ∴∠OEH=∠OAD 同理 ∠OGF=∠OCB又∵AD ∥BC ∴∠OAD=∠OCB ∴∠OEH=∠OGF ∴EH ∥GF 同理 EF ∥GHDACBEFGGH∴四边形EFGH 为平行四边形 （ⅱ）∵△OEH ∽△OAD∴.OD OHOA OE = ∴BD FHACEG =EFGH 与 ABCD 对角线夹角相等且对角线又成比例 ∴ EFGH ∽ ABCD 2.3.已知：AD 是△ABC 的中线，过C 的一直线分别交AD 、AB 与E 、F 。
求证：A E ·BF=2AF ·ED证明：延长CF 至点H ，使得CE=EH 连结BH ∵点D 是BC 上的中点 ∴DE 是△CBH 的中位线即D E ∥BH 且DE= 21BH∵DE ∥BH∴∠CED=∠CHB=∠AEF ∠AFE=∠BFH ∴△AFE ∽△BFH ∴BFAFBH AE =,且BH=2ED ∴AE ·BF=2AF ·ED4.直线l 与□ABCD 的边AB 、AD 和对角线AC 依次相交于E 、F 和G 。
求证：AGACAF AD AE AB =+证明：连结BF 、BE 、CF 和CE ， ∵SS SS AEFACF AEFABF AEAB==S S SS AEFACE AEFADE AFAD==∴AGACAG GC AG AFAD AE AB SS SSS SAEFCEFAEFAEFACEACF=+=+=+=+ABC DE F G5.AB 、CD 是等腰梯形ABCD 的二底，求证：DC AB AD AC ∙+=22证明：（如上图）作CD 的延长线到点H ，使得AH 垂直CH作点C 的延长线，使得CP 垂直ABABCP AD AC DH CH CP AD AC AB BP AP DH CH BP DH AP CH CPB AHD CBPDAC APH CB AD CPB AHD DH CH CP AD DH CH DH CH AD DH CH AD CH DH AD CH AH AC ⋅+=+⋅+==+=+==∆≅∆∴∠=∠=∠==∠=∠+⋅+=-++=-+=+-=+=222222222222222 )( 90)( ))(( )( )( 故有又6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高,作DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC于F.求证：AD 3=BC ∙BE ∙CFHDCA B证明：∵AD2=BD∙DC,BD2=BE∙BA,CD2=CF∙CA,∴AD4=BE∙CF∙AB∙AC=BE∙CF∙BC∙AD约去AD,得AD3=BC∙BE∙CF7 .在△ABC中，∠A=60°，∠B=80°。
初等几何研究试题答案(4)
。
D B
C
L1
A
E'
E
证明：A.B.C 为 L1 上顺次取的三点，D、E 为 L2 上异于 L1 的两点 。 。 又∵∠AEC=90 , ∠ADB=90 ∴⊿ADB 的外接圆为以 AB 为直径所做的圆，记为⊙O1, ⊿AEC 的外接圆为以 AC 为直径所做的圆, 记为⊙O2. ∴作图可知⊙O1 是⊙O2 中，以 A 为切点的内切圆。 当 L2 向左移动时， 假设 L2 移动后交⊙O1、⊙O2 于点 D’,E’. 过⊙1 的圆心作线段垂直 AB 交⊙O1 于 F,交⊙O2 于 G. （1） 当 D 移至 F 时，AF﹤AD,AG﹤AE. ∵⊙O2 的半径大于⊙O2 的半径 ∴移动相同单位的距离，其所截线段 GF﹤DE ∴⊿ADE 的外接圆半径变小了。 （2） 当 L2 移过 AB 的中点时， 可知 AD﹥AD’,AE﹥AE’, 又∵D’O﹤OD, OE’ 6 证明：棱形 ABCD 两邻边 AB、BC 被其内切圆之任一切线所截的 线段 AM 和 CN 之积为定值。
A E M B F O N G C D
证明：连接 OM、ON（如图） 令∠AOE=∠1,∠EOM=∠2,∠MOF=∠2´,∠FON=∠3,∠NOG=∠3´,∠ GOC=∠1´ ∵A、C 关于点 O 对称 ∴∠1=∠1´ ∵AM、MN 都是⊙O 的切线 ∴∠2=∠2´ ∵NM、NC 都是⊙O 的切线 ∴∠3=∠3´ ∵∠1+∠2+∠2´+∠3+∠3´+∠1´=180° ∴∠1+∠2+∠3=∠1´+∠2´+∠3´=90° ∵∠NOM=∠2´+∠3=90°-∠1,且∠OAM=90°-∠1 ∴∠OAM=∠NOM ∵∠AMO=∠OMN ∠OAM=∠NOM
初等几何研究 第十四章几何题的证明
AP AQ AN AN AN
AN
AB AM AC 成等差数列 AP AN AQ
18. 在⊙O 上取一点 P，作弦 PA、PB、PC，作直线平行于切线
PQ，且与 PA、PB、PC 分别交于 H、K、L，
QP
求证：PA·PH=PB·PK=PC·PL. 证明： ∵ PQ∥HKL
HL K
A
B
C
∴ ∠QPH=∠PHK=∠PBA
P 点又在以 BC 为定点，分 BC 内外分点为 2:3 的内外分点为直
径的圆上.
这两圆是定圆，所以 P 是两圆的交点，即 P 为定点。所以 P 对
AB 的张角是定角.
21. ⊙O′内切⊙O 于点 A ，自⊙O 上任一点 P 作⊙O′的切线
N
M P
∴ △APC∽△ABN △BPC∽△BMA
A
C
B
第 19 题图
∴ AP:AB=AC:AN 即 AP· AN= AB·AC ①
BP:AB=BC:BM 即 BP·BM =AB·BC ②
①+② AP· AN+ BP·BM= AB·AC +AB·BC=AB²
20. 已知 P 为正方形 ABCD 内一点，且 PA：PB：PC=1：2：3, 求
证: ∠APB 为定值
证明（一）：将△ABP 绕 B 点逆时针旋转
90°到△BCE，可得
A
B
△APB≌△CEB
∴ PA=EC ∠PBE=90°
P
所以△PBE 是等腰直角三角形. E
∴ ∠BEP=45°
D
C
第 20 题图
∵ PA:PB:PC=1:2:3
设
PA=t PB=2t PC=3t
初等几何研究第一章习题的答案（5）
五、关于平行与垂直五、关于平行与垂直 1、I 是△是△ABC ABC 的内心的内心,AI ,AI ,AI、、BI 和CI 的延长线分别交△的延长线分别交△ABC ABC 的外接圆于的外接圆于D 、E 和F.F.求证求证求证:EF :EF :EF⊥⊥AD.AD. 证明证明::已知I 是△是△ABC ABC 的内心的内心, ,∴AD AD、、BE 和CF 是∠是∠BAC BAC BAC、∠、∠、∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB 的角平分线的角平分线 ∴⌒∴⌒BD=BD=BD=⌒⌒CD CD，⌒，⌒，⌒BF=BF=BF=⌒⌒AF AF，⌒，⌒，⌒AE=AE=AE=⌒⌒CE CE ∴⌒∴⌒∴⌒BD+BD+BD+⌒⌒BF+BF+⌒⌒AE=AE=⌒⌒CD+⌒AF+AF+⌒⌒CE CE ∴⌒∴⌒∴⌒DF+DF+DF+⌒⌒AE=AE=⌒⌒DE+DE+⌒⌒AF∴∠∴∠AIF=AIF=AIF=∠∠AIE=AIE=∠∠DIF=DIF=∠∠DIE DIE ∴∴EF EF⊥⊥AD2. A 、B 、C 、D 是圆周上“相继的”四点，P 、Q 、R 、S 分别是弧AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PR ⊥QS. 证明：∵P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点的中点 ∴⌒∴⌒AP=AP=AP=⌒⌒PB ,⌒BQ=BQ=⌒⌒QC ,⌒CR=CR=⌒⌒RD ,⌒DS=DS=⌒⌒SA SA ∴⌒∴⌒AP+AP+AP+⌒⌒QC+⌒CR+CR+⌒⌒SA=SA=⌒⌒PB+PB+⌒⌒BQ+BQ+⌒⌒RD+RD+⌒⌒DS DS又∵⌒又∵⌒PQ+PQ+PQ+⌒⌒RS=RS=⌒⌒PB+PB+⌒⌒BQ+BQ+⌒⌒RD+RD+⌒⌒DS , DS , ⌒⌒SP+SP+⌒⌒RQ=RQ=⌒⌒AP+AP+⌒⌒QC+QC+⌒⌒CR+CR+⌒⌒SA SA ∴⌒∴⌒PQ+PQ+PQ+⌒⌒RS=RS=⌒⌒SP+SP+⌒⌒RQ RQ ∴SQ SQ⊥⊥PR PR3、凸四边形ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证求证:ABCD :ABCD 是平行四边形。