容斥原理及其应用_王竞才
1≤
i≤
|Ai|-
k
1≤
i
<
j≤
|Ai∩
k
Aj|+ … +
( - 1) k- 1|n Ai| i= 1
= C1n ( n- 1)! - C2n ( n- 2)! + …+ ( - 1) n- 1 Cnn ( n- n)!
=
( n!
)
[
1 1!
-
1 2!
+
1 3!
-
…
+
(-
1)
n-
1
1 n!
]
n
n
②|∩ Ai|= |U|- |U Ai|
设 Vi ( i= 1, 2,… k)是线性空间的子空间。 且 Vi 的基向量组 βi β (β 为线性空间 V 的基向量组 )
∑∑ ∑ k
则①
d
(
1≤
i≤
Vi
k
)
=
1≤ i≤ k d( Vi ) -
1≤ i < j≤ k d ( Vi∩
Vj )+ … +
( - 1) k- 1 d(∩ Vi ) i= 1
(责任编辑: 姚有林 )
收稿日期: 2004- 12- 05 修回日期: 2005- 09- 10 作者简介: 王竞才 ( 1961- ) ,男 ,陕西榆林人 ,中教高级 .
王竞才: 容斥原理及其应用
· 5·
d( Vi ) = 1 ( i= 1, 2, 3)
d( V1∩ V2 ) = d( V1∩ V 3 )= d( V 2∩ V 3 ) = d( V1∩ V2∩ V3 ) = 0
容斥原理是组合数学中的一个重要原理 ,也是计数中常用的一种方法 ,尽管它所研究的是有限集元素计
数问题 ,然而它的应用是广泛有趣的。
1 容斥原理
容斥原理 (逐步淘汰原理 ): 设有两个有限集 A和 B,且 A、 B分别由具有性质 P1、 P2的元素组成 ,那么不 具有性质 P1 也不具有性质 P2 的元素个数|-A∩ B-|,就等于全体元素个数|U|减去具有性质 P1 的元素个数|
)…
(
1-
1 PN
)
N
∏ ∏ ∴Υ( n)= n ( 1i= 1
1 Pi
)或
Ф(
n) =
n ( 1P/n
1 P
)
参考文献:
[ 1]卢开澄 .组合数学算法与分析 [ M ].北京: 清华大学出版社 , 1983.
[ 2]左孝凌 .李为监 ,刘永才 ,离散数学 [ M ],上海: 上海科学技术文献出版社 , 1981.
理可得:
∑ ∑ k
k
|Vβ 1|= i= 1
1≤
i≤
|β
k
i|-
1≤
i
<
j≤
|βi∩
k
β j|+
…+
( - 1)k- 1|∩ βi| i= 1
k
由于线性空间基向量组向量个数就是它的维数。 即 d( Vi ) = |βi| d( Vi+ V j ) = |βi∩ βj|… d(∩ Vi ) = | i= 1
k
k
∩ βi|d( V1+ V2+ …+ Vk ) = |Uβi|
i= 1
i= 1
∴①得证 同法可证得②
注意: 命题中 βi β ,在 k> 2时是很必要的 ,否则上述命题不真。
例如: 以 V 1= { x 轴 } V2 { y 轴 } V3 {角平分线 y= x } 则 d( V1+ V2+ V3 ) = 2
∑ ∑ 则由上式得 Ф( n)= n1≤ i≤ N
Pni+
1≤ i < j≤ N
n Pi Pj
-
…+
( - 1) N
n P1… PN
= n- n( P11+
P12+ …+
1 PN
)+
n( P11P2+
P21P3+ …+
1 PN- 1
PN
)-
…±
n P1 P2…
PN =
n( 1-
1 P1
)
(
1-
1 P2
的 ,其它 n- 1把钥匙则可以任意分配给其它的 n- 1扇门。 ∴|Ai|= ( n- 1)! ( i= 1, 2,… n)
类似把|Ai∩ Aj|= ( n- 2)! ( i≠ j) ……
{ A1∩ A2…∩ An }= ( n- n)! = 1
∑ ∑ n
k
∴ Dn
=
|U Ai|= i= 1
2005年 11月 第 15卷 第 5期
榆林学院学报 JO U RN A L O F Y U LIN CO LLEG E
Nov. 2005 V ol. 15 N o. 5
容斥原理及其应用
王竞才
(榆林市 教研室 ,陕西 榆林 719000)
摘 要: 通过对容斥原理的阐述 ,在此基础上着重介绍了容斥原理的应用。 关键词: 容斥原理 ; 证明 ; 应用 中图分类号: O157 文献标识码: A 文章编号: 1008- 3871( 2005) 05- 0004- 02
i= 0
i= 0
k
∑ Cin Ckm- i i= 0
2. 3匹配问题
有 n扇门各有钥匙一把 ,某人忘记了每把钥匙是开哪一扇门的 ,于是他把各种分配方式一一试验 ,问: ① (耦合问题 )至少有一个门打开的分配方式有多少种。
② (借位问题 )没有一个门被打开的分配方式有多少种。
解: ①设 Ai 表示能打开第 i 扇门的分配方式的全体 ( i= 1, 2,… n) ,由于第 i把钥匙总是分配给第 i 扇门
∑ ∑ 因而 d( V 1+ V 2+ V 3 )≠ 1≤ i≤ 3 d( Vi ) - 1≤ i < j < 3 d( Vi∩ Vj )+ d( V1∩ V2∩ V3 )
2. 2组合恒等式的证明
范德蒙 ( Vandermo nde)恒等式
k
∑ Cin Ckm- i=
Ck m+ n
i= 0
证: 设 U= { a1 , a2 ,… am , b1 , b2 ,… bn }是 m 个不同的红球和 n个不同的白球构成的集合。
∑ ∑ ∑ k
② d(∩ Vi ) = i= 1
1≤ i≤ k d( Vi ) -
1≤ i < j≤ k d ( Vi+
Vj )+ …+
( - 1) k- 1 d( 1≤ i≤ k Vi )其中 d( Vi )是
Vi 的维数。
证明: ①设 V 的向量组为 β= {α1 ,α2 ,… αn } ,βi 是 β 的子集 ( i= 1, 2,… k) ,β ,βi 都是有限元素集 ,由容斥原
则有|Ai|=
〔
n ai
〕
|Ai∩
Aj|= 〔 ani aj〕 i≠ j
N
|∩ Ai|= i= 1
〔a1·
n a2…
aN〕
∑ 由容斥原理
n
,所求数是|∩
-Ai|=
i= 1
n-
1≤
i≤
〔
N
n ai
〕+
…+
(-
1) N〔a1·
n a2…
aN〕
(其中〔 X〕表示不超过 x 的最大整数 )
由上式易得欧拉函数 Υ( n) (即: 1到 n中 ,与 n互素的数的个数 ) 事实上 ,设 n分解成素数幂的乘积 n= Pa1 1· Pa2 2… Pan n
A|,再减去具有性质 P2 的元素个数|B|,然后加上同时具有性质 P1与 P2 元素个数|A∩ B|。 即: |-A∩ B-|= |U|- |A|- |B|+ |A∩ B|… …… …①
容斥原理更一般地形式是: 设 P1 , P2… Pk 个性质 , Ai ( i= 1, 2,… k)是 U 中的子集 ,它的元素具有性质 P1
(也可能同时具有其它性质 ) ,则有
∑ ∑ ∑ k
|∩
-Ai|=
i= 1
|U|-
1≤
i≤
|Ai|+
k
1≤
i
<
j≤
|Ai∩
k
Aj|-
1≤
i
<
j
<
m≤
|Ai∩
k
Aj∩
Am|+ … +
k
( - 1) k|∩ Ai|…… …… ② i= 1
∑ ∑ k
又由德莫根公式: U Ai= i= 1
k
U - U Ai= i= 1
i= 1
i= 1
=
( n!
)〔
1 2!
-
31! + … +
(-
1) n
1 n!
〕
2. 4数论中的应用
设 n为正整数 ,且 a1, a2 ,… aN 是 N 个两两互素的正整数 ,求满足 0 < k≤ n ai K ( i= 1, 2,… N )的整数 k 的个数。
解: 设 U= { 1, 2, 3,… n}中是 ai 倍数的元素组成的集为 Ai ( i= 1, 2,… N )
令
Ai 表示从
U中取 k个球中有 i 个红球取法组成的集。 ( i=
0, 1,… k) ,则从
U中取 k个球方法为
Ck m+ n
k
k
= |U Ai|因为 i≠ j ( i, j= 0, 1, 2… k)时 , Ai∩ Aj = Υ,且 |Ai|= Cin Ckm- i , 所以由 容斥原理 得 Ckm+ n = |U |=
容斥原理的应用意义
容斥原理的应用意义什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合的排列组合问题。
它通过计算不同情况下的集合交集、并集的大小来计算出满足特定条件的元素个数。
容斥原理的应用意义容斥原理在许多领域都有广泛的应用，特别是在概率论、组合数学、离散数学和计算机科学等方面。
下面将介绍容斥原理在这些领域的应用意义。
1. 概率论在概率论中，容斥原理可以用于计算多个事件同时发生的概率。
通过计算每个事件的概率以及事件之间的相互排斥关系，可以得到所有事件同时发生的概率。
这在实际生活中有很多应用，比如抽奖活动中多个奖品同时中奖的概率计算等。
2. 组合数学在组合数学中，容斥原理可以用于计算多个集合的并集和交集的大小。
通过容斥原理，可以计算出不同集合之间的交集和并集的元素个数，从而解决求解组合问题的难题。
比如计算一个集合中满足多个条件的元素个数，或者计算排列组合时要满足多个条件的情况等。
3. 离散数学在离散数学中，容斥原理可以用于计算布尔代数中复杂公式的真值。
通过容斥原理，可以将复杂的布尔函数化简为简单的逻辑运算，从而得到更简洁的真值表达式。
这在计算机科学中有很多应用，比如布尔代数电路的设计与优化等。
4. 计算机科学在计算机科学中，容斥原理可以用于解决算法设计与优化的问题。
通过利用容斥原理，可以将一个复杂的问题分解为若干个简单的子问题，并通过求解子问题得到原问题的解。
这在算法分析与设计中有很大的作用，可以提高算法的效率和性能。
5. 组合优化问题在组合优化问题中，容斥原理可以用于计算满足一定条件的排列组合的数量。
通过容斥原理，可以将一个复杂的组合优化问题分解为若干个简单的子问题，并通过求解子问题得到原问题的解。
这在运筹学和优化算法中有很大的应用价值，可以帮助人们更好地解决实际问题。
综上所述，容斥原理在概率论、组合数学、离散数学和计算机科学等领域都有重要的应用意义。
它不仅可以帮助人们解决复杂的集合排列组合问题，还可以提高算法的效率和性能，优化布尔代数电路的设计，以及解决实际问题中的组合优化问题。
2第二章 容斥原理及其应用
N (a1a2 ) N (a1a3 ) N (a1a4 ) N (a2a3 ) N (a2a4 ) N (a 3a4 ) 3[ N (a1a2a3 ) N (a1a2a4 ) N (a1a3a4 ) N (a2a3a1 )] 6 N (a1a2a3a4 )
例 在1至100的整数中，有多少个整数能且仅能 被 2， 5，这4个整数中的两个整除 ? 3， 7
解 令S {1, 2,,100}.
s S，称s具有性质a1 , a2 , a3 , a4，如果s能被2， 3,5,7整除
4
N (2) ( 1)
k 2
k 2
k N (ai1 ai2 aik ) 2 1 i1 i2 4
例 求由n( n 4)个相异元a1 , a2 , , an作成的a1与 a2 不相邻，a3与a4也不相邻的全排列的个数.
解 S 全排列的集合 A { S中a1与a2 相邻的全排列} B { S中a3与a4 相邻的全排列}
则 N | S A B || S | | A | | B | | A B |
则 hn | S A1 A2 A3 | 3n 32n 3
定理 设s是有限集，Ai S ( i 1, 2, , n, n 2), 则 | Ai |=
i 1 n 1 i1 n
|A
i1
|
1 i1 i2 n
| Ai1 Ai2 |
i 1 k 1 n n 1 i1 i2 ik n
| Ai1 Ai2 Aik |
例 以gn 表示2n( n 2)个相异元a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn , 作成的ak 与bk ( k 1, 2, , n)均不相邻 的不同的全排列的个数，求gn的计数公式.
高中数学容斥原理
高中数学容斥原理高中数学里的容斥原理，就像是一个神秘的魔法钥匙，能帮咱打开好多难题的大门！咱先来说说啥是容斥原理。
你就把它想象成一群小伙伴在玩游戏。
比如说，有喜欢跳绳的小伙伴，有喜欢打球的小伙伴，还有既喜欢跳绳又喜欢打球的小伙伴。
那要知道总共有多少种不同的喜好组合，这就得靠容斥原理啦！容斥原理的公式看起来可能有点复杂，但是别怕！咱把它拆开来理解。
就好比你组装一个玩具，一个零件一个零件地来，最后不就拼成完整的啦？比如说，要算两个集合 A 和 B 的并集元素个数，那就是 A的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集元素个数。
这是不是有点像你整理书包，先把语文书放进去，再放数学书，要是有重复放的，就得拿出来，不然书包就乱套啦！再举个例子，学校组织活动，参加唱歌比赛的有 20 人，参加跳舞比赛的有 30 人，其中既参加唱歌又参加跳舞的有 10 人。
那总共有多少人参加了比赛？这时候容斥原理就派上用场啦！20 + 30 - 10 = 40 人，是不是一下子就清楚啦？容斥原理在解决实际问题的时候可厉害啦！比如说统计班级里参加各种兴趣小组的人数，或者计算在商场里同时购买了几种商品的顾客数量。
而且哦，容斥原理还能和其他数学知识结合起来，就像不同的乐高积木搭在一起，能创造出更精彩的作品。
比如说和概率问题结合，算一算同时满足几个条件的概率是多少。
在做容斥原理相关的题目时，可一定要仔细，千万别漏数或者多数了。
就像你出门不能忘带钥匙一样，一个小细节都不能马虎。
怎么样，是不是觉得容斥原理也没那么难啦？其实数学里的好多知识都是这样，乍一看挺吓人，只要咱耐心琢磨，都能把它们拿下！所以啊，别害怕数学，大胆去探索，容斥原理就是咱们的好帮手，能让咱们在数学的世界里越走越顺！。
容斥原理的基本应用
容斥原理的基本应用什么是容斥原理容斥原理，又称为容错原理、排容原理，是组合数学中一种常用的计数原理。
容斥原理用于解决计数问题，特别是解决两个或多个集合的并、交、差等计数问题。
它通过将复杂的集合拆分成简单的部分，并根据不同情况逐步计算得到最终的结果。
容斥原理有助于简化计数问题的解决过程，使得问题的求解更加简洁明了。
容斥原理的应用场景容斥原理在组合数学、概率论、计算机科学等领域有广泛的应用。
它可以解决一些复杂的计数问题，包括排列组合问题、概率计算问题、鸽巢原理问题等。
容斥原理在解决这些问题时，可以极大地简化计算的复杂度，提高解题效率。
以下是容斥原理的基本应用场景：1.列表中元素的多重选择问题2.集合的并、交、差运算问题3.满足多个条件的计数问题4.重复计算问题容斥原理的基本原理容斥原理的基本原理可以通过一个简单的示例来说明。
假设有A、B两个集合，记其元素个数分别为|A|和|B|。
那么A和B的并集的元素个数可以通过以下公式计算得到：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∩B|表示A和B集合的交集中的元素个数。
上述公式中的两次求并集都将交集的元素计算了两次，所以需要将交集的元素个数减去一次，以避免重复计算。
这就是容斥原理的基本思想。
容斥原理的基本应用举例列表中元素的多重选择问题假设有一个列表，其中有苹果、橙子、香蕉、草莓这四种水果。
现在需要从这个列表中选择1种、2种、3种甚至全部4种水果的可能性有多少种？根据容斥原理，我们可以通过以下步骤进行计算：1.计算只选择1种水果的情况，共有4种可能性。
2.计算只选择2种水果的情况，共有C(4,2) = 6种可能性。
3.计算只选择3种水果的情况，共有C(4,3) = 4种可能性。
4.计算选择全部4种水果的情况，共有1种可能性。
根据容斥原理，计算总的可能性的公式为：总可能性 = 只选择1种水果的数量 - 只选择2种水果的数量 + 只选择3种水果的数量 - 选择全部4种水果的数量带入上述计算结果，得到总可能性为4 - 6 + 4 - 1 = 1种。
组合数学中的容斥原理及其应用实例
技术创新33组合数学申的容斥原理及其应用实例◊宝鸡文理学院数学与信息科学学院李海侠容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。
本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。
容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。
掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常重要的研究意义。
但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。
因此，本文在容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。
1预备知识为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。
定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：|4U4U-U^…|»,,,,（1）=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.li=l l<i<j<n l<i<j<k<n|4A4n-n4；|⑵=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.li=l l<i<j<k<n运用容斥原理和组合販易得定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）利用容斥原理解题的思想和步骤：J（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4ri24y|,---,|4/容易求出。
容斥原理的三大公式应用题
容斥原理的三大公式应用题一、引言容斥原理是概率论中常用的一种计数方法，用来解决排除法不能解决的问题。
它通过巧妙地计算多个事件的交集与并集的关系，帮助我们更加灵活地计算概率。
本文将介绍容斥原理的三大公式的应用题，并通过列点的方式进行详细解析。
在解题过程中，我们将通过具体案例来帮助读者理解和掌握容斥原理的运用方法。
二、容斥原理的三大公式容斥原理的三大公式分别是：1.二事件容斥公式2.三事件容斥公式3.n事件容斥公式接下来，我们将分别利用这三个公式来解决几个具体的问题。
三、二事件容斥公式应用题假设有两个事件A和事件B，现在要计算同时发生事件A和事件B的概率。
具体问题如下：某班级有50个学生，其中35个学生会玩篮球，30个学生会踢足球，有20个学生既会玩篮球又会踢足球。
现在从班级中随机选择一个学生，求该学生既会玩篮球又会踢足球的概率。
解题思路如下：首先，我们需要知道事件A和事件B的概率，即分别计算玩篮球的学生和踢足球的学生在班级中的比例。
•玩篮球的概率：35/50•踢足球的概率：30/50然后，我们需要计算同时发生事件A和事件B的概率。
•既会玩篮球又会踢足球的概率：20/50最后，我们可以使用二事件容斥公式来计算既会玩篮球又会踢足球的概率：P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - 2P(A ∩ B)= (35/50) + (30/50) - 2(20/50)= 45/50= 9/10所以，该学生既会玩篮球又会踢足球的概率为9/10。
四、三事件容斥公式应用题假设有三个事件A、B和C，现在要计算同时发生事件A、B和C的概率。
具体问题如下：某班级有50个学生，其中30个学生会玩篮球，25个学生会踢足球，20个学生会打乒乓球，有10个学生既会玩篮球又会踢足球，有5个学生既会踢足球又会打乒乓球，有3个学生既会玩篮球又会打乒乓球。
现在从班级中随机选择一个学生，求该学生既会玩篮球又会踢足球又会打乒乓球的概率。
容斥原理与鸽巢原理的应用
容斥原理与鸽巢原理的应用1. 容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，常用于解决计数问题。
它利用集合的互斥与包含关系，将复杂的计数问题转化为简单的计数问题。
下面是容斥原理的应用方式：1.基本容斥原理：对于给定的一组事件A1, A2, …, An，它们的概率分别为P(A1), P(A2), …, P(An)，则这些事件的并集的概率P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)可以通过容斥原理计算得到。
2.二项式系数的应用：容斥原理还可以应用于计算二项式系数的求和，通过利用二项式系数性质和容斥原理的结合，可以简化求和式，加快计算速度。
3.容斥原理在组合数学中的应用：容斥原理在组合数学中经常用于计算排列组合问题，例如求解某些集合的大小、某些集合的交集、某些集合的并集等问题。
2. 鸽巢原理鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中一个基本原理。
它的核心思想是：如果有n个物体要分配到m个容器中，且n>m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
下面是鸽巢原理的应用方式：1.分配问题：鸽巢原理可以应用于分配问题，例如某考试有n个学生和m个座位，如果n>m，则根据鸽巢原理可以得出至少有一个座位会被两个或者更多的学生占据。
2.概率问题：鸽巢原理可以用于解决概率问题，例如抛掷两个骰子，如果将两个骰子的点数总和视为一个数，那么总有两个骰子的点数总和相等，这是由鸽巢原理保证的。
3.鸽巢原理在密码学中的应用：鸽巢原理在密码学中也有广泛的应用，例如在哈希函数中，将大量的输入映射到有限的输出空间中，根据鸽巢原理，总会存在多个输入被映射到同一个输出。
3. 容斥原理与鸽巢原理的应用案例下面是容斥原理与鸽巢原理的具体应用案例：1.求解集合的大小：假设有两个集合A和B，分别包含n个元素和m个元素，求解它们的并集A ∪ B的大小。
根据容斥原理，可以通过计算A和B的大小以及它们的交集A ∩ B的大小，来求解并集的大小。
具体计算公式为：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用１ 序言数学知识是人类社会文明的一个重要组成部分．在当今世界，数学已不仅是一门单一的科学，而是一种普适性的技术，正广泛地渗透到物质世界的每一个领域内，对科学技术和社会的发展起着日益突出的作用，但随着社会的向前推进，时代的进步，数学科学的思想、方法与内容伴随着远古时期的结绳记事，屈指记数到现在的办公自动化而日趋完善．人类的现实生活需要数学，而国家的经济发展，科学技术的进步更与数学知识息息相关．具备一些必要的数学知识和一定数学思想方法，是现代人才基本素质的重要组成部分．早期的组合数学是带着数学趣味性和益智魅力的问题，逐渐与数论、概率统计，以及后来新兴的拓扑学、线性规划等学科相互交织在一起，在二十世纪下半叶与电子计算机相结合足以显示了数学的用途．容斥原理是组合数学中解决计数问题的一个重要工具，是离散数学的一个重要组成部分，容斥原理在排列、组合、概率计算中有着广泛的应用．随着近代科学技术的发展，特别是计算机科学的长足进步，给与计算机密切相关的组合数学和离散数学注入了新的活力和生机，使它们与其他基础数学学科的联系更加紧密，让应用数学的适用范围进一步扩大，在现代科学技术中发挥出极为重要的作用．２ 容斥原理定理2.1 设S 是有限集，P 表示某种性质，令A 表示S 中具有性质P 的元素的集合，则S 中不具有性质P 的元素的个数为： A S A =-．定理2.2 设S 是有限集，12,P P 表示某种性质，令,A B 表示S 中具有性质12,P P 的元素的集合，则S 中不具有性质12,P P 的元素的个数为：A B S A B A B =--+I I ．定理2.3 设S 是有限集，123,,P P P 表示某种性质，令,,A B C 表示S 中具有性质123,,P P P 的元素的集合，则S 中不具有性质123,,P P P 的元素的个数为：A B C S A B C A B A C B C A B C =---+++-I I I I I I I定理2.4 设S 是有限集，()1,2,,i P i n =L 表示某种性质，令()1,2,,i A i n =L 表示S 中具有性质()1,2,,i P i n =L 的元素的集合，则S 中至少具有某一性质()1,2,,i P i n =L 的元素的个数为 1121121211n i i i i ni i nA A A A A A ≤≤≤<≤=-++∑∑U UL U I L()()12121112111k k k n i i i n i i i nA A A A A A --≤<<<≤-++-∑L I I L I L I I L I()12121111k k n k i i i k i i i nA A A -=≤<<<≤=-∑∑L I I L I ．现给出这个公式的证明． 证明[]()145P 当2n =时， 121212A A A A A A =+-U I因为 12112A A A A A -=-I ，12A A A ⊆I ，所以 12112112A A A A A A A A -=-=-I I ，所以 当2n =时，结论成立．假设当()2n s s =≥时结论成立，则当1n s =+时，111111111n s n ss i i i s is i s i i i i i A A AA A A ++++=====⎛⎫⎛⎫A =A ==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U I U U U U U ()1111ssis i s i i AA A A ++===+-I U U()11212111211kk sk i i i i i s k i i i sA A A A -≤≤+=≤<<<≤=+-∑∑∑L I I L I ()()1212111211111k s ksi i s s s k i i i sA A A A A A A -++=≤<<<≤+-+-∑∑L I I L I I I L I I 111i i s A ≤≤+=∑()()1212112121111211111k k k k s s k k i i i i i i s k i i i s k i i i s A A A A A A A ----+=≤<<<≤=≤<<<≤⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑L L I I L I I I L I I ()1211ss A A A ++-I I L I ()()1121211211121111k k sk si i i i s i s k i i i s A A A A A A A -+≤≤+=≤<<<≤+=+-+-∑∑∑L I I L I I I L I ()1212112111kk s k i i i k i i i s A A A +-=≤<<<≤+=-∑∑L I I L I()12121211k k nk i i i k i i i nA A A -=≤<<<≤=-∑∑L I I L I所以 当1n s =+时，结论成立．由数学归纳法可知，对任意的自然数()2n n ≥结论成立．S 中不具有性质()1,2,,i P i n =L 的元素的个数为： ()121212111k k nkn i i i k i i i nA A A S A A A =≤<<<≤=+-∑∑L I I L I I I L I ．３ 应用举例３.１ 容斥原理的一些简单应用例３.1.1 由1至300的整数中, 有多少个整数能被7整除且能被2或5整除?解 设所求为N , 令{}1,2,,300S =L , A ={能被7214⨯=整除的整数}，B ={能被7535⨯=整除的整数}，A B I ={能被72570⨯⨯=整除的整数}，则N A B A B A B ==+-U I 3003003007275725⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦218425=+-= 例 3.１.2 有2008盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现将其顺序编号为1,2,3,,2008L ．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？解 令A ={不大于2008的2的倍数},B ={不大于2008的3的倍数}, C ={不大于2008的5的倍数}, 则200810042A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦, 20086693B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦, 20084015C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦． 又 A B I ={不大于2008的236⨯=的倍数}，A C I ={不大于2008的2510⨯=的倍数}，BC I ={不大于2008的3515⨯=的倍数}, A B C I I ={不大于2008的23530⨯⨯=的倍数},200833423A B ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I , 200820025A C ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I , 200813335B C ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I , 200866235A B C ⎡⎤==⎢⎥⨯⨯⎣⎦I I ,所以拉过开关的灯的只数为：A B C A B C A B A C B C A B C =++---+I I I I I I I 1004669401334200133661473=++---+= (只)所以没拉开关的灯的只数为：20081473535-=（只） 只拉两次的开关的灯的只数为：3A B A C B C A B C ++-I I I I I 334200133366469=++-⨯=（只）所以最后亮着的灯的只数为：5354691004+=（只）3.2 容斥原理在重排问题中的应用 例3.2.1[]()21P 4只小鸟飞入四个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的笼子，笼子也不同）,每个笼子只能飞进一只小鸟，若都不飞进自己的笼子，应有多少种不同的飞法？分析 设4只小鸟是甲、乙、丙、丁，相对应的笼子分别是1号、2号、3号、4号，由题意可推算出有9种不同的飞法，分别是乙甲丁丙；乙丙丁甲；乙丁甲丙；丙甲丁乙；丙甲丁乙；丙丁乙甲；丙丁甲乙；丁甲乙丙；丁丙甲乙；丁丙乙甲。
高考数学冲刺复习容斥原理考点速记
高考数学冲刺复习容斥原理考点速记在高考数学的复习冲刺阶段，容斥原理是一个不可忽视的重要考点。
它虽然不是高频出现的重难点，但一旦出现，往往能成为区分考生水平的关键。
为了帮助同学们在高考中应对自如，下面我们就来对容斥原理进行一次全面且深入的速记梳理。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是指，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
简单来说，就是在计算多个集合的并集时，要减去它们的交集，以避免重复计算。
举个例子，假设一个班级里有喜欢数学的同学集合 A，喜欢语文的同学集合 B。
那么既喜欢数学又喜欢语文的同学就是 A 和 B 的交集，而喜欢数学或者喜欢语文的同学总数就是 A 和 B 的并集。
但在计算并集时，如果直接把 A 的人数和 B 的人数相加，就会把既喜欢数学又喜欢语文的同学重复计算一次，所以需要减去交集的人数，这就是容斥原理的基本应用。
二、容斥原理的公式1、两个集合的容斥原理公式：｜A∪B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A∩B|其中，｜A|表示集合 A 的元素个数，｜B|表示集合 B 的元素个数，｜A∪B|表示 A 和 B 的并集的元素个数，｜A∩B|表示 A 和 B 的交集的元素个数。
2、三个集合的容斥原理公式：｜A∪B∪C| ＝｜A| ＋｜B| ＋｜C| ｜A∩B| ｜B∩C| ｜C∩A| ＋｜A∩B∩C|这个公式相对复杂一些，但原理是一样的，都是在计算并集时，减去两两集合交集的元素个数，然后再加上三个集合交集的元素个数，以保证计算结果的准确性。
三、容斥原理的应用场景1、计数问题比如计算在一定范围内满足多个条件的元素个数。
例如，在 1 到100 的自然数中，能被 3 整除或者能被 5 整除的数有多少个？2、概率问题在计算某些事件发生的概率时，如果涉及多个条件，可以运用容斥原理来准确计算。
3、图形问题在计算图形的面积或周长等问题时，如果图形之间存在重叠部分，也可以使用容斥原理来求解。
容斥原理及应用
表示那些即不具有P1也不具有P2性质的物体。 我们有 A1 A2 S A1 A2 A1 A2
A1 A2 A1 A2
S=
A1
A1 ∩ A2
A2
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由于上式左边表示那些既无性质P1也无性质P2的 物体的个数，因此可以通过对等式右边增
3
例:1到600中不能被6整除的整数的个数是多少？ [分析] 1到600共有600个数，能被6整除的
有： 600/6=100个。 因此，不能被6整除的数有600-100=500个
一般来说，对于集合S中的元素定义一种性质P，
x S ，若x具有性质P，则P(x)为真。于是，
所有具有性质P的元素的集合:
净增加：1 – 1 – 0 + 0 = 0 物体。 如果x只具有性质P2 ，那么它为等式的右边
净增加：1 – 0 – 1 + 0 = 0 物体。 最后，如果x具有性质P1 、P2 ，那么它为等式的
右边净增加：1 – 1 – 1 + 1 = 0 物体。 因此等式右边的变化只与那些S中性质P1 、P2
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A1 A2 ...... Am S Ai 1im
Ai Aj
Ai Aj Ak
1i jm
1i jk m
....... (1)m A1 A2...... Am
其中，第一个和对{1,2,……m}的所有1-组合{i}
13Βιβλιοθήκη 进行，第二个和对{1,2,……m}的所有2-组合{i, j} 进行，第三个和对{1,2,……m}的所有3-组
Ai
Ai Aj
i 1